4.1 指 数
学习目标 1.理解n次方根及根式的概念,掌握根式的性质,能利用根式的性质对根式进行运算.2.理解分数指数幂的含义,掌握根式和分数指数幂的互化.3.掌握实数指数幂的运算性质,并能对代数式进行化简或求值.
知识归纳
知识点一 根式的相关概念和性质
1.a的n次方根的定义
一般地,如果 ,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
2.a的n次方根的表示
n a的n次方根 的表示符号 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数
3.根式的定义
式子叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数.
4.根式的性质
根据n次方根的定义,根式具有如下性质:
(1)()n= (n>1,且n∈N*).
(2)=
(1)负数没有偶次方根.
(2)0的任何次方根都是0,记作=0(n>1,且n∈N*).
(3)()n与意义不同,比如=-3,=3,而没有意义,故()n≠.
(4)当a≥0时,()n=;当a<0且n为奇数时,()n=;当a<0且n为偶数时,对于要注意运算次序.
知识点二 分数指数幂
1.规定正数的正分数指数幂的意义是=(a>0,m,n∈N*,n>1).
2.规定正数的负分数指数幂的意义是==(a>0,m,n∈N*,n>1).
3.0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 .
(1)分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种写法.
(2)正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数.
(3)整数指数幂的运算性质可以推广到有理数指数幂,即有以下运算性质:
①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
知识拓展
(1)=ar-s(a>0,r,s∈Q).
(2)=(a>0,b>0,r∈Q).
知识点三 无理数指数幂
1.无理数指数幂:一般地,无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个确定的 .
2.实数指数幂的运算性质:
(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R).
(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).
(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).
知识拓展
(1)=ar-s(a>0,r,s∈R).
(2)=(a>0,b>0,r∈R).
基础自测
1.若+有意义,则a的取值范围是( )
[A][0,+∞) [B][1,+∞)
[C][2,+∞) [D]R
2.(人教A版必修第一册P107练习T1改编)下列各等式中成立的是( )
[A]=(a>0)
[B]=(a>0)
[C]=±(a>0)
[D]=-(a>0)
3.若1
[A]1 [B]-1
[C]3-2a [D]2a-3
4.×等于( )
[A]4 [B]8
[C] [D]
题型一 n次方根
[例1] (1)计算:()3++;
(2)化简:-(-3正确区分与()n
(1)中的a可以是全体实数,的值取决于n的奇偶性.
(2)()n已暗含了有意义,根据n的奇偶性可知a的取值范围.
[变式训练] 计算下列各式:
(1)+()5;
(2)+;
(3)+.
题型二 根式与分数指数幂互化
[例2] (湘教版必修第一册P97例5)用分数指数幂的形式表示下列根式的化简结果(式中字母都是正数):
(1);
(2)(-)÷;
(3).
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子.
(2)如果根式中含有多重根号,要依次用分数指数幂写出.
[变式训练] 用分数指数幂表示下列各式(式中字母均为正数):
(1);
(2);
(3).
题型三 实数指数幂的运算
[例3] 计算下列各式的值:
(1)+-+;
(2)4÷(-)×;
(3).
关于指数式的化简、求值问题
(1)无论是化简还是求值,一般的运算顺序是先乘方,再乘除,最后加减.
(2)若式子中含有根式,一般把底数中的根式化为指数式,指数中的根式可以保留直接运算.
[变式训练] (1)计算:+20-+;
(2)化简:(a-π)(-4ab-1)÷(其中a,b>0).
题型四 实数指数幂的综合运用
[例4] 已知x+x-1=3,求下列各式的值:
(1)+;
(2)x2+x-2;
(3)x2-x-2.
利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题时,常常运用完全平方公式及其变形公式.
常见的变形公式:x2+x-2=(x±x-1)2 2,x+x-1=(±)2 2,+=(±)2 2.
整体代换法是数学变形与计算中常用的技巧方法,分析观察条件与结论的结构特点,灵活运用恒等式是关键.
[变式训练] 若am=3,an=4,则等于( )
[A]24 [B]12
[C]2 [D]24.1 指 数
学习目标 1.理解n次方根及根式的概念,掌握根式的性质,能利用根式的性质对根式进行运算.2.理解分数指数幂的含义,掌握根式和分数指数幂的互化.3.掌握实数指数幂的运算性质,并能对代数式进行化简或求值.
知识归纳
知识点一 根式的相关概念和性质
1.a的n次方根的定义
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
2.a的n次方根的表示
n a的n次方根 的表示符号 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ± [0,+∞)
3.根式的定义
式子叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数.
4.根式的性质
根据n次方根的定义,根式具有如下性质:
(1)()n=a(n>1,且n∈N*).
(2)=
(1)负数没有偶次方根.
(2)0的任何次方根都是0,记作=0(n>1,且n∈N*).
(3)()n与意义不同,比如=-3,=3,而没有意义,故()n≠.
(4)当a≥0时,()n=;当a<0且n为奇数时,()n=;当a<0且n为偶数时,对于要注意运算次序.
知识点二 分数指数幂
1.规定正数的正分数指数幂的意义是=(a>0,m,n∈N*,n>1).
2.规定正数的负分数指数幂的意义是==(a>0,m,n∈N*,n>1).
3.0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(1)分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种写法.
(2)正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数.
(3)整数指数幂的运算性质可以推广到有理数指数幂,即有以下运算性质:
①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
知识拓展
(1)=ar-s(a>0,r,s∈Q).
(2)=(a>0,b>0,r∈Q).
知识点三 无理数指数幂
1.无理数指数幂:一般地,无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个确定的实数.
2.实数指数幂的运算性质:
(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R).
(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).
(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).
知识拓展
(1)=ar-s(a>0,r,s∈R).
(2)=(a>0,b>0,r∈R).
基础自测
1.若+有意义,则a的取值范围是( )
[A][0,+∞) [B][1,+∞)
[C][2,+∞) [D]R
【答案】 B
【解析】 由+有意义,得解得a≥1,所以a的取值范围是[1,+∞).
故选B.
2.(人教A版必修第一册P107练习T1改编)下列各等式中成立的是( )
[A]=(a>0)
[B]=(a>0)
[C]=±(a>0)
[D]=-(a>0)
【答案】 B
【解析】 当a>0时,=,=,=,=,只有B正确.故选B.
3.若1[A]1 [B]-1
[C]3-2a [D]2a-3
【答案】 C
【解析】 因为10,所以+=1-a+|2-a|=1-a+2-a=3-2a.故选C.
4.×等于( )
[A]4 [B]8
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 ×=53×5-3÷2-3=50×23=8.故选B.
题型一 n次方根
[例1] (1)计算:()3++;
(2)化简:-(-3【解】 (1)()3++=-6+4-+-4=-6.
(2)原式=-=|x-1|-|x+3|,因为-3当-4即1≤x<3时,|x-1|-|x+3|=x-1-(x+3)=-4.
所以原式=
正确区分与()n
(1)中的a可以是全体实数,的值取决于n的奇偶性.
(2)()n已暗含了有意义,根据n的奇偶性可知a的取值范围.
[变式训练] 计算下列各式:
(1)+()5;
(2)+;
(3)+.
【解】 (1)+()5=-2-2=-4.
(2)+=|π-4|+π-4=4-π+π-4=0.
(3)+=a+|1-a|,当a≥1时,a+|1-a|=a+a-1=2a-1;当a<1时,a+|1-a|=a+1-a=1.
所以+=
题型二 根式与分数指数幂互化
[例2] (湘教版必修第一册P97例5)用分数指数幂的形式表示下列根式的化简结果(式中字母都是正数):
(1);
(2)(-)÷;
(3).
【解】 (1)===(ab.
(2)(-)÷=(-)÷=-=-.
(3)=[xy2·(xy==.
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子.
(2)如果根式中含有多重根号,要依次用分数指数幂写出.
[变式训练] 用分数指数幂表示下列各式(式中字母均为正数):
(1);
(2);
(3).
【解】 (1)原式==·=·=1.
(2)原式==·=··=.
(3)原式===m0=1.
题型三 实数指数幂的运算
[例3] 计算下列各式的值:
(1)+-+;
(2)4÷(-)×;
(3).
【解】 (1)原式=+-+1=+-2+1=.
(2)原式=4×(-)×=4×(-)×·=-.
(3)原式=====.
关于指数式的化简、求值问题
(1)无论是化简还是求值,一般的运算顺序是先乘方,再乘除,最后加减.
(2)若式子中含有根式,一般把底数中的根式化为指数式,指数中的根式可以保留直接运算.
[变式训练] (1)计算:+20-+;
(2)化简:(a-π)(-4ab-1)÷(其中a,b>0).
【解】 (1)原式=+20-+×=4+1-27+54=32.
(2)原式==-a4-πb-1.
题型四 实数指数幂的综合运用
[例4] 已知x+x-1=3,求下列各式的值:
(1)+;
(2)x2+x-2;
(3)x2-x-2.
【解】 (1)因为x+x-1=3,(+=x+x-1+2,所以+=[(+)2=(x+x-1+2=.
(2)因为x+x-1=3,所以x2+x-2=-2=9-2=7.
(3)因为x+x-1=3,所以 x-x-1=±=±=±,
所以x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=±3.
利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题时,常常运用完全平方公式及其变形公式.
常见的变形公式:x2+x-2=(x±x-1)2 2,x+x-1=(±)2 2,+=(±)2 2.
整体代换法是数学变形与计算中常用的技巧方法,分析观察条件与结论的结构特点,灵活运用恒等式是关键.
[变式训练] 若am=3,an=4,则等于( )
[A]24 [B]12
[C]2 [D]2
【答案】 A
【解析】 =am·=3·=3×=3×=3×23=3×8=24.故选A.