1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
学习目标 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定,提升数学抽象的核心素养.2.通过判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
知识归纳
知识点一 全称量词命题的否定
全称量词命题 全称量词 命题的否定 结论
x∈M,p(x) ﹁ 全称量词命题的 否定是 命题
知识点二 存在量词命题的否定
存在量词命题 存在量词 命题的否定 结论
x∈M,p(x) ﹁ 存在量词命题的 否定是 命题
常见正面词语的否定举例:
正面 词语 等于 (=) 大于 (>) 小于 (<) 是 都是
否定 不等于 (≠) 不大于 (≤) 不小 于(≥) 不是 不都 是
正面 词语 至少有 一个 至多有 一个 任意的 所有 的 至多 有n个
否定 一个也 没有 至少有 两个 某个 某些 至少有 n+1个
基础自测
1.命题“ x>2,x2+1≤0”的否定是( )
[A] x≤2,x2+1≥0
[B] x>2,x2+1>0
[C] x≤2,x2+1>0
[D] x>2,x2+1≥0
2.设命题p: x∈Z,x2≥6x+5,则p的否定为( )
[A] x Z,x2<6x+5
[B] x Z,x2<6x+5
[C] x∈Z,x2<6x+5
[D] x∈Z,x2<6x+5
3.命题“小数都是无理数”的否定为( )
[A]所有小数都不是无理数
[B]有些小数是无理数
[C]有些小数不是无理数
[D]所有小数都是无理数
4.(人教A版必修第一册P32习题1.5 T4改编)下列命题的否定为真命题的是( )
[A]对任意的x∈R, x2≥0
[B]所有的正方形都是矩形
[C]至少有一个实数x,使x+1=0
[D]存在x∈R,x2+2≤0
题型一 全称量词命题的否定
[例1] 写出下列全称量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假.
(1) x∈R,x2+2x+5>0;
(2)菱形的对角线互相垂直;
(3)方程x2-8x-20=0的每一个根都不是奇数.
(1)对全称量词命题否定的两个步骤.
①改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词.
②否定结论:原命题中的“是”“成立”等分别改为“不是”“不成立”等.
(2)全称量词命题否定后的真假判断方法.
若全称量词命题为真命题,则其否定就是假命题;若全称量词命题为假命题,则其否定就是真命题.任何一个命题和它的否定不能同时为真,也不能同时为假,只能一真一假.
提醒:对于省略量词的命题写其否定时,要注意添加相应的量词.
[变式训练] 写出下列全称量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假.
(1) x∈R,2x+1>0;
(2)每个三角形至少有两个锐角;
(3)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线;
(4)末位数是偶数的数能被4整除.
题型二 存在量词命题的否定
[例2] 写出下列存在量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假.
(1) x∈R,x2+4=0;
(2)一元二次方程不总有实数根;
(3) 存在一个实数x,使>2.
(1)对存在量词命题否定的两个步骤.
①改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词.
②否定结论:原命题中的“有”“存在”等分别更改为“没有”“不存在”等.
(2)存在量词命题否定后的真假判断方法.
存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.
[变式训练] (北师大版必修第一册P22例7)写出下列存在量词命题的否定:
(1)某箱产品中至少有一件次品;
(2)方程x2-8x+15=0有一个根是偶数;
(3) x∈R,使x2+x+1≤0.
题型三 由含量词命题的否定求参数
[例3] 已知命题p: x∈{x|4≤x≤9},x
(1)若p的否定为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题p和命题q至少有一个是真命题,求实数a的取值范围.
由含有量词的命题的真假求参数的取值范围,若是直接求解比较简单,就可以直接求解参数的取值范围;若是直接求解比较复杂,可以根据原命题与其否定必然真假相反,转化为命题的否定问题.
[变式训练] 已知命题p: x∈{x|0学习目标 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定,提升数学抽象的核心素养.2.通过判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
知识归纳
知识点一 全称量词命题的否定
全称量词命题 全称量词 命题的否定 结论
x∈M,p(x) x∈M,﹁p(x) 全称量词命题的 否定是存在量词命题
知识点二 存在量词命题的否定
存在量词命题 存在量词 命题的否定 结论
x∈M,p(x) x∈M,﹁p(x) 存在量词命题的 否定是全称量词命题
常见正面词语的否定举例:
正面 词语 等于 (=) 大于 (>) 小于 (<) 是 都是
否定 不等于 (≠) 不大于 (≤) 不小 于(≥) 不是 不都 是
正面 词语 至少有 一个 至多有 一个 任意的 所有 的 至多 有n个
否定 一个也 没有 至少有 两个 某个 某些 至少有 n+1个
基础自测
1.命题“ x>2,x2+1≤0”的否定是( )
[A] x≤2,x2+1≥0
[B] x>2,x2+1>0
[C] x≤2,x2+1>0
[D] x>2,x2+1≥0
【答案】 B
【解析】 由题意知,“ x>2,x2+1≤0”的否定为“ x>2,x2+1>0”.故选B.
2.设命题p: x∈Z,x2≥6x+5,则p的否定为( )
[A] x Z,x2<6x+5
[B] x Z,x2<6x+5
[C] x∈Z,x2<6x+5
[D] x∈Z,x2<6x+5
【答案】 C
【解析】 p的否定为“ x∈Z,x2<6x+5”.故选C.
3.命题“小数都是无理数”的否定为( )
[A]所有小数都不是无理数
[B]有些小数是无理数
[C]有些小数不是无理数
[D]所有小数都是无理数
【答案】 C
【解析】 原命题为全称量词命题,其否定为“有些小数不是无理数”.故选C.
4.(人教A版必修第一册P32习题1.5 T4改编)下列命题的否定为真命题的是( )
[A]对任意的x∈R, x2≥0
[B]所有的正方形都是矩形
[C]至少有一个实数x,使x+1=0
[D]存在x∈R,x2+2≤0
【答案】 D
【解析】 A,B,C都是真命题,其否定是假命题;D是假命题,其否定为真命题.故选D.
题型一 全称量词命题的否定
[例1] 写出下列全称量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假.
(1) x∈R,x2+2x+5>0;
(2)菱形的对角线互相垂直;
(3)方程x2-8x-20=0的每一个根都不是奇数.
【解】 (1)该命题的否定: x∈R,x2+2x+5≤0.因为x2+2x+5=(x+1)2+4>0,所以原命题为真命题,其否定为假命题.
(2)该命题的否定:至少存在一个菱形,它的对角线不互相垂直.因为所有菱形的对角线均互相垂直,所以原命题为真命题,其否定为假命题.
(3)该命题的否定:方程x2-8x-20=0至少有一个根是奇数.因为方程的两个根为-2,10,都不是奇数,所以原命题为真命题,其否定为假命题.
(1)对全称量词命题否定的两个步骤.
①改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词.
②否定结论:原命题中的“是”“成立”等分别改为“不是”“不成立”等.
(2)全称量词命题否定后的真假判断方法.
若全称量词命题为真命题,则其否定就是假命题;若全称量词命题为假命题,则其否定就是真命题.任何一个命题和它的否定不能同时为真,也不能同时为假,只能一真一假.
提醒:对于省略量词的命题写其否定时,要注意添加相应的量词.
[变式训练] 写出下列全称量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假.
(1) x∈R,2x+1>0;
(2)每个三角形至少有两个锐角;
(3)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线;
(4)末位数是偶数的数能被4整除.
【解】 (1)该命题的否定: x∈R,2x+1≤0.当x=-1时,2x+1=-1≤0,所以原命题为假命题,其否定为真命题.
(2)该命题的否定:存在一个三角形至多有一个锐角.原命题为真命题,其否定为假命题.
(3)该命题的否定:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.根据圆的切线的定义可知,原命题为真命题,其否定为假命题.
(4)该命题的否定:存在末位数是偶数的数,不能被4整除.存在末位数是偶数的数,例如10,不能被4整除,所以原命题为假命题,其否定为真命题.
题型二 存在量词命题的否定
[例2] 写出下列存在量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假.
(1) x∈R,x2+4=0;
(2)一元二次方程不总有实数根;
(3) 存在一个实数x,使>2.
【解】 (1)该命题的否定: x∈R,x2+4≠0.原命题为假命题,其否定为真命题.
(2)该命题的否定:任意一个一元二次方程都有实数根.原命题为真命题,其否定为假命题.
(3)该命题的否定: x∈R,≤2.原命题为真命题,其否定为假命题.
(1)对存在量词命题否定的两个步骤.
①改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词.
②否定结论:原命题中的“有”“存在”等分别更改为“没有”“不存在”等.
(2)存在量词命题否定后的真假判断方法.
存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.
[变式训练] (北师大版必修第一册P22例7)写出下列存在量词命题的否定:
(1)某箱产品中至少有一件次品;
(2)方程x2-8x+15=0有一个根是偶数;
(3) x∈R,使x2+x+1≤0.
【解】 (1)“某箱产品中至少有一件次品”的否定是“某箱产品都是正品”.
(2)“方程x2-8x+15=0有一个根是偶数”的否定是“方程x2-8x+15=0的每一个根都不是
偶数”.
(3)“ x∈R,使x2+x+1≤0”的否定是“ x∈R,有x2+x+1>0”.
题型三 由含量词命题的否定求参数
[例3] 已知命题p: x∈{x|4≤x≤9},x(1)若p的否定为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题p和命题q至少有一个是真命题,求实数a的取值范围.
【解】 (1)法一 由题意得,p的否定: x∈{x|4≤x≤9},x≥a+4,为真命题,则9≥a+4,即a≤5,
故当p的否定为真命题时,实数a的取值范围为{a|a≤5}.
法二 当p为真命题时,a+4>xmax=9,即a>5,故当p的否定为真命题时,实数a的取值范围为{a|a≤5}.
(2)显然当x∈R时,x2≥0,所以当q为真命题时,a+4>0,即a>-4,由(1)知当p为真命题时,a>5.
法一 当p,q同时为假命题时,a≤-4且a≤5,即a≤-4,所以当p和q至少有一个是真命题时,实数a的取值范围是{a|a>-4}.
法二 当p和q至少有一个是真命题时,实数a的取值范围是{a|a>5}∪{a|a>-4},
即{a|a>-4}.
由含有量词的命题的真假求参数的取值范围,若是直接求解比较简单,就可以直接求解参数的取值范围;若是直接求解比较复杂,可以根据原命题与其否定必然真假相反,转化为命题的否定问题.
[变式训练] 已知命题p: x∈{x|0【解】 由命题p是真命题,得{x|0由命题q是假命题,得q的否定: x∈R,使得mx2+4x-1=0为真命题,即关于x的方程mx2+4x-1=0有实数根.
当m=0时,方程4x-1=0有实数根;当m≠0时,依题意得Δ=16+4m≥0,即m≥-4,且m≠0,所以m≥-4.
因为p为真命题,q为假命题,所以实数m的取值范围是{m|-4≤m≤0}.