4.2.1 指数函数的概念
学习目标 1.理解指数函数的概念,了解底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型函数在实际问题中的应用.
知识归纳
知识点一 指数函数的概念
一般地,函数 (a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
函数的特征
(1)底数a>0,且a≠1.
(2)指数幂的系数为1.
(3)自变量在指数上.
知识点二 指数增长型和指数衰减型函数模型
1.y=kax(k>0,a>0且a≠1),当 时为指数增长型函数模型.
2.y=kax(k>0,a>0且a≠1),当 时为指数衰减型函数模型.
基础自测
1.下列函数是指数函数的是( )
[A]y=2x+1 [B]y=2x+1
[C]y=2-x [D]y=-2x
2.若函数f(x)是指数函数,且f(2)=2,则f(x)等于( )
[A] [B]2x
[C] [D]
3.若函数f(x)=(2a2-3a+2)ax是指数函数,则a的值为( )
[A]2 [B]1
[C]1或 [D]
4.(人教A版必修第一册P119习题4.2 T2改编)某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年,剩余的这种物质为上一年的84%,设该物质最初的质量是1,则该物质的剩余量y关于经过年数x的函数关系式为 .
题型一 指数函数的概念
[例1] 若函数y=(a2-5a+7)ax+4-2a是指数函数,则有( )
[A]a=2 [B]a=3
[C]a=2或a=3 [D]a>2,且a≠3
判断一个函数为指数函数的方法
(1)看形式:判断其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构特征.
(2)明特征:看是否具备指数函数解析式的三个特征.只要有一个特征不具备,该函数就不是指数函数.
[变式训练] 给出下列函数:①y=4x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=πx;⑥y=4x2;⑦y=xx;
⑧y=(a-1)x(a>1),其中是幂函数的为 ;是指数函数的为 .(填序号)
题型二 求指数函数的解析式或函数值
[例2] 已知函数f(x)为指数函数,若f(2)=4f(1),则f()+f(-1)= .
(1)求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的解析式,然后利用已知条件,求出解析式中的参数,从而得到函数的解析式,其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
(2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.
[变式训练] 已知指数函数y=f(x)满足f(-2)=,则f(2)·f(1)等于( )
[A]-3 [B]9
[C]27 [D]81
题型三 指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
[例3] 全球变暖使某大洋冬季冰盖面积在最近50年内减少了5%,按此规律,设2025年的冬季冰盖面积为m,从2025年起,经过x年后冬季冰盖面积y与x的函数关系式是( )
[A]y=0.9·m
[B]y=(1-0.0)·m
[C]y=0.9550-x·m
[D]y=(1-0.0550-x)·m
指数型函数在实际问题中的应用
(1)函数y=kax(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1)是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律非常有用的函数模型,一般当k>0时,若a>1,则刻画指数增长变化规律;若0
(2)解决此类问题可利用待定系数法,根据条件确定出解析式中的系数后,利用指数运算解题.
[变式训练] 某人2025年7月1日到某银行存入a元,若按年利率x复利计算,则到2028年7月1日可取款( )
[A]a(1+x)2元 [B]a(1+x)4元
[C]a+(1+x)3元 [D]a(1+x)3元4.2.1 指数函数的概念
学习目标 1.理解指数函数的概念,了解底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型函数在实际问题中的应用.
知识归纳
知识点一 指数函数的概念
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
函数的特征
(1)底数a>0,且a≠1.
(2)指数幂的系数为1.
(3)自变量在指数上.
知识点二 指数增长型和指数衰减型函数模型
1.y=kax(k>0,a>0且a≠1),当a>1时为指数增长型函数模型.
2.y=kax(k>0,a>0且a≠1),当0基础自测
1.下列函数是指数函数的是( )
[A]y=2x+1 [B]y=2x+1
[C]y=2-x [D]y=-2x
【答案】 C
【解析】 由指数函数的定义可知,y=2x+1带有常数项,A错误;y=2x+1=2×2x与y=-2x的系数都不为1,B,D错误;y=2-x=,符合题意,C正确.故选C.
2.若函数f(x)是指数函数,且f(2)=2,则f(x)等于( )
[A] [B]2x
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 由题意,设f(x)=ax(a>0,且a≠1),因为f(2)=2,所以a2=2,解得a=.所以f(x)=.故选A.
3.若函数f(x)=(2a2-3a+2)ax是指数函数,则a的值为( )
[A]2 [B]1
[C]1或 [D]
【答案】 D
【解析】 因为函数y=(2a2-3a+2)ax是指数函数,所以2a2-3a+2=1,解得a=1或a=,又a>0,且a≠1,所以a=.故选D.
4.(人教A版必修第一册P119习题4.2 T2改编)某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年,剩余的这种物质为上一年的84%,设该物质最初的质量是1,则该物质的剩余量y关于经过年数x的函数关系式为 .
【答案】 y=0.84x(x∈N*)
【解析】 经过1年,剩余量y=1×0.84=0.841;经过2年,剩余量y=0.84×0.84=0.842;一般地,经过x年,剩余量y=0.84x(x∈N*).
题型一 指数函数的概念
[例1] 若函数y=(a2-5a+7)ax+4-2a是指数函数,则有( )
[A]a=2 [B]a=3
[C]a=2或a=3 [D]a>2,且a≠3
【答案】 A
【解析】 因为y=(a2-5a+7)ax+4-2a是指数函数,所以a2-5a+7=1,整理得(a-2)(a-3)=0,又4-2a=0,所以a=2.故选A.
判断一个函数为指数函数的方法
(1)看形式:判断其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构特征.
(2)明特征:看是否具备指数函数解析式的三个特征.只要有一个特征不具备,该函数就不是指数函数.
[变式训练] 给出下列函数:①y=4x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=πx;⑥y=4x2;⑦y=xx;
⑧y=(a-1)x(a>1),其中是幂函数的为 ;是指数函数的为 .(填序号)
【答案】 ② ①⑤
【解析】 因为指数函数为y=ax(a>0,且a≠1),故①⑤是指数函数;由幂函数定义知,y=x4是幂函数,故②是幂函数;由幂函数和指数函数的定义知,③④⑥⑦既不是幂函数,也不是指数函数;对于⑧,当a=2时,y=(a-1)x=1x,既不是幂函数,也不是指数函数.
题型二 求指数函数的解析式或函数值
[例2] 已知函数f(x)为指数函数,若f(2)=4f(1),则f()+f(-1)= .
【答案】
【解析】 设f(x)=ax(a>0,且a≠1),由f(2)=4f(1),得a2=4a,解得a=4或a=0(舍去),所以f(x)=4x,则f()=2,f(-1)=,所以f()+f(-1)=2+=.
(1)求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的解析式,然后利用已知条件,求出解析式中的参数,从而得到函数的解析式,其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
(2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.
[变式训练] 已知指数函数y=f(x)满足f(-2)=,则f(2)·f(1)等于( )
[A]-3 [B]9
[C]27 [D]81
【答案】 C
【解析】 设指数函数y=f(x)=ax(a>0,且a≠1),则a-2=,解得a=3,则指数函数的解析式为y=f(x)=3x,故f(2)·f(1)=32×31=27.故选C.
题型三 指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
[例3] 全球变暖使某大洋冬季冰盖面积在最近50年内减少了5%,按此规律,设2025年的冬季冰盖面积为m,从2025年起,经过x年后冬季冰盖面积y与x的函数关系式是( )
[A]y=0.9·m
[B]y=(1-0.0)·m
[C]y=0.9550-x·m
[D]y=(1-0.0550-x)·m
【答案】 A
【解析】 设该大洋冬季冰盖面积的年均变化率为p,则p50=0.95,所以p=0.9,从2025年起,经过x年后冬季冰盖面积y=0.9·m.故选A.
指数型函数在实际问题中的应用
(1)函数y=kax(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1)是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律非常有用的函数模型,一般当k>0时,若a>1,则刻画指数增长变化规律;若0(2)解决此类问题可利用待定系数法,根据条件确定出解析式中的系数后,利用指数运算解题.
[变式训练] 某人2025年7月1日到某银行存入a元,若按年利率x复利计算,则到2028年7月1日可取款( )
[A]a(1+x)2元 [B]a(1+x)4元
[C]a+(1+x)3元 [D]a(1+x)3元
【答案】 D
【解析】 由题意知,2026年7月1日可取款a(1+x)元,2027年7月1日可取款a(1+x)·(1+x)=a(1+x)2元,2028年7月1日可取款a(1+x)2·(1+x)=a(1+x)3元.故选D.