3.3幂函数
【学习目标】 1.掌握幂函数的概念.2.掌握幂函数y=xα(α=-1,,1,2,3)的图象与性质.
3.会根据幂函数的单调性比较幂值的大小.
知识归纳
知识点一 幂函数
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
知识点二 常见幂函数的图象和性质
解析式 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 y=
图象
定义域 R R R {x|x≠0} [0,+∞)
值域 R [0,+∞) R {y|y≠0} [0,+∞)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶 函数
单调性 在(-∞,+∞)上单调 递增 在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增 在(-∞,+∞)上单调递增 在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减 在[0,+∞)上单调递增
定点 (1,1)
知识拓展
一般幂函数的图象和性质
当指数α=1时,y=x的图象是直线;当α=0时,y=x0=1是断直线(不过点(0,1)),除此以外幂函数的图象都是曲线.
α= (pq≠0) p,q都是 奇数 p是偶数, q是奇数 p是奇数, q是偶数
α<0
0<α<1
α>1
奇偶性 奇函数 偶函数 非奇非 偶函数
在(0,+∞) 上的 单调性 当α<0时,单调递减;当α>0时,单调递增
基础自测
1.已知f(x)=(a-1)xa为幂函数,则f(-2)等于( )
[A]-4 [B]-
[C]4 [D]
【答案】 C
【解析】 因为f(x)是幂函数,所以a-1=1,得a=2,则f(x)=x2,f(-2)=4.故选C.
2.以下结论中,正确的为( )
[A]当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线
[B]幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点
[C]若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大
[D]幂函数的图象不可能在第四象限,但可能在第二象限
【答案】 D
【解析】 当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},故A不正确;当α<0时,函数y=xα的图象不过点(0,0),故B不正确;幂函数y=x-1的图象关于原点对称,但其在定义域内不是增函数,故C不正确.故选D.
3.下图给出4个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是( )
[A]①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1
[B]①y=x3,②y=x2,③y=x-1,④y=
[C]①y=x2,②y=x3,③y=x-1,④y=
[D]①y=x3,②y=,④y=x2,④y=x-1
【答案】 A
【解析】 y=x3的定义域为R,为奇函数,在(0,+∞)上单调递增,对应图象①;y=x2的定义域为R,为偶函数,在(0,+∞)上单调递增,对应图象②;y=的定义域为[0,+∞),为非奇非偶函数,在(0,+∞)上单调递增,对应图象③;y=x-1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),为奇函数,在(0,+∞)上单调递减,对应图象④.故选A.
4.(人教A版必修第一册P91练习T2改编)比较大小.(用“<”或“>”连接)
(1)1. 1.;
(2)(-1.2)3 (-1.25)3;
(3)5.25-1 5.26-1.
【答案】 (1)< (2)> (3)>
【解析】 (1)因为函数y=在(0,+∞)上单调递增,且1.5<1.7,所以1.<1..
(2)因为函数y=x3在R上是增函数,且-1.2>-1.25,所以(-1.2)3>(-1.25)3.
(3)因为函数y=x-1在(0,+∞)上单调递减,且5.25<5.26,所以5.25-1>5.26-1.
题型一 幂函数的概念
[例1] 现有下列函数:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x.其中幂函数的个数为( )
[A]4 [B]3
[C]2 [D]1
【答案】 C
【解析】 幂函数的一般表达式为y=xα,逐一对比可知题干中的幂函数有①y=x3,⑤y=x.
故选C.
幂函数解析式的特征
(1)xα的系数是1.
(2)xα的底数是自变量,指数α为常数.
(3)项数只有一项.
[变式训练] 已知函数f(x)=(m2-4m+5)xm+2m-n(m∈R)为幂函数,则n-m等于( )
[A]-1 [B]1
[C]-2 [D]2
【答案】 D
【解析】 由幂函数的定义得m2-4m+5=1,且2m-n=0,解得m=2,n=4,故n-m=2.故选D.
题型二 幂函数的图象
[例2] 图中曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象,已知n分别取-1,1,,2四个值,相应的曲线C1,C2,C3,C4对应的n依次为( )
[A]-1,,1,2 [B]2,1,,-1
[C],-1,2,1 [D]2,,-1,1
【答案】 B
【解析】 函数y=x-1在第一象限内单调递减,对应的图象为C4;y=x的图象为一条过原点的直线,对应的图象为C2;y=x2的图象为抛物线,对应的图象应为C1;y=在第一象限内的图象是C3.所以与曲线C1,C2,C3,C4对应的n依次为2,1,,-1.故选B.
(1)幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第二或第三象限内出现要看幂函数的奇偶性.
(2)幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系具有如下规律:在直线x=1的右侧,按逆时针方向,图象所对应的幂指数依次增大(如图).
(3)根据图象研究函数解析式时,应结合函数在第一象限的单调性确定y=xα中 α的符号,根据图象的对称性确定α是奇数还是偶数.
[变式训练] 若幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则( )
[A]-1
[B]n<-1,0[C]-11
[D]n<-1,m>1
【答案】 B
【解析】 由图象知,y=xm在(0,+∞)上单调递增,所以m>0,y=xm的图象增长得越来越慢,所以m<1,y=xn在(0,+∞)上单调递减,所以n<0,又当x>1时,y=xn的图象在y=x-1图象的下方,所以n<-1.故选B.
题型三 利用幂函数单调性比较大小
[例3] (苏教版必修第一册P140例2)试比较下列各组数的大小:
(1)1.13,0.893;
(2)2.,,1.;
(3)()1.3,1,.
【解】 (1)因为函数y=x3在区间[0,+∞)上单调递增,又1.1>0.89,所以1.13>0.893.
(2)因为函数y=在区间[0,+∞)上单调递增,又2.1>2>1.8,所以2.>>1..
(3)因为函数y=x1.3在区间[0,+∞)上单调递增,又1=11.3,<1,所以()1.3<11.3=1.
因为函数y=在区间[0,+∞)上单调递增,又=1,3>1,所以>=1.于是()1.3<1<.
利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法
[变式训练] 已知a=,b=,c=,d=,则( )
[A]a>b>c>d [B]c>a>b>d
[C]a>c>b>d [D]c>a>d>b
【答案】 B
【解析】 因为a6=,b6=,c6=,d6=,所以c6>a6>b6>d6,又a>0,b>0,c>0,d>0,y=x6在(0,+∞)上单调递增,所以c>a>b>d.故选B.
题型四 幂函数性质的综合运用
[例4] 已知幂函数f(x)=(p2-3p+3)满足f(3)(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(3-a)>f(2a-1),求实数a的取值范围.
【解】 (1)由f(x)=(p2-3p+3)p-是幂函数,可得p2-3p+3=1,解得p=1或p=2.
当p=1时,f(x)=x-1在(0,+∞)上单调递减,不满足f(3)当p=2时,f(x)=在[0,+∞)上单调递增,满足f(3)(2)由(1)知f(x)=,则函数f(x)的定义域为[0,+∞),且函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,
又f(3-a)>f(2a-1),所以解得≤a<,所以实数a的取值范围是[,).
(1)解答幂函数的综合问题时,应注意以下两点:
①充分利用幂函数的图象、性质,如图象所过定点、单调性、奇偶性等;
②注意运用常见的思想方法,如分类讨论、数形结合思想.
(2)解不等式时,一般不要代入求解,应该用单调性转化为不等式求解,另外要注意函数的定义域对变量的限制.
[变式训练] 已知幂函数f(x)=(k2+2k-2)(m∈N*)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减.
(1)求m和k的值;
(2)求满足(2a+1)-m<(3-2a)-m的实数a的取值范围.
【解】 (1)由函数f(x)=(k2+2k-2)(m∈N*)为幂函数,则k2+2k-2=1,解得k=-3或 k=1.
由f(x)=(k2+2k-2)(m∈N*)在(0,+∞)上单调递减,得m2-2m-3<0,解得-1当m=1时,f(x)=x-4,定义域为{x|x≠0},且为偶函数,符合题意;
当m=2时,f(x)=x-3,定义域为{x|x≠0},函数为奇函数,不符合题意.
故m=1,k=-3或k=1.
(2)结合(1)可知,(2a+1)-m<(3-2a)-m即为(2a+1)-1<(3-2a)-1,故2a+1>3-2a>0或0>2a+1>3-2a或2a+1<0<3-2a,解得【学习目标】 1.掌握幂函数的概念.2.掌握幂函数y=xα(α=-1,,1,2,3)的图象与性质.
3.会根据幂函数的单调性比较幂值的大小.
知识归纳
知识点一 幂函数
一般地,函数 叫做幂函数,其中 是自变量, 是常数.
知识点二 常见幂函数的图象和性质
解析式 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 y=
图象
定义域 R R R
值域 R R
奇偶性 函数 函数 函数 函数 函数
单调性 在(-∞,+∞)上单调 在(-∞,0]上单调 ,在(0,+∞)上单调 在(-∞,+∞)上单调 在(-∞,0)上单调 ,在(0,+∞)上单调 在[0,+∞)上单调
定点
知识拓展
一般幂函数的图象和性质
当指数α=1时,y=x的图象是直线;当α=0时,y=x0=1是断直线(不过点(0,1)),除此以外幂函数的图象都是曲线.
α= (pq≠0) p,q都是 奇数 p是偶数, q是奇数 p是奇数, q是偶数
α<0
0<α<1
α>1
奇偶性 奇函数 偶函数 非奇非 偶函数
在(0,+∞) 上的 单调性 当α<0时,单调递减;当α>0时,单调递增
基础自测
1.已知f(x)=(a-1)xa为幂函数,则f(-2)等于( )
[A]-4 [B]-
[C]4 [D]
2.以下结论中,正确的为( )
[A]当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线
[B]幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点
[C]若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大
[D]幂函数的图象不可能在第四象限,但可能在第二象限
3.下图给出4个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是( )
[A]①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1
[B]①y=x3,②y=x2,③y=x-1,④y=
[C]①y=x2,②y=x3,③y=x-1,④y=
[D]①y=x3,②y=,④y=x2,④y=x-1
4.(人教A版必修第一册P91练习T2改编)比较大小.(用“<”或“>”连接)
(1)1. 1.;
(2)(-1.2)3 (-1.25)3;
(3)5.25-1 5.26-1.
题型一 幂函数的概念
[例1] 现有下列函数:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x.其中幂函数的个数为( )
[A]4 [B]3
[C]2 [D]1
幂函数解析式的特征
(1)xα的系数是1.
(2)xα的底数是自变量,指数α为常数.
(3)项数只有一项.
[变式训练] 已知函数f(x)=(m2-4m+5)xm+2m-n(m∈R)为幂函数,则n-m等于( )
[A]-1 [B]1
[C]-2 [D]2
题型二 幂函数的图象
[例2] 图中曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象,已知n分别取-1,1,,2四个值,相应的曲线C1,C2,C3,C4对应的n依次为( )
[A]-1,,1,2 [B]2,1,,-1
[C],-1,2,1 [D]2,,-1,1
(1)幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第二或第三象限内出现要看幂函数的奇偶性.
(2)幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系具有如下规律:在直线x=1的右侧,按逆时针方向,图象所对应的幂指数依次增大(如图).
(3)根据图象研究函数解析式时,应结合函数在第一象限的单调性确定y=xα中 α的符号,根据图象的对称性确定α是奇数还是偶数.
[变式训练] 若幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则( )
[A]-1[B]n<-1,0[C]-11
[D]n<-1,m>1
题型三 利用幂函数单调性比较大小
[例3] (苏教版必修第一册P140例2)试比较下列各组数的大小:
(1)1.13,0.893;
(2)2.,,1.;
(3)()1.3,1,.
利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法
[变式训练] 已知a=,b=,c=,d=,则( )
[A]a>b>c>d [B]c>a>b>d
[C]a>c>b>d [D]c>a>d>b
题型四 幂函数性质的综合运用
[例4] 已知幂函数f(x)=(p2-3p+3)满足f(3)(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(3-a)>f(2a-1),求实数a的取值范围.
(1)解答幂函数的综合问题时,应注意以下两点:
①充分利用幂函数的图象、性质,如图象所过定点、单调性、奇偶性等;
②注意运用常见的思想方法,如分类讨论、数形结合思想.
(2)解不等式时,一般不要代入求解,应该用单调性转化为不等式求解,另外要注意函数的定义域对变量的限制.
[变式训练] 已知幂函数f(x)=(k2+2k-2)(m∈N*)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减.
(1)求m和k的值;
(2)求满足(2a+1)-m<(3-2a)-m的实数a的取值范围.