4.5.2 用二分法求方程的近似解
学习目标 1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.
知识归纳
知识点一 二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间 ,使所得区间的两个端点 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理.
(2)用二分法只能求变号零点,即零点左右两侧的函数值的符号相反,比如y=x2,该函数有零点为0,但不能用二分法求解.
知识点二 用二分法求函数零点的近似值
给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下:
1.确定零点x0的初始区间[a,b],验证 .
2.求区间(a,b)的中点 .
3.计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:
(1)若f(c)=0(此时x0=c),则 就是函数的零点;
(2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈ ),则令b=c;
(3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈ ),则令a=c.
4.判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤2～4.
(1)初始区间要包含函数的变号零点.
(2)精确度ε表示停止二分时区间的长度小于ε.
定区间,找中点,中值计算两边看;同号去,异号算,零点落在异号间;周而复始怎么办 精确度上来判断.
基础自测
1.下列函数中不能用二分法求零点的是( )
[A]y=3x-1 [B]y=x3
[C]y=|x| [D]y=ln x
2.(人教A版必修第一册P155习题4.5 T1改编)下列函数图象与x轴均有交点,但不能用二分法求交点横坐标的是( )
[A] [B]
[C] [D]
3.用二分法研究函数f(x)=x3-2x+2的零点时,通过计算得f(-1)>0,f(-2)<0,则下一步应计算f(x1),则x1等于( )
[A]0 [B]-
[C]- [D]-
4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)为 ( )
[A]1.5 [B]1.375
[C]1.437 5 [D]1.25
题型一 对二分法概念的理解
[例1] 已知f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出零点的近似值,则c的值是 ( )
[A]9 [B]8
[C]7 [D]6
运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左、右两侧的函数值异号.
[变式训练] (多选)下列方程中能用二分法求近似解的为( )
[A]ln x+x=0
[B]ex-3x=0
[C]x3-3x+1=0
[D]4x2-4x+5=0
题型二 用二分法求函数零点的近似值
[例2] 已知方程2x+2x=5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间;
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度为0.1).
参考数据:
x 1.125 1.25 1.312 5 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.48 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
二分法求函数零点的近似值
(1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求.(2)区间内的任一值都可以作为零点的近似值,一般取端点作为零点的近似值.
[变式训练] 函数g(x)=+log2x-2在区间(1,2)内是否有零点 若有零点,用二分法求零点的近似值(精确度为0.2);若没有零点,说明理由.
(参考数据:≈1.118,≈1.225,≈1.323,log21.25≈322,log21.5≈0.585,log21.75≈0.807)
题型三 二分法的实际应用
[例3] 一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点,已知电路不通的原因是某一个焊接点脱落,要想借助万用表,利用二分法的思想检测出哪一处焊接点脱落,至多需要检测( )
[A]4次 [B]6次 [C]7次 [D]50次
二分法的思想在实际生活中应用十分广泛,二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障排查,还能用于实验设计、资料查询、资金分配等.
[变式训练] 在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(质量比真金的略轻).现只有一台天平,请问:利用二分法的思想,至多称几次就一定可以找出这枚假币 4.5.2 用二分法求方程的近似解
学习目标 1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.
知识归纳
知识点一 二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理.
(2)用二分法只能求变号零点,即零点左右两侧的函数值的符号相反,比如y=x2,该函数有零点为0,但不能用二分法求解.
知识点二 用二分法求函数零点的近似值
给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下:
1.确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0.
2.求区间(a,b)的中点c.
3.计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:
(1)若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点;
(2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则令b=c;
(3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.
4.判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤2～4.
(1)初始区间要包含函数的变号零点.
(2)精确度ε表示停止二分时区间的长度小于ε.
定区间,找中点,中值计算两边看;同号去,异号算,零点落在异号间;周而复始怎么办 精确度上来判断.
基础自测
1.下列函数中不能用二分法求零点的是( )
[A]y=3x-1 [B]y=x3
[C]y=|x| [D]y=ln x
【答案】 C
【解析】 对于A,y=3x-1为增函数,有唯一零点x=,且函数值在零点两侧异号,故可用二分法求零点;
对于B,y=x3为增函数,有唯一零点x=0,且函数值在零点两侧异号,故可用二分法求零点;
对于C,y=|x|不是单调函数,有唯一零点x=0,但函数值在零点两侧同号,故不能用二分法求零点;
对于D,y=ln x为增函数,有唯一零点x=1,且函数值在零点两侧异号,故可用二分法求零点.故选C.
2.(人教A版必修第一册P155习题4.5 T1改编)下列函数图象与x轴均有交点,但不能用二分法求交点横坐标的是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 由题意可知,二分法求零点要求函数的图象连续不断且满足函数零点存在定理,即f(a)f(b)<0成立,对比选项可知,A,C,D均符合题意,但选项B中f(a)f(b)≥0恒成立,不满足函数零点存在定理,故B错误.故选B.
3.用二分法研究函数f(x)=x3-2x+2的零点时,通过计算得f(-1)>0,f(-2)<0,则下一步应计算f(x1),则x1等于( )
[A]0 [B]-
[C]- [D]-
【答案】 C
【解析】 因为f(-1)>0,f(-2)<0,且函数f(x)=x3-2x+2的图象连续不断,所以函数f(x)=x3-2x+2在区间(-2,-1)内有零点,所以下一步应计算f(x1),x1==-.故选C.
4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)为 ( )
[A]1.5 [B]1.375
[C]1.437 5 [D]1.25
【答案】 C
【解析】 因为f(1.406 25)<0,f(1.437 5)>0,所以f(1.406 25)f(1.437 5)<0,所以该方程的解在区间(1.406 25,1.437 5)内,
又因为|1.406 25-1.437 5|=0.031 25<0.05,所以方程的近似解可以是1.437 5.故选C.
题型一 对二分法概念的理解
[例1] 已知f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出零点的近似值,则c的值是 ( )
[A]9 [B]8
[C]7 [D]6
【答案】 A
【解析】 依题意可知,x2+6x+c=0有两个相等的实数根,则Δ=36-4c=0,所以c=9.故选A.
运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左、右两侧的函数值异号.
[变式训练] (多选)下列方程中能用二分法求近似解的为( )
[A]ln x+x=0
[B]ex-3x=0
[C]x3-3x+1=0
[D]4x2-4x+5=0
【答案】 ABC
【解析】 对于A项,设f(x)=ln x+x,则f()=ln +=-2+<0,f(1)=1>0,所以f()f(1)<0,可以使用二分法,故A正确;对于B项,设g(x)=ex-3x,则g(0)=1>0,g(1)=e-3<0,所以g(0)g(1)<0,可以使用二分法,故B正确;对于C项,设h(x)=x3-3x+1,则h(0)=1>0,h(1)=1-3+1=-1<0,所以h(0)h(1)<0,可以使用二分法,故C正确;对于D项,设k(x)=4x2-4x+5,因为k(x)=≥0恒成立,不存在函数值异号区间,所以不满足二分法的条件,故D错误.故选ABC.
题型二 用二分法求函数零点的近似值
[例2] 已知方程2x+2x=5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间;
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度为0.1).
参考数据:
x 1.125 1.25 1.312 5 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.48 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
【解】 (1)令f(x)=2x+2x-5.因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.因为f(1)=21+2×1-5=-1<0,f(2)=22+2×2-5=3>0,所以函数f(x)=2x+2x-5的零点在(1,2)内.即原方程的解有且仅有1个,并在区间(1,2)内.
(2)用二分法逐次计算,列表如下:
区间 中点的值 中点函数 近似值
(1,2) 1.5 0.83
(1,1.5) 1.25 -0.12
(1.25,1.5) 1.375 0.34
(1.25,1.375) 1.312 5 0.105
因为|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.312 5-1.25|=0.062 5<0.1,所以函数的零点近似值为1.312 5,
即方程2x+2x=5的近似解可取为1.312 5.(或1.25或区间(1.25,1.312 5)内的任意值)
二分法求函数零点的近似值
(1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求.(2)区间内的任一值都可以作为零点的近似值,一般取端点作为零点的近似值.
[变式训练] 函数g(x)=+log2x-2在区间(1,2)内是否有零点 若有零点,用二分法求零点的近似值(精确度为0.2);若没有零点,说明理由.
(参考数据:≈1.118,≈1.225,≈1.323,log21.25≈322,log21.5≈0.585,log21.75≈0.807)
【解】 存在,理由如下.易得g(x)=+log2x-2是定义域内的增函数.因为g(1)=1-2=-1<0,g(2)=+log22-2=-1>0,
所以函数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个零点.因为g(1.5)=+log21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.19<0,所以函数的零点在(1.5,2)内,
因为g(1.75)=+log21.75-2≈1.323+0.807-2=0.13>0,所以函数的零点在(1.5,1.75)内,
1.75-1.5=0.25>0.2,=1.625,因为下一个零点所在的区间为(1.5,1.625)或(1.625,1.75),
|1.5-1.625|=|1.625-1.75|=0.125<0.2,所以g(x)零点的近似值可以取1.625.
题型三 二分法的实际应用
[例3] 一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点,已知电路不通的原因是某一个焊接点脱落,要想借助万用表,利用二分法的思想检测出哪一处焊接点脱落,至多需要检测( )
[A]4次 [B]6次 [C]7次 [D]50次
【答案】 C
【解析】 第一次,可去掉50个结果,从剩余的50个中继续使用二分法;第二次,可去掉25个结果,从剩余的25个中继续使用二分法;第三次,可去掉12或13个结果,考虑至多的情况,所以去掉12个结果,从剩余的13个中继续使用二分法;第四次,可去掉6或7个结果,考虑至多的情况,所以去掉6个结果,从剩余的7个中继续使用二分法;第五次,可去掉3或4个结果,考虑至多的情况,所以去掉3个结果,从剩余的4个中继续使用二分法;第六次,可去掉2个结果,从剩余的2个中继续使用二分法;第七次,可去掉1个结果,得到最终结果.所以最多需要检测7次.故选C.
二分法的思想在实际生活中应用十分广泛,二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障排查,还能用于实验设计、资料查询、资金分配等.
[变式训练] 在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(质量比真金的略轻).现只有一台天平,请问:利用二分法的思想,至多称几次就一定可以找出这枚假币
【解】 第一次,将26枚金币平均分成两份,放在天平上,假币在轻的那13枚金币里面;
第二次,从这13枚金币中拿出 1枚,将剩下的12枚平均分成两份,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,称量结束;若不平衡,则假币一定在轻的那6枚金币里面,则进行第三次称量;
第三次,将这6枚平均分成两份,则假币一定在轻的那3枚金币里面;第四次,从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上,若平衡,则剩下的那一枚即是假币;若不平衡,则轻的那一枚为假币.
依据上述分析,至多称4次就可以发现这枚假币.
