2025年黑龙江省哈尔滨市剑桥三中中考数学四模试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025年黑龙江省哈尔滨市剑桥三中中考数学四模试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-14 21:02:56 | ||
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文档简介
2025年黑龙江省哈尔滨市剑桥三中中考数学四模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.-3的绝对值是（ ）
A. 3 B. C. D. -3
2.下列运算不一定正确的是（ ）
A. x2 x3=x5 B. （-2x）2=-4x2 C. （x2）3=x6 D. 5x-2x=3x
3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4.青花瓷又称白地青花瓷，属釉下彩瓷，是用含氧化钴的钴矿为原料，在陶瓷坯体上描绘纹饰，再罩上一层透明釉，经高温还原焰一次烧成.下面四个瓷器中，主视图与左视图不同的一个是（ ）
A. B. C. D.
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，如图，，则cot30°的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.中国象棋红方棋子按兵种不同分布如下：1个帅，5个兵，“士、象、马、车、炮”各2个，将所有棋子反面朝上放在棋盘中，任取一个恰好是兵或帅的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H.若AB=8，GD=6，则CH的长为（ ）
A. 16 B. 14 C. 12 D. 10
8.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=9，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则CF的长为（ ）
A. 4
B. 5
C.
D. 3.5
9.在某一电路中，保持电压不变，电流I（A）.与电阻R（Ω）成反比例函数关系，当电阻R=5Ω时，电流I=2A，则I与R的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
10.今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ）
A. 小明中途休息用了20分钟
B. 小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米
C. 小明在上述过程中所走的路程为6600米
D. 小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.据统计，第26届哈尔滨冰雪大世界园区接待游客量超过356万人次，同比增长31%，刷新历史纪录.将356万用科学记数法表示为 .
12.在函数y=中，自变量x的取值范围是______．
13.把多项式4ax2-9ay2分解因式的结果是______．
14.观察下列等式：，，第10个式子可表示为______.
15.二次函数y=x2-4x+3的顶点坐标是______.
16.某城镇2022年的出生人口为5万人，连续两年下降，2024年的出生人口为3.2万人，则平均每年的下降率为 .
17.折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为30cm,面积为360πcm2，则此扇形的圆心角为 度.
18.已知，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于E，交AC所在直线于P，若∠APE=54°，则∠B=______．
19.大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）.某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为等边三角形，AD、BE、CF围成的△DEF也是等边三角形.已知点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积是 .
20.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，过点A作AD的垂线交BC于点E，AD=AE，CD=3，CE=9，2∠AEC+∠B=180°，则AB的长为 .
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题6分)
先化简，再求值：，其中x=2cos60°+sin45°.
22.(本小题9分)
如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小格的顶点叫做格点，方格纸中有线段AB和CD，点A，B，C，D均在小正方形格点上；
（1）将线段AB先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到线段EF（A的对应点为E）；
（2）将线段CD绕点D逆时针旋转90°得到线段QD；
（3）在线段EF上画出点P，使得BP+QP的值最小，并直接写出PQ的长.
23.(本小题9分)
为了参加市举办“创新人才”知识竞赛活动，我区开展了预赛，400名学生参加此次比赛，为了解此次竞赛情况：从中抽取一部分学生成绩统计如下
分组 频数 频率
50.5-60.5 4 0.08
60.5-70.5 6
70.5-80.5 16 0.32
80.5-90.5
90.5-100.5 8 0.16
合计 1.00
（1）一共抽取了多少名学生？
（2）补全频数分布直方图，这组数据的中位数落在第______组（填范围）；
（3）若90分以上成绩为优秀，估计我区获得优秀学生约有多少名？
24.(本小题9分)
如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C，D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E.
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当OD=1，时，求sin∠AED的值.
25.(本小题9分)
某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等．
（1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？
（2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2400元，那么最多可购买多少个甲礼品？
26.(本小题9分)
已知：⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E在上，连接BE、DE，点F在上连接BF、DF，BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分∠EDF.
（1）如图1，求证：∠CBE=∠DHG；
（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE于点L，过点H作HK∥BN交DE于点K，过点E作EP⊥BN，垂足为点P，当BP=HF时，求证：BE=HK；
（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交⊙O于点R，连接BR，若△BER的面积与△DHK的面积的差为，求线段BR的长.
27.(本小题9分)
已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=a（x+5）（x-8）（a≠0）分别交x轴于点A、B，交y轴于点C，.
（1）如图1，求抛物线解析式；
（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，过点P作PE⊥BC于点E，交x轴于点F，设PE的长为d,点P的横坐标为t,求d与t的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点P作PD⊥x轴于点D，连接PB，G为PB的中点，点H在GD的延长线上，连接HP、HE、HF，若，四边形PDHF的面积等于，求PE的长.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】3.56×106
12.【答案】x≠-
13.【答案】a（2x+3y）（2x-3y）
14.【答案】
15.【答案】（2，-1）
16.【答案】20%
17.【答案】144
18.【答案】72°或18°
19.【答案】2
20.【答案】
21.【答案】，．
22.【答案】
；
23.【答案】一共抽取了50名学生；
补全频数分布直方图如图，
70.5～80.5；
估计我区获得优秀学生约有64名
24.【答案】见解析；
．
25.【答案】解：（1）设乙礼品单价为x元，根据题意得：
，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的根，
∴x+40=100
答：甲礼品单价为100元，乙礼品单价为60元；
（2）设可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30-m）个，
根据题意得：100m+60（30-m）2400，
解得：m15，
答：最多可购买15个甲礼品．
26.【答案】（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵∠F=∠A=90°，
∴∠F=∠ABC，
∵DA平分∠EDF，
∴∠ADE=∠ADF，
∵∠ABE=∠ADE，
∴∠ABE=∠ADF，
∵∠CBE=∠ABC+∠ABE，∠DHG=∠F+∠ADF，
∴∠CBE=∠DHG；
（2）如图2，过H作HM⊥KD，垂足为点M，
∵∠F=90°，
∴HF⊥FD，
∵DA平分∠EDF，
∴HM=FH，
∵FH=BP，
∴HM=BP，
∵KH∥BN，
∴∠DKH=∠DLN，
∴∠ELP=∠DLN，
∴∠DKH=∠ELP，
∵∠BED=∠A=90°，
∴∠BEP+∠LEP=90°，
∵EP⊥BN，
∴∠BPE=∠EPL=90°，
∴∠LEP+∠ELP=90°，
∴∠BEP=∠ELP=∠DKH，
∵HM⊥KD，
∴∠KMH=∠BPE=90°，
∴△BEP≌△HKM，
∴BE=HK；
（3）解：如图3，连接BD，
∵3HF=2DF，BP=FH，
∴设HF=2a,DF=3a,
∴BP=FH=2a,
由（2）得：HM=BP，∠HMD=90°，
∵∠F=∠A=90°，
∴tan∠HDM=tan∠FDH，
∴==，
∴DM=3a,
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠ABF=∠ADF=∠ADE，∠DBF=45°-∠ABF，∠BDE=45°-∠ADE，
∴∠DBF=∠BDE，
∵∠BED=∠F，BD=BD，
∴△BED≌△DFB，
∴BE=FD=3a,
过H作HS⊥BD，垂足为S，
∵tan∠ABH=tan∠ADE==，
∴设AB=3m,AH=2m,
∴BD=AB=6m,DH=AD-AH=m,
∵sin∠ADB==，
∴HS=m,
∴DS==m,
∴BS=BD-DS=5m,
∴tan∠BDE=tan∠DBF==，
∵∠BDE=∠BRE，∴tan∠BRE==，
∵BP=FH=2a,
∴RP=10a,
在ER上截取ET=DK，连接BT，由（2）得：∠BEP=∠HKD，
∴△BET≌△HKD，
∴∠BTE=∠KDH，
∴tan∠BTE=tan∠KDH，
∴=，即PT=3a,
∴TR=RP-PT=7a,
∵S△BER-S△DHK=，
∴BP ER-HM DK=，
∴BP （ER-DK）=BP （ER-ET）=，
∴×2a×7a=，
解得：a=（负值舍去），
∴BP=1，PR=5，
则BR==．
27.【答案】；
；
第1页，共1页
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.-3的绝对值是（ ）
A. 3 B. C. D. -3
2.下列运算不一定正确的是（ ）
A. x2 x3=x5 B. （-2x）2=-4x2 C. （x2）3=x6 D. 5x-2x=3x
3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4.青花瓷又称白地青花瓷，属釉下彩瓷，是用含氧化钴的钴矿为原料，在陶瓷坯体上描绘纹饰，再罩上一层透明釉，经高温还原焰一次烧成.下面四个瓷器中，主视图与左视图不同的一个是（ ）
A. B. C. D.
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，如图，，则cot30°的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.中国象棋红方棋子按兵种不同分布如下：1个帅，5个兵，“士、象、马、车、炮”各2个，将所有棋子反面朝上放在棋盘中，任取一个恰好是兵或帅的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H.若AB=8，GD=6，则CH的长为（ ）
A. 16 B. 14 C. 12 D. 10
8.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=9，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则CF的长为（ ）
A. 4
B. 5
C.
D. 3.5
9.在某一电路中，保持电压不变，电流I（A）.与电阻R（Ω）成反比例函数关系，当电阻R=5Ω时，电流I=2A，则I与R的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
10.今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ）
A. 小明中途休息用了20分钟
B. 小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米
C. 小明在上述过程中所走的路程为6600米
D. 小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.据统计，第26届哈尔滨冰雪大世界园区接待游客量超过356万人次，同比增长31%，刷新历史纪录.将356万用科学记数法表示为 .
12.在函数y=中，自变量x的取值范围是______．
13.把多项式4ax2-9ay2分解因式的结果是______．
14.观察下列等式：，，第10个式子可表示为______.
15.二次函数y=x2-4x+3的顶点坐标是______.
16.某城镇2022年的出生人口为5万人，连续两年下降，2024年的出生人口为3.2万人，则平均每年的下降率为 .
17.折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为30cm,面积为360πcm2，则此扇形的圆心角为 度.
18.已知，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于E，交AC所在直线于P，若∠APE=54°，则∠B=______．
19.大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）.某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为等边三角形，AD、BE、CF围成的△DEF也是等边三角形.已知点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积是 .
20.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，过点A作AD的垂线交BC于点E，AD=AE，CD=3，CE=9，2∠AEC+∠B=180°，则AB的长为 .
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题6分)
先化简，再求值：，其中x=2cos60°+sin45°.
22.(本小题9分)
如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小格的顶点叫做格点，方格纸中有线段AB和CD，点A，B，C，D均在小正方形格点上；
（1）将线段AB先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到线段EF（A的对应点为E）；
（2）将线段CD绕点D逆时针旋转90°得到线段QD；
（3）在线段EF上画出点P，使得BP+QP的值最小，并直接写出PQ的长.
23.(本小题9分)
为了参加市举办“创新人才”知识竞赛活动，我区开展了预赛，400名学生参加此次比赛，为了解此次竞赛情况：从中抽取一部分学生成绩统计如下
分组 频数 频率
50.5-60.5 4 0.08
60.5-70.5 6
70.5-80.5 16 0.32
80.5-90.5
90.5-100.5 8 0.16
合计 1.00
（1）一共抽取了多少名学生？
（2）补全频数分布直方图，这组数据的中位数落在第______组（填范围）；
（3）若90分以上成绩为优秀，估计我区获得优秀学生约有多少名？
24.(本小题9分)
如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C，D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E.
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当OD=1，时，求sin∠AED的值.
25.(本小题9分)
某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等．
（1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？
（2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2400元，那么最多可购买多少个甲礼品？
26.(本小题9分)
已知：⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E在上，连接BE、DE，点F在上连接BF、DF，BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分∠EDF.
（1）如图1，求证：∠CBE=∠DHG；
（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE于点L，过点H作HK∥BN交DE于点K，过点E作EP⊥BN，垂足为点P，当BP=HF时，求证：BE=HK；
（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交⊙O于点R，连接BR，若△BER的面积与△DHK的面积的差为，求线段BR的长.
27.(本小题9分)
已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=a（x+5）（x-8）（a≠0）分别交x轴于点A、B，交y轴于点C，.
（1）如图1，求抛物线解析式；
（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，过点P作PE⊥BC于点E，交x轴于点F，设PE的长为d,点P的横坐标为t,求d与t的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点P作PD⊥x轴于点D，连接PB，G为PB的中点，点H在GD的延长线上，连接HP、HE、HF，若，四边形PDHF的面积等于，求PE的长.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】3.56×106
12.【答案】x≠-
13.【答案】a（2x+3y）（2x-3y）
14.【答案】
15.【答案】（2，-1）
16.【答案】20%
17.【答案】144
18.【答案】72°或18°
19.【答案】2
20.【答案】
21.【答案】，．
22.【答案】
；
23.【答案】一共抽取了50名学生；
补全频数分布直方图如图，
70.5～80.5；
估计我区获得优秀学生约有64名
24.【答案】见解析；
．
25.【答案】解：（1）设乙礼品单价为x元，根据题意得：
，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的根，
∴x+40=100
答：甲礼品单价为100元，乙礼品单价为60元；
（2）设可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30-m）个，
根据题意得：100m+60（30-m）2400，
解得：m15，
答：最多可购买15个甲礼品．
26.【答案】（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵∠F=∠A=90°，
∴∠F=∠ABC，
∵DA平分∠EDF，
∴∠ADE=∠ADF，
∵∠ABE=∠ADE，
∴∠ABE=∠ADF，
∵∠CBE=∠ABC+∠ABE，∠DHG=∠F+∠ADF，
∴∠CBE=∠DHG；
（2）如图2，过H作HM⊥KD，垂足为点M，
∵∠F=90°，
∴HF⊥FD，
∵DA平分∠EDF，
∴HM=FH，
∵FH=BP，
∴HM=BP，
∵KH∥BN，
∴∠DKH=∠DLN，
∴∠ELP=∠DLN，
∴∠DKH=∠ELP，
∵∠BED=∠A=90°，
∴∠BEP+∠LEP=90°，
∵EP⊥BN，
∴∠BPE=∠EPL=90°，
∴∠LEP+∠ELP=90°，
∴∠BEP=∠ELP=∠DKH，
∵HM⊥KD，
∴∠KMH=∠BPE=90°，
∴△BEP≌△HKM，
∴BE=HK；
（3）解：如图3，连接BD，
∵3HF=2DF，BP=FH，
∴设HF=2a,DF=3a,
∴BP=FH=2a,
由（2）得：HM=BP，∠HMD=90°，
∵∠F=∠A=90°，
∴tan∠HDM=tan∠FDH，
∴==，
∴DM=3a,
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠ABF=∠ADF=∠ADE，∠DBF=45°-∠ABF，∠BDE=45°-∠ADE，
∴∠DBF=∠BDE，
∵∠BED=∠F，BD=BD，
∴△BED≌△DFB，
∴BE=FD=3a,
过H作HS⊥BD，垂足为S，
∵tan∠ABH=tan∠ADE==，
∴设AB=3m,AH=2m,
∴BD=AB=6m,DH=AD-AH=m,
∵sin∠ADB==，
∴HS=m,
∴DS==m,
∴BS=BD-DS=5m,
∴tan∠BDE=tan∠DBF==，
∵∠BDE=∠BRE，∴tan∠BRE==，
∵BP=FH=2a,
∴RP=10a,
在ER上截取ET=DK，连接BT，由（2）得：∠BEP=∠HKD，
∴△BET≌△HKD，
∴∠BTE=∠KDH，
∴tan∠BTE=tan∠KDH，
∴=，即PT=3a,
∴TR=RP-PT=7a,
∵S△BER-S△DHK=，
∴BP ER-HM DK=，
∴BP （ER-DK）=BP （ER-ET）=，
∴×2a×7a=，
解得：a=（负值舍去），
∴BP=1，PR=5，
则BR==．
27.【答案】；
；
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