2025-2026学年湖南省长沙市雅礼中学高二上学期10月质量检测数学试卷(含答案)

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名称 2025-2026学年湖南省长沙市雅礼中学高二上学期10月质量检测数学试卷(含答案)
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文件大小 1.3MB
资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-10-12 18:37:48

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文档简介

2025-2026学年湖南省长沙市雅礼中学高二上学期 10月质量检测
数学试卷
一、单选题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 满足 = ( 1),则| | =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
2
2
.已知椭圆 的方程为 2 + 2 = 1,则椭圆 的离心率为( )
A. 1 2 3 12 B. 2 C. 2 D. 3
3.如图,在平行六面体 1 1 1 1中, 为 1 1与 1 1的交点.若 = , = , 1 = ,则
下列向量中与 相等的向量是( )
A. 1 1 1 1 2 2 + B. 2 2 +
C. 12 +
1
2
+ D. 1 + 1 2 2
+
4.已知直线的一个方向向量为(1,2),其倾斜角为 ,则 2 2 cos2 =( )
A. 3 7 7 35 B. 5 C. 5 D. 5
5.已知 1, 2,…, 的方差为 3,则 2 1 + 1,2 2 + 1,…,2 + 1 的方差为( )
A. 6 B. 7 C. 12 D. 18
6.已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为 3 + 2 + 1 = 0 和 3 + 2 + 4 = 0,另一组对边所在的直
线方程分别为 4 6 + 1 = 0 和 4 6 + 2 = 0,则| 1 2| =( )
A. 32 B.
3 13
13 C.
6 13
13 D. 6
7.“ 2 ≤ < 2”是“直线 = + 与曲线 = 4 2恰有 1 个公共点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2,空间中的点 满足: 1 = 1 + 1 1,其中 ∈ , ∈ ,

且 = 2,则点 的轨迹的长度为( )
第 1页,共 10页
A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 3 2
二、多选题:本题共 3小题,共 18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知圆锥的顶点为 , 为底面直径, 是面积为 1 的直角三角形,则( )
A. 1该圆锥的母线长为 2 B.该圆锥的体积为3π
C.该圆锥的侧面积为π D.该圆锥的侧面展开图的圆心角为 2π
10.下列说法正确的是( )
A.若直线 2 + ( + 1) + 4 = 0 与直线 + 3 2 = 0 平行,则 = 3
B. ∈ (0,1),都有原点 在圆( )2 + ( 1)2 = 2 外
C.一条光线从点 ( 2,3)射出,经 轴反射后,与圆 :( 3)2 + ( 2)2 = 1 相切,则反射后光线所在的
直线方程为 4 3 1 = 0
D.圆 2 + 2 + 2 + 8 8 = 0 与圆 2 + 2 4 4 2 = 0 的公切线恰有 2 条
11.已知 2 + 2 = 4,则( )
A. 2 + 10 1 ∈ ( ∞,2] ∪ 3 , + ∞
B. 2 + 2 6 + 10 的最大值为 26
C. |3 + 4 12| 2的最小值是5
D. 2 13 6 20 8 的最大值是 2 10
三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分。
12.已知 , 是相互独立事件,且 ( ) = 0.4, ( ) = 0.3,则 ( ∪ ) = .
13.直线 1: 2 = 0 与直线 2: + + 2 = 0 交于点 , 是实数, 为坐标原点,则| |的最大
值是 .
14
2 2
.已知椭圆 :16 + 12 = 1 的左右焦点分别为 1, 2,上顶点为 ,过 1且垂直于 2的直线与 交于 、
两点,则△ 的周长为 .
四、解答题:本题共 5小题,共 77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号,作为普通市民,既是文明城市的最大受益者,更是
文明城市的主要创造者,长沙市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,
从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本,将样本的成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成
六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.
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(1)求频率分布直方图中 的值;
(2)求样本成绩的平均数和众数;
(3)用分层抽样的方法在分数落在[60,80)内的答卷中随机抽取一个容量为 5 的样本,现将该样本看成一个总
体,再从中任取 2 份,求至多有 1 份答卷的分数在[70,80)内的概率.
16.(本小题 15 分)
已知 , cos , 分别是△ 的内角 , , 的对边,且 = 2 cos .
(1) 求 ;
(2)若 cos = 14,△ 的面积为 15,求△ 的周长.
17.(本小题 15 分)
在如图所示的几何体中,四边形 是正方形,四边形 是梯形, > , // , ⊥平面 ,
且 = 2 = 2, = 2.
(1)求证: //平面 ;
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18.(本小题 17 分)
已知过定点 (4,2)的直线 被圆 : 2 + 2 = 16 截得的弦长为 4 3.
(1)求直线 的方程.
(2)线段 的端点 的坐标是(6,8),端点 在圆 上运动, 是线段 的中点,记点 的轨迹为曲线 .
(ⅰ)求曲线 方程;
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(ⅱ)已知点 为直线 + 2 = 0 上一动点,过点 作曲线 的两条切线,切点分别为 、 ,判断直线 是否
过定点?求出该定点,并说明理由;
19.(本小题 17 分)
已知椭圆 的两个焦点为 1( 1,0)和 2(1,0),点 为椭圆 的上顶点,△ 1 2为等腰直角三角形.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)已知点 为椭圆 上一动点,求点 到直线 :3 + 4 12 = 0 距离的最值;
(3)分别过 1, 2作平行直线 , ,若直线 与曲线 交于 , 两点,直线 与曲线 交于 , 两点,其中
点 , 在 轴上方,求四边形 1 2 的面积的取值范围.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.58
13.2 2
14.16
15.解:(1) ∵每组小矩形的面积之和为 1,
∴ (0.005 + 0.010 + 0.020 + + 0.025 + 0.010) × 10 = 1,
∴ = 0.030;
(2)样本成绩的平均值为 0.005 × 10 × 45 + 0.01 × 10 × 55 + 0.02 × 10 × 65 + 0.03 × 10 × 75 + 0.025 ×
10 × 85 + 0.01 × 10 × 95 = 74,
据频率分布直方图可知,分数落在[70,80)内的频率最大,故众数为 75.
(3)据频率分布直方图可知,分数落在[60,70)内的频率为 0.2,而分数落在[70,80)内的频率 0.3,
故用分层抽样的方法在分数落在[60,80)内的答卷中随机抽取一个容量为 5 的样本,
分数落在[60,70)内的人数为 2 份,而分数落在[70,80)内的频率 3 份,
设试卷分数落在[60,70)内的分别为 , ,分数落在[70,80)内 , , ,
从 5 份中任取 2 份,有下列情况: , , , , , , , , , 共 10 种情况,
而至多 1 分的分数在[70,80)内有 , , , , , , 共 7 种情况,
故至多有 1 份答卷的分数在[70,80) 7内的概率为10.
16.解:(1) △ = cos 在 中, ,2 cos
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sin cos
由正弦定理得: = ,则 sin cos + cos sin = 2sin ,
sin 2 cos
即 sin ( + ) = 2sin ,即 sin = 2sin ,
1
由正弦定理得 = 2 ,即 = 2;
(2)由 cos = 14, ∈ (0, ),得 sin =
15
4 ,
1
则 △ = 2 sin = 15,得 = 8,
由余弦定理得: 2 = 2 + 2 2 cos ,
即(2 )2 = 2 + ( 8 )2 4 = 0,整理得 3
4 4 2 64 = 0,
即(3 2 + 16)( 2 4) = 0,解得 = 2,
则 = = 4,
所以△ 的周长为 + + = 10.
17.解:(1)取 中点 ,连接 , ,
∵ = 2 = 2, = 2,点 为 中点,∴ = = 1,
又 // ,∴四边形 为平行四边形,
∴ // , = ,∵ 为正方形,
∴ // , = ,∴ // , = ,
∴四边形 为平行四边形,∴ // ,
又 平面 , 平面 ,∴ //平面 .
(2)以 为原点,分别以 , , 为 , , 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
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可得 (0,0,2), (2,2,0), (0,2,0), (2,0,1),
则 = (2,2, 2), = (0,2, 2), = (2,0, 1),
设平面 的法向量为 = 1, 1, 1 ,
= 2 1 + 2 1 2 1 = 0
,令 1 = 1,则 1 = 0, 1 = 1,所以 = (0,1,1), = 2 1 2 1 = 0
设平面 的法向量为 = 2, 2, 2 ,
= 2 2 + 2 2 2 2 = 0,令 = 1,则
= 2 = 0 2 2
= 2, 2 = 1,所以 = (1,1,2),
2 2
cos , = = 1+2 = 3 2× 6 2 ,
3
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 2 .
18.(1)圆 : 2 + 2 = 16,半径为 4,由弦长为 4 3,则圆心到直线 的距离 = 2,
设直线 : = ( 4) + 2,即: 4 + 2 = 0
| 4 +2|
则圆心 (0,0)到直线 的距离为 = = 22 ,整理得:3
2 4 = 0,
+1
解得: = 0 4, = 3
当 = 0 时,直线 的方程为 = 2;
4
当 = 3时,直线 的方程为 4 3 10 = 0;
故直线 的方程 = 2 或 4 3 10 = 0;
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(2)( )设点 ( , ), ( 0, 0),由点 的坐标为(6,8),且 是线段 的中点,
= 0+6
则 2 +8,可得 0 = 2 6, 0 = 2 8,即 (2 6,2 8), = 02
因为点 在圆 2 + 2 = 16 上运动,所以点 坐标满足圆的方程 20 + 20 = 16,
即(2 6)2 + (2 8)2 = 16,整理得( 3)2 + ( 4)2 = 4,
所以点 的轨迹方程为( 3)2 + ( 4)2 = 4.
(3)设点 ( , 2 )过点 作圆 的切线 , , ⊥ , ⊥ ,则 , , , 四点共圆,
该圆以| |为直径,则其方程为( )( 3) + ( 2 + )( 4) = 0
直线 即以| |为直径的圆与圆 的公共弦所在的直线,
( )( 3) + ( 2 + )( 4) = 0 ①
联立
( 3)2 + ( 4)2 = 4 ②
② ①得直线 的方程:( 3)( 3) + ( 4)( 2 ) = 4,整理得: ( + 1) 3 2 + 13 =
0
11
+ 1 = 0 = 5 , 11 16
3 2 + 13 = 0解得 16 则直线 过定点( , ). = 5 ,
5 5
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2 219.解:(1)设椭圆 的标准方程为:
2 + 2 = 1( > > 0),
∵ 1( 1,0)和 2(1,0),∴ = 1,| 1 2| = 2 = 2,
∵点 为 1 2的中点且△ 1 2为等腰直角三角形,
∴ = | | = 12 | 1 2| = 1,
∴ 2 = 2 + 2 = 2,
2
故椭圆 的标准方程为 + 2 = 1;2
(2)设 ( 2cos , sin ),
则点 到 的距离 = |3 2cos +4sin 12| = | 34sin( + ) 12|
2 2 5 ,其中 tan =
3 2,
3 +4 4
∵ sin( + ) ∈ [ 1,1],
∴ 34sin( + ) 12 ∈ [ 34 12, 34 12], ∈ [ 12 34 , 12+ 34 ,5 5 ]
故 12 34 12+ 34min = ,5 max = 5
(3)由题可得直线 , 的斜率不为 0,
设直线 的方程为: = 1,直线 的方程为: = + 1, ( 1, 1), ( 2, 2).
= 1
联立 2 2 (
2 + 2) 2 2 1 = 0,
2 + = 1
所以 1 + =
2 1
2+2, 1 = 2+2,
2
则| | = 1 + 2 ( + )2 4 = 2 2(1+ )1 1 ,2+ 2
= + 1
联立 2 ,可得:( 2 + 2) 2 + 2 1 = 0,
2 +
2 = 1
所以 2 + =
2 1
2+2, 2 = 2+2,
2
则| | = 1 + 2 ( 2 + )2 4 2 =
2 2(1+ )
2+ 2

所以 // ,且 = ,则四边形 为平行四边形, 为对角线的交点,
根据对称性可知,四边形 1 2 的面积 1等于四边形 的面积 2的一半,
|1+1| 2
四边形 的高 = =
1+ 2 1+ 2

1 1 1
2 2
所以 1 = 2 2 = 2 | | = 2 ·
2 2(1+ )
2+ 2 ·
2 = 2 2 1+ ,
1+ 2 2+ 2
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= 2 2 1+
2
= 2 21 2+ 2 1+ 2+ 1 ,
1+ 2
1
因为 1 + 2 ≥ 1,所以 1 + 2 + ≥ 22 ,当且仅当 = 0 时取等号,1+
= 2 2
所以 1
≤ 2
1+ 2+ 1 ,
1+ 2
所以四边形 1 2 的面积的取值范围为:(0, 2].
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