第2课时 指数函数的图象和性质(二)
学习目标 1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式.2.掌握指数函数图象和性质的综合应用.
题型一 利用指数函数的单调性比较大小
[例1] (苏教版必修第一册P144例1)比较下列各组数中两个数的大小:
(1)1.52.5,1.53.2;
(2)0.5-1.2,0.5-1.5;
(3)1.50.3,0.81.2.
比较幂的大小的方法
(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断.
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用幂函数的单调性来判断.
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值来判断.
[变式训练] 下列式子正确的是( )
[A]1.52.9>1.53.4 [B]0.20.4<0.50.4
[C]1.70.2<0.92.5 [D]0.80.5>0.90.4
题型二 简单的指数不等式的解法
[例2] 解关于x的不等式:
(1)>22x+3;
(2)≤.
[典例迁移1] 解关于x的不等式:≤a6(a>0,且a≠1).
[典例迁移2] 解不等式:4x-2x-2>0.
(1)利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
(2)解不等式af(x)>(a>0,且a≠1)的依据是指数型函数的单调性,要养成判断底数取值范围的习惯,若底数不确定,就需进行分类讨论,即af(x)> f(x)>g(x)(a>1)或f(x)
(3)解不等式k·a2x+m·ax+t>0(a>0,且a≠1,k,m≠0),可化为关于“ax”的一元二次不等式,使用换元法.
题型三 指数函数图象和性质的综合运用
[例3] 已知函数f(x)=为奇函数.
(1)写出f(x)的定义域,并求a的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并利用定义加以证明;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)>0恒成立,求实数k的取值范围.
(1)解题过程中要关注、体会性质的应用,如果性质应用不充分,会导致解题步骤繁琐或无法求解,如本题中奇偶性、单调性的应用,可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题.
(2)一元二次不等式的恒成立问题,可以结合相应的二次函数的图象,转化为等价的条件求解,恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最值问题等方法求解.
[变式训练] 设a>0,函数f(x)=+是定义域为R的偶函数.
(1)求实数a的值;
(2)求f(x)在[0,1]上的值域.第2课时 指数函数的图象和性质(二)
学习目标 1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式.2.掌握指数函数图象和性质的综合应用.
题型一 利用指数函数的单调性比较大小
[例1] (苏教版必修第一册P144例1)比较下列各组数中两个数的大小:
(1)1.52.5,1.53.2;
(2)0.5-1.2,0.5-1.5;
(3)1.50.3,0.81.2.
【解】 (1)考察指数函数y=1.5x.
因为1.5>1,
所以y=1.5x在R上是增函数.
又因为2.5<3.2,
所以1.52.5<1.53.2.
(2)考察指数函数y=0.5x.
因为0<0.5<1,
所以y=0.5x在R上是减函数.
又因为-1.2>-1.5,
所以0.5-1.2<0.5-1.5.
(3)考察指数函数y=1.5x.
因为1.5>1,
所以y=1.5x在R上是增函数.
又因为0.3>0,
所以1.50.3>1.50=1.
同理0.81.2<0.80=1,
故1.50.3>0.81.2.
比较幂的大小的方法
(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断.
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用幂函数的单调性来判断.
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值来判断.
[变式训练] 下列式子正确的是( )
[A]1.52.9>1.53.4 [B]0.20.4<0.50.4
[C]1.70.2<0.92.5 [D]0.80.5>0.90.4
【答案】 B
【解析】 对于A,y=1.5x为增函数,因为2.9<3.4,所以1.52.9<1.53.4,A错误;对于B,y=x0.4在(0,+∞)上单调递增,因为0.2<0.5,所以0.20.4<0.50.4,B正确;对于C,因为y=1.7x为增函数,所以1.70.2>1.70=1,因为y=0.9x为减函数,所以0.92.5<0.90=1,所以1.70.2>0.92.5,C错误;对于D,因为y=0.8x为减函数,所以0.80.5<0.80.4,因为y=x0.4为增函数,所以0.80.4<0.90.4,所以0.80.5<0.90.4,D错误.故选B.
题型二 简单的指数不等式的解法
[例2] 解关于x的不等式:
(1)>22x+3;
(2)≤.
【解】 (1)由>22x+3得2-3x-2>22x+3,所以-3x-2>2x+3,解得x<-1.
所以原不等式的解集为(-∞,-1).
(2)因为≤,所以≤,所以≥4,所以x≥16.
故原不等式的解集为[16,+∞).
[典例迁移1] 解关于x的不等式:≤a6(a>0,且a≠1).
【解】 若a>1,则不等式≤a6等价于x2-2x+3≤6,即(x+1)(x-3)≤0,解得-1≤x≤3;
若0综上,当a>1时,原不等式的解集为{x|-1≤x≤3};当0[典例迁移2] 解不等式:4x-2x-2>0.
【解】 因为4x-2x-2>0,所以(2x)2-2x-2>0,所以(2x+1)(2x-2)>0,又2x+1>1,所以2x-2>0,所以2x>2,所以x>1.
故原不等式的解集为(1,+∞).
(1)利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
(2)解不等式af(x)>(a>0,且a≠1)的依据是指数型函数的单调性,要养成判断底数取值范围的习惯,若底数不确定,就需进行分类讨论,即af(x)> f(x)>g(x)(a>1)或f(x)(3)解不等式k·a2x+m·ax+t>0(a>0,且a≠1,k,m≠0),可化为关于“ax”的一元二次不等式,使用换元法.
题型三 指数函数图象和性质的综合运用
[例3] 已知函数f(x)=为奇函数.
(1)写出f(x)的定义域,并求a的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并利用定义加以证明;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)>0恒成立,求实数k的取值范围.
【解】 (1)对任意的x∈R,3x+1>0,则函数f(x)的定义域为R.由f(0)==0,解得a=-1,此时f(x)=,满足f(-x)====-f(x).故a=-1.
(2)由(1)知,f(x)===1-,则函数f(x)在定义域R上单调递增.证明如下:
x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)=1--1+=,
因为x1>0,即-<0,又+1>0,+1>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(3)因为不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)>0对任意的t∈R恒成立,且函数f(x)为R上的奇函数,所以f(2t2-k)>-f(t2-2t)=f(2t-t2)对任意的t∈R恒成立,又函数f(x)为增函数,则2t2-k>2t-t2,即3t2-2t-k>0对任意的t∈R恒成立,所以Δ=4+12k<0,解得k<-.因此,实数k的取值范围是(-∞,-).
(1)解题过程中要关注、体会性质的应用,如果性质应用不充分,会导致解题步骤繁琐或无法求解,如本题中奇偶性、单调性的应用,可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题.
(2)一元二次不等式的恒成立问题,可以结合相应的二次函数的图象,转化为等价的条件求解,恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最值问题等方法求解.
[变式训练] 设a>0,函数f(x)=+是定义域为R的偶函数.
(1)求实数a的值;
(2)求f(x)在[0,1]上的值域.
【解】 (1)由f(x)=f(-x),得+=+,即4x(-a)+(a-)=0,所以(4x-)(-a)=0,
由题意得-a=0,又a>0,所以a=1.
(2)由(1)可知f(x)=4x+,设任意的x1,x2∈[0,+∞),且x1因为0≤x10,所以>1,所以1->0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)=4+=;最小值为f(0)=1+1=2.
故f(x)在[0,1]上的值域为[2,].4.2.2 指数函数的图象和性质
第1课时 指数函数的图象和性质(一)
学习目标 1.掌握指数函数的图象和性质.2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域问题.
知识归纳
知识点 指数函数的图象和性质
项目 a>1 0图象
定义域 R
值域
性 质 最值 无最值
过定点 过定点 , 即x= 时,y=
函数值 的变化 当x<0时, ; 当x>0时, 当x>0时, ; 当x<0时,
单调性 在R上是 函数 在R上是 函数
奇偶性
对称性 y=ax与y=的图象关于 对称
(1)函数图象只出现在x轴上方.
(2)当x=0时,有a0=1,故图象过定点(0,1).
(3)当0(4)当a>1时,底数越大,图象越靠近y轴.
(5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
基础自测
1.y=-1的图象大致是( )
[A] [B]
[C] [D]
2.函数f(x)=ax-1-1(a>0,且a≠1)的图象过定点( )
[A](1,0) [B](1,-1)
[C](-1,0) [D](-1,-1)
3.(人教A版必修第一册P118练习T1改编)函数y=3x与y=的图象( )
[A]关于x轴对称
[B]关于y轴对称
[C]关于原点对称
[D]关于直线y=x对称
4.若指数函数f(x)=(a-1)x在R上为减函数,则a的取值范围为 .
题型一 指数函数的图象
[例1] 如图是指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象,则a,b,c,d与0和1的大小关系是( )
[A]0[C]1解决指数函数图象问题的注意点
(1)熟记当底数a>1和0(2)在同一平面直角坐标系内,识别多个指数函数图象底数的大小,可借助直线x=1,根据直线x=1与各图象交点纵坐标的大小确定底数的大小. 在y轴右侧,指数函数的图象“底大图高”.
[变式训练] 如图,①②③④中不属于函数y=2x,y=3x,y=的图象的一个是( )
[A]① [B]② [C]③ [D]④
题型二 指数函数图象的应用
[例2] 已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=mx-n的图象不经过( )
[A]第一象限 [B]第二象限
[C]第三象限 [D]第四象限
[典例迁移1] 函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
[A]a>1,b<0
[B]a>1,b>0
[C]00
[D]0[典例迁移2] 若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值可以是( )
[A] [B] [C]2 [D]4
(1)定点问题:令函数解析式中的指数为0,可求出横坐标,再求纵坐标即可.
(2)平移问题:对于横坐标x满足“左加右减”.
(3)确定参数问题:根据函数图象特征,确定指数型函数y=ax+b+c(a>0,且a≠1)中的参数,可借助图象的升、降确定a的取值范围,利用函数图象与y轴的交点,确定b,c的取值范围,也可利用图象的平移变化确定b,c的取值范围.
题型三 与指数函数有关的定义域(值域)问题
[例3] 求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=.
y=af(x)(a>0,且a≠1)型函数的定义域、值域的求法
(1)形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的定义域就是f(x)的定义域.
(2)求形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的值域时,先求出u=f(x)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.
[变式训练] 求函数f(x)=(a>0,且a≠1)的值域.4.2.2 指数函数的图象和性质
第1课时 指数函数的图象和性质(一)
学习目标 1.掌握指数函数的图象和性质.2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域问题.
知识归纳
知识点 指数函数的图象和性质
项目 a>1 0图象
定义域 R
值域 (0,+∞)
性 质 最值 无最值
过定点 过定点(0,1), 即x=0时,y=1
函数值 的变化 当x<0时, 00时, y>1 当x>0时, 01
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶
对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称
(1)函数图象只出现在x轴上方.
(2)当x=0时,有a0=1,故图象过定点(0,1).
(3)当0(4)当a>1时,底数越大,图象越靠近y轴.
(5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
基础自测
1.y=-1的图象大致是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 函数y=-1是减函数,且当x=0时,y=0.故选B.
2.函数f(x)=ax-1-1(a>0,且a≠1)的图象过定点( )
[A](1,0) [B](1,-1)
[C](-1,0) [D](-1,-1)
【答案】 A
【解析】 令x-1=0,得x=1,代入解析式,得f(1)=0,故图象过定点(1,0).故选A.
3.(人教A版必修第一册P118练习T1改编)函数y=3x与y=的图象( )
[A]关于x轴对称
[B]关于y轴对称
[C]关于原点对称
[D]关于直线y=x对称
【答案】 B
【解析】 易知y==3-x,显然函数y=3x图象上的点(x,y)关于y轴的对称点(-x,y)都在函数y=3-x的图象上,所以函数y=3x与y=的图象关于y轴对称.故选B.
4.若指数函数f(x)=(a-1)x在R上为减函数,则a的取值范围为 .
【答案】 (1,2)
【解析】 由题意得,0题型一 指数函数的图象
[例1] 如图是指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象,则a,b,c,d与0和1的大小关系是( )
[A]0[C]1【答案】 B
【解析】 如图,作出直线x=1,与4个指数函数的图象自下至上分别交于点(1,b),(1,a),(1,d),(1,c),所以0解决指数函数图象问题的注意点
(1)熟记当底数a>1和0(2)在同一平面直角坐标系内,识别多个指数函数图象底数的大小,可借助直线x=1,根据直线x=1与各图象交点纵坐标的大小确定底数的大小. 在y轴右侧,指数函数的图象“底大图高”.
[变式训练] 如图,①②③④中不属于函数y=2x,y=3x,y=的图象的一个是( )
[A]① [B]② [C]③ [D]④
【答案】 B
【解析】 函数y=2x与y=3x在R上是增函数,结合“底大图高”,可知③对应y=3x,④对应y=2x.又y=()x的图象与y=2x的图象关于y轴对称,可知①对应y=()x.所以②不是已知函数的图象.故选B.
题型二 指数函数图象的应用
[例2] 已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=mx-n的图象不经过( )
[A]第一象限 [B]第二象限
[C]第三象限 [D]第四象限
【答案】 B
【解析】 由已知条件得当x=2时,f(2)=2,则函数f(x)的图象恒过点M(2,2),即m=2,n=2,此时g(x)=2x-2,
由于g(x)的图象是由y=2x的图象向下平移2个单位长度得到的,且过点(0,-1),由此可知g(x)的图象不经过第二象限.故选B.
[典例迁移1] 函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
[A]a>1,b<0
[B]a>1,b>0
[C]00
[D]0【答案】 D
【解析】 由题图可知,函数f(x)为减函数,从而有0法一 由f(x)=ax-b的图象知,函数图象与y轴交点的纵坐标y∈(0,1),令x=0,得y=a-b,由0法二 函数f(x)的图象可看作是由y=ax(00,即b<0.故选D.
[典例迁移2] 若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值可以是( )
[A] [B] [C]2 [D]4
【答案】 A
【解析】 当a>1时,画出函数y=|ax-1|的图象,如图(1).
若直线y=2a与函数y=|ax-1|的图象有两个公共点,则0<2a<1,所以01,所以此种情况不存在;
当0若直线y=2a与函数y=|ax-1|的图象有两个公共点,则0<2a<1,所以0综上,a的取值范围是(0,).故选A.
(1)定点问题:令函数解析式中的指数为0,可求出横坐标,再求纵坐标即可.
(2)平移问题:对于横坐标x满足“左加右减”.
(3)确定参数问题:根据函数图象特征,确定指数型函数y=ax+b+c(a>0,且a≠1)中的参数,可借助图象的升、降确定a的取值范围,利用函数图象与y轴的交点,确定b,c的取值范围,也可利用图象的平移变化确定b,c的取值范围.
题型三 与指数函数有关的定义域(值域)问题
[例3] 求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=.
【解】 (1)由x-2≠0得x≠2,所以y=的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞);
由于≠0,故≠1,又>0,所以y=的值域为(0,1)∪(1,+∞).
(2)因为5x-1≥0,即x≥,所以函数y=的定义域为[,+∞);
因为≥0,所以≥30=1,因此函数y=的值域为[1,+∞).
(3)函数y=的定义域为R;
因为x2-3≥-3,所以0<≤()-3=27,因此函数y=的值域为(0,27].
y=af(x)(a>0,且a≠1)型函数的定义域、值域的求法
(1)形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的定义域就是f(x)的定义域.
(2)求形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的值域时,先求出u=f(x)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.
[变式训练] 求函数f(x)=(a>0,且a≠1)的值域.
【解】 f(x)的定义域是R.
因为-x2-2x+3=-(x+1)2+4≤4,所以当a>1时,函数f(x)的值域为(0,a4];当0