1.4.1 充分条件与必要条件
学习目标 1.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件、必要条件的意义,了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系,提升数学抽象、逻辑思维的核心素养.2.能利用充分性、必要性解决简单的数学问题,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
知识归纳
知识点 充分条件与必要条件
项目 “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题
推出关系 p q pq
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件
(1)p q,有方向,条件在前,结论在后.
(2)若p q,则p是q的充分条件,或q是p的必要条件,或q的充分条件是p,或p的必要条件是q.
(3)充分、必要条件不唯一.
基础自测
1.下列式子中,不是x≤2的充分条件的是( )
[A]x<1 [B]x<3
[C]-1
【答案】 B
【解析】 A,C,D选项中的条件都可以推出x≤2,都是x≤2的充分条件,对于B项,取x=2.5,满足x<3,但是不满足x≤2,即x<3x≤2,即x<3不是x≤2的充分条件.故选B.
2.使x>1成立的一个必要条件是( )
[A]x>0 [B]x>3
[C]x>2 [D]x<2
【答案】 A
【解析】 只有x>1 x>0,其他选项均不可由x>1推出.故选A.
3.(人教A版必修第一册P23习题1.4 T4改编)已知A B,则“x∈B”是“x∈A”的 (填“充分”或“必要”)条件.
【答案】 必要
【解析】 因为A B,所以由x∈B不能推出x∈A,充分性不成立.反之,若x∈A,则x∈B.
故“x∈B”是“x∈A”的必要条件.
4.若“x=2”是“x【答案】 {a|a>2}
【解析】 若“x=2”是“x2.
题型一 充分条件的判断
[例1] (苏教版必修第一册P31例1)下列所给的各组p,q中,p是q的充分条件的有哪些
(1)p:x=2,q:x2-x-2=0;
(2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是正方形;
(3)p:同位角相等,q:两条直线平行;
(4)p:四边形是平行四边形;q:四边形的对角线互相平分.
【解】 (1)因为p q,所以p是q的充分条件.
(2)因为pq,所以p不是q的充分条件.
(3)因为p q,所以p是q的充分条件.
(4)因为p q,所以p是q的充分条件.
p是q的充分条件的判断方法
(1)确定谁是条件,谁是结论:p是q的充分条件中,p是条件,q是结论.
(2)尝试从条件p推出结论q:若条件p能推出结论q,则p是q的充分条件,否则p就不是q的充分条件.
[变式训练] 指出下列命题中,p是不是q的充分条件.
(1)p:x为自然数,q:x为整数;
(2)p:a(3)p:a2+b2=0,q:a+b=0.
【解】 (1)若x为自然数,则x一定为整数,即p q,故p是q的充分条件.
(2)当a=-2,b=-1时,-2<-1,推不出<1,即pq,所以p不是q的充分条件.
(3)a2+b2=0 a=b=0 a+b=0,即p q,所以p是q的充分条件.
题型二 必要条件的判断
[例2] (苏教版必修第一册P31例2)下列所给的各组p,q中,p是q的必要条件的有哪些
(1)p:|x|=1,q:x=1;
(2)p:两个直角三角形全等,q:两个直角三角形的斜边相等;
(3)p:同位角相等,q:两条直线平行;
(4)p:四边形是平行四边形,q:四边形的对角线互相平分.
【解】 (1)因为q p,所以p是q的必要条件.
(2)因为qp,所以p不是q的必要条件.
(3)因为q p,所以p是q的必要条件.
(4)因为q p,所以p是q的必要条件.
p是q的必要条件的判断方法
(1)把p是q的必要条件转化为q是p的充分条件,这里q是条件,p是结论.
(2)若q是p的充分条件,则p是q的必要条件,若q不是p的充分条件,则p不是q的必要条件.
[变式训练] 下列“若p,则q”形式的命题中,p是不是q的充分条件 p是不是q的必要条件
(1)在△ABC中,p:∠B>∠C,q:AC>AB;
(2)已知x∈R,p:x=1,q:(x-1)(x-2)=0;
(3)已知x∈R,p:x>1,q:x>2;
(4)p: △ABC是等腰三角形,q:△ABC是直角三角形.
【解】 (1)因为p q,且q p,所以p是q的充分条件,p也是q的必要条件.
(2)因为p q,且qp,所以p是q的充分条件,p不是q的必要条件.
(3)因为pq,且q p,所以p不是q的充分条件,p是q的必要条件.
(4)因为pq,且qp,所以p不是q的充分条件,p不是q的必要条件.
题型三 由充分(必要)条件求参数
[例3] 已知集合A={x|2a≤x≤a+1},B={x||x-1|≤2},若“x∈A”是“x∈B”成立的充分条件,求实数a的取值范围.
【解】 A={x|2a≤x≤a+1},B={x|-1≤x≤3},由题意得A B.
若A=,则a+1<2a,解得a>1,满足 A B;
若A≠,则解得-≤a≤1.
综上,实数a的取值范围为{a|a≥-}.
此类题一般转化为集合的关系求解,设满足条件p, q的元素分别对应集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},则有下列结论:
(1)若p是q的充分条件,则A B.
(2)若p是q的必要条件,则B A.
[变式训练] 已知p:a-4 .
【答案】 {a|-1≤a≤5}
【解析】 设P={x|a-4所以Q P,所以解得-1≤a≤5.1.4.1 充分条件与必要条件
学习目标 1.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件、必要条件的意义,了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系,提升数学抽象、逻辑思维的核心素养.2.能利用充分性、必要性解决简单的数学问题,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
知识归纳
知识点 充分条件与必要条件
项目 “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题
推出关系 p q pq
条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件
定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个
(1)p q,有方向,条件在前,结论在后.
(2)若p q,则p是q的充分条件,或q是p的必要条件,或q的充分条件是p,或p的必要条件是q.
(3)充分、必要条件不唯一.
基础自测
1.下列式子中,不是x≤2的充分条件的是( )
[A]x<1 [B]x<3
[C]-12.使x>1成立的一个必要条件是( )
[A]x>0 [B]x>3
[C]x>2 [D]x<2
3.(人教A版必修第一册P23习题1.4 T4改编)已知A B,则“x∈B”是“x∈A”的 (填“充分”或“必要”)条件.
4.若“x=2”是“x题型一 充分条件的判断
[例1] (苏教版必修第一册P31例1)下列所给的各组p,q中,p是q的充分条件的有哪些
(1)p:x=2,q:x2-x-2=0;
(2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是正方形;
(3)p:同位角相等,q:两条直线平行;
(4)p:四边形是平行四边形;q:四边形的对角线互相平分.
p是q的充分条件的判断方法
(1)确定谁是条件,谁是结论:p是q的充分条件中,p是条件,q是结论.
(2)尝试从条件p推出结论q:若条件p能推出结论q,则p是q的充分条件,否则p就不是q的充分条件.
[变式训练] 指出下列命题中,p是不是q的充分条件.
(1)p:x为自然数,q:x为整数;
(2)p:a(3)p:a2+b2=0,q:a+b=0.
题型二 必要条件的判断
[例2] (苏教版必修第一册P31例2)下列所给的各组p,q中,p是q的必要条件的有哪些
(1)p:|x|=1,q:x=1;
(2)p:两个直角三角形全等,q:两个直角三角形的斜边相等;
(3)p:同位角相等,q:两条直线平行;
(4)p:四边形是平行四边形,q:四边形的对角线互相平分.
p是q的必要条件的判断方法
(1)把p是q的必要条件转化为q是p的充分条件,这里q是条件,p是结论.
(2)若q是p的充分条件,则p是q的必要条件,若q不是p的充分条件,则p不是q的必要条件.
[变式训练] 下列“若p,则q”形式的命题中,p是不是q的充分条件 p是不是q的必要条件
(1)在△ABC中,p:∠B>∠C,q:AC>AB;
(2)已知x∈R,p:x=1,q:(x-1)(x-2)=0;
(3)已知x∈R,p:x>1,q:x>2;
(4)p: △ABC是等腰三角形,q:△ABC是直角三角形.
题型三 由充分(必要)条件求参数
[例3] 已知集合A={x|2a≤x≤a+1},B={x||x-1|≤2},若“x∈A”是“x∈B”成立的充分条件,求实数a的取值范围.
此类题一般转化为集合的关系求解,设满足条件p, q的元素分别对应集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},则有下列结论:
(1)若p是q的充分条件,则A B.
(2)若p是q的必要条件,则B A.
[变式训练] 已知p:a-4.