2024-2025学年四川省资阳市安岳中学九年级（下）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省资阳市安岳中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列计算正确的是（　　）
A. 4 B. C. 2= D. 3
2.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC=4m，则AB的长度为（　　）
A. 2m
B. 4m
C. 4m
D. 6m
3.一元二次方程x2+3x=4解的情况为（　　）
A. 没有实数根 B. 可能有且只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根
4.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C的坐标分别是（1，2）、（3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且位似比为2：1，则线段DF的长度为（　　）
A. B. 2 C. 4 D. 2
5.若实数x满足方程（x2+2x） （x2+2x-2）-8=0，那么x2+2x的值为（　　）
A. -2或4 B. 4 C. -2 D. 2或-4
6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接CM交BD于点N，则S△CNO：S△CND=（　　）
A. 1：2 B. 2：3 C. 1：3 D. 3：4
7.若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为x2-12x+m=0的两根，则m的值为（　　）
A. 32 B. 36 C. 32或36 D. 不存在
8.为保障人民的身体健康，卫生部门对某医药商店进行检查，抽查了某品牌的口罩5包（每包10只），其中合格口罩的只数分别是：9，10，9，10，10，则估计该品牌口罩的合格率约是（　　）
A. 95% B. 96% C. 97% D. 98%
9.点M（-sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A. （-，-） B. （，） C. （-，） D. （-，-）
10.如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G.则以下结论：①△EFC∽△ECA；②△ABC △AEC；③CE=AF；S△ACF=5-；EG2=FG DG.其中正确的结论有（　　）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知b＞0，化简= ______.
12.若（sinA-）2+|tanB-1|=0，则△ABC是______三角形.
13.若关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰好是它本身，则p的值是______．
14.在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16，点P是斜边AB上一动点，从点A向点B运动，过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，当△APQ的面积为14时，x的值为______.
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=4，则DN=______．
16.如图，已知直角三角形ACB，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1；过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2；…，这样一直做下去，得到一组线段CA1，A1C1，C1A2，…，则第10条线段A5C5= ______．
三、解答题：本题共8小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
用适当的方法解方程
（1）3x2-x-4=0.
（2）（x+3）2=（2-2x）2
18.(本小题10分)
先化简，再求值：÷（x-2y-）+，其中x，y满足方程（x-tan60°）2+（sin243°+sin247°-y）2=0.
19.(本小题9分)
小亮、小芳和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人在1至3层的任意一层出电梯.
（1）请用画树状图或列表的方法，求出甲、乙二人在同一楼层出电梯的概率；
（2）小亮和小芳打赌说：“若甲、乙二人在相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”.该游戏是否公平？请说明理由.
20.(本小题10分)
如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1、l2、l3都垂直，垂足分别为点A、点B和点C（高速路右侧边缘），l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM=千米，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且cosα=，MN=2千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点．
（1）求l2和l3之间的距离；
（2）若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？（结果用分数表示）
21.(本小题11分)
关于x的一元二次方程x2+mx+m-2=0.
（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）设该方程两个同号的实数根为x1，x2，试问是否存在m使x12+x22+m（x1+x2）=m2+1成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由.
22.(本小题11分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E.
（1）求证：△CDE∽△CAB.
（2）若∠C=60°，求S△CDE：S△CAB的值.
23.(本小题12分)
全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天．
①现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
24.(本小题13分)
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在斜边AB上取一点D，过点D作DE∥BC，交AC于点E，现将△ADE绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在△ABC的内部），使得∠ABD+∠ACD=90°．
（1）①求证：△ABD∽△ACE；
②若CD=1，BD=，求AD的长．
（2）如图3，将原题中的条件“AC=BC”去掉，其它条件不变，设==k，若CD=1，BD=2，AD=3，求k的值．
（3）如图4，将原题中的条件“∠ACB=90°”去掉，其它条件不变，若==，设CD=m，BD=n，AD=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】等腰直角
13.【答案】2或-2
14.【答案】2或14
15.【答案】2
16.【答案】3×
17.【答案】解：（1） 3 x2-x-4=0，
∴（3x-4）（x+1）=0，
∴ 3 x-4=0或x+1=0，
解得： x1=，x2=-1；
（2） （x+3）2=（2-2x）2，
两边开平方得： x+3=±（2-2x），
即x+3=2-2x，x+3=-（2-2x），
解得： x1=-，x2=5．
18.【答案】解：原式=÷（-）+
=÷+
= +
=+
=
=，
∵（x-tan60°）2+（sin243°+sin247°-y）2=0，
∴x-tan60°=0，sin243°+sin247°-y=0，
即
解得x=2，y=1，
则原式==-2．
19.【答案】（1）画树状图如下：
共有9种等可能结果，其中甲、乙两人在同一楼层出电梯的可能有3种，所以概率为．
（2）不公平．
理由：由（1）列知：所有的可能有9种结果，
故P（小亮胜）=P（相邻楼层）=，P（小芳胜）=1-=，
∴游戏不公平．
20.【答案】解：（1）过点M作MD⊥NC于点D，
∵cosα=，MN=2千米，
∴cosα===，
解得：DM=2（千米），
答：l2和l3之间的距离为2千米；
（2）∵点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM=千米，
∴tan30°===，
解得：AB=3（千米），
可得：AC=3+2=5（千米），
∵MN=2千米，DM=2千米，
∴DN==4（千米），
则NC=DN+BM=5（千米），
∴AN===10（千米），
∵城际火车平均时速为150千米/小时，
∴市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要=小时．
21.【答案】（1）证明：∵a=1，b=m，c=m-2，
∴=m2-4×1×（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4＞0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：不存在，
理由是：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+mx+m-2=0的两个同号的实数根，
∴x1+x2=-m，x1 x2=m-2＞0，
∴x12+x22+m（x1+x2）=（x1+x2）2-2x1 x2+m（x1+x2）=（-m）2-2（m-2）-m2=-2（m-2）＜0，
∵m2+1＞0，
∴不存在m使x12+x22+m（x1+x2）=m2+1成立．
22.【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BEC，
∴=，
∴=，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB；
（2）解：∵∠C=60°，
∴=cos60°=，
∴S△CDE：S△CAB=（）2=（）2=．
23.【答案】解：（1）设每天增长的百分率为x，
依题意，得：500（1+x）2=720，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率为20%；
（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天，
依题意，得：（1+m）（1500-50m）=6500，
解得：m1=4，m2=25，
又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m=4．
答：应该增加4条生产线；
②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天，
依题意，得：（1+a）（1500-50a）=15000，
化简得：a2-29a+270=0，
∵=（-29）2-4×1×270=-239＜0，方程无解．
答：不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个．
24.【答案】解：（1）①∵DE∥BC，
∴，∠AED=∠C=90°，
由旋转知，∠DAB=∠EAC，
∴△ABD∽△ACE，
②在Rt△ABC中，AC=BC，
∴AB=AC，
由①知，△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
∵△ABD∽△ACE，
∴=，
∴AD=AE，BD=CE，
∵BD=，
∴CE=，
在Rt△CDE中，CD=1，CE=，
根据勾股定理得，=2，
在Rt△ADE中，AE=DE=2，
∴AD=DE=2，
（2）由旋转知，∠EAC=∠DAB，
∵=
∴△ACE∽△ABD，
∴=k，
∵AD=3，BD=2，
∴AE=kAD=3k，CE=kBD=2k，
∵△ACE∽△ABD，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+4k2，
在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=9-9k2，
∴1+4k2=9-9k2，
∴k=-（舍）或k=；
∴k的值为
（3）9p2=25m2+9n2．
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