1.3 集合的基本运算
第1课时 并集和交集
学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集,提升数学运算的核心素养.2.能使用Venn图或数轴表达集合的并集与交集的运算,提升直观想象的核心素养.
知识归纳
知识点一 并集
1.定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的
并集.
2.符号表示:A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3.图形表示:
(1)A∪B仍是一个集合.
(2)并集符号语言中的“或”包含三种情况:①x∈A同时x B;②x∈A同时x∈B;③x A同时x∈B.
(3)对概念中“所有”的理解要同时注意集合元素的互异性.
知识点二 交集
1.定义:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的
交集.
2.符号表示:A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
3.图形表示:
(1)A∩B仍是一个集合.
(2)定义中“所有”的解释:A∩B中任一元素都是A与B的公共元素,A与B的公共元素都属于A∩B.
(3)如果两个集合没有公共元素,不能说两个集合没有交集,而是A∩B= .
知识点三 并集、交集的运算性质
并集的运算性质 交集的运算性质
A∪B=B∪A A∩B=B∩A
A∪A=A A∩A=A
A∪ =A A∩ =
A B A∪B=B A B A∩B=A
基础自测
1.(人教A版必修第一册P12练习T1改编)若集合M={0,2,4},N={-1,0,2,3},则M∪N=( )
[A]{0,2} [B]{-1,2,3}
[C]{-1,0,2,4} [D]{-1,0,2,3,4}
【答案】 D
【解析】 M∪N={-1,0,2,3,4}.故选D.
2.已知集合A={x|-2≤x<0},B={-2,-1,0,1},则A∩B等于( )
[A]{-2,-1,0,1} [B]{-1,0,1}
[C]{-2,-1} [D]{-2,-1,0}
【答案】 C
【解析】 B中元素满足-2≤x<0的只有-2,-1,所以A∩B={-2,-1}.故选C.
3.已知集合A={x|-2[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【答案】 B
【解析】 由题意可得2a-1=3,且2a+6≥5,解得a=2.故选B.
4.已知集合A={a,a2},B={1,4},若1∈A,则 A∪B中所有元素之和为( )
[A]2 [B]3
[C]4 [D]5
【答案】 C
【解析】 由1∈A得a=1或a2=1,解得a=1或a=-1.
若a=1,则a2=1,不符合题意;
若a=-1,则A={-1,1},则A∪B={-1,1,4},所以A∪B中所有元素之和为4.故选C.
题型一 并集的运算
[例1] 已知集合A={x|1≤x-1<3},B={x|3x-7≥8-2x},则A∪B等于( )
[A]{x|2≤x≤3} [B]{x|3≤x<4}
[C]{x|x≥2} [D]{x|x>4}
【答案】 C
【解析】 由题意,A={x|2≤x<4},B={x|x≥3},由数轴可得A∪B={x|x≥2}.故选C.
求集合的并集的方法
(1)若集合中元素个数有限,求并集时多根据并集的定义求解.
(2)若集合是无限连续的数集,可利用数轴分析法求解,注意端点应为实心点还是空心点.
(3)求集合的并集时,若集合不是最简形式,需要先化简集合.
[变式训练] 已知集合M={-1,0,1},N={x∈R|x(x-2)=0},则M∪N=( )
[A]{0} [B]{-1,1}
[C]{0,1,2} [D]{-1,0,1,2}
【答案】 D
【解析】 N={x∈R|x(x-2)=0}={0,2},又 M={-1,0,1},故M∪N={-1,0,1,2}.故选D.
题型二 交集的运算
[例2] (北师大版必修第一册P8例5)求下列每一组中两个集合的交集:
(1)A={x|x是不大于10的正奇数},B={x|x是12的正因数};
(2)C={x|x是等腰三角形},D={x|x是直角三角形}.
【解】 (1)因为A={x|x是不大于10的正奇数}={1,3,5,7,9},B={x|x是12的正因数}={1,2,3,4,6,12},
所以A∩B={1,3,5,7,9}∩{1,2,3,4,6,12}={1,3}.
(2)依题意知C∩D={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}={x|x是等腰直角三角形}.
[典例迁移1] 若集合A={x|-5[A]{x|-3[B]{x|-5[C]{x|-3[D]{x|-5【答案】 A
【解析】 在数轴上将集合A,B表示出来,如图所示,由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分,即A∩B={x|-3[典例迁移2] 已知集合A={(x,y)|x2+y2=2},B={(x,y)|x+y=2},则A∩B=( )
[A]{1,1} [B]{(1,1)}
[C]{x=1,y=1} [D]
【答案】 B
【解析】 根据题意知将y=2-x代入x2+y2=2,可得x2-2x+1=0,则x=1,y=2-x=1,所以则A∩B={(1,1)}.故选B.
(1)集合交集的运算类似于并集的运算,其方法为定义法和数形结合法.
(2)求一元一次不等式组的解集,相当于求集合的交集,熟练之后可以不利用数轴,直接使用记忆口诀“同大取大,同小取小”.
(3)二元一次不等式组的解集中的元素为有序实数对.
题型三 由集合的交、并运算求参数
[例3] 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|3m-5≤x≤2m+7},C={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)若A∩B=A,求实数m的取值范围;
(2)若A∪C=A,求实数m的取值范围;
(3)若A∩C= ,求实数m的取值范围.
【解】 (1)若A∩B=A,则A B,有解得-1≤m≤1.
所以实数m的取值范围为{m|-1≤m≤1}.
(2)若A∪C=A,则C A,当C= 时,有m+1>2m-1,解得m<2,符合题意;
当C≠ 时,有-2≤m+1≤2m-1≤5,解得2≤m≤3.
综上,实数m的取值范围为{m|m≤3}.
(3)当m+1>2m-1,即m<2时,C= ,符合题意;当C≠ 时,有54.综上,实数m的取值范围为{m|m<2或m>4}.
(1)若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;含参数的连续数集的交集、并集运算,应借助数轴的直观性求解,让有关参数在数轴上运动起来.有三个注意点:一是注意把集合的运算转化为包含关系,二是注意讨论空集,三是注意参数端点值的取舍(等号问题单独看).
(2)首先将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组),然后解方程(组)或不等式(组),从而确定参数的值或取值范围.
[变式训练] 已知集合A={x|x≤-1或x≥3},B={x|a(1)若A∪B=R,求实数a的取值范围;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
【解】 (1)利用数轴,若A∪B=R,则a≤-1,即实数a的取值范围为{a|a≤-1}.
(2)由A∪B=A,得B A,当B= 时,有a≥4,满足题意;当B≠ 时,有即3≤a<4.
综上,实数a的取值范围为{a|a≥3}.1.3 集合的基本运算
第1课时 并集和交集
学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集,提升数学运算的核心素养.2.能使用Venn图或数轴表达集合的并集与交集的运算,提升直观想象的核心素养.
知识归纳
知识点一 并集
1.定义:一般地,由所有 的元素组成的集合,称为集合A与B的
并集.
2.符号表示: ={x|x∈A,或x∈B}.
3.图形表示:
(1)A∪B仍是一个集合.
(2)并集符号语言中的“或”包含三种情况:①x∈A同时x B;②x∈A同时x∈B;③x A同时x∈B.
(3)对概念中“所有”的理解要同时注意集合元素的互异性.
知识点二 交集
1.定义:一般地,由所有 的元素组成的集合,称为集合A与B的
交集.
2.符号表示: ={x|x∈A,且x∈B}.
3.图形表示:
(1)A∩B仍是一个集合.
(2)定义中“所有”的解释:A∩B中任一元素都是A与B的公共元素,A与B的公共元素都属于A∩B.
(3)如果两个集合没有公共元素,不能说两个集合没有交集,而是A∩B= .
知识点三 并集、交集的运算性质
并集的运算性质 交集的运算性质
A∪B=B∪A A∩B=B∩A
A∪A= A∩A=
A∪ = A∩ =
A B A∪B=B A B A∩B=A
基础自测
1.(人教A版必修第一册P12练习T1改编)若集合M={0,2,4},N={-1,0,2,3},则M∪N=( )
[A]{0,2} [B]{-1,2,3}
[C]{-1,0,2,4} [D]{-1,0,2,3,4}
2.已知集合A={x|-2≤x<0},B={-2,-1,0,1},则A∩B等于( )
[A]{-2,-1,0,1} [B]{-1,0,1}
[C]{-2,-1} [D]{-2,-1,0}
3.已知集合A={x|-2[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
4.已知集合A={a,a2},B={1,4},若1∈A,则 A∪B中所有元素之和为( )
[A]2 [B]3
[C]4 [D]5
题型一 并集的运算
[例1] 已知集合A={x|1≤x-1<3},B={x|3x-7≥8-2x},则A∪B等于( )
[A]{x|2≤x≤3} [B]{x|3≤x<4}
[C]{x|x≥2} [D]{x|x>4}
求集合的并集的方法
(1)若集合中元素个数有限,求并集时多根据并集的定义求解.
(2)若集合是无限连续的数集,可利用数轴分析法求解,注意端点应为实心点还是空心点.
(3)求集合的并集时,若集合不是最简形式,需要先化简集合.
[变式训练] 已知集合M={-1,0,1},N={x∈R|x(x-2)=0},则M∪N=( )
[A]{0} [B]{-1,1}
[C]{0,1,2} [D]{-1,0,1,2}
题型二 交集的运算
[例2] (北师大版必修第一册P8例5)求下列每一组中两个集合的交集:
(1)A={x|x是不大于10的正奇数},B={x|x是12的正因数};
(2)C={x|x是等腰三角形},D={x|x是直角三角形}.
[典例迁移1] 若集合A={x|-5[A]{x|-3[B]{x|-5[C]{x|-3[D]{x|-5[典例迁移2] 已知集合A={(x,y)|x2+y2=2},B={(x,y)|x+y=2},则A∩B=( )
[A]{1,1} [B]{(1,1)}
[C]{x=1,y=1} [D]
(1)集合交集的运算类似于并集的运算,其方法为定义法和数形结合法.
(2)求一元一次不等式组的解集,相当于求集合的交集,熟练之后可以不利用数轴,直接使用记忆口诀“同大取大,同小取小”.
(3)二元一次不等式组的解集中的元素为有序实数对.
题型三 由集合的交、并运算求参数
[例3] 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|3m-5≤x≤2m+7},C={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)若A∩B=A,求实数m的取值范围;
(2)若A∪C=A,求实数m的取值范围;
(3)若A∩C= ,求实数m的取值范围.
(1)若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;含参数的连续数集的交集、并集运算,应借助数轴的直观性求解,让有关参数在数轴上运动起来.有三个注意点:一是注意把集合的运算转化为包含关系,二是注意讨论空集,三是注意参数端点值的取舍(等号问题单独看).
(2)首先将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组),然后解方程(组)或不等式(组),从而确定参数的值或取值范围.
[变式训练] 已知集合A={x|x≤-1或x≥3},B={x|a(1)若A∪B=R,求实数a的取值范围;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.第2课时 补 集
学习目标 1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定的集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.3.能使用Venn图或数轴表达集合的关系和运算,提升直观想象的核心素养.
知识归纳
知识点一 全集
1.定义:一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为
全集.
2.记法:全集通常记作 U.
“全集”是一个相对的概念,并不是固定不变的,它是依据具体的问题加以选择的.
知识点二 补集
1.定义:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集.
2.符号表示: UA={x|x∈U,且x A}.
3.图形表示:
(1)补集是集合之间的一种运算关系,求集合A相对于全集U的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也不同,因此它们是相互依存、不可分割的两个概念.
(2) UA包含三层含义:①A U;② UA是一个集合,且 UA U;③ UA是U中不属于A的所有元素构成的集合.
知识点三 补集的运算性质
性质 说明
( UA)∪A=U 任何集合与其补集的并集为全集
( UA)∩A= 任何集合与其补集的交集为空集
U( UA)=A 任何集合补集的补集为集合本身
UU= , U =U 全集的补集为空集, 空集的补集为全集
用实数集R和有理数集Q及补集符号 表示无理数集为 RQ.
基础自测
1.已知全集U={x∈N|x≤6},集合A={1,3,4},则 UA=( )
[A]{2,3,6} [B]{0,5,6}
[C]{0,2,5,6} [D]{2,5,6}
【答案】 C
【解析】 U={x∈N |x≤6}={0,1,2,3,4,5,6},则 UA={0,2,5,6}.故选C.
2.(人教A版必修第一册P13练习T2改编)已知集合A={x|x是菱形或矩形},B={x|x是矩形},则 AB等于( )
[A]{x|x是菱形}
[B]{x|x是内角都不是直角的菱形}
[C]{x|x是正方形}
[D]{x|x是邻边都不相等的矩形}
【答案】 B
【解析】 根据菱形与矩形的定义, AB={x|x是内角都不是直角的菱形}.故选B.
3.设全集U={1,2,3,5,7},集合A={1,a-2,7}, UA={3,5},则a的值是( )
[A]4 [B]5 [C]7 [D]9
【答案】 A
【解析】 由U={1,2,3,5,7}以及 UA={3,5}可得A={1,2,7},即A={1,2,7}={1,a-2,7},所以a-2=2,解得a=4.故选A.
4.已知全集U={x|-1[A]0∈A [B]1 A
[C]2∈A [D]3 A
【答案】 B
【解析】 由U={x|-1题型一 补集的运算
[例1] 若集合A={x|-1≤x<1},当U={x|x≤2}时, UA= ;当U={x|-4≤x≤1}时, UA= .
【答案】 {x|x<-1或1≤x≤2} {x|-4≤x<-1或x=1}
【解析】 当U={x|x≤2}时,把集合U和A表示在数轴上,如图所示,
由图知 UA={x|x<-1或1≤x≤2}.
当U={x|-4≤x≤1}时,把集合U和A表示在数轴上,如图所示,
由图知 UA={x|-4≤x<-1或x=1}.
求集合的补集的方法
(1)定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解.
(2)Venn图法:借助Venn图可直观求解.
(3)数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点值是否能取到.
[变式训练] 已知全集为U,集合A={1,3,5,7}, UA={2,4,6}, UB={1,4,6},则集合B= .
【答案】 {2,3,5,7}
【解析】 法一(定义法) 因为A={1,3,5,7}, UA={2,4,6},所以U={1,2,3,4,5,6,7}.
又 UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}.
法二(Venn图法) 满足题意的Venn图如图所示,由图可知B={2,3,5,7}.
题型二 集合交、并、补的综合运算
[例2] (北师大版必修第一册P10例8)设全集U=R,A={x|x<5},B={x|x>3},求:
(1) R(A∩B);
(2) R(A∪B);
(3)( RA)∩( RB);
(4)( RA)∪( RB).
【解】 (1)在数轴上表示出集合A,B,如图(1),则A∩B={x|x<5}∩{x|x>3}={x|3所以 R(A∩B)={x|x≤3或x≥5}.
图(1)
(2)由图(1)可知A∪B={x|x<5}∪{x|x>3}=R,所以 R(A∪B)= .
(3)在数轴上表示出集合 RA, RB,如图(2),即 RA={x|x≥5}, RB={x|x≤3},
所以( RA)∩( RB)={x|x≥5}∩{x|x≤3}= .
图(2)
(4)由图(2)可知( RA)∪( RB)={x|x≥5}∪{x|x≤3}={x|x≤3或x≥5}.
集合交、并、补的综合运算的方法
[变式训练] 已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7,8},求A∩B,A∪B,( UA)∩( UB),
A∩( UB),( UA)∪B.
【解】 法一(直接法) 由已知易求得A∩B={4},A∪B={3,4,5,7,8}, UA={1,2,6,7,8}, UB={1,2,3,5,6},
所以( UA)∩( UB)={1,2,6},A∩( UB)={3,5},( UA)∪B={1,2,4,6,7,8}.
法二(Venn图法) 画出Venn图,如图所示,
可得A∩B={4},A∪B={3,4,5,7,8},( UA)∩( UB)={1,2,6},
A∩( UB)={3,5},( UA)∪B={1,2,4,6,7,8}.
题型三 由补集求解参数
[例3] 设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2【解】 法一(直接法) 由A={x|x+m≥0}={x|x≥-m},得 UA={x|x<-m}.
因为B={x|-2所以-m≤-2,即m≥2.所以实数m的取值范围是{m|m≥2}.
法二(集合间的关系) 由( UA)∩B= ,可知B A,又B={x|-2结合数轴得-m≤-2,即m≥2.所以实数m的取值范围是{m|m≥2}.
[典例迁移1] 已知全集U={|a-1|,(a-2)(a-1),4,6}.
(1)若 U( UB)={0,1},求实数a的值;
(2)若 UA={3,4},求实数a的值.
【解】 (1)因为 U( UB)={0,1},所以B={0,1},因为B U,
所以或
解得a=2.
(2)因为 UA={3,4}, UA U,所以3∈U且4∈U,所以|a-1|=3或(a-2)(a-1)=3,
解得a=-2或a=4或a=,
当a=4时,U={3,6,4,6},不符合集合中元素的互异性,所以a=-2或a=.
[典例迁移2] 设全集为R,集合A={x|a≤x≤a+3}, RB={x|-1≤x≤5}.
(1)若A∩B≠ ,求a的取值范围;
(2)若A∩B≠A,求a的取值范围.
【解】 因为全集为R, RB={x|-1≤x≤5},所以B={x|x<-1或x>5}.
(1)假设A∩B= ,则所以-1≤a≤2.
所以当A∩B≠ 时,a的取值范围是{a|a<-1或a>2}.
(2)假设A∩B=A,则A B,结合数轴得a+3<-1或a>5,即a<-4或a>5.
所以当A∩B≠A时,a的取值范围是{a|-4≤a≤5}.
由集合的补集求解参数的方法
(1)由补集的有关运算求参数问题, 可以先求出补集,然后结合交集、并集的运算求解,也可以结合补集的意义转化为元素与集合的关系或集合的包含关系,连续数集一般利用数轴求解.
(2)求解数学问题时,若从问题的正面不易求解,可考虑问题的反面,也就是“正难则反”的策略.这种策略运用的是补集思想,其一般思路是:设全集为U,求其子集A,若直接求A较为困难,可先求 UA,再由 U( UA)=A求A.第2课时 补 集
学习目标 1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定的集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.3.能使用Venn图或数轴表达集合的关系和运算,提升直观想象的核心素养.
知识归纳
知识点一 全集
1.定义:一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的 ,那么就称这个集合为
全集.
2.记法:全集通常记作 .
“全集”是一个相对的概念,并不是固定不变的,它是依据具体的问题加以选择的.
知识点二 补集
1.定义:对于一个集合A,由全集U中 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集.
2.符号表示: ={x|x∈U,且x A}.
3.图形表示:
(1)补集是集合之间的一种运算关系,求集合A相对于全集U的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也不同,因此它们是相互依存、不可分割的两个概念.
(2) UA包含三层含义:①A U;② UA是一个集合,且 UA U;③ UA是U中不属于A的所有元素构成的集合.
知识点三 补集的运算性质
性质 说明
( UA)∪A=U 任何集合与其补集的并集为全集
( UA)∩A= 任何集合与其补集的交集为空集
U( UA)=A 任何集合补集的补集为集合本身
UU= , U =U 全集的补集为空集, 空集的补集为全集
用实数集R和有理数集Q及补集符号 表示无理数集为 RQ.
基础自测
1.已知全集U={x∈N|x≤6},集合A={1,3,4},则 UA=( )
[A]{2,3,6} [B]{0,5,6}
[C]{0,2,5,6} [D]{2,5,6}
2.(人教A版必修第一册P13练习T2改编)已知集合A={x|x是菱形或矩形},B={x|x是矩形},则 AB等于( )
[A]{x|x是菱形}
[B]{x|x是内角都不是直角的菱形}
[C]{x|x是正方形}
[D]{x|x是邻边都不相等的矩形}
3.设全集U={1,2,3,5,7},集合A={1,a-2,7}, UA={3,5},则a的值是( )
[A]4 [B]5 [C]7 [D]9
4.已知全集U={x|-1[A]0∈A [B]1 A
[C]2∈A [D]3 A
题型一 补集的运算
[例1] 若集合A={x|-1≤x<1},当U={x|x≤2}时, UA= ;当U={x|-4≤x≤1}时, UA= .
求集合的补集的方法
(1)定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解.
(2)Venn图法:借助Venn图可直观求解.
(3)数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点值是否能取到.
[变式训练] 已知全集为U,集合A={1,3,5,7}, UA={2,4,6}, UB={1,4,6},则集合B= .
题型二 集合交、并、补的综合运算
[例2] (北师大版必修第一册P10例8)设全集U=R,A={x|x<5},B={x|x>3},求:
(1) R(A∩B);
(2) R(A∪B);
(3)( RA)∩( RB);
(4)( RA)∪( RB).
集合交、并、补的综合运算的方法
[变式训练] 已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7,8},求A∩B,A∪B,( UA)∩( UB),
A∩( UB),( UA)∪B.
题型三 由补集求解参数
[例3] 设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2[典例迁移1] 已知全集U={|a-1|,(a-2)(a-1),4,6}.
(1)若 U( UB)={0,1},求实数a的值;
(2)若 UA={3,4},求实数a的值.
[典例迁移2] 设全集为R,集合A={x|a≤x≤a+3}, RB={x|-1≤x≤5}.
(1)若A∩B≠ ,求a的取值范围;
(2)若A∩B≠A,求a的取值范围.
由集合的补集求解参数的方法
(1)由补集的有关运算求参数问题, 可以先求出补集,然后结合交集、并集的运算求解,也可以结合补集的意义转化为元素与集合的关系或集合的包含关系,连续数集一般利用数轴求解.
(2)求解数学问题时,若从问题的正面不易求解,可考虑问题的反面,也就是“正难则反”的策略.这种策略运用的是补集思想,其一般思路是:设全集为U,求其子集A,若直接求A较为困难,可先求 UA,再由 U( UA)=A求A.
