4.5.1 函数的零点与方程的解
学习目标 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.
知识归纳
知识点一 函数零点
1.概念:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系:
(1)零点不是点,是函数图象与x轴交点的横坐标.
(2)求零点可转化为求对应方程的解.
(3)并不是所有的函数都有零点,如函数y=2x,y=|x|+1都没有零点.
知识点二 函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P144练习T1改编)下列图象表示的函数中恰有一个零点的是 ( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 根据零点的定义,零点是函数图象与x轴的交点的横坐标.选项A中函数图象与x轴没有交点,即函数没有零点;选项B中函数图象与x轴只有一个交点,即函数只有一个零点;选项C,D中函数图象与x轴有两个交点,即函数有两个零点.故选B.
2.函数f(x)=x2-4x+3的零点为( )
[A](1,0) [B](1,3)
[C]1和3 [D](1,0)和(3,0)
【答案】 C
【解析】 令x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,所以函数的零点为1和3.故选C.
3.函数f(x)=的零点个数是( )
[A]0 [B]1 [C]2 [D]3
【答案】 C
【解析】 当x≤0时,令f(x)=x2-2=0,解得x=-;当x>0时,令f(x)=2x-6=0,解得x=3.
所以函数f(x)有2个零点.故选C.
4.函数f(x)=x3+x2-5的一个零点所在区间为( )
[A](0,1) [B](1,2)
[C](2,3) [D](3,4)
【答案】 B
【解析】 因为y=x3与y=x2-5均在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=x3+x2-5在(0,+∞)上单调递增,
又f(1)=-3,f(2)=7,所以f(1)f(2)<0,所以f(x)在(1,2)上存在一个零点.故选B.
题型一 求函数的零点
[例1] 判断下列函数是否存在零点,如果存在,求出函数的零点;如果不存在,请说明理由.
(1)f(x)=x2+7x+6;
(2)f(x)=2x-1-3;
(3)f(x)=(x2+x+1)(2x+1);
(4)f(x)=
【解】 (1)令f(x)=x2+7x+6=0,得x=-1或x=-6,所以函数f(x)存在零点,零点是-1和-6.
(2)令f(x)=2x-1-3=0,得x=log26,所以函数f(x)存在零点,零点是log26.
(3)因为x2+x+1=(x+)2+≥>0,2x+1>1>0,所以f(x)=(x2+x+1)(2x+1)>0,
所以函数f(x)不存在零点.
(4)当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3(x=1舍去);当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.
所以函数f(x)=存在零点,零点为-3和e2.
函数零点的两种求法
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点.
(2)几何法:与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
[变式训练] 若一次函数f(x)=kx+b(k≠0)有一个零点-2,则函数g(x)=bx2-kx的图象可能是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为一次函数f(x)=kx+b(k≠0)有一个零点-2,所以-2k+b=0,即b=2k,对于g(x)=bx2-kx,令g(x)=0,
则bx2-kx=0,则x(bx-k)=0,即x(2kx-k)=0,解得x=0或x=0.5,所以g(x)有两个零点,分别为0和0.5,符合题意的只有B选项.故选B.
题型二 函数零点所在区间问题
[例2] (多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) -4 -2 1 4 2 -1 -3
在下列区间中,函数f(x)必有零点的区间为( )
[A](1,2) [B](2,3)
[C](5,6) [D](5,7)
【答案】 BCD
【解析】 由所给的函数值表知,f(1)f(2)>0,f(2)f(3)<0,f(5)f(6)<0,f(5)f(7)<0,
由零点存在定理可知,f(x)在区间(2,3),(5,6),(5,7)内分别至少有一个零点.故选BCD.
判断函数y=f(x)在所给区间(a,b)上
是否有零点的常用方法
(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
[变式训练] 已知x0是函数f(x)=-x+3的一个零点,则x0所在区间为( )
[A](1,2) [B](2,3)
[C](3,4) [D](4,5)
【答案】 C
【解析】 由题意知函数f(x)=-x+3在R上连续且单调递减,且f(1)=-1+3>0,f(2)=-2+3>0,f(3)=-3+3>0,f(4)=-4+3<0,所以f(3)f(4)<0,所以函数f(x)的零点在区间(3,4)内,即x0∈(3,4).故选C.
题型三 函数零点个数的问题
[例3] 判断下列函数的零点个数.
(1)f(x)=+x2-2x;
(2)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
【解】 (1)解方程+x2-2x=0,即=0,即(x-1)(x2-x-1)=0,解得x1=1,x2=,x3=,所以方程有三个解,即函数f(x)=+x2-2x有3个零点.
(2)法一 因为f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg 3-2>0,所以f(x)在(0,2)上必定存在零点,
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在定义域(-1,+∞)上为增函数,所以f(x)有且只有一个零点.
法二 令f(x)=2x+lg(x+1)-2=0,即2-2x=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的大致图象,如图所示,由图象知g(x)=lg(x+1)的图象和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点,
即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程的解,转化为解方程,有几个不同的实数解就有几个零点.
(2)画出函数y=f(x)的图象,判定它与x轴的交点个数,从而判定零点的个数.
(3)结合单调性,利用函数零点存在定理,可判定y=f(x)在(a,b)内零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
[变式训练] 函数f(x)=若k>0,则函数y=|f(x)|-1的零点个数为 .
【答案】 4
【解析】 法一 令y=|f(x)|-1=0,得|f(x)|=1,即f(x)=1或f(x)=-1.当x>0时,由ln x=1或ln x=-1,得x=e或x=;
当x≤0时,由kx+2=1或kx+2=-1,得x=-<0或x=-<0.则函数y=|f(x)|-1的零点个数是4.
法二 y=f(x)的图象如图(1)所示, 故y=|f(x)|的图象如图(2)所示.令y=|f(x)|-1=0,即|f(x)|=1,y=|f(x)|的图象与y=1有4个交点,故函数y=|f(x)|-1的零点个数是4.4.5.1 函数的零点与方程的解
学习目标 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.
知识归纳
知识点一 函数零点
1.概念:对于一般函数y=f(x),我们把使 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系:
(1)零点不是点,是函数图象与x轴交点的横坐标.
(2)求零点可转化为求对应方程的解.
(3)并不是所有的函数都有零点,如函数y=2x,y=|x|+1都没有零点.
知识点二 函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条 的曲线,且有 ,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内 有一个零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的解.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P144练习T1改编)下列图象表示的函数中恰有一个零点的是 ( )
[A] [B]
[C] [D]
2.函数f(x)=x2-4x+3的零点为( )
[A](1,0) [B](1,3)
[C]1和3 [D](1,0)和(3,0)
3.函数f(x)=的零点个数是( )
[A]0 [B]1 [C]2 [D]3
4.函数f(x)=x3+x2-5的一个零点所在区间为( )
[A](0,1) [B](1,2)
[C](2,3) [D](3,4)
题型一 求函数的零点
[例1] 判断下列函数是否存在零点,如果存在,求出函数的零点;如果不存在,请说明理由.
(1)f(x)=x2+7x+6;
(2)f(x)=2x-1-3;
(3)f(x)=(x2+x+1)(2x+1);
(4)f(x)=
函数零点的两种求法
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点.
(2)几何法:与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
[变式训练] 若一次函数f(x)=kx+b(k≠0)有一个零点-2,则函数g(x)=bx2-kx的图象可能是( )
[A] [B]
[C] [D]
题型二 函数零点所在区间问题
[例2] (多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) -4 -2 1 4 2 -1 -3
在下列区间中,函数f(x)必有零点的区间为( )
[A](1,2) [B](2,3)
[C](5,6) [D](5,7)
判断函数y=f(x)在所给区间(a,b)上
是否有零点的常用方法
(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
[变式训练] 已知x0是函数f(x)=-x+3的一个零点,则x0所在区间为( )
[A](1,2) [B](2,3)
[C](3,4) [D](4,5)
题型三 函数零点个数的问题
[例3] 判断下列函数的零点个数.
(1)f(x)=+x2-2x;
(2)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程的解,转化为解方程,有几个不同的实数解就有几个零点.
(2)画出函数y=f(x)的图象,判定它与x轴的交点个数,从而判定零点的个数.
(3)结合单调性,利用函数零点存在定理,可判定y=f(x)在(a,b)内零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
[变式训练] 函数f(x)=若k>0,则函数y=|f(x)|-1的零点个数为 .
