4.4.1 对数函数的概念
学习目标 1.理解对数函数的概念.2.会求与对数函数有关的定义域问题.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
知识归纳
知识点 对数函数的概念
一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
(1)对数函数的系数为1.
(2)真数只能是一个x.
(3)底数a>0,且a≠1.
(4)对于函数y=2log2x等这一类的函数,根据对数的运算法则,它可以化为对数函数,因为它与对数函数y=lox有相同的定义域和对应关系,所以是同一个函数.
基础自测
1.下列函数是对数函数的是( )
[A]y=log2x [B]y=ln(x+1)
[C]y=logxe [D]y=logxx
【答案】 A
【解析】 对数函数y=logax(a>0,且a≠1),其中a为常数,x为自变量.对于选项A,符合对数函数定义;对于选项B,真数部分是x+1,不是自变量x,故它不是对数函数;对于选项C,底数是变量x,不是常数,故它不是对数函数;对于选项D,底数是变量x,不是常数,故它不是对数函数.故选A.
2.设f(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(2)=,则f()等于( )
[A]2 [B]-2 [C]- [D]
【答案】 C
【解析】 因为f(x)=logax(a>0,且a≠1),f(2)=,所以f(2)=loga2=,即=2,解得a=4.
所以f(x)=log4x,则f()=log4=-.故选C.
3.(人教A版必修第一册P131练习T1改编)函数y=log(x-3)(7-x)的定义域是( )
[A](-∞,7) [B](3,7)
[C](3,4)∪(4,7) [D](3,+∞)
【答案】 C
【解析】 由得34.某种动物的数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的函数关系式为y=alog2(x+1).若这种动物第1年有100只,则第7年它们的数量为 ( )
[A]300只 [B]400只
[C]500只 [D]600只
【答案】 A
【解析】 由题意知,100=alog2(1+1),解得a=100.则当x=7时,y=100log2(7+1)=100×3=300.故选A.
题型一 对数函数的概念
[例1] 已知函数①y=4x;②y=logx2;③y=-log3x;④y=log0.2;⑤y=log3x+1;⑥y=log2(x+1).其中是对数函数的为( )
[A]①②③ [B]③④⑤
[C]③④ [D]②④⑥
【答案】 C
【解析】 根据对数函数的定义,只有符合y=logax(a>0,且a≠1)形式的函数才是对数函数,其中x是自变量,a是常数.易知,①是指数函数;②中的自变量在对数的底数的位置,不是对数函数;③y=-log3x=lox是对数函数;④y=log0.2=log0.04x是对数函数;⑤⑥中函数显然不是对数函数.由此可知只有③④是对数函数.故选C.
一般地,若一个函数是对数函数,则该函数必须是y=logax(a>0,且a≠1)的形式,但是需要注意y=blogax (a>0,且a≠1;b≠0)也是对数函数,因为它可以化为y=lox的形式.若是利用待定系数法求解对数函数解析式,则只需设所求对数函数为y=logax(a>0,且a≠1)即可.
[变式训练] 若函数f(x)=log(a-1)x+a2-3a-10是对数函数,则a= .
【答案】 5
【解析】 由对数函数的定义可知解得a=5.
题型二 求对数型函数的定义域
[例2] 函数y=的定义域为 .
【答案】 (-1,0)∪(0,3]
【解析】 由解得-1[典例迁移1] 函数f(x)=log2(x+3)+log2(x-1)的定义域是( )
[A][-3,1] [B](-3,1)
[C](-∞,-3) [D](1,+∞)
【答案】 D
【解析】 由题意得解得x>1.所以f(x)的定义域是(1,+∞).故选D.
[典例迁移2] 函数f(x)=log(2x-1)的定义域为( )
[A][,+∞) [B](,1)∪(1,+∞)
[C](,+∞) [D](,1)∪(1,+∞)
【答案】 D
【解析】 由题意得解得x>1或求对数型函数的定义域的注意事项
(1)真数大于0.
(2)底数大于零且不等于1.
(3)对数出现在分母上时,真数除了大于0,还不能为1.
题型三 对数函数模型的应用
[例3] 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过20万元时,按销售利润的10%进行奖励;当销售利润超过20万元时,若超出A万元,则超出部分按2log2(A+5)进行奖励,记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式.
(2)如果业务员甲获得10万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元
【解】 (1)由题意得,当0≤x≤20时,y=0.1x;当x>20时,y=0.1×20+2log2(x-20+5)=2+2log2(x-15).
所以奖金y关于销售利润x的关系式为y=
(2)由(1)知当0≤x≤20时,奖金不可能为10万元,所以令2+2log2(x-15)=10,即log2(x-15)=4,解得x=31.
即业务员甲的销售利润是31万元.
利用对数函数解决应用问题的步骤
(1)列出与对数有关的函数解析式,并根据实际问题确定变量的取值范围.
(2)代入自变量的值后,利用对数的运算性质、换底公式计算.
[变式训练] 设某同学单次持续背单词所花时间y(单位:min)与背出单词数x(单位:个)之间满足函数表达式y=k·lg (1-),其中常数k,b∈R且k,b≠0.已知该同学持续背单词50 min,背出了20个单词;持续背100 min,背出了30个单词.问:该同学持续背200 min,大约能背出多少个单词 (精确到个位)
【解】 由题意,得两式相除,得=,即1-=,解得b=40.所以k=,故y=·lg (1-).当y=200时,解得x=37.5≈38.
所以该同学持续背200 min,大约能背出38个单词.4.4.1 对数函数的概念
学习目标 1.理解对数函数的概念.2.会求与对数函数有关的定义域问题.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
知识归纳
知识点 对数函数的概念
一般地,函数 叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是 .
(1)对数函数的系数为1.
(2)真数只能是一个x.
(3)底数a>0,且a≠1.
(4)对于函数y=2log2x等这一类的函数,根据对数的运算法则,它可以化为对数函数,因为它与对数函数y=lox有相同的定义域和对应关系,所以是同一个函数.
基础自测
1.下列函数是对数函数的是( )
[A]y=log2x [B]y=ln(x+1)
[C]y=logxe [D]y=logxx
2.设f(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(2)=,则f()等于( )
[A]2 [B]-2 [C]- [D]
3.(人教A版必修第一册P131练习T1改编)函数y=log(x-3)(7-x)的定义域是( )
[A](-∞,7) [B](3,7)
[C](3,4)∪(4,7) [D](3,+∞)
4.某种动物的数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的函数关系式为y=alog2(x+1).若这种动物第1年有100只,则第7年它们的数量为 ( )
[A]300只 [B]400只
[C]500只 [D]600只
题型一 对数函数的概念
[例1] 已知函数①y=4x;②y=logx2;③y=-log3x;④y=log0.2;⑤y=log3x+1;⑥y=log2(x+1).其中是对数函数的为( )
[A]①②③ [B]③④⑤
[C]③④ [D]②④⑥
一般地,若一个函数是对数函数,则该函数必须是y=logax(a>0,且a≠1)的形式,但是需要注意y=blogax (a>0,且a≠1;b≠0)也是对数函数,因为它可以化为y=lox的形式.若是利用待定系数法求解对数函数解析式,则只需设所求对数函数为y=logax(a>0,且a≠1)即可.
[变式训练] 若函数f(x)=log(a-1)x+a2-3a-10是对数函数,则a= .
题型二 求对数型函数的定义域
[例2] 函数y=的定义域为 .
[典例迁移1] 函数f(x)=log2(x+3)+log2(x-1)的定义域是( )
[A][-3,1] [B](-3,1)
[C](-∞,-3) [D](1,+∞)
[典例迁移2] 函数f(x)=log(2x-1)的定义域为( )
[A][,+∞) [B](,1)∪(1,+∞)
[C](,+∞) [D](,1)∪(1,+∞)
求对数型函数的定义域的注意事项
(1)真数大于0.
(2)底数大于零且不等于1.
(3)对数出现在分母上时,真数除了大于0,还不能为1.
题型三 对数函数模型的应用
[例3] 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过20万元时,按销售利润的10%进行奖励;当销售利润超过20万元时,若超出A万元,则超出部分按2log2(A+5)进行奖励,记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式.
(2)如果业务员甲获得10万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元
利用对数函数解决应用问题的步骤
(1)列出与对数有关的函数解析式,并根据实际问题确定变量的取值范围.
(2)代入自变量的值后,利用对数的运算性质、换底公式计算.
[变式训练] 设某同学单次持续背单词所花时间y(单位:min)与背出单词数x(单位:个)之间满足函数表达式y=k·lg (1-),其中常数k,b∈R且k,b≠0.已知该同学持续背单词50 min,背出了20个单词;持续背100 min,背出了30个单词.问:该同学持续背200 min,大约能背出多少个单词 (精确到个位)
