3.4函数的应用(一)
【学习目标】 1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用,能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.2.能将实际问题转化为熟悉的模型,建立合适的数学模型解决简单的实际问题.
知识归纳
知识点 常见的几类函数模型
1.一次函数模型
形如y=kx+b(k≠0)的函数模型是一次函数模型,一次函数的图象为直线.
2.二次函数模型
(1)形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数模型是二次函数模型.
(2)二次函数模型是生活中最常见的一种数学模型,依据实际问题建立二次函数模型,写出解析式后,利用配方法求最值简单易懂,有时也可以依据二次函数的单调性求最值,从而解决最大、最小值等问题.
3.常用的幂函数模型有两个:y=kxn,y=k(1+x)n(k,n是常数,k≠0),当n=1,2时,就是特殊的一次函数和二次函数模型.
4.分段函数模型
(1)分段函数模型.
分段函数是指函数解析式由几段组成的函数,根据自变量取值范围的不同,由题设确定出不同的函数关系式.
(2)分段函数模型的应用.
①分段函数模型应用的关键是确定分段的各边界点.即明确自变量的取值区间,对每一区间进行分类讨论,从而写出函数解析式.
②要注意结合实际问题的实际意义,有时还可结合图象去求解.
基础自测
1.已知在一定范围内,某种产品的购买量y(单位:t)与单价x(单位:元)之间满足一次函数关系.如果购买1 000 t,则每吨800元;如果购买2 000 t,则每吨700元.若一客户购买400 t,则其价格为每吨( )
[A]820元 [B]840元
[C]860元 [D]880元
2.某产品的总成本y(单元:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-
0.1x2(0[A]100台 [B]120台
[C]150台 [D]180台
3.已知某种茶叶的茶水温度y(单位:℃)和泡茶时间t(单位:min)满足关系式y=
若喝茶的最佳口感水温大约是60 ℃,则需要等待的时间为( )
[A]1.5 min [B]2 min
[C]3 min [D]4 min
4.(人教A版必修第一册P96习题3.4 T1改编)已知某学校宿舍与办公室相距a m.某同学有材料要送交给老师,从宿舍出发,先匀速跑步3 min来到办公室,停留2 min,然后匀速步行10 min返回宿舍.在这个过程中,这位同学行进的速度v(t)和行走的路程S(t)都是时间t的函数,则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的( )
[A]①② [B]③④
[C]①④ [D]②③
题型一 一次函数模型
[例1] 为了改善学校办公条件,某校计划购买A,B两种型号的笔记本电脑共15台,已知A型笔记本电脑每台5 200元,B型笔记本电脑每台6 400元,设购买A型笔记本电脑x台,购买两种型号的笔记本电脑共需要费用y元.
(1)求出y关于x的函数解析式.
(2)若因为经费有限,学校预算不超过9万元,且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多,请问:学校共有几种购买方案 哪种方案费用最少 求出费用最少的方案所需的费用.
一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.
(2)当一次项系数为正时,一次函数在其定义域上为增函数;当一次项系数为负时,一次函数在其定义域上为减函数.
(3)解一次函数模型时,注意待定系数法的应用,主要步骤是设元、列式、求解.
[变式训练] 某通讯公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的A,B两种卡在某市范围内每月(按30天计)的通话时间x(单位:min)与通话费用y(单位:元)的关系如图所示.
(1)分别求出通话费用y1,y2与通话时间x之间的函数解析式;
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.
题型二 二次函数模型
[例2] 某超市销售一种水果,进价为每箱40元,规定售价不低于进价.现在的售价为每箱
72元,每月可销售60箱.经市场调查发现:若这种水果的售价每箱降低2元,则平均每月的销量将增加10箱.设每箱水果降价x元(x为偶数),平均每月的销量为y箱.
(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围.
(2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元,则如何定价才能使每月销售这种水果的利润最大 最大利润是多少元
利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法:根据实际问题建立函数模型,写出解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意:取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
[变式训练] 据市场分析,某海鲜加工公司当月某产品的产量在10 t至25 t时,月总成本y(单位:万元)可以看作月产量x(单位:t)的二次函数.当月产量为10 t时,月总成本为20万元;当月产量为15 t时,月总成本最低为17.5万元,为二次函数的顶点.
(1)写出月总成本y关于月产量x的函数关系式.
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润
题型三 幂函数模型
[例3] 某种品牌的饼干,其100 g装的售价为1.6元,其400 g装的售价为4.8元,假定该商品的售价由三部分组成:生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为m,包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为n,利润率为20%,试写出该种饼干900 g装的合理售价.
(1)注意数学、物理中有一些基本的公式也是幂函数模型.例如,圆的面积公式S=πr2,正方体的体积公式V=a3等.
(2)含有二次根式的可以利用换元转化为二次函数模型.
[变式训练] 在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量R(单位:cm3/s)与管道半径r(单位:cm)的四次方成正比.
(1)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s,求该气体通过半径为r cm的管道时,其流量R的函数解析式;
(2)已知(1)中的气体通过的管道半径为5 cm,计算该气体的流量.(精确到1 cm3/s)
题型四 分段函数模型
[例4] 某快递公司在某市的货物转运中心拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本.已知购买x台机器人的总成本为P(x)万元,且P(x)=(x∈N).
(1)若要使每台机器人的平均成本最低,则应买多少台机器人
(2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排n人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣,经实验知,每台机器人的日平均分拣量为q(n)=(单位:件,n∈N*),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 000件,问引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少
应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3)分段函数的值域或最值求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论.
[变式训练] 某企业拥有一台大功率的耗电设备,每天至少运行1 h,但不超过20 h.假设该设备每天运行时间为x(单位:h),且每小时的平均耗电量C(x)(单位:kW·h)与每天的运行时间满足如下函数关系:
C(x)=
(1)当1≤x≤10时,若该设备每小时的平均耗电量不超过2 kW·h,求x的取值范围;
(2)求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间.3.4函数的应用(一)
【学习目标】 1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用,能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.2.能将实际问题转化为熟悉的模型,建立合适的数学模型解决简单的实际问题.
知识归纳
知识点 常见的几类函数模型
1.一次函数模型
形如y=kx+b(k≠0)的函数模型是一次函数模型,一次函数的图象为直线.
2.二次函数模型
(1)形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数模型是二次函数模型.
(2)二次函数模型是生活中最常见的一种数学模型,依据实际问题建立二次函数模型,写出解析式后,利用配方法求最值简单易懂,有时也可以依据二次函数的单调性求最值,从而解决最大、最小值等问题.
3.常用的幂函数模型有两个:y=kxn,y=k(1+x)n(k,n是常数,k≠0),当n=1,2时,就是特殊的一次函数和二次函数模型.
4.分段函数模型
(1)分段函数模型.
分段函数是指函数解析式由几段组成的函数,根据自变量取值范围的不同,由题设确定出不同的函数关系式.
(2)分段函数模型的应用.
①分段函数模型应用的关键是确定分段的各边界点.即明确自变量的取值区间,对每一区间进行分类讨论,从而写出函数解析式.
②要注意结合实际问题的实际意义,有时还可结合图象去求解.
基础自测
1.已知在一定范围内,某种产品的购买量y(单位:t)与单价x(单位:元)之间满足一次函数关系.如果购买1 000 t,则每吨800元;如果购买2 000 t,则每吨700元.若一客户购买400 t,则其价格为每吨( )
[A]820元 [B]840元
[C]860元 [D]880元
【答案】 C
【解析】 设y=kx+b(k≠0),则
解得则y=-10x+9 000,
由400=-10x+9 000,解得x=860.故选C.
2.某产品的总成本y(单元:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-
0.1x2(0[A]100台 [B]120台
[C]150台 [D]180台
【答案】 C
【解析】 依题意,利润g(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)≥0,整理得x2+50x-30 000≥0,解得x≥150,
又x∈(0,240),所以最低产量是150台.故选C.
3.已知某种茶叶的茶水温度y(单位:℃)和泡茶时间t(单位:min)满足关系式y=
若喝茶的最佳口感水温大约是60 ℃,则需要等待的时间为( )
[A]1.5 min [B]2 min
[C]3 min [D]4 min
【答案】 D
【解析】 令60=-10t+100,解得t=4;令=60,解得t=2(舍去),所以需要等待的时间为4 min.故选D.
4.(人教A版必修第一册P96习题3.4 T1改编)已知某学校宿舍与办公室相距a m.某同学有材料要送交给老师,从宿舍出发,先匀速跑步3 min来到办公室,停留2 min,然后匀速步行10 min返回宿舍.在这个过程中,这位同学行进的速度v(t)和行走的路程S(t)都是时间t的函数,则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的( )
[A]①② [B]③④
[C]①④ [D]②③
【答案】 A
【解析】 依题意,
行进的速度v(t)=
行走的路程S(t)=
由速度函数及路程函数的解析式可知,其图象分别为①②.故选A.
题型一 一次函数模型
[例1] 为了改善学校办公条件,某校计划购买A,B两种型号的笔记本电脑共15台,已知A型笔记本电脑每台5 200元,B型笔记本电脑每台6 400元,设购买A型笔记本电脑x台,购买两种型号的笔记本电脑共需要费用y元.
(1)求出y关于x的函数解析式.
(2)若因为经费有限,学校预算不超过9万元,且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多,请问:学校共有几种购买方案 哪种方案费用最少 求出费用最少的方案所需的费用.
【解】 (1)由题知购买A型笔记本电脑x台,则购买B型笔记本电脑(15-x)台,
所以y=5 200x+6 400(15-x)=-1 200x+96 000.所以y关于x的函数解析式为y=-1 200x+
96 000,x∈N.
(2)因为学校预算不超过9万元,购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多,
所以解得5≤x≤10,x∈N,故x可取5,6,7,8,9,10,
又函数y=-1 200x+96 000在定义域上单调递减,
所以当x=10时,y取得最小值,即ymin=84 000,此时15-x=5.
故学校共有6种购买方案,当购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少,该方案所需费用为84 000元.
一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.
(2)当一次项系数为正时,一次函数在其定义域上为增函数;当一次项系数为负时,一次函数在其定义域上为减函数.
(3)解一次函数模型时,注意待定系数法的应用,主要步骤是设元、列式、求解.
[变式训练] 某通讯公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的A,B两种卡在某市范围内每月(按30天计)的通话时间x(单位:min)与通话费用y(单位:元)的关系如图所示.
(1)分别求出通话费用y1,y2与通话时间x之间的函数解析式;
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.
【解】 (1)由题图可设y1=k1x+30(k1≠0),y2=k2x(k2≠0),把点B(30,35),C(30,15)分别代入y1=k1x+30(k1≠0),y2=k2x(k2≠0),得k1=,k2=.
所以y1=x+30(x≥0),y2=x(x≥0).
(2)令y1=y2,即x+30=x,则x=90.
所以当一个月内通话时间为90 min时,y1=y2,两种卡收费一致;
当一个月内通话时间少于90 min时,y1>y2,使用B卡便宜;
当一个月内通话时间多于90 min时,y1题型二 二次函数模型
[例2] 某超市销售一种水果,进价为每箱40元,规定售价不低于进价.现在的售价为每箱
72元,每月可销售60箱.经市场调查发现:若这种水果的售价每箱降低2元,则平均每月的销量将增加10箱.设每箱水果降价x元(x为偶数),平均每月的销量为y箱.
(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围.
(2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元,则如何定价才能使每月销售这种水果的利润最大 最大利润是多少元
【解】 (1)因为每箱价格降低2元,平均每月多销售10箱,所以每箱降价x元(x为偶数),平均每月多销售5x箱,
根据题意知y=5x+60(0≤x≤32,且x为偶数).
(2)设每月销售这种水果的利润为w,则w=(72-x-40)(5x+60)-500=-5x2+100x+1 420=
-5(x-10)2+1 920,
当x=10时,w取得最大值,最大值为1 920.
故当售价为62元时,每月销售这种水果的利润最大,最大利润是1 920元.
利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法:根据实际问题建立函数模型,写出解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意:取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
[变式训练] 据市场分析,某海鲜加工公司当月某产品的产量在10 t至25 t时,月总成本y(单位:万元)可以看作月产量x(单位:t)的二次函数.当月产量为10 t时,月总成本为20万元;当月产量为15 t时,月总成本最低为17.5万元,为二次函数的顶点.
(1)写出月总成本y关于月产量x的函数关系式.
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润
【解】 (1)设y=a(x-15)2+17.5(a≠0),将x=10,y=20代入上式,得20=25a+17.5,解得a=0.1.
所以y=0.1(x-15)2+17.5(10≤x≤25).
(2)设最大利润为Q(x),则Q(x)=1.6x-y=1.6x-[0.1(x-15)2+17.5]=-0.1(x-23)2+12.9(10≤x≤25).
所以当月产量为23 t时,可获最大利润12.9万元.
题型三 幂函数模型
[例3] 某种品牌的饼干,其100 g装的售价为1.6元,其400 g装的售价为4.8元,假定该商品的售价由三部分组成:生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为m,包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为n,利润率为20%,试写出该种饼干900 g装的合理售价.
【解】 设饼干的质量为x g,
则其售价y(单位:元)与x之间的函数解析式为y=(mx+n)·(1+0.2).
由题意得1.6=(100m+n)(1+0.2),即50m+5n=,①
4.8=(400m+n)(1+0.2),即100m+5n=1.②
由①②解得m=,n=.所以y=+.当x=900时,y=9.6.
故这种饼干900 g装的售价为9.6元.
(1)注意数学、物理中有一些基本的公式也是幂函数模型.例如,圆的面积公式S=πr2,正方体的体积公式V=a3等.
(2)含有二次根式的可以利用换元转化为二次函数模型.
[变式训练] 在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量R(单位:cm3/s)与管道半径r(单位:cm)的四次方成正比.
(1)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s,求该气体通过半径为r cm的管道时,其流量R的函数解析式;
(2)已知(1)中的气体通过的管道半径为5 cm,计算该气体的流量.(精确到1 cm3/s)
【解】 (1)由题意,设R=kr4(k是大于0的常数),r>0.
由r=3,R=400,得k·34=400,所以k=.
所以函数解析式为R=r4,r∈(0,+∞).
(2)因为R=r4,所以当r=5时,R=×54≈3 086.
故当通过半径为5 cm的管道时,该气体的流量为3 086 cm3/s.
题型四 分段函数模型
[例4] 某快递公司在某市的货物转运中心拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本.已知购买x台机器人的总成本为P(x)万元,且P(x)=(x∈N).
(1)若要使每台机器人的平均成本最低,则应买多少台机器人
(2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排n人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣,经实验知,每台机器人的日平均分拣量为q(n)=(单位:件,n∈N*),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 000件,问引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少
【解】 (1)由题意,每台机器人的平均成本y==(x∈N).
当1≤x≤100时,y=x2-x+28,函数图象为开口向上的抛物线,且对称轴为直线x=50,则当x=50时,ymin=3;
当x>100时,y=x+1+≥2+1=2,当且仅当x=,即x=150时,等号成立.
由3>2,可得要使每台机器人的平均成本最低,则应买150台机器人.
(2)当1≤n≤25时,q(n)=n(50-n),取n==25,得q(n)max=×25×(50-25)=1 000.
当n>25时,q(n)=1 000,
则q(n)的最大值为1 000,此时n≥25,n∈N*,即引进机器人后,日平均分拣量的最大值为150×1 000=150 000(件),由题意,若是传统人工分拣则需=150(人),又150-25=125(人),故引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少125人.
应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3)分段函数的值域或最值求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论.
[变式训练] 某企业拥有一台大功率的耗电设备,每天至少运行1 h,但不超过20 h.假设该设备每天运行时间为x(单位:h),且每小时的平均耗电量C(x)(单位:kW·h)与每天的运行时间满足如下函数关系:
C(x)=
(1)当1≤x≤10时,若该设备每小时的平均耗电量不超过2 kW·h,求x的取值范围;
(2)求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间.
【解】 (1)当1≤x≤10时,C(x)=-+10,由题意得,C(x)≤2 -+10≤2,
即x2-14x+45≤0 (x-5)(x-9)≤0,解得5≤x≤9,又1≤x≤10,所以x的取值范围为[5,9].
(2)设该设备一天的耗电总量为W(x),
则W(x)=x·C(x)=
①当1≤x≤10时,W(x)=+10x-112≥2·-112=8,当且仅当=10x,即x=6时,等号成立;
②当10因为W(6)
