4.3.1 对数的概念
学习目标 1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值.
知识归纳
知识点一 对数的定义
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
(1)对数是由指数转化而来,故底数a、指数或对数x、幂或真数N的取值范围不变,只是位置和名称发生了变化.
(2)logaN的读法:以a为底N的对数.
知识点二 两类特殊对数
1.以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lg N.
2.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,并把logeN记为ln N.
知识点三 对数的性质
1.loga1=0(a>0,且a≠1).
2.logaa=1(a>0,且a≠1).
3.负数和0没有对数.
4.对数恒等式:=N;logaax=x(a>0,且a≠1;N>0).
基础自测
1.若对数式log(t-2)3有意义,则实数t的取值范围为( )
[A][2,+∞)
[B](2,3)∪(3,+∞)
[C](-∞,2)
[D](2,+∞)
【答案】 B
【解析】 要使对数式log(t-2)3有意义,需
解得t>2,且t≠3.所以实数t的取值范围为(2,3)∪(3,+∞).故选B.
2.下列说法正确的是( )
[A]因为12=1,所以log11=2
[B]因为32=9,所以log39=2
[C]因为(-3)2=9,所以log(-3)9=2
[D]因为32=9,所以log92=3
【答案】 B
【解析】 当ab=N(a>0,且a≠1)时,b=logaN,选项A的底数为1,错误;选项C的底数为负数,错误;“32=9”的底数为3,所以化为对数后底数也应为3,所以B正确,D错误.故选B.
3.有以下四个结论,其中正确的是( )
[A]lg (lg 10)=1
[B]lg (ln e)=0
[C]若e=ln x,则x=e2
[D]ln (lg 1)=0
【答案】 B
【解析】 因为lg 10=ln e=1,lg 1=0,故A错误,B正确;若e=ln x,则x=ee,故C错误;lg 1=0,而ln 0 没有意义,故D错误.故选B.
4.(人教A版必修第一册P123练习T2改编)计算:lg 100-log5125+= .
【答案】 3
【解析】 设lg 100=x,则10x=100=102,即x=2;设log5125=y,则5y=125=53,即y=3;=4.
所以原式=2-3+4=3.
题型一 对数的概念
[例1] 已知对数式log(a+1)有意义,则a的取值范围为( )
[A](-1,4)
[B](-1,0)∪(0,4)
[C](-4,0)∪(0,1)
[D](-4,1)
【答案】 B
【解析】 由log(a+1)有意义,可知解得-1
若要使对数式有意义,利用式子logab 求参数的取值范围.
[变式训练] 使式子log(3x-1)(2-x)有意义的x的取值范围是( )
[A](2,+∞) [B](,2)
[C](,)∪(,2) [D](-∞,2)
【答案】 C
【解析】 由式子log(3x-1)(2-x)有意义,得解得题型二 对数式与指数式的互化
[例2] 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1)23=8;
(2)105=100 000;
(3)ex=7;
(4)log232=5;
(5)log3=-3;
(6)logxb=2(x>0,且x≠1).
【解】 (1)因为23=8,所以log28=3.
(2)因为105=100 000,所以lg 100 000=5.
(3)因为ex=7,所以ln 7=x.
(4)因为log232=5,所以25=32.
(5)因为log3=-3,所以3-3=.
(6)因为logxb=2,所以x2=b(x>0,且x≠1).
指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式.
(2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.
指数式与对数式相互转化的过程中,底数是相同的.
[变式训练] 将下列指数式与对数式互化:
(1)=;
(2)=n(n>0);
(3)e3=e3;
(4)lg 1 000=3;
(5)ln a=b;
(6)logxy=z(x>0,且x≠1;y>0).
【解】 (1)log64=-.
(2)lon=m(n>0).
(3)ln e3=3.
(4)103=1 000.
(5)eb=a.
(6)xz=y(x>0,且x≠1;y>0).
题型三 利用对数的定义计算
[例3] 求下列各式中x的值:
(1)log27x=-;
(2)logx16=-4(x>0,且x≠1);
(3)lg =x;
(4)-ln e-3=x.
【解】 (1)由题意,x===3-2=.
(2)由题意,x-4=16,即=24,而x>0且x≠1,所以=2,解得x=.
(3)由题意,10x==10-3,即x=-3.
(4)由题意,ln e-3=-x,即e-3=e-x,解得x=3.
求对数式logaN(a>0,且a≠1;N>0)的值的步骤:
(1)设logaN=m.
(2)将logaN=m写成指数式am=N.
(3)将N写成以a为底的指数幂N=ab,则m=b,即logaN=b.
[变式训练] 求下列各式中x的值:
(1)-lg x=2;
(2)logx=-3;
(3)x=lo27;
(4)ln =x.
【解】 (1)由-lg x=2得lg x=-2,所以x=10-2=.
(2)由logx=-3得x-3==4-3,所以x=4.
(3)由x=lo27得=27,即=33,所以-x=3,即x=-3.
(4)由ln =x得ex=,即ex=e-2,所以x=-2.
题型四 对数的相关性质
[例4] (湘教版必修第一册P116例2)求下列各式的值:
(1)log2;
(2)log0.61;
(3);
(4).
【解】 (1)log2=log22-1=-1.
(2)log0.61=log0.60.60=0.
(3)=·2-2==.
(4)==5.
[典例迁移1] 求下列各式中x的值:
(1)log8[log7(log2x)]=0;
(2)log2[log3(log2x)]=1;
(3)=27.
【解】 (1)因为log8[log7(log2x)]=0,
所以log7(log2x)=1,所以log2x=7,解得x=27=128.
(2)因为log2[log3(log2x)]=1,所以log3(log2x)=2,所以log2x=9,解得x=29=512.
(3)因为=27,所以2x+1=27,解得x=13.
[典例迁移2] 已知实数a,b,c满足logn(b2-a)=0(n>0,且n≠1),lg (a-c)=1,22b+c=16,求实数a,b,c的值.
【解】 因为logn(b2-a)=0(n>0,且n≠1),所以b2-a=1,①
由lg (a-c)=1,得a-c=10,②
由22b+c=16,得2b+c=4,③
联立①②③解得b=-5或b=3.
当b=-5时,解得a=24,c=14;
当b=3时,解得a=8,c=-2.
综上所述,a=24,b=-5,c=14或a=8,b=3,c=-2.
利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时,应根据对数的两个结论loga1=0和logaa=1(a>0,且a≠1),进行变形求解.若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算.
(2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log ”后再求解.4.3.1 对数的概念
学习目标 1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值.
知识归纳
知识点一 对数的定义
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作 ,其中a叫做对数的 ,N叫做 .
(1)对数是由指数转化而来,故底数a、指数或对数x、幂或真数N的取值范围不变,只是位置和名称发生了变化.
(2)logaN的读法:以a为底N的对数.
知识点二 两类特殊对数
1.以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为 .
2.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,并把logeN记为 .
知识点三 对数的性质
1.loga1= (a>0,且a≠1).
2.logaa= (a>0,且a≠1).
3.负数和0没有对数.
4.对数恒等式:= ;logaax= (a>0,且a≠1;N>0).
基础自测
1.若对数式log(t-2)3有意义,则实数t的取值范围为( )
[A][2,+∞)
[B](2,3)∪(3,+∞)
[C](-∞,2)
[D](2,+∞)
2.下列说法正确的是( )
[A]因为12=1,所以log11=2
[B]因为32=9,所以log39=2
[C]因为(-3)2=9,所以log(-3)9=2
[D]因为32=9,所以log92=3
3.有以下四个结论,其中正确的是( )
[A]lg (lg 10)=1
[B]lg (ln e)=0
[C]若e=ln x,则x=e2
[D]ln (lg 1)=0
4.(人教A版必修第一册P123练习T2改编)计算:lg 100-log5125+= .
题型一 对数的概念
[例1] 已知对数式log(a+1)有意义,则a的取值范围为( )
[A](-1,4)
[B](-1,0)∪(0,4)
[C](-4,0)∪(0,1)
[D](-4,1)
若要使对数式有意义,利用式子logab 求参数的取值范围.
[变式训练] 使式子log(3x-1)(2-x)有意义的x的取值范围是( )
[A](2,+∞) [B](,2)
[C](,)∪(,2) [D](-∞,2)
题型二 对数式与指数式的互化
[例2] 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1)23=8;
(2)105=100 000;
(3)ex=7;
(4)log232=5;
(5)log3=-3;
(6)logxb=2(x>0,且x≠1).
指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式.
(2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.
指数式与对数式相互转化的过程中,底数是相同的.
[变式训练] 将下列指数式与对数式互化:
(1)=;
(2)=n(n>0);
(3)e3=e3;
(4)lg 1 000=3;
(5)ln a=b;
(6)logxy=z(x>0,且x≠1;y>0).
题型三 利用对数的定义计算
[例3] 求下列各式中x的值:
(1)log27x=-;
(2)logx16=-4(x>0,且x≠1);
(3)lg =x;
(4)-ln e-3=x.
求对数式logaN(a>0,且a≠1;N>0)的值的步骤:
(1)设logaN=m.
(2)将logaN=m写成指数式am=N.
(3)将N写成以a为底的指数幂N=ab,则m=b,即logaN=b.
[变式训练] 求下列各式中x的值:
(1)-lg x=2;
(2)logx=-3;
(3)x=lo27;
(4)ln =x.
题型四 对数的相关性质
[例4] (湘教版必修第一册P116例2)求下列各式的值:
(1)log2;
(2)log0.61;
(3);
(4).
[典例迁移1] 求下列各式中x的值:
(1)log8[log7(log2x)]=0;
(2)log2[log3(log2x)]=1;
(3)=27.
[典例迁移2] 已知实数a,b,c满足logn(b2-a)=0(n>0,且n≠1),lg (a-c)=1,22b+c=16,求实数a,b,c的值.
利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时,应根据对数的两个结论loga1=0和logaa=1(a>0,且a≠1),进行变形求解.若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算.
(2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log ”后再求解.