4.4.2 对数函数的图象和性质
第1课时 对数函数的图象和性质(一)
学习目标 1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.
知识归纳
知识点一 对数函数的图象和性质
项目 y=logax (a>0,且a≠1)
底数 a>1 0
图象
定义域 (0,+∞)
值域 R
单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
最值 无最大、最小值
奇偶性 非奇非偶
共点性 图象过定点(1,0),即x=1时,y=0
续 表
项目 y=logax (a>0,且a≠1)
函数值 特点 当x∈(0,1)时, y∈(-∞,0); 当x∈[1,+∞)时, y∈[0,+∞) 当x∈(0,1)时, y∈(0,+∞); 当x∈[1,+∞)时, y∈(-∞,0]
对称性 函数y=logax与y=lox的图象关于x轴对称
(1)函数图象只出现在y轴右侧.
(2)对任意底数a,当x=1时,y=0,故函数图象过定点(1,0).
(3)当0(4)当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴.
(5)任意两个底数互为倒数的对数函数的图象关于x轴对称.
知识点二 反函数
一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P135练习T2改编)已知a=log25,b=log23,c=1,则( )
[A]b>a>c [B]a>c>b
[C]b>c>a [D]a>b>c
【答案】 D
【解析】 因为y=log2x在定义域(0,+∞)上单调递增,则log25>log23>log22=1,所以a>b>c.故选D.
2.函数f(x)=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点( )
[A](3,2) [B](2,1)
[C](2,0) [D](2,2)
【答案】 D
【解析】 令x-1=1,解得x=2,此时f(2)=loga1+2=2,即函数f(x)的图象恒过定点(2,2).故选D.
3.函数y=lo(x-1)的图象大致是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 函数y=lox在(0,+∞)上单调递减,且图象过点(1,0),又y=lo(x-1)的图象是由y=lox的图象向右平移1个单位长度得到的,则A满足.故选A.
4.不等式log2(2-x)≤log2(3x+10)的解集为 .
【答案】 [-2,2)
【解析】 函数y=log2x在定义域(0,+∞)上单调递增,则由log2(2-x)≤log2(3x+10)可得0<2-x≤3x+10,解得-2≤x<2.
题型一 对数函数的图象
[例1] 设a,b,c,d均为不等于1的正实数.如图,已知函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象分别是曲线C1,C2,C3,C4,试判断0,1,a,b,c,d的大小关系为 .(用“<”连接)
【答案】 0【解析】 如图,作直线y=1,从而可与函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象有四个交点,分别为(a,1),(b,1),(c,1),(d,1),从而可得0[典例迁移1] 若函数f(x)=loga(2x+a)-6(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为( )
[A](0,-5) [B](0,-6)
[C](1,-6) [D](1,-5)
【答案】 A
【解析】 令2x+a=a,则x=0,此时f(0)=logaa-6=-5,所以图象恒过定点P(0,-5).故选A.
[典例迁移2] 已知f(x)=loga|x|(a>0,且a≠1)满足f(-5)=1.
(1)画出函数f(x)的图象;
(2)画出函数g(x)=loga|x-1|的图象;
(3)画出函数h(x)=|logax|的图象.
【解】 因为f(-5)=1,所以loga5=1,即a=5,故f(x)=log5|x|=
(1)函数f(x)=log5|x|的图象如图(1)所示.
图(1)
(2)g(x)=log5|x-1|,如图(2),g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的.
图(2)
(3)h(x)=|log5x|的图象如图(3)中实线部分所示.
图(3)
(1)对数函数底数对图象的影响.
其中a,b,c,d是图象对应的对数函数的底数,根据图象,其大小关系为0(2)关于定点问题.
求函数y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的图象恒过的定点时,只需令f(x)=1求出x0,即得定点为(x0,m).
(3)对数型函数图象的变换方法.
①作y=f(|x|)的图象时,保留y=f(x)(x>0)的图象不变,当x<0时y=f(|x|)的图象与y=f(x)(x>0)的图象关于y轴对称;
②作y=|f(x)|的图象时,保留y=f(x)在x轴及上方的图象不变,把x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折上去即可;
③有关对数函数图象的平移也符合“左加右减,上加下减”的规律;
④y=f(-x)与y=f(x)关于y轴对称,y=-f(x)与y=f(x)关于x轴对称,y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称.
题型二 比较对数值的大小
[例2] (湘教版必修第一册P122例11)比较下列各组中两个数的大小:
(1)log27.6和log28.7;
(2)lo7.6和lo8.7;
(3)loga7.6和loga8.7(a>0,且a≠1);
(4)log0.82和20.8.
【解】 (1)因为函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,且7.6<8.7,
所以log27.6(2)因为函数y=lox在(0,+∞)上单调递减,且7.6<8.7,
所以lo7.6>lo8.7.
(3)当a>1时,因为函数y=logax在(0,+∞)上单调递增,且7.6<8.7,所以loga7.6当0loga8.7.
(4)因为函数y=log0.8x在(0,+∞)上单调递减,
所以log0.82又20.8>0,所以log0.82<20.8.
[典例迁移1] 比较下列各组中三个数的大小:
(1)log23,log32,log46;
(2)log3π,log2,log3.
【解】 (1)因为y=log4x在(0,+∞)上单调递增,所以log23=log49>log46>1,又log32<1,所以log23>log46>log32.
(2)因为log2=log23,且11,所以log3π>log2>log3.
[典例迁移2] 比较下列各组中三个数的大小:
(1)log0.26,log0.36,log0.46;
(2)log23,log34,log45.
【解】 (1) 因为log0.26=,log0.36=,log0.46=,且lg 6>0,lg 0.2log0.36>log0.46.
(2)因为log23-log34=-=>=>=0,
所以log23>log34.同理可证log34>log45,所以log23>log34>log45.
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同,找中间量.
(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
题型三 利用单调性解对数不等式
[例3] 解下列关于x的不等式:
(1)lox>lo(4-x);
(2)loga(2x-5)>loga(x-1).
【解】 (1)由题意可得解得0(2)当a>1时,原不等式等价于解得x>4;
当0综上所述,当a>1时,原不等式的解集为{x|x>4};当0对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab),再借助y=logax的单调性求解.
(3)形如loa>loa(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式,可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用函数图象求解.
[变式训练] 若-1【答案】 (0,)∪(,+∞)
【解析】 因为-1当a>1时,<;
当0>a,所以0第2课时 对数函数的图象和性质(二)
学习目标 1.进一步掌握对数函数的图象和性质.2.利用对数函数的性质求解与对数函数有关的综合性问题.3.了解反函数的概念和图象特点.
题型一 与对数函数有关的定义域、值域问题
[例1] 函数y=的定义域为 .
【答案】 [-2,0)∪(2,4]
【解析】 由题意知,
即解得x∈[-2,0)∪(2,4].
所以函数的定义域为[-2,0)∪(2,4].
(1)求形如y=的定义域时,其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉,结合对数函数的单调性,求出x的取值范围.
(2)形如函数f(x)=logag(x)的定义域为R的问题转化为g(x)>0恒成立问题求解.
(3)形如函数f(x)=logag(x)的值域为R的问题转化为g(x)可以取到所有正数问题求解.
[变式训练] 已知函数f(x)=lg(mx2+mx+1),若此函数的定义域为R,则实数m的取值范围是 ;若此函数的值域为R,则实数m的取值范围是 .
【答案】 [0,4) [4,+∞)
【解析】 若函数的定义域为R,即mx2+mx+1>0恒成立.当m=0时,1>0恒成立,当m>0时,Δ= m2-4m<0,解得0题型二 与对数函数有关的综合性问题
[例2] 已知a≠2,函数f(x)=lg(-(1)求函数f(x)的解析式;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
【解】 (1)法一 因为函数f(x)=lg(-所以f(-x)+f(x)=lg+lg=lg(·)=0,
可得·=1对于-所以f(x)=lg(-法二 由题意得>0,又f(x)是奇函数,其定义域关于坐标原点对称,所以由x≠-知,必有x≠,所以x=是1+ax=0的根,所以1+a=0,即a=-2,此时f(x)=lg(-所以f(x)=lg(-(2) x1,x2∈(-,),且x1所以f(x2)-f(x1)=lg-lg=lg所以f(x2)(1) 求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的函数的奇偶性问题,一定要注意先研究函数的定义域,利用定义域关于原点对称求解参数更加简单.
(2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调性,一是利用单调性定义,二是利用复合函数的单调性.
(3)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤:
①求函数的定义域;
②将原函数拆分成y=logau(a>0,且a≠1),u=f(x)两个函数;
③由定义域求u的取值范围;
④利用函数y=logau(a>0,且a≠1)的单调性求值域.
[变式训练] 已知f(x)=logax+loga(4-x)(a>0,且a≠1),且f(2)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域;
(2)求f(x)在[1,]上的值域.
【解】 (1)由f(2)=2得loga2+loga(4-2)=2,即2loga2=2,所以loga2=1,解得a=2,
所以f(x)=log2x+log2(4-x),由解得0(2)由(1)知,f(x)=log2x+log2(4-x)=log2[x(4-x)]=log2[-(x-2)2+4].
设t(x)=-(x-2)2+4,x∈[1,],则当x=2
时,t(x)max=4;当x=1时,t(x)=3;当x=时,t(x)=.所以当x∈[1,]时,t(x)min=,即t(x)∈[,4],所以f(x)max=log24=2,f(x)min=log2=log27-2,所以f(x)在[1,]上的值域为[log27-2,2].
题型三 反函数
[例3] 已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则f(2e)等于( )
[A]2e2 [B]2e
[C]1+ln 2 [D]lg (2e)
【答案】 C
【解析】 y=ex的图象与y=f(x)的图象关于直线y=x对称,故y=ex与y=f(x)互为反函数,故f(x)=ln x,所以f(2e)=ln (2e)=1+ln 2.故选C.
互为反函数的两个函数的性质
(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数.
(2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换.
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
[变式训练] 函数y=log3x(≤x≤81)的反函数的定义域为( )
[A](0,+∞) [B](,81)
[C](1,4) [D][-1,4]
【答案】 D
【解析】 由对数函数的性质可得,函数y=log3x(≤x≤81)的值域为[-1,4],则其反函数的定义域为[-1,4].故选D.4.4.2 对数函数的图象和性质
第1课时 对数函数的图象和性质(一)
学习目标 1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.
知识归纳
知识点一 对数函数的图象和性质
项目 y=logax (a>0,且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域
值域 R
单调性 在(0,+∞)上是 函数 在(0,+∞)上是 函数
最值 无最大、最小值
奇偶性
共点性 图象过定点 ,即x=1时,y=0
续 表
项目 y=logax (a>0,且a≠1)
函数值 特点 当x∈(0,1)时, y∈ ; 当x∈[1,+∞)时, y∈ 当x∈(0,1)时, y∈ ; 当x∈[1,+∞)时, y∈
对称性 函数y=logax与y=lox的图象关于 对称
(1)函数图象只出现在y轴右侧.
(2)对任意底数a,当x=1时,y=0,故函数图象过定点(1,0).
(3)当0(4)当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴.
(5)任意两个底数互为倒数的对数函数的图象关于x轴对称.
知识点二 反函数
一般地,指数函数 (a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P135练习T2改编)已知a=log25,b=log23,c=1,则( )
[A]b>a>c [B]a>c>b
[C]b>c>a [D]a>b>c
2.函数f(x)=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点( )
[A](3,2) [B](2,1)
[C](2,0) [D](2,2)
3.函数y=lo(x-1)的图象大致是( )
[A] [B]
[C] [D]
4.不等式log2(2-x)≤log2(3x+10)的解集为 .
题型一 对数函数的图象
[例1] 设a,b,c,d均为不等于1的正实数.如图,已知函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象分别是曲线C1,C2,C3,C4,试判断0,1,a,b,c,d的大小关系为 .(用“<”连接)
[典例迁移1] 若函数f(x)=loga(2x+a)-6(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为( )
[A](0,-5) [B](0,-6)
[C](1,-6) [D](1,-5)
[典例迁移2] 已知f(x)=loga|x|(a>0,且a≠1)满足f(-5)=1.
(1)画出函数f(x)的图象;
(2)画出函数g(x)=loga|x-1|的图象;
(3)画出函数h(x)=|logax|的图象.
(1)对数函数底数对图象的影响.
其中a,b,c,d是图象对应的对数函数的底数,根据图象,其大小关系为0(2)关于定点问题.
求函数y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的图象恒过的定点时,只需令f(x)=1求出x0,即得定点为(x0,m).
(3)对数型函数图象的变换方法.
①作y=f(|x|)的图象时,保留y=f(x)(x>0)的图象不变,当x<0时y=f(|x|)的图象与y=f(x)(x>0)的图象关于y轴对称;
②作y=|f(x)|的图象时,保留y=f(x)在x轴及上方的图象不变,把x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折上去即可;
③有关对数函数图象的平移也符合“左加右减,上加下减”的规律;
④y=f(-x)与y=f(x)关于y轴对称,y=-f(x)与y=f(x)关于x轴对称,y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称.
题型二 比较对数值的大小
[例2] (湘教版必修第一册P122例11)比较下列各组中两个数的大小:
(1)log27.6和log28.7;
(2)lo7.6和lo8.7;
(3)loga7.6和loga8.7(a>0,且a≠1);
(4)log0.82和20.8.
[典例迁移1] 比较下列各组中三个数的大小:
(1)log23,log32,log46;
(2)log3π,log2,log3.
[典例迁移2] 比较下列各组中三个数的大小:
(1)log0.26,log0.36,log0.46;
(2)log23,log34,log45.
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同,找中间量.
(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
题型三 利用单调性解对数不等式
[例3] 解下列关于x的不等式:
(1)lox>lo(4-x);
(2)loga(2x-5)>loga(x-1).
对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab),再借助y=logax的单调性求解.
(3)形如loa>loa(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式,可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用函数图象求解.
[变式训练] 若-1第2课时 对数函数的图象和性质(二)
学习目标 1.进一步掌握对数函数的图象和性质.2.利用对数函数的性质求解与对数函数有关的综合性问题.3.了解反函数的概念和图象特点.
题型一 与对数函数有关的定义域、值域问题
[例1] 函数y=的定义域为 .
(1)求形如y=的定义域时,其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉,结合对数函数的单调性,求出x的取值范围.
(2)形如函数f(x)=logag(x)的定义域为R的问题转化为g(x)>0恒成立问题求解.
(3)形如函数f(x)=logag(x)的值域为R的问题转化为g(x)可以取到所有正数问题求解.
[变式训练] 已知函数f(x)=lg(mx2+mx+1),若此函数的定义域为R,则实数m的取值范围是 ;若此函数的值域为R,则实数m的取值范围是 .
题型二 与对数函数有关的综合性问题
[例2] 已知a≠2,函数f(x)=lg(-(1)求函数f(x)的解析式;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
(1) 求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的函数的奇偶性问题,一定要注意先研究函数的定义域,利用定义域关于原点对称求解参数更加简单.
(2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调性,一是利用单调性定义,二是利用复合函数的单调性.
(3)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤:
①求函数的定义域;
②将原函数拆分成y=logau(a>0,且a≠1),u=f(x)两个函数;
③由定义域求u的取值范围;
④利用函数y=logau(a>0,且a≠1)的单调性求值域.
[变式训练] 已知f(x)=logax+loga(4-x)(a>0,且a≠1),且f(2)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域;
(2)求f(x)在[1,]上的值域.
题型三 反函数
[例3] 已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则f(2e)等于( )
[A]2e2 [B]2e
[C]1+ln 2 [D]lg (2e)
互为反函数的两个函数的性质
(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数.
(2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换.
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
[变式训练] 函数y=log3x(≤x≤81)的反函数的定义域为( )
[A](0,+∞) [B](,81)
[C](1,4) [D][-1,4]