4.5.3 函数模型的应用
学习目标 1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题.3.能解决实际问题中的函数模型选择问题.
知识归纳
知识点一 常见的几种函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
反比例函数模型 f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数型函数模型 f(x)= (a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
幂函数型模型 f(x)= (a,b为常数,a≠0)
知识点二 建立函数模型的基本过程
基础自测
1.两个变量的散点图如图,用如下函数进行拟合比较合理的是( )
[A]y=a·xb [B]y=a·ebx
[C]y=a+bln x [D]y=a·
2.(人教A版必修第一册P150练习T2改编)某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为 180只,则15年后它们发展到( )
[A]300只 [B]400只
[C]600只 [D]720只
3.种群数量“J”型增长是指在食物充足、空间无限且无天敌的理想条件下种群数量呈指数增长模型,其数学模型公式为Nt=N0λt.其中N0是该种群的起始数量,t为时间(单位:年),λ是该种群数量每年增长的倍数,Nt表示t年后该种群数量.若某种群满足“J”型增长模型,λ为定值,1年后该种群数量是起始数量的倍,则5年后该种群数量是起始数量的( )
[A] 倍 [B] 倍
[C] 倍 [D] 倍
4.某工厂在某年12月份的产值是这年1月份产值的m倍,则该厂在该年度的产值的月平均增长率为( )
[A] [B]
[C]-1 [D]-1
题型一 应用已知函数模型解决实际问题
[例1] 物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型,如果物体的初始温度为θ1 ℃,空气温度为θ0 ℃(θ1>θ0),则x min后物体的温度θ(x)满足θ(x)-θ0=(θ1-θ0)e-kx(k为常数).实验测算,当x=12时,满足θ(x)-θ0=(θ1-θ0).
(1)求k的值;
(2)某种茶叶泡制的茶水,刚沏出来时茶水温度为75 ℃,等茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳.已知空气温度为25 ℃,则刚沏出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感 (结果保留一位小数,参考数值:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,ln 5≈1.6)
利用已知函数模型解决实际问题
(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数.
(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题.
(3)涉及较为复杂的指数运算时,常常利用等式两边取对数的方法,将指数运算转化为对数运算.
[变式训练] 火箭是能使物体达到宇宙速度,克服或摆脱地球引力束缚,进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式:v=uln .u表示气体相对于火箭的喷射速度(单位:km/s),M0表示火箭的初始质量(火箭壳与推进剂的总质量,单位:t),M表示推进剂用完后火箭的质量(单位:t),目前使用液氢液氧推进剂的发动机能达到的喷射速度约为4 km/s.理想情况下,对于初始质量为24 t的单级火箭,速度要达到11.2 km/s,则需装载的推进剂的吨数约为(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,e0.4≈1.5)( )
[A]22.1 [B]22.3
[C]22.5 [D]22.7
题型二 建立函数模型解决实际问题
[例2] 某医学研究所研发一种药物.据监测,如果成人在0.5 h内按规定的剂量注射该药,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,每升血液中的药物含量y(单位:mg)与开始注射后的时间t(单位:h)之间近似满足如图所示的曲线,y与t的函数关系为y=mat(a>0,且a≠1).根据图中提供的信息:
(1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量y(单位:mg)关于时间t(单位:h)的函数关系式;
(2)据测定,每升血液中药物含量不少于0.08 mg 时该药有效,那么该药的药效时间有多长(结果保留小数点后两位)
(3)若第一次药物注射完成2 h后,马上进行第二次注射,则第二次注射完成后再过1 h,该人每升血液中药物含量为多少(结果保留小数点后两位)
(参考数据:ln 2≈0.69,ln 5≈1.61)
与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
[变式训练] 某水库有a万条鱼,计划每年捕捞一些鱼,假设水库中鱼不繁殖,鱼的数量只会因捕捞而减少,且每年捕捞的鱼的数量所占比例相等.捕捞鱼的数量达到原数量的所用时间是6年.为了保证水库的生态平衡,鱼的数量至少要保留原数量的.已知到今年为止,水库里鱼的剩余数量为原数量的.
(1)求每年捕捞的鱼的数量所占比例;
(2)到今年为止,该水库已捕捞了多少年
(3)今年之后,为了保证水库的生态平衡,最多还能捕捞多少年
题型三 拟合函数解决实际问题
[例3] 某地区不同身高x(单位:cm)未成年男性体重平均值y(单位:kg)如下表:
身高x/cm 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重y/kg 10 12 15 17 20 27 31 45 50 67
根据表中数据及散点图,为了能近似地反映该地区未成年男性平均体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)的关系,现有以下三种模型提供选择:①y=abx+c;②y=-x3+ax2+bx+c;③y=klogax+b.
(1)你认为最符合实际的函数模型是哪个(说明理由) 并利用(80,10),(120,20),(160,50)这三组数据求出此函数模型的解析式.
(2)若某男性体重超过同一地区相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么该地区一名身高为164 cm,体重为62 kg 的未成年男性的体重是否正常
(参考数据:lg 3≈10lg 1.1)
建立拟合函数与预测的基本步骤
[变式训练] 为研究某种病毒的繁殖速度,某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察,每隔单位时间T进行一次记录,用x表示经过单位时间的个数,用y(单位:万个)表示此病毒的数量,得到如下数据:
x 1 2 3 4 5 6 …
y/万个 … 10 … 50 … 250 …
若该病毒的数量y(单位:万个)与经过x(x∈N*)个单位时间T的关系有两个函数模型y=px2+q与y=kax(k>0,a>1)可供选择.
(1)判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式.
(2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个
参考数据:≈2.236,≈2.449,lg 2≈0.301,lg 6≈0.778.4.5.3 函数模型的应用
学习目标 1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题.3.能解决实际问题中的函数模型选择问题.
知识归纳
知识点一 常见的几种函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
反比例函数模型 f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数型函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
幂函数型模型 f(x)=axα+b(a,b为常数,a≠0)
知识点二 建立函数模型的基本过程
基础自测
1.两个变量的散点图如图,用如下函数进行拟合比较合理的是( )
[A]y=a·xb [B]y=a·ebx
[C]y=a+bln x [D]y=a·
【答案】 C
【解析】 由散点图可知,此曲线类似对数型函数曲线,因此可用函数y=a+bln x模型进行拟合.故选C.
2.(人教A版必修第一册P150练习T2改编)某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为 180只,则15年后它们发展到( )
[A]300只 [B]400只
[C]600只 [D]720只
【答案】 D
【解析】 由题知,该动物的繁殖数量y与引入时间x的关系为y=alog2(x+1),
将x=1,y=180代入y=alog2(x+1),得180=alog2(1+1),解得a=180,所以y=180·log2(x+1),所以当x=15时,y=180·log2(15+1)=180×4=720,所以15年后它们发展到720只.故选D.
3.种群数量“J”型增长是指在食物充足、空间无限且无天敌的理想条件下种群数量呈指数增长模型,其数学模型公式为Nt=N0λt.其中N0是该种群的起始数量,t为时间(单位:年),λ是该种群数量每年增长的倍数,Nt表示t年后该种群数量.若某种群满足“J”型增长模型,λ为定值,1年后该种群数量是起始数量的倍,则5年后该种群数量是起始数量的( )
[A] 倍 [B] 倍
[C] 倍 [D] 倍
【答案】 A
【解析】 由题意知N1=N0,λ=,则N5=N0·=N0,故5年后该种群数量是起始数量的倍.故选A.
4.某工厂在某年12月份的产值是这年1月份产值的m倍,则该厂在该年度的产值的月平均增长率为( )
[A] [B]
[C]-1 [D]-1
【答案】 D
【解析】 设该厂在该年度的产值的月平均增长率为p,则(1+p)11=m,解得p=-1.故选D.
题型一 应用已知函数模型解决实际问题
[例1] 物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型,如果物体的初始温度为θ1 ℃,空气温度为θ0 ℃(θ1>θ0),则x min后物体的温度θ(x)满足θ(x)-θ0=(θ1-θ0)e-kx(k为常数).实验测算,当x=12时,满足θ(x)-θ0=(θ1-θ0).
(1)求k的值;
(2)某种茶叶泡制的茶水,刚沏出来时茶水温度为75 ℃,等茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳.已知空气温度为25 ℃,则刚沏出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感 (结果保留一位小数,参考数值:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,ln 5≈1.6)
【解】 (1)由题意可知,
由①÷②,得2e-12k=1,即12k=ln 2,所以k=.
(2)设刚沏出来的茶水大约需要放置t min才能达到最佳饮用口感,由题意可知,θ1=75,θ0=25,θ(t)=55,所以55-25=(75-25),即=,所以t=≈≈8.6,
所以刚沏出来的茶水大约需要放置8.6 min才能达到最佳饮用口感.
利用已知函数模型解决实际问题
(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数.
(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题.
(3)涉及较为复杂的指数运算时,常常利用等式两边取对数的方法,将指数运算转化为对数运算.
[变式训练] 火箭是能使物体达到宇宙速度,克服或摆脱地球引力束缚,进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式:v=uln .u表示气体相对于火箭的喷射速度(单位:km/s),M0表示火箭的初始质量(火箭壳与推进剂的总质量,单位:t),M表示推进剂用完后火箭的质量(单位:t),目前使用液氢液氧推进剂的发动机能达到的喷射速度约为4 km/s.理想情况下,对于初始质量为24 t的单级火箭,速度要达到11.2 km/s,则需装载的推进剂的吨数约为(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,e0.4≈1.5)( )
[A]22.1 [B]22.3
[C]22.5 [D]22.7
【答案】 C
【解析】 由题意可得M0=24,u=4,v=11.2,所以代入公式,可得11.2=4×ln ,所以2.8=ln 24-ln M,所以ln M=ln 24-2.8,因为ln 24=ln (8×3)=3ln 2+ln 3≈3.2,所以ln M=3.2-2.8=0.4,所以M=e0.4≈1.5,所以需装载的推进剂的吨数约为M0-M≈24-1.5=22.5.故选C.
题型二 建立函数模型解决实际问题
[例2] 某医学研究所研发一种药物.据监测,如果成人在0.5 h内按规定的剂量注射该药,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,每升血液中的药物含量y(单位:mg)与开始注射后的时间t(单位:h)之间近似满足如图所示的曲线,y与t的函数关系为y=mat(a>0,且a≠1).根据图中提供的信息:
(1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量y(单位:mg)关于时间t(单位:h)的函数关系式;
(2)据测定,每升血液中药物含量不少于0.08 mg 时该药有效,那么该药的药效时间有多长(结果保留小数点后两位)
(3)若第一次药物注射完成2 h后,马上进行第二次注射,则第二次注射完成后再过1 h,该人每升血液中药物含量为多少(结果保留小数点后两位)
(参考数据:ln 2≈0.69,ln 5≈1.61)
【解】 (1)当0≤t≤时,设y=kt,将(,2)代入y=kt得2=k,解得k=4,此时y=4t;
当t>时,设y=mat(a>0,且a≠1),将(,2),(1,1)代入y=mat得解得
此时y=4·()t=41-t.
综上,y=
(2)当0≤t≤时,由4t≥0.08,解得0.02≤t≤,当t>时,由41-t≥0.08,得t≤+,
而+≈2.83,故(3)完成第二次注射药物1 h后,
每升血液中第一次注射药物的含量为y1=4-3=0.015 625,
每升血液中第二次注射药物的含量为y2=4-0.5=0.5,
所以该人每升血液中药物含量为y1+y2=0.015 625+0.5≈0.52 (mg).
与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
[变式训练] 某水库有a万条鱼,计划每年捕捞一些鱼,假设水库中鱼不繁殖,鱼的数量只会因捕捞而减少,且每年捕捞的鱼的数量所占比例相等.捕捞鱼的数量达到原数量的所用时间是6年.为了保证水库的生态平衡,鱼的数量至少要保留原数量的.已知到今年为止,水库里鱼的剩余数量为原数量的.
(1)求每年捕捞的鱼的数量所占比例;
(2)到今年为止,该水库已捕捞了多少年
(3)今年之后,为了保证水库的生态平衡,最多还能捕捞多少年
【解】 (1)设每年捕捞的鱼的数量所占比例为x,由题意可得a(1-x)6=a-a,即(1-x)6=,解得x=1-,
则每年捕捞的鱼的数量所占比例为1-().
(2)设到今年为止该水库已捕捞t年,则a(1-x)t=a,由(1)知,==,所以=,解得t=3,
即到今年为止,该水库已捕捞了3年.
(3)设今年之后,最多还能捕捞n年,则n年后,水库里鱼的剩余数量为a(1-x)n.
由题意可得a(1-x)n≥a,则≥,所以≤,解得n≤9,
故今年之后,最多还能捕捞9年.
题型三 拟合函数解决实际问题
[例3] 某地区不同身高x(单位:cm)未成年男性体重平均值y(单位:kg)如下表:
身高x/cm 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重y/kg 10 12 15 17 20 27 31 45 50 67
根据表中数据及散点图,为了能近似地反映该地区未成年男性平均体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)的关系,现有以下三种模型提供选择:①y=abx+c;②y=-x3+ax2+bx+c;③y=klogax+b.
(1)你认为最符合实际的函数模型是哪个(说明理由) 并利用(80,10),(120,20),(160,50)这三组数据求出此函数模型的解析式.
(2)若某男性体重超过同一地区相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么该地区一名身高为164 cm,体重为62 kg 的未成年男性的体重是否正常
(参考数据:lg 3≈10lg 1.1)
【解】 (1)选择模型①y=abx+c,因为体重y随着身高x的增大而增大,并且增长的速度越来越快,属于指数爆炸型增长模型.把(80,10),(120,20),(160,50)这三组数据分别代入y=abx+c,
可得①
消去c,可得②
将两式相除可得b40=3(b40=1舍去),
将其代入①式,可得
解得故y=·+5.
(2)由(1)得y=·+5,所以当x=164时,y=×34.1+5=×34×30.1+5=45×30.1+5,
由lg 3≈10lg 1.1可得lg 30.1≈lg 1.1,所以30.1≈1.1,所以y≈45×1.1+5=54.5,
因为62÷54.5≈1.14∈(0.8,1.2),故该未成年男性的体重正常.
建立拟合函数与预测的基本步骤
[变式训练] 为研究某种病毒的繁殖速度,某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察,每隔单位时间T进行一次记录,用x表示经过单位时间的个数,用y(单位:万个)表示此病毒的数量,得到如下数据:
x 1 2 3 4 5 6 …
y/万个 … 10 … 50 … 250 …
若该病毒的数量y(单位:万个)与经过x(x∈N*)个单位时间T的关系有两个函数模型y=px2+q与y=kax(k>0,a>1)可供选择.
(1)判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式.
(2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个
参考数据:≈2.236,≈2.449,lg 2≈0.301,lg 6≈0.778.
【解】 (1)若选y=px2+q,将x=2,y=10和x=4,y=50代入可得解得故y=x2-,将x=6代入,得y=×62-=与y=250相差太大,不符合题意;
若选y=kax(k>0,a>1),将x=2,y=10和x=4,y=50代入可得解得故y=2·,将x=6代入,得y=2·=250,符合题意.
综上,选择函数y=kax(k>0,a>1)更合适,解析式为y=2·.
(2)依题意,设至少需要x个单位时间,则2≥120 000,即≥60 000,
两边同时取对数,可得xlg ≥lg 6+4,则x≥=≈≈13.671,
因为x∈N*,所以x的最小值为14,故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于12亿个.
