第2课时 奇偶性的应用
【学习目标】 1.掌握用奇偶性求函数解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响,并能用以比较大小、求最值和解不等式.
题型一 根据函数的奇偶性求函数的解析式
[例1] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x+4,求f(x)的解析式.
【解】 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0;当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2×(-x)+4=
x2+2x+4,所以f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+4)=-x2-2x-4.
所以f(x)=
(1)已知函数在某区间上的解析式及函数的奇偶性,求其对称区间或整个定义域上的解析式的方法如下:①“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式就把x设在哪个区间上;②将已知区间上对应的解析式代入;③利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而得出f(x)的解析式.
提醒:涉及奇函数在R上的解析式,不要忘记当x=0时,f(0)=0的特殊情况.
(2)已知函数f(x),g(x)的组合运算解析式与奇偶性,则把x换为-x,构造方程组求解.
[变式训练] 若函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且其定义域均为{x|x∈R,x≠±1}.若f(x)+g(x)=,求f(x),g(x)的解析式.
【解】 依题意,函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
解得f(x)=(x≠±1),g(x)=(x≠±1).
题型二 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
[例2] 若偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则a=f(-),b=f(),c=f()的大小关系是 ( )
[A]b
[C]a【答案】 D
【解析】 因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),所以f(-)=f(),又f(x)在(0,+∞)上单调递增,
且<<,所以f()比较大小的求解策略
(1)若自变量在同一个单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;
(2)若自变量不在同一个单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上,然后利用单调性比较大小.
[变式训练] 已知奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,则f(1)和f(-10)的大小关系为( )
[A]f(1)>f(-10)
[B]f(1)[C]f(1)=f(-10)
[D]f(1),f(-10)的大小关系不定
【答案】 D
【解析】 依题意,奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,但无法确定f(x)在R上的单调性,所以f(1)和f(-10)的大小关系不定.故选D.
题型三 利用函数的单调性与奇偶性解不等式
[例3] 已知f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,且在[2b,0]上单调递增,则f(x-1)≥f(2x)的解集为( )
[A][-1,] [B][-1,]
[C][-1,1] [D][,1]∪{-1}
【答案】 D
【解析】 因为f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,所以2b+1-b=0,解得b=-1,所以函数的定义域为[-2,2];
又因为f(x)在[2b,0]上单调递增,即f(x)在[-2,0]上单调递增,所以f(x)在[0,2]上单调递减,
又因为f(x-1)≥f(2x),
所以解得≤x≤1或x=-1.
所以不等式的解集为[,1]∪{-1}.故选D.
利用函数的奇偶性与单调性解不等式的步骤
(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系.
(2)由已知或利用奇偶性得出该区间上的单调性,再利用单调性“脱去”函数的对应关系“f”,转化为解不等式(组)的问题.
提醒:在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时,需转化为“f(x)”的形式,如已知f(1)=0,若f(x-1)<0,则f(x-1)[变式训练] 已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.若f(2)=0,则f(x)≥0的解集为( )
[A][-2,2]
[B](-∞,-2]∪[0,2]
[C][-2,0]∪[2,+∞)
[D](-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)
【答案】 B
【解析】 由题意,奇函数f(x)的定义域为R,则f(0)=0,f(-2)=0,且f(x)在[-1,0]上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,可作出f(x)的大致图象.由图象可知f(x)≥0的解集为(-∞,-2]∪[0,2].故选B.第2课时 奇偶性的应用
【学习目标】 1.掌握用奇偶性求函数解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响,并能用以比较大小、求最值和解不等式.
题型一 根据函数的奇偶性求函数的解析式
[例1] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x+4,求f(x)的解析式.
(1)已知函数在某区间上的解析式及函数的奇偶性,求其对称区间或整个定义域上的解析式的方法如下:①“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式就把x设在哪个区间上;②将已知区间上对应的解析式代入;③利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而得出f(x)的解析式.
提醒:涉及奇函数在R上的解析式,不要忘记当x=0时,f(0)=0的特殊情况.
(2)已知函数f(x),g(x)的组合运算解析式与奇偶性,则把x换为-x,构造方程组求解.
[变式训练] 若函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且其定义域均为{x|x∈R,x≠±1}.若f(x)+g(x)=,求f(x),g(x)的解析式.
题型二 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
[例2] 若偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则a=f(-),b=f(),c=f()的大小关系是 ( )
[A]b[C]a比较大小的求解策略
(1)若自变量在同一个单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;
(2)若自变量不在同一个单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上,然后利用单调性比较大小.
[变式训练] 已知奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,则f(1)和f(-10)的大小关系为( )
[A]f(1)>f(-10)
[B]f(1)[C]f(1)=f(-10)
[D]f(1),f(-10)的大小关系不定
题型三 利用函数的单调性与奇偶性解不等式
[例3] 已知f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,且在[2b,0]上单调递增,则f(x-1)≥f(2x)的解集为( )
[A][-1,] [B][-1,]
[C][-1,1] [D][,1]∪{-1}
利用函数的奇偶性与单调性解不等式的步骤
(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系.
(2)由已知或利用奇偶性得出该区间上的单调性,再利用单调性“脱去”函数的对应关系“f”,转化为解不等式(组)的问题.
提醒:在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时,需转化为“f(x)”的形式,如已知f(1)=0,若f(x-1)<0,则f(x-1)[变式训练] 已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.若f(2)=0,则f(x)≥0的解集为( )
[A][-2,2]
[B](-∞,-2]∪[0,2]
[C][-2,0]∪[2,+∞)
[D](-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)3.2.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
【学习目标】 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法.3.能够利用函数的奇偶性解决简单的求值问题.
知识归纳
知识点 函数的奇偶性
函数 偶函数 奇函数
条件 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D
结论 函数f(x)是 偶函数 函数f(x)是 奇函数
图象性质 关于 对称 关于 对称
(1)函数的奇偶性是函数的整体性质.
(2)先判断定义域是否关于原点对称,对于 x∈D,都有-x∈D,即定义域关于原点对称,还需判断f(-x)与f(x)的关系,若f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(-x)=-f(x),则函数是奇函数;若f(-x)≠±f(x),则函数为非奇非偶函数.
(3)偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称,反之也成立.
(4)若奇函数在原点处有意义,则必有f(0)=0.
(5)若f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),则f(x) 既是奇函数又是偶函数,既奇又偶的函数有且只有一类,即f(x)=0,x∈D,D是关于原点对称的实数集,但有无数个既奇又偶的函数.
基础自测
1.已知函数y=f(x),x∈[-1,a]是偶函数,则a等于 ( )
[A]-1 [B]0
[C]1 [D]无法确定
2.(人教A版必修第一册P85练习T1改编)下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
[A] [B]
[C] [D]
3.函数f(x)=x3在R上为( )
[A]奇函数
[B]偶函数
[C]非奇非偶函数
[D]既是奇函数又是偶函数
4.已知函数f(x)=x3+x+a为奇函数,则a等于( )
[A]-1 [B]0
[C]1 [D]2
题型一 函数奇偶性的判断
[例1] (苏教版必修第一册P124例1)判定下列函数是否为偶函数或奇函数:
(1)f(x)=x2-1;
(2)f(x)=2x;
(3)f(x)=2|x|;
(4)f(x)=(x-1)2.
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法.
(2)图象法.
[变式训练] 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=x3-x,x∈[-3,3);
(3)f(x)=0,x∈[-1,1];
(4)f(x)=
题型二 奇、偶函数的图象问题
[例2] 已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴及其左侧的图象,如图所示.
(1)请补足完整函数y=f(x)的图象;
(2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间;
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据:奇函数 图象关于原点对称,偶函数 图象关于y轴对称.
(2)求解:根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.
[变式训练] 如图,给出偶函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.
题型三 利用函数的奇偶性求值
[例3] 若f(x)=(a+1)x2+(a-1)x+2是闭区间[4-2b,b+1]上的偶函数,则a+b= .
[典例迁移1] 若f(x)=为奇函数,则a= .
[典例迁移2] 已知函数f(x)=ax3++2且f(17)=16,则f(-17)的值为 .
利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值:若解析式含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解;若定义域含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点和为0求解.
(2)求函数值:利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解,有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.3.2.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
【学习目标】 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法.3.能够利用函数的奇偶性解决简单的求值问题.
知识归纳
知识点 函数的奇偶性
函数 偶函数 奇函数
条件 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D
f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x)
结论 函数f(x)是 偶函数 函数f(x)是 奇函数
图象性质 关于y轴对称 关于原点对称
(1)函数的奇偶性是函数的整体性质.
(2)先判断定义域是否关于原点对称,对于 x∈D,都有-x∈D,即定义域关于原点对称,还需判断f(-x)与f(x)的关系,若f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(-x)=-f(x),则函数是奇函数;若f(-x)≠±f(x),则函数为非奇非偶函数.
(3)偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称,反之也成立.
(4)若奇函数在原点处有意义,则必有f(0)=0.
(5)若f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),则f(x) 既是奇函数又是偶函数,既奇又偶的函数有且只有一类,即f(x)=0,x∈D,D是关于原点对称的实数集,但有无数个既奇又偶的函数.
基础自测
1.已知函数y=f(x),x∈[-1,a]是偶函数,则a等于 ( )
[A]-1 [B]0
[C]1 [D]无法确定
【答案】 C
【解析】 因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a=1.故选C.
2.(人教A版必修第一册P85练习T1改编)下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C,D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.
3.函数f(x)=x3在R上为( )
[A]奇函数
[B]偶函数
[C]非奇非偶函数
[D]既是奇函数又是偶函数
【答案】 A
【解析】 因为当x∈R时,f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x) 恒成立,所以函数f(x)=x3是R上的奇函数.故选A.
4.已知函数f(x)=x3+x+a为奇函数,则a等于( )
[A]-1 [B]0
[C]1 [D]2
【答案】 B
【解析】 因为f(x)=x3+x+a为奇函数,且f(x)的定义域为R,所以f(0)=0,所以a=0,经检验符合题意.故选B.
题型一 函数奇偶性的判断
[例1] (苏教版必修第一册P124例1)判定下列函数是否为偶函数或奇函数:
(1)f(x)=x2-1;
(2)f(x)=2x;
(3)f(x)=2|x|;
(4)f(x)=(x-1)2.
【解】 (1)函数f(x)=x2-1的定义域是R.
因为对于任意的x∈R,都有-x∈R,
且f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),
所以函数f(x)=x2-1是偶函数.
(2)函数f(x)=2x的定义域是R.
因为对于任意的x∈R,都有-x∈R,
且f(-x)=2(-x)=-2x=-f(x),
所以函数f(x)=2x是奇函数.
(3)函数f(x)=2|x|的定义域是R.
因为对于任意的x∈R,都有-x∈R,
且f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),
所以函数f(x)=2|x|是偶函数.
(4)函数f(x)=(x-1)2的定义域是R.
因为f(1)=0,f(-1)=4,所以f(1)≠f(-1),f(1)≠-f(-1).
因此,根据函数奇偶性定义可以知道,函数f(x)=(x-1)2既不是奇函数,也不是偶函数.
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法.
(2)图象法.
[变式训练] 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=x3-x,x∈[-3,3);
(3)f(x)=0,x∈[-1,1];
(4)f(x)=
【解】 (1)f(x)=+的定义域为D={x|x≠0}, x∈D,-x∈D,且f(-x)=+=+=f(x),所以f(x)为偶函数.
(2)f(x)的定义域为[-3,3),不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.
(3)因为f(x)=0的定义域为[-1,1],关于原点对称,又f(-x)=-f(x)=f(x)=0,所以函数f(x)=0,x∈[-1,1]既是奇函数又是偶函数.
(4)f(x)的定义域为D={x|x≠0}, x∈D,-x∈D,
当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x);
当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).
综上,对 x∈D,都有f(-x)=-f(x).所以f(x) 为奇函数.
题型二 奇、偶函数的图象问题
[例2] 已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴及其左侧的图象,如图所示.
(1)请补足完整函数y=f(x)的图象;
(2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间;
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
【解】 (1)由题意作出函数图象如图所示:
(2)由图可知,f(x)的单调递增区间为(-1,1).
(3)由图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-22}.
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据:奇函数 图象关于原点对称,偶函数 图象关于y轴对称.
(2)求解:根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.
[变式训练] 如图,给出偶函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.
【解】 由偶函数的图象关于y轴对称可作出它在y轴右侧的图象,如图,易知f(1)>f(3).
题型三 利用函数的奇偶性求值
[例3] 若f(x)=(a+1)x2+(a-1)x+2是闭区间[4-2b,b+1]上的偶函数,则a+b= .
【答案】 6
【解析】 因为f(x)是区间[4-2b,b+1]上的偶函数,则4-2b=-(b+1),解得b=5,由f(x)=
(a+1)x2+(a-1)x+2是偶函数,则f(-x)=f(x),即(a+1)(-x)2+(a-1)(-x)+2=(a+1)x2+(a-1)x+2,即2(a-1)x=0,则a=1,所以a+b=6.
[典例迁移1] 若f(x)=为奇函数,则a= .
【答案】 6
【解析】 f(x)的定义域为{x|x≠0},因为f(x)=为奇函数,
则f(-x)=,
由f(x)+f(-x)=0,+=0,所以4(6-a)x=0,
解得a=6.经检验,a=6满足题意.
[典例迁移2] 已知函数f(x)=ax3++2且f(17)=16,则f(-17)的值为 .
【答案】 -12
【解析】 令g(x)=f(x)-2=ax3+,定义域为{x|x≠0}且关于原点对称,因为g(-x)=a(-x)3+=
-ax3-=-g(x),所以g(x)为奇函数,所以g(17)+g(-17)=0,
即f(17)-2+f(-17)-2=0,代入f(17)=16,可得f(-17)=-12.
利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值:若解析式含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解;若定义域含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点和为0求解.
(2)求函数值:利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解,有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.