第1课时 不等关系与不等式
学习目标： 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步掌握用作差法比较两实数的大小.
知识归纳
知识点一 不等关系与不等式
常见的文字语言与符号语言之间的转换.
文字 语言 大于、高 于、超过 小于、低 于、少于 大于等于、 至少、不低于 小于等于、 至多、不超过
符号 语言 > < ≥ ≤
知识点二 实数大小比较的基本事实
依据 a>b a-b>0; a=b a-b=0; a
结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与 0的大小
(1)利用作差法比较大小,只需判断差的符号,通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式.
(2)对于两个正值,也可采用作商的方法,比较商与1的大小.
(3)对于某些问题,也可采用取中间值的方法比较大小.
知识点三 重要不等式
一般地, a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P40练习T1改编)下列说法错误的是( )
[A]a与b的和是非正数可表示为“a+b<0”
[B]甲的体重为x kg,乙的体重为y kg,则甲比乙重可表示为“x>y”
[C]某变量x至少为a可表示为“x≥a”
[D]某变量y不超过a可表示为“y≤a”
【答案】 A
【解析】 因为非正数小于等于0,所以不等式应为a+b≤0,故A错误,其余选项都正确.
故选A.
2.(x+1)(x-1)与x2的大小关系为( )
[A](x+1)(x-1)>x2
[B](x+1)(x-1)[C](x+1)(x-1)=x2
[D]不能确定
【答案】 B
【解析】 由x2-(x+1)(x-1)=x2-(x2-1)=1>0,得x2>(x+1)(x-1).故选B.
3.若A=a2+2ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是( )
[A]A≤B [B]A≥B
[C]AB [D]A>B
【答案】 B
【解析】 由A=a2+2ab,B=4ab-b2,得A-B=a2+2ab-(4ab-b2)=(a-b)2≥0,所以A≥B.故选B.
4.某商品包装上标有质量500±1 g,若用x(单位:g)表示商品的质量,则该商品的质量可用含绝对值的不等式表示为 .
【答案】 |x-500|≤1
【解析】 根据题意知该商品的质量与500 g作差的绝对值小于等于1.
故不等式为|x-500|≤1.
题型一 用不等式(组)表示不等关系
[例1] 某公司因发展需要,需购入一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买 6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
【解】 设分别购买A型汽车和B型汽车x辆、y辆,则
(1)仔细审题,注意同一个题目的单位是否一致.
(2)用适当的不等号连接,多个不等关系用不等式组表示.
(3)注意隐性不等关系,如由变量的实际意义限制的范围.
[变式训练] 在某校新生军训考核评比中,甲班的分数高于乙班的分数,甲班和乙班的分数之和大于170,且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为x,y,则用不等式组表示为( )
[A]
[B]
[C]
[D]
【答案】 D
【解析】 由题意得故选D.
题型二 作差法比较大小
[例2] 设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小.
【解】 x-y=(m-n)m3-(m-n)n3=(m-n)(m3-n3)=(m-n)2(m2+mn+n2),因为m≠n,所以(m-n)2>0,又m2+mn+n2=(m+)2+≥0,当且仅当m+=n=0,即m=n=0时,等号成立,但m≠n,
所以m2+mn+n2=(m+)2+>0,所以x-y>0,所以x>y.
[典例迁移1] 比较(a-1)(a-3)与(a-2)2的大小.
【解】 因为(a-1)(a-3)-(a-2)2=a2-4a+3-(a2-4a+4)=-1<0,所以(a-1)(a-3)<(a-2)2.
[典例迁移2] 已知a,b>0,比较+与a+b的大小.
【解】 +-(a+b)=(-a)+(-b)=+=-
=(a-b)(-)==.因为a>0,b>0,所以a+b>0,ab>0,
当a=b时,+-(a+b)==0,此时+=a+b;
当a≠b时,+-(a+b)=>0,此时+>a+b.
综上所述,当a=b时,+=a+b;当a≠b时,+>a+b.
作差法比较两个实数大小的基本步骤
题型三 作差法证明不等式
[例3] (北师大版必修第一册P25例2)试证明:若00,则 >.
【证明】 -==.
因为a0,
又b>0,m>0,故>0.
因此>.
作差法是证明不等式的一种常用方法,一般要将不等式转化为两个式子差的形式,再通过恰当的等价变形来确定差的符号,从而证明原不等式成立.
[变式训练] 已知x,y∈R,求证:x2+2y2≥2xy+2y-1.
【证明】 x2+2y2-(2xy+2y-1)=x2+2y2-2xy-2y+1=(x2-2xy+y2)+(y2-2y+1)=(x-y)2+(y-1)2≥0,当且仅当x=y=1时,等号成立,所以x2+2y2≥2xy+2y-1.第2课时 等式性质与不等式性质
学习目标 1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.
知识归纳
知识点一 等式性质
性质1:如果a=b,那么b=a.
性质2:如果a=b,b=c,那么a=c.
性质3:如果a=b,那么a±c=b±c.
性质4:如果a=b,那么ac=bc.
性质5:如果a=b,c≠0,那么=.
知识点二 不等式的基本性质
序号 性质 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b,b>c a>c
3 可加性 a>b a+c>b+c
4 可乘性 ac>bc c的符号
ac5 同向可 加性 a+c>b+d
6 同向同正 可乘性 ac>bd
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2) 同正
(1)倒数性质:若a>b>0,则0<<;若a>.
(2)不等式只有同向可加和同向同正可乘,没有减法和除法运算.
基础自测
1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是( )
[A]a>b>-b>-a [B]a>-b>-a>b
[C]a>-b>b>-a [D]a>b>-a>-b
【答案】 C
【解析】 因为a+b>0,b<0,所以a>-b>0,0>b>-a,所以a>-b>b>-a.故选C.
2.已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d,则下列选项正确的是( )
[A]a+d>b+c [B]a+c>b+d
[C]ad>bc [D]ac>bd
【答案】 B
【解析】 因为a>b,c>d,根据不等式的同向可加性得a+c>b+d,故B正确;其余选项都可以举反例说明是错误的.故选B.
3.与a>b等价的不等式是( )
[A]|a|>|b| [B]a2>b2
[C]>1 [D]a3>b3
【答案】 D
【解析】 可利用赋值法.令a=1,b=-2,满足a>b,但|a|<|b|,a2故选D.
4.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T5改编)已知3≤x≤7,1≤y≤2,则x+2y的最大值为 ,最小值为 .
【答案】 11 5
【解析】 因为3≤x≤7,1≤y≤2,则2≤2y≤4,所以5≤x+2y≤11,所以x+2y的最大值为11,最小值为5.
题型一 利用不等式的基本性质判断命题真假
[例1] (多选)对于任意实数a,b,c,d,下列四个命题为真命题的是( )
[A]若a>b,c≠0,则ac>bc
[B]若ac2>bc2,则a>b
[C]若aab>b2
[D]若a>b>0,c>d,则ac>bd
【答案】 BC
【解析】 对于A,当a>b,c<0时,acbc2,可得c2>0,则a>b,即B正确;对于C,由ab·a,即a2>ab,由ab·b,即ab>b2,因此a2>ab>b2,即C正确;对于D,若a=2>b=1>0,c=-1>d=-2,则ac=bd=-2,即D错误.故选BC.
利用不等式的性质判断命题真假的两种方法
(1)直接法:对于真命题,利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明;对于假命题,只需举出一个反例即可.
(2)特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则,一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性.
[变式训练] (多选)下列说法正确的是( )
[A]若a>b,则<
[B]若b[C]若a>b>c,则(a-c)2>(b-c)2
[D]若<,则a【答案】 CD
【解析】 对于A,当a=1,b=-1时,=1>-1=,故A错误;对于B,当a=1,b=-1时,a2=b2=1,故B错误;对于C,若a>b>c,则a-c>b-c>0,所以(a-c)2>(b-c)2,故C正确;对于D,若<,则a题型二 利用不等式的基本性质证明不等式
[例2] (人教B版必修第一册P65例2)(1)已知a>b,cb-d.
(2)已知a>b,ab>0,求证:<.
(3)已知a>b>0,0.
【证明】 (1)因为a>b,cb,-c>-d,
所以a-c>b-d.
(2)因为ab>0,所以>0.
又a>b,所以a·>b·,
即>,因此<.
(3)因为0>0.
又a>b>0,所以a·>b·,即>.
(1)利用不等式的性质证明不等式,其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,要善于寻找欲证不等式的已知条件,利用性质时要注意性质适用的前提条件.
(2)这种利用不等式的性质证明的题目一般也可以使用作差法,但是作差法的变形有时比较复杂.
[变式训练] 已知c>a>b>0,求证:>.
【证明】 法一 因为c>a>b>0,所以0>0,又a>b>0,所以>.
法二 因为a>b>0,所以<,又c>0,所以<,所以-1<-1,即<,因为c>a>b>0,所以c-a>0,c-b>0,所以>.
法三 -===,因为c>a>b>0,所以a-b>0,c-a>0,c-b>0,所以>.
题型三 利用不等式的性质求代数式的取值范围
[例3] 已知-6【解】 因为-6因为2因为2综上,-10<2a+b<19,-9(1)根据不等式的性质求取值范围问题,首先要明确同向不等式具有可加性及正的同向不等式具有可乘性,但是不等式不能相减,要求a-b的取值范围,只能先求-b的取值范围,再与a的取值范围相加.同理,不等式也不能相除,欲求的取值范围,只能先求出的取值范围后再与a的取值范围相乘.
(2)不等式两边同乘一个正数,不等号方向不变;同乘一个负数,不等号变为相反的方向.因此在不等式两边同乘一个数时,要明确所乘数的正负.
(3)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.同向不等式的两边可以相加,但这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.
[变式训练] 已知实数a,b满足1≤a+b≤8,3≤a-b≤4.
(1)求实数a,b的取值范围;
(2)求2a-5b的取值范围.
【解】 (1)因为1≤a+b≤8,3≤a-b≤4,
所以4≤(a+b)+(a-b)≤12,
即4≤2a≤12,所以2≤a≤6.
b=[(a+b)-(a-b)]=[(a+b)+(b-a)],因为3≤a-b≤4,
所以-4≤b-a≤-3,又1≤a+b≤8,
所以-3≤(a+b)-(a-b)≤5,
所以-≤[(a+b)-(a-b)]≤,
即-≤b≤.
(2)设2a-5b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b,则解得
所以2a-5b=-(a+b)+(a-b),
因为1≤a+b≤8,3≤a-b≤4,
所以-12≤-(a+b)≤-,≤(a-b)≤14,
所以-≤2a-5b≤.第2课时 等式性质与不等式性质
学习目标 1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.
知识归纳
知识点一 等式性质
性质1:如果a=b,那么b=a.
性质2:如果a=b,b=c,那么a=c.
性质3:如果a=b,那么a±c=b±c.
性质4:如果a=b,那么ac=bc.
性质5:如果a=b,c≠0,那么=.
知识点二 不等式的基本性质
序号 性质 性质内容 注意
1 对称性 a>b
2 传递性 a>b,b>c
3 可加性 a>b a+c b+c
4 可乘性 ac bc c的符号
ac bc
5 同向可 加性 a+c b+d
6 同向同正 可乘性 ac bd
7 可乘方性 a>b>0 (n∈N,n≥2) 同正
(1)倒数性质:若a>b>0,则0<<;若a>.
(2)不等式只有同向可加和同向同正可乘,没有减法和除法运算.
基础自测
1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是( )
[A]a>b>-b>-a [B]a>-b>-a>b
[C]a>-b>b>-a [D]a>b>-a>-b
2.已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d,则下列选项正确的是( )
[A]a+d>b+c [B]a+c>b+d
[C]ad>bc [D]ac>bd
3.与a>b等价的不等式是( )
[A]|a|>|b| [B]a2>b2
[C]>1 [D]a3>b3
4.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T5改编)已知3≤x≤7,1≤y≤2,则x+2y的最大值为 ,最小值为 .
题型一 利用不等式的基本性质判断命题真假
[例1] (多选)对于任意实数a,b,c,d,下列四个命题为真命题的是( )
[A]若a>b,c≠0,则ac>bc
[B]若ac2>bc2,则a>b
[C]若aab>b2
[D]若a>b>0,c>d,则ac>bd
利用不等式的性质判断命题真假的两种方法
(1)直接法:对于真命题,利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明;对于假命题,只需举出一个反例即可.
(2)特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则,一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性.
[变式训练] (多选)下列说法正确的是( )
[A]若a>b,则<
[B]若b[C]若a>b>c,则(a-c)2>(b-c)2
[D]若<,则a题型二 利用不等式的基本性质证明不等式
[例2] (人教B版必修第一册P65例2)(1)已知a>b,cb-d.
(2)已知a>b,ab>0,求证:<.
(3)已知a>b>0,0.
(1)利用不等式的性质证明不等式,其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,要善于寻找欲证不等式的已知条件,利用性质时要注意性质适用的前提条件.
(2)这种利用不等式的性质证明的题目一般也可以使用作差法,但是作差法的变形有时比较复杂.
[变式训练] 已知c>a>b>0,求证:>.
题型三 利用不等式的性质求代数式的取值范围
[例3] 已知-6(1)根据不等式的性质求取值范围问题,首先要明确同向不等式具有可加性及正的同向不等式具有可乘性,但是不等式不能相减,要求a-b的取值范围,只能先求-b的取值范围,再与a的取值范围相加.同理,不等式也不能相除,欲求的取值范围,只能先求出的取值范围后再与a的取值范围相乘.
(2)不等式两边同乘一个正数,不等号方向不变;同乘一个负数,不等号变为相反的方向.因此在不等式两边同乘一个数时,要明确所乘数的正负.
(3)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.同向不等式的两边可以相加,但这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.
[变式训练] 已知实数a,b满足1≤a+b≤8,3≤a-b≤4.
(1)求实数a,b的取值范围;
(2)求2a-5b的取值范围.第1课时 不等关系与不等式
学习目标： 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步掌握用作差法比较两实数的大小.
知识归纳
知识点一 不等关系与不等式
常见的文字语言与符号语言之间的转换.
文字 语言 大于、高 于、超过 小于、低 于、少于 大于等于、 至少、不低于 小于等于、 至多、不超过
符号 语言 >
知识点二 实数大小比较的基本事实
依据 a>b ; a=b a-b=0; a结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的 与 的大小
(1)利用作差法比较大小,只需判断差的符号,通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式.
(2)对于两个正值,也可采用作商的方法,比较商与1的大小.
(3)对于某些问题,也可采用取中间值的方法比较大小.
知识点三 重要不等式
一般地, a,b∈R,有a2+b2 2ab,当且仅当 时,等号成立.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P40练习T1改编)下列说法错误的是( )
[A]a与b的和是非正数可表示为“a+b<0”
[B]甲的体重为x kg,乙的体重为y kg,则甲比乙重可表示为“x>y”
[C]某变量x至少为a可表示为“x≥a”
[D]某变量y不超过a可表示为“y≤a”
2.(x+1)(x-1)与x2的大小关系为( )
[A](x+1)(x-1)>x2
[B](x+1)(x-1)[C](x+1)(x-1)=x2
[D]不能确定
3.若A=a2+2ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是( )
[A]A≤B [B]A≥B
[C]AB [D]A>B
4.某商品包装上标有质量500±1 g,若用x(单位:g)表示商品的质量,则该商品的质量可用含绝对值的不等式表示为 .
题型一 用不等式(组)表示不等关系
[例1] 某公司因发展需要,需购入一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买 6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
(1)仔细审题,注意同一个题目的单位是否一致.
(2)用适当的不等号连接,多个不等关系用不等式组表示.
(3)注意隐性不等关系,如由变量的实际意义限制的范围.
[变式训练] 在某校新生军训考核评比中,甲班的分数高于乙班的分数,甲班和乙班的分数之和大于170,且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为x,y,则用不等式组表示为( )
[A]
[B]
[C]
[D]
题型二 作差法比较大小
[例2] 设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小.
[典例迁移1] 比较(a-1)(a-3)与(a-2)2的大小.
[典例迁移2] 已知a,b>0,比较+与a+b的大小.
作差法比较两个实数大小的基本步骤
题型三 作差法证明不等式
[例3] (北师大版必修第一册P25例2)试证明:若00,则 >.
作差法是证明不等式的一种常用方法,一般要将不等式转化为两个式子差的形式,再通过恰当的等价变形来确定差的符号,从而证明原不等式成立.
[变式训练] 已知x,y∈R,求证:x2+2y2≥2xy+2y-1.