1.4.2 充要条件
学习目标 1.进一步理解充要条件的意义,会判断一些简单的充要条件命题,提升数学抽象、逻辑思维的核心素养.2.能对简单的充要条件进行证明,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
知识归纳
知识点一 充要条件
如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有 ,又有 ,就记作 .此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的 ,简称为充要条件.
知识点二 条件关系判定的常用结论
条件p与结论q的关系 结论(p是q的)
p q,且qp 充分不必要条件
pq,且q p 必要不充分条件
p q,且q p 充要条件
pq,且qp 既不充分也不必要条件
(1)充要条件的判断步骤:①确定哪个是条件,哪个是结论;②尝试用条件推结论;③再尝试用结论推条件;④最后判断两者间的条件关系.
(2)充要条件的等价说法:p是q的充要条件又常说成q成立,当且仅当p成立,或p与q
等价.
基础自测
1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的( )
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
2.“1
0”的( )
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
3.(人教A版必修第一册P23习题1.4 T3(2)改编)已知△ABC,△A1B1C1,两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的( )
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
4.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=-1 对称的充要条件是( )
[A]m=-2 [B]m=2
[C]m=-1 [D]m=1
题型一 四种条件关系的判断与探求
[例1] (湘教版必修第一册P17例3)从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选择适当的一种填空.
(1)a≥5是a为正数的 ;
(2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的 ;
(3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的 ;
(4)若x∈R,则x2=2是x=2的 .
[典例迁移1] 下列选项中,p是q的充要条件的有( )
[A]p:0[B]p:-1[C]p:1[D]p:x<-2或x>2,q:|x|>2
[典例迁移2] 求关于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的实数根的总和为2的充要条件.
1.四种条件关系的判断方法
(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.
(2)集合法:利用集合的包含关系判断.若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则有下列结论:
①若A=B,则p是q的充要条件;
②若A B,则p是q的充分不必要条件;
③若A B,则p是q的必要不充分条件;
④若A不是B的子集且B不是A的子集,则p是q的既不充分也不必要条件.
2.探求充要条件的方法
探求充要条件时常常先寻找必要条件,即将探求充要条件的对象视为结论,寻找使之成立的条件,再证明此条件是该对象的充分条件,即从充分性和必要性两方面说明.
题型二 充要条件的证明
[例2] 已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.
[提示:a3+b3=(a+b)·(a2-ab+b2)]
证明p是q的充要条件分两步:一是证充分性,将p当作已知条件,结合命题的前提条件,推证q;二是证必要性,将q当作已知条件,结合命题的前提条件,推证p.
[变式训练] 证明:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
题型三 条件关系的应用
[例3] 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
(1)若p是q的充要条件,求实数m的取值范围;
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围;
(3)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
应用条件关系求参数的值(取值范围)
首先可以根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系,然后根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
[变式训练] 已知集合A={3,4},B={x|-3<3x-a<6},若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件,求a的取值范围.1.4.2 充要条件
学习目标 1.进一步理解充要条件的意义,会判断一些简单的充要条件命题,提升数学抽象、逻辑思维的核心素养.2.能对简单的充要条件进行证明,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
知识归纳
知识点一 充要条件
如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p q,又有q p,就记作 p q.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.
知识点二 条件关系判定的常用结论
条件p与结论q的关系 结论(p是q的)
p q,且qp 充分不必要条件
pq,且q p 必要不充分条件
p q,且q p 充要条件
pq,且qp 既不充分也不必要条件
(1)充要条件的判断步骤:①确定哪个是条件,哪个是结论;②尝试用条件推结论;③再尝试用结论推条件;④最后判断两者间的条件关系.
(2)充要条件的等价说法:p是q的充要条件又常说成q成立,当且仅当p成立,或p与q
等价.
基础自测
1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的( )
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 若x=1,则x2-2x+1=0;若x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,则x=1.故“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件.故选A.
2.“10”的( )
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 因为当“10”,当“x>0”时不一定满足“10”的充分不必要条件.故选B.
3.(人教A版必修第一册P23习题1.4 T3(2)改编)已知△ABC,△A1B1C1,两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的( )
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】 两三角形对应角相等△ABC≌△A1B1C1;反之,△ABC≌△A1B1C1 两三角形对应角相等.所以两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的必要不充分条件.故选C.
4.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=-1 对称的充要条件是( )
[A]m=-2 [B]m=2
[C]m=-1 [D]m=1
【答案】 B
【解析】 因为二次函数y=x2+mx+1的图象的对称轴为直线x=-,所以二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=-1对称的充要条件是x=-=-1,即m=2.故选B.
题型一 四种条件关系的判断与探求
[例1] (湘教版必修第一册P17例3)从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选择适当的一种填空.
(1)a≥5是a为正数的 ;
(2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的 ;
(3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的 ;
(4)若x∈R,则x2=2是x=2的 .
【答案】 (1)充分不必要条件 (2)必要不充分条件 (3)充要条件 (4)既不充分也不必要条件
【解析】 (1)a≥5 a>0,a>0a≥5.因此应填“充分不必要条件”.
(2)四边形是矩形 四边形的两对角线相等,反之不成立,比如等腰梯形.因此应填“必要不充分条件”.
(3)四边形的一组对边平行且相等 四边形的两组对边分别平行,它们实际上都在描述四边形是平行四边形.因此应填“充要条件”.
(4)当x∈R时,x2=2x=2,x=2x2=2.因此应填“既不充分也不必要条件”.
[典例迁移1] 下列选项中,p是q的充要条件的有( )
[A]p:0[B]p:-1[C]p:1[D]p:x<-2或x>2,q:|x|>2
【答案】 D
【解析】 对于A,因为{x|0对于B,因为{x|-1对于C,设A={x|1对于D,因为{x|x<-2或x>2}={x||x|>2},所以p是q的充要条件.故选D.
[典例迁移2] 求关于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的实数根的总和为2的充要条件.
【解】 当m=0时,方程为-x+2=0,解得x=2,符合题意;
当m≠0时,方程为一元二次方程,设x1,x2是方程的解,则x1+x2=,若x1+x2=2,则=2,解得m=-或m=1,但当m=-或m=1时,Δ<0,即当m=-或m=1时,方程无解.综上,只有m=0符合题意,所以关于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的实数根的总和为2的充要条件为m=0.
1.四种条件关系的判断方法
(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.
(2)集合法:利用集合的包含关系判断.若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则有下列结论:
①若A=B,则p是q的充要条件;
②若A B,则p是q的充分不必要条件;
③若A B,则p是q的必要不充分条件;
④若A不是B的子集且B不是A的子集,则p是q的既不充分也不必要条件.
2.探求充要条件的方法
探求充要条件时常常先寻找必要条件,即将探求充要条件的对象视为结论,寻找使之成立的条件,再证明此条件是该对象的充分条件,即从充分性和必要性两方面说明.
题型二 充要条件的证明
[例2] 已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.
[提示:a3+b3=(a+b)·(a2-ab+b2)]
【证明】 设p:a3+b3+ab-a2-b2=0,q:a+b=1.
充分性(p q):因为a3+b3+ab-a2-b2=0,所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,
即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0,
因为ab≠0,所以a2-ab+b2=(a-b)2+b2>0,所以a+b-1=0,即a+b=1.
必要性(q p):因为a+b=1,所以b=1-a,所以
a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.
综上所述,a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.
证明p是q的充要条件分两步:一是证充分性,将p当作已知条件,结合命题的前提条件,推证q;二是证必要性,将q当作已知条件,结合命题的前提条件,推证p.
[变式训练] 证明:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
【证明】 充分性:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0,所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1.
必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,所以a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
题型三 条件关系的应用
[例3] 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
(1)若p是q的充要条件,求实数m的取值范围;
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围;
(3)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
【解】 设A={x|-2≤x≤10},B={x|1-m≤x≤1+m}.
(1)因为p是q的充要条件,所以A=B,所以无解,所以实数m的取值范围是 .
(2)因为p是q的充分不必要条件,所以A B,所以或【此处也可表述为(等号不同时成立)】解得m≥9,即实数m的取值范围为{m|m≥9}.
(3)因为p是q的必要不充分条件,所以q是p的充分不必要条件,所以B A,
故有(等号不同时成立),解得m≤3.又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0应用条件关系求参数的值(取值范围)
首先可以根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系,然后根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
[变式训练] 已知集合A={3,4},B={x|-3<3x-a<6},若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件,求a的取值范围.
【解】 因为 “x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件,所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A B,
又B={x|-3<3x-a<6},所以3∈B,且4∈B,即
解得6