从课本的一道例题谈起
青岛市崂山区第三中学 王昌涛
1.写在前面
亲爱的同学们，在学习本节课时相信大家对例题的印象是非常深刻的，原因在哪里呢？让我们再来回顾本节课的例题.
例1 如图1，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm.求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积.
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,即∠AED=90°，
DE=BD×10=5（cm）
∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
（2）S菱形ABCD= S△ABD+ S△CBD
=2×S△ABD=2××BD×AE
= BD×AE=10×12=120(cm2).
2.一类四边形面积求解的方法
相信同学们完成例题后都会对菱形面积的处理感觉非常妙，对于这种解题的技巧你是一笑而过，还是让你陷入了沉思呢？今天就让我们一起深入探讨一类图形的面积求解问题。
通过本节课的学习我们知道菱形的面积不仅可以用底乘以高来求，而且知道菱形的面积等于对角线乘积的一半.即如图1所示：S菱形ABCD=AC×BD.
仔细分析上述的证明过程我们会发现，我们日常生活中常见的风筝的形状即“筝形”也是可以用这种方法求解的.
例2如图2，四边形ABCD是我们常见的风筝的图案，其中对角线BD长为20cm，AC长为40cm，AC垂直平分BD，垂足为E，求筝形ABCD的面积.
解析：由已知：S四边形ABCD= S△ABD+ S△CBD
=×BD×AE+×BD×CE
= ×BD×(AE+CE)= ×BD×AC.
我们发现这个结论对于筝形依然成立.
那么到底满足什么条件的图形可以通过这种方法求面积呢？仔细观察不难发现，只要四边形的对角线互相垂直我们就可以利用这一结论求解.
例3 如图3，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，其中对角线BD长为20cm，AC长为15cm，垂足为E，求四边形ABCD的面积.
解析：通过上述求解过程，同学们应该能求出结果为150cm2.
研究到这里，我们可以得出一个结论：
结论1：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.
3.普通四边形面积求解的拓展
通过结论1的研究对于普通的对角线不垂直的四边形的面积的求解能不能有什么启示呢？下面让我们一起来研究.
如图4所示四边形ABCD的对角线BD长为20cm，根据前面三个例题的求解方式只要我们知道AE与CF的长度即可求出四边形的面积，仿照上面写出如下算式：S四边形ABCD= S△ABD+ S△CBD=×BD×AE+×BD×CF=×BD×(AE+CF).
通过这个算式我们发现我们刚开始猜想的知道AE与CF的长度即可求出四边形的面积，这一条件可以简化为知道AE+CF即可求出四边形的面积。
于是我们就得出了第二条结论：
结论2：任意四边形的面积等于一条对角线与其余两顶点到这条对角线距离和的乘积的一半.
以上的研究就是从课本的一道例题想到的，同学们对于数学知识的学习，我们不能仅仅满足于一个个的题目会解，更要学会反思研究，思考每一个结论，每一个题目背后的本质.下面就让我们进入小试牛刀环节，来体验研究的成果吧.
4.若有所思之后的小试牛刀：
(1)如图5，矩形ABCD中，AD=6cm，AB=4cm，EF∥AD,点G、H分别是AD、BC上任一点，则四边形EGFH的面积等于 cm2.
(2)如图6，四边形ABCD放在了一组平行线中，已知BD=6cm，四边形ABCD的面积为24cm，则两条平行线间的距离为 cm.
答案:(1) 12； (2) 2.
第一章 特殊平行四边形
1. 菱形的性质与判定（三）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能分析：经过八年级下册平行四边形相关知识的学习，学生已经基本掌握了平行四边形的相关性质及判定；本节课是菱形的性质与判定的第三课时，通过前两节课的学习，学生已经经历了对菱形的性质及判定的探究及验证过程，基本掌握了菱形的各项性质及判别方法。
学生的活动经验分析：在前两节课的学习中教师引导学生通过动手操作、小组合作等方式探究发现了菱形的性质及判别方法，并对这些发现进行了严格的推理证明。在探究过程中学生积累了许多关于菱形的活动经验，同时在学习中倡导学生进行合作学习，因此学生具有了一定的合作学习经验，也具备了合作交流的能力。
二、教学任务分析
教科书对于本部分的安排，是在学生充分经历了菱形的性质及判定的基础上进行设计的的，学生理解了菱形的概念，探索并证明了菱形的性质定理及判别方法，本节课是对菱形性质及判定的巩固，要求学生能利用性质定理及判定定理解决一些相关的问题。基于以上任务分析，本节课的三维目标定为：
1.知识与技能目标
能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法。
2.过程与方法目标
经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。
3.情感与态度目标
在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力。
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：知识应用；第三环节：拓展提高；第四环节：效果检测；第五环节：课堂小结；第六环节：因人作业。
第一环节：知识回顾
内容：同学们通过前两节课的学习我们已经知道了菱形的性质及判定，你能完成下面几个题目吗？
1.如图1所示：在菱形ABCD中，AB=6，请回答下列问题：
(1)其余三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？
(2)对角线AC与BD有什么位置关系？
(3)若∠ADC=120°，求AC的长。
2. 如图2所示：在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形：
添加方式1： .
添加方式2： .
目的：通过一些简单题目的设计，帮助学生回顾菱形的相关性质及判定方法，学生从题目入手，不会显得那么古板枯燥，不仅能回顾相关知识而且能激发学生学习兴趣。
效果：学生通过题目很好地回顾了相关知识，为后续的学习打下了基础。
第二环节：知识应用
1.典型例题：
例3 如图3，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm.求：(1)对角线AC的长度；
(2)菱形ABCD的面积.
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,即∠AED=90°，
DE=BD×10=5（cm）
∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
（2）S菱形ABCD= S△ABD+ S△CBD
=2×S△ABD=2××BD×AE
= BD×AE=10×12=120(cm2).
目的：通过例3让学生对菱形的相关性质进行灵活应用，同时学生对于具体的问题通过自主思考、小组交流、学生展讲、教师点拨后基本能形成比较好的解题思路。
效果：学生对于第一个问题的解决比较容易，但是学生的书写过程不规范；对于第二个问题，学生很容易求一边上的高，经过讨论交流点拨后学生能接受这种方法。在实际过程中教师应追问学生菱形的面积和对角线有什么关系，引起学生的思考，进而突破这一教学难点。
2.变式训练：如上图3，四边形ABCD是菱形，其中对角线BD长为12cm，AC长为16cm.求：
(1)菱形的边长；
(2)求菱形一条边上的高。
目的：变式训练的设计，是想让学生更加深入地掌握菱形的相关性质，同时对于第二问，学生必须灵活运用菱形的面积等于对角线乘积的一半，这一结论求出面积进而求出一边上的高。
效果：学生对于第一个问题解决比较顺畅，书写较例3规范多了，但对于第二问仍然有疑问，教学时注意引导。
3.方法启迪：
同学们在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么方法感悟或者经验？
目的：学生完成典型例题后及时总结经验是帮助学生形成解题思路的好办法，教师借助这一环节既帮助学生梳理了思路，同时对于学习还有困难的学生是一个好的学习机会。
效果：学生对解决菱形性质类题目有了自己的思路，同时在例题和变式训练中有问题的同学通过思路的梳理与解析，也基本能掌握解题的方法。
4.知者加速与补读帮困：
知者加速1：已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积是 cm2.
目的：对于数学学科的学习，大多数数学老师我想都有这样的感受，无论是新授课还是复习课，学生掌握知识的差异太大了，为了不让掌握较快的同学（我们称为“知者”）在陪读中浪费大量的时间，自然分材教学主张这部分同学能够先行一步，课堂上能尽可能多的掌握知识（我们称为“加速”）。
正是因为数学每一节课的知识点都比较集中，数学课堂上对于学困生的帮助才比较容易操作。教师在面向全体学生实施教学后，对掌握较慢接受能力较差的同学（我们称为“补读生”）应及时帮困。
效果：知者加速的操作主要是从熟练掌握知识点和拓宽学生知识面两个方面来进行的。“知者”学完新授知识以后，最主要的任务还是熟练掌握知识点，此时教师应可以通过典型例题的反复练习提高学生对于知识点熟练程度为后面的灵活运用打好基础。当“知者”已经掌握知识点以后，教师就应该及时通过变式训练或增加难度,拓宽学生的知识面，提高学习兴趣。
通过补读帮困让学习有困难的这部分同学能够在数学课上尽可能地掌握知识，以树立学习数学的信心。
第三环节：拓展提高
1.如图4，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？
2.如图5,你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使∠A成为菱形一个内角吗？
目的：很多学生在玩耍的时候经常玩纸条，学生非常熟悉这一背景，但是他们很少发现其中的数学知识，这样也能引起学生的兴趣，同时通过这一题目对于菱形的相关判定方法也进行了巩固。
效果：学生学习的兴致非常高，讨论积极，通过学生讨论、教师点拨后对问题基本理解。
第四环节：效果检测
1.如图6所示，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm，则
∠ABC= °，AC= cm.
2.如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是????????cm2．
3.已知，如图8，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，四边形EGFH是（ ）
A.矩形 B.菱形 C.等腰梯形 D.正方形
4. 已知：如图9，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE=BF，
求证：(1)△ADE≌CDF； (2) ∠DEF=∠DFE.
知者加速2：已知：如图10，在Rt△ABC=90°，∠BAC=60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D、E，点F在DE延长线上，且AF=CE,求证：四边形ACEF是菱形.
第五环节：课堂小结
内容：通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？请从以下三个方面进行总结：知识收获、方法收获、关注问题。总结完成后请小组内进行交流。最后教师应对本节课方法上，解题思路上进行升华点拨。
目的：学生能从以上三个方面对本节课进行总结、反思，能起到巩固所学知识，归纳学习方法，提高学生的归纳概括能力的作用。
效果：学生从以上三个方面进行了系统的总结与反思，同时通过小组交流畅所欲言，既回顾了知识又帮助了同学。
第六环节：因人作业
必做题：课本p27知识技能第3题，第4题，第8题；
选做题：如图11，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F．当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．
目的：教师根据学生掌握水平的不同把作业分为必做题和选做题，必做题是学生必须掌握的题目，对于巩固本节课的基础知识能起到较好的作用，选做题是对于学有余力的学生准备的，让他们在掌握基础的同时向更高的目标迈进。
四、教学设计反思：
1.重视课本提供资源，有效进行合理整合
新教材的编订都是相关专家经过深思熟虑才编写出来的，教师在使用教材时，一定要深入钻研教材的每一个题目、每一句话，不要轻易舍弃，同时也要重视学情，根据实际情况对教材进行合理搭配，比如在本节课中我对典型例题进行了变式训练，这其实是把课后题提前到这一位置，并通过有效追问把本节课学生不易掌握的菱形面积的求法不失时机地进行了夯实，起到了较好的效果。
2.让每一个学生都能有所收获
本节课是菱形的第三课时，学生的学习差异是非常大的，有些学生不用老师讲解本节课已经掌握差不多了，还有一些学生在前两节课的学习中就积累了很多的问题，本节课要提升就会出现很多的困难，如何解决这一难题呢？在实际教学中我注意了分层教学，设计中有两个环节来体现，一是针对优生的知者加速，一是针对学困生的补读帮困，两个环节的设置兼顾到了每一个层次的学生，让课堂效率进一步得到了提升。
3.规范答题，重视学生的反思过程
学生对于几何题的规范答题是在课堂上需要重点强调的，这也是培养学生严谨细致的数学素养的一个手段，同时在教学中应注意学生解题的反思过程，例如由例题及变式训练完成反思过程后，学生的思维得到了升华，同时对于同类题目的突破方式有了初步的框架，对于以后的学习是一个促进，本质上讲学习就是在学生不断反思中完成的。
课件14张PPT。第一章 特殊平行四边形第1节 菱形的性质与判定（三）
一、知识回顾1.如图所示：在菱形ABCD中，AB=6，
(1)三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？
(2)对角线AC与BD有什么位置关系？
(3)若∠ADC=120°，求AC的长。
☆回忆：菱形有哪些性质？答案：
(1)6
(2)垂直平分
(3)一、知识回顾2. 如图所示：在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形：
添加方式1： .
添加方式2： .☆回忆：菱形有哪些判定？一组邻边相等
AC⊥BD二、知识应用1.典型例题：
如图，四边形ABCD是边长为13cm
的菱形，其中对角线BD长为10cm.
求：(1)对角线AC的长度；
(2)菱形ABCD的面积.☆思路启迪：菱形的对角线有什么特点？二、知识应用1.典型例题(☆规范书写过程)
☆思考：菱形面积是如何求出的？二、知识应用2.变式训练
如图所示，四边形ABCD是菱形，
其中对角线BD=12cm，AC=16cm.
求：(1)菱形的边长；
(2)求菱形一条边上的高.答案:(1)10cm,(2)9.6cm☆思考：求菱形面积的方法有几种？☆知者加速1：已知菱形的周长为40，一条对角线长为16，则这个菱形的面积是 .二、知识应用3.方法启迪
(1)同学们在我们刚才完成的例题及
变式训练中你有什么方法感悟或
者经验？
(2)求菱形面积的方法有几种？
☆重大发现：菱形的面积等于其对角线乘积的一半.☆知者加速1答案：96.三、拓展提高1.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？解:首先,可判断出是平行四边形,因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形.再进一 步判断出是菱形.因为纸条等宽,即平行四边形相邻两边上的高相等,从而邻边相等,
邻边相等的平行四边形是菱形.
只有当两纸条互相垂直时,才是正方形.当然,它也属于菱形.三、拓展提高2.如图你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使∠A成为菱形一个内角吗？解：1.折出∠A的平分线AD，交BC于D; 2.把点A折到点D上，折痕EF，E在AB上，F在AC上，则四边形AEDF是菱形。证明：由第一次折叠知：∠1=∠2，
由第二次折叠知：
AE=DE，AF=DF，EF⊥AO，
∴∠AOE=∠AOF=90°，
又AO=AO，
∴ΔAOE≌ΔAOF，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，
∴四边形AEDF是菱形。四、效果检测1.如图所示，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm，则∠ABC= °，AC= cm.
2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是????????cm2．
12016四、效果检测3.已知，如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，四边形EGFH是（ ）
A.矩形 B.菱形 C.等腰梯形 D.正方形
4. 已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE=BF，
求证：(1)△ADE≌CDF；
(2) ∠DEF=∠DFE. B提示(1)SAS证明全等，(2)对应边相等四、效果检测
☆知者加速2：如图，在Rt△ABC=90°，
BAC=60°，BC的垂直平分线分别交BC
和AB于点D、E，点F在DE延长线上，
且AF=CE,求证：四边形ACEF是菱形.
五、课堂小结1.通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？
2.请从以下三个方面进行总结：
知识收获、方法收获、关注问题。
3.总结完成后请小组内进行交流。 六、因人作业1.必做题：课本p9知识技能第3题，第4题；
2.选做题：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC
E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F．当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．
