1.2 集合间的基本关系
学习目标 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集、真子集.2.在具体的情境中,了解空集的含义.3.能使用Venn图表达集合间的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用,提升数学抽象、直观想象的核心素养.
知识归纳
知识点一 子集
1.定义:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中 元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集.
2.符号表示: (或B A).读作“A B”(或“B包含A”).
3.Venn图表示:
4.性质:(1)任何一个集合是它本身的子集,即 .
(2)对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么 .
(1)“集合A为集合B的子集”的含义:由任意x∈A,能推出x∈B,同时集合B中可以有不是集合A的元素.
(2)在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.这里注意“内部”这个条件,就是说曲线上的点是不表示集合的元素的.
知识点二 集合相等
1.定义:一般地,如果集合A的 元素都是集合B的元素,同时集合B的 元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等.
2.符号表示:若A B,且B A,则 .
3.Venn图表示:
4.性质:对于集合A,B,C,如果A=B,且B=C,那么A=C.
集合A与集合B相等,就是集合A与集合B中的元素完全一致.“A=B”可类比实数中的结论“若a≤b,且b≤a,则a=b”,即“若A B,且B A,则A=B”,反之亦成立.
知识点三 真子集
1.定义:如果集合A B,但存在元素x∈B,且 ,就称集合A是集合B的真子集.
2.符号表示: (或BA),读作“A B”(或“B真包含A”).
3.Venn图表示:
4.性质:对于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC.
熟记常用数集关系:N*NZQR.
知识点四 空集
1.定义:一般地,我们把 的集合叫做空集.
2.符号表示: .
3.规定:空集是任何集合的 ,是任何非空集合的真子集.
{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素0;表示空集,不含有任何元素;{}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P9习题1.2 T2改编)设集合A={菱形}, B={平行四边形}, C={四边形}, D={正方形},则这些集合的关系是( )
[A]DABC [B]CBAD
[C]DACB [D]ADBC
2.下列四组集合中集合相等的是( )
[A]M={(3,2)},N={(2,3)}
[B]M={4,5},N={5,4}
[C]M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
[D]M={1,2},N={(1,2)}
3.下列四个集合中是空集的是( )
[A]{}
[B]{x∈R|x2+1=0}
[C]{x|1[D]{x|x2+2x+1=0}
4.已知集合M={1,2,3},N={a,b},若N M,则a+b不可能等于( )
[A]2 [B]3 [C]4 [D]5
题型一 子集与真子集的概念
[例1] (湘教版必修第一册P7例6)设S={R,B,G}是计算机作图的三种基本色——红、蓝、绿组成的集合,写出S的所有子集.
写一个集合的子集时,可按子集中元素的个数多少分类写出,注意要做到不重不漏.特别注意两个特殊的子集:(不取任何元素)和其本身(把所有元素都取出来).
[变式训练] 求集合A={x|x2-x-2=0}的子集和真子集.
题型二 集合间关系的判断
[例2] 指出下列各对集合之间的包含关系:
(1)A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n+1,n∈N*};
(2)A={x|0(3)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(4)A={x|x是正三角形},B={x|x是等腰三角形}.
判断集合间关系的常用方法
[变式训练] 已知集合M={x|x=2m+,m∈Z},N={x|x=n-,n∈Z},P={x|x=p+,p∈Z},则M,N,P之间的关系为( )
[A]M=NP [B]MN=P
[C]MNP [D]NPM
题型三 由集合间的关系求参数范围
[例3] 已知集合A={x|-1(1)若A B,求m的取值范围;
(2)若BA,求m的取值范围.
(1)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值.
(2)要注意“空集”的情况,空集是任何集合的子集.
[变式训练] 已知集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.
(1)若A B,求a的值;
(2)若BA,求a的取值范围.
培优拓展 子集个数问题
[典例] 填写下表,并回答问题:
集合 集合的子集 子集的个数
{a}
{a,b}
{a,b,c}
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少 真子集的个数及非空真子集的个数呢
[跟踪训练] 已知集合A,B,C满足A B C,A中有2个元素,C中有6个元素,则满足条件的集合B的个数为( )
[A]4 [B]16 [C]38 [D]601.2 集合间的基本关系
学习目标 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集、真子集.2.在具体的情境中,了解空集的含义.3.能使用Venn图表达集合间的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用,提升数学抽象、直观想象的核心素养.
知识归纳
知识点一 子集
1.定义:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集.
2.符号表示:A B(或B A).读作“A包含于B”(或“B包含A”).
3.Venn图表示:
4.性质:(1)任何一个集合是它本身的子集,即A A.
(2)对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A C.
(1)“集合A为集合B的子集”的含义:由任意x∈A,能推出x∈B,同时集合B中可以有不是集合A的元素.
(2)在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.这里注意“内部”这个条件,就是说曲线上的点是不表示集合的元素的.
知识点二 集合相等
1.定义:一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等.
2.符号表示:若A B,且B A,则A=B.
3.Venn图表示:
4.性质:对于集合A,B,C,如果A=B,且B=C,那么A=C.
集合A与集合B相等,就是集合A与集合B中的元素完全一致.“A=B”可类比实数中的结论“若a≤b,且b≤a,则a=b”,即“若A B,且B A,则A=B”,反之亦成立.
知识点三 真子集
1.定义:如果集合A B,但存在元素x∈B,且x A,就称集合A是集合B的真子集.
2.符号表示:A B(或BA),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”).
3.Venn图表示:
4.性质:对于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC.
熟记常用数集关系:N*NZQR.
知识点四 空集
1.定义:一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集.
2.符号表示: .
3.规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素0;表示空集,不含有任何元素;{}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P9习题1.2 T2改编)设集合A={菱形}, B={平行四边形}, C={四边形}, D={正方形},则这些集合的关系是( )
[A]DABC [B]CBAD
[C]DACB [D]ADBC
【答案】 A
【解析】 根据正方形、菱形、平行四边形的定义,可知DABC.故选A.
2.下列四组集合中集合相等的是( )
[A]M={(3,2)},N={(2,3)}
[B]M={4,5},N={5,4}
[C]M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
[D]M={1,2},N={(1,2)}
【答案】 B
【解析】 对于A选项,M≠N;对于B选项,M=N;对于C选项,M为点集,N为数集,则M≠N;对于D选项,M为数集,N为点集,则M≠N.故选B.
3.下列四个集合中是空集的是( )
[A]{}
[B]{x∈R|x2+1=0}
[C]{x|1[D]{x|x2+2x+1=0}
【答案】 B
【解析】 对于A,集合{}中有一个元素,故不是空集;对于B,方程x2+1=0无实数解,所以集合{x∈R|x2+1=0}为空集;对于C,{x|14.已知集合M={1,2,3},N={a,b},若N M,则a+b不可能等于( )
[A]2 [B]3 [C]4 [D]5
【答案】 A
【解析】 因为N M,所以N的所有可能情况为{1,2},{1,3},{2,3},所以a+b不可能等于2.故选A.
题型一 子集与真子集的概念
[例1] (湘教版必修第一册P7例6)设S={R,B,G}是计算机作图的三种基本色——红、蓝、绿组成的集合,写出S的所有子集.
【解】 (1)因为空集是所有集合的子集,所以首先写出;
(2)写出所有由一个元素构成的子集:{R},{B},{G};
(3)写出所有由两个元素构成的子集:{R,B},{R,G},{B,G};
(4)写出所有由三个元素构成的子集:{R,B,G}.
故S的子集共有8个,分别为:,{R},{B},{G},{R,B},{R,G},{B,G},{R,B,G}.
写一个集合的子集时,可按子集中元素的个数多少分类写出,注意要做到不重不漏.特别注意两个特殊的子集:(不取任何元素)和其本身(把所有元素都取出来).
[变式训练] 求集合A={x|x2-x-2=0}的子集和真子集.
【解】 集合A={x|x2-x-2=0}={-1,2},
集合A={-1,2}的子集是,{-1},{2},{-1,2},共4个;
集合A={-1,2}的真子集是,{-1},{2},共 3个.
题型二 集合间关系的判断
[例2] 指出下列各对集合之间的包含关系:
(1)A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n+1,n∈N*};
(2)A={x|0(3)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(4)A={x|x是正三角形},B={x|x是等腰三角形}.
【解】 (1)A={1,3,5,7, …},B={3,5,7, …},故B A.
(2)用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A B.
(3)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.
(4)正三角形即为等边三角形,是三条边都相等的三角形,等腰三角形是有两条边相等的三角形,故A B.
判断集合间关系的常用方法
[变式训练] 已知集合M={x|x=2m+,m∈Z},N={x|x=n-,n∈Z},P={x|x=p+,p∈Z},则M,N,P之间的关系为( )
[A]M=NP [B]MN=P
[C]MNP [D]NPM
【答案】 B
【解析】 由N={x|x=n-,n∈Z}={x|x=(n-1)+,n∈Z},又M={x|x=2m+,m∈Z},P={x|x=p+,p∈Z},而2m为偶数,n-1和p为整数,所以MN=P.故选B.
题型三 由集合间的关系求参数范围
[例3] 已知集合A={x|-1(1)若A B,求m的取值范围;
(2)若BA,求m的取值范围.
【解】 (1)若A B,如图所示,
则解得m≤1,所以m的取值范围为{m|m≤1}.
(2)当B=时,2m-5≥-m+3,解得m≥,此时BA;当B≠时,如图所示,
则(等号不同时成立),解得2≤m<.综上,m的取值范围为{m|m≥2}.
(1)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值.
(2)要注意“空集”的情况,空集是任何集合的子集.
[变式训练] 已知集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.
(1)若A B,求a的值;
(2)若BA,求a的取值范围.
【解】 (1)由题意知集合B中最多有两个元素,而A={-4,0},A B,则B={-4,0},
由根与系数的关系,
得解得a=1.
(2)由题意,若B=,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8<0,解得a<-1;
若B≠,则B为单元素集合,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8=0,解得a=-1,此时B={0},符合题意.
综上,a的取值范围是{a|a≤-1}.
培优拓展 子集个数问题
[典例] 填写下表,并回答问题:
集合 集合的子集 子集的个数
{a}
{a,b}
{a,b,c}
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少 真子集的个数及非空真子集的个数呢
【解】
集合 集合的子集 子集的个数
1
{a} ,{a} 2
{a,b} ,{a},{b},{a,b} 4
{a,b,c} ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 8
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.
[跟踪训练] 已知集合A,B,C满足A B C,A中有2个元素,C中有6个元素,则满足条件的集合B的个数为( )
[A]4 [B]16 [C]38 [D]60
【答案】 B
【解析】 设集合C中去掉集合A中的2个元素,剩下的4个元素构成集合D,集合B中去掉集合A中的2个元素构成集合E,则原题等价于满足 E D的集合E的个数,即集合D的子集个数,有24=16(个).所以满足条件的集合B有16个.故选B.
