5.1.1 任意角
学习目标 1.了解任意角的概念,区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念,理解并掌握终边相同的角的概念,能写出终边相同的角所组成的集合.3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题.
知识归纳
知识点一 任意角
1.角的概念及其表示
角可以看成一条 绕着它的端点 所成的 .如图,
①始边:射线的 位置OA;②终边:射线的 位置OB;③顶点:射线的端点O.
记法:图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”或“α”.
2.任意角:我们把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角.
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
零角 一条射线 做 旋转形成的角
3.角的相等
如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称 .
4.角的加法
设α,β是任意两个角.我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是 .
5.相反角及角的减法
把射线OA绕端点O按 方向旋转 的量所成的两个角叫做互为相反角,角α的相反角记为 ,α-β=α+ .
知识点二 象限角与终边相同的角
1.象限角
角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的 在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在 上,就认为这个角不属于任何一个象限.
2.终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β= },即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与 的和.
(1)锐角是第一象限角,第一象限角未必是锐角;钝角是第二象限角,第二象限角未必是钝角;直角的终边在坐标轴上,它不属于任何象限.
(2)每一个象限都有正角和负角.
(3)无法比较两个象限角的大小.
知识拓展
角的终边位置 角的集合
终边落在x轴 非负半轴上 {α|α=k·360°,k∈Z}
终边落在x轴 非正半轴上 {α|α=180°+k·360°,k∈Z}
终边落在y轴 非负半轴上 {α|α=90°+k·360°,k∈Z}
终边落在y轴 非正半轴上 {α|α=270°+k·360°,k∈Z}
终边落在 x轴上 {α|α=k·180°,k∈Z}
终边落在 y轴上 {α|α=90°+k·180°,k∈Z}
终边落在 坐标轴上 {α|α=k·90°,k∈Z}
第一象限角 {α|k·360°<α<90°+ k·360°,k∈Z}
第二象限角 {α|90°+k·360°<α<180°+ k·360°,k∈Z}
第三象限角 {α|180°+k·360°<α<270°+ k·360°,k∈Z}
第四象限角 {α|270°+k·360°<α<360°+ k·360°,k∈Z}
基础自测
1.将-880°化为α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是( )
[A]160°+(-3)×360°
[B]200°+(-2)×360°
[C]160°+(-2)×360°
[D]200°+(-3)×360°
2.(人教A版必修第一册P171练习T3改编)下列各角是第二象限角的是( )
[A]-120° [B]180° [C]-240° [D]400°
3.下列各角中与985°终边相同的角为( )
[A]165° [B]265° [C]85° [D]-105°
4.若角α=30°,把角α逆时针旋转20°得到角β,则α-β= .
题型一 任意角的概念
[例1] 写出下列说法所表示的角:
(1)顺时针拧螺丝2圈;
(2)将时钟拨慢2 h 30 min,分针转过的角.
正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角,顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量,它的正负规定纯属习惯,就好像正数和负数的规定一样.
[变式训练] 如图(1),∠AOC= ;如图(2),∠AOC= .
题型二 象限角
[例2] (多选)下列叙述不正确的是( )
[A]三角形的内角是第一象限角或第二象限角
[B]钝角是第二象限角
[C]第二象限角比第一象限角大
[D]小于180°的角是钝角、直角或锐角
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的关系,需要掌握判断结论正确与否的技巧,结论正确需要证明,而结论不正确只需举一个反例即可.
[变式训练] (多选)已知A={α|α是第一象限角},B={α|α是锐角},C={α|α是小于90°的角},那么A,B,C的关系是( )
[A]B=A∩C [B]B∪C=C
[C]B∩A=B [D]A=B=C
题型三 终边相同的角
[例3] (湘教版必修第一册P157例1)在0°～360°内找出与下列各角终边相同的角,并判定它是第几象限角.
(1)-80°;(2)1 600°;(3)-819°36′.
终边相同的角的表示
(1)与角α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式.
(2)终边相同的角相差360°的整数倍.
[变式训练] 在与角10 030°终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最大的负角;
(2)最小的正角;
(3)360°～720°内的角.
题型四 终边在已知直线上的角及区域角的表示
[例4] 写出终边在如图所示的直线上的角的集合.
[典例迁移1] 终边在第一或第三象限的角的集合是 .
[典例迁移2] 已知角x的终边落在图示阴影部分区域,写出角x组成的集合.
(1)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
(2)表示区域角的三个步骤.
①先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界;
②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°～360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α③起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区域角的集合.
注意:实线包括边界,虚线不包括边界.
培优拓展 判定nα或 所在的象限
[典例] 若α是第二象限角,试分别确定2α,的终边所在位置.
n倍角和n分角的终边位置的确定方法
(1)不等式分类讨论法.
①利用象限角的概念或已知条件,写出角α的取值范围.
②利用不等式的性质,求出nα,等角的取值范围.根据α的象限把(n∈N*)表示出来后,要对k进行分类讨论,k一般按nm,nm+1,nm+2,…,nm+(n-1)(m∈Z)分成n类,如就要把k分成k=3m,k=3m+1,k=3m+2(m∈Z)三类来求解.
(2)等分象限法.
对于的取值范围问题,可采用等分象限法,即把每个象限平均分成n份,从第一象限x轴正半轴的上方起按逆时针方向循环标注象限序号(如图以为例),则标注序号与α所在象限序号相同的区域即为所在的区域.
(3)利用“旋转”的观点,确定角终边的位置.例如,如果得到k·120°<[跟踪训练] 若α是第二象限角,试确定的终边所在位置.5.1.1 任意角
学习目标 1.了解任意角的概念,区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念,理解并掌握终边相同的角的概念,能写出终边相同的角所组成的集合.3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题.
知识归纳
知识点一 任意角
1.角的概念及其表示
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.如图,
①始边:射线的起始位置OA;②终边:射线的终止位置OB;③顶点:射线的端点O.
记法:图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”或“α”.
2.任意角:我们把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角.
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有做任何旋转形成的角
3.角的相等
如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称α=β.
4.角的加法
设α,β是任意两个角.我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α+β.
5.相反角及角的减法
把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角,角α的相反角记为-α,α-β=α+(-β).
知识点二 象限角与终边相同的角
1.象限角
角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
2.终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
(1)锐角是第一象限角,第一象限角未必是锐角;钝角是第二象限角,第二象限角未必是钝角;直角的终边在坐标轴上,它不属于任何象限.
(2)每一个象限都有正角和负角.
(3)无法比较两个象限角的大小.
知识拓展
角的终边位置 角的集合
终边落在x轴 非负半轴上 {α|α=k·360°,k∈Z}
终边落在x轴 非正半轴上 {α|α=180°+k·360°,k∈Z}
终边落在y轴 非负半轴上 {α|α=90°+k·360°,k∈Z}
终边落在y轴 非正半轴上 {α|α=270°+k·360°,k∈Z}
终边落在 x轴上 {α|α=k·180°,k∈Z}
终边落在 y轴上 {α|α=90°+k·180°,k∈Z}
终边落在 坐标轴上 {α|α=k·90°,k∈Z}
第一象限角 {α|k·360°<α<90°+ k·360°,k∈Z}
第二象限角 {α|90°+k·360°<α<180°+ k·360°,k∈Z}
第三象限角 {α|180°+k·360°<α<270°+ k·360°,k∈Z}
第四象限角 {α|270°+k·360°<α<360°+ k·360°,k∈Z}
基础自测
1.将-880°化为α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是( )
[A]160°+(-3)×360°
[B]200°+(-2)×360°
[C]160°+(-2)×360°
[D]200°+(-3)×360°
【答案】 D
【解析】 -880°=200°+(-3)×360°.故选D.
2.(人教A版必修第一册P171练习T3改编)下列各角是第二象限角的是( )
[A]-120° [B]180° [C]-240° [D]400°
【答案】 C
【解析】 因为-120°=-360°+240°,所以-120°是第三象限角;180°角的终边在x轴非正半轴上,不属于任何一个象限;因为-240°=-360°+120°,所以-240°是第二象限角;因为400°=360°+40°,所以400°是第一象限角.故选C.
3.下列各角中与985°终边相同的角为( )
[A]165° [B]265° [C]85° [D]-105°
【答案】 B
【解析】 与985°终边相同的角为985°+k·360°(k∈Z),则当k=-2时,985°-360°×2=265°.
故选B.
4.若角α=30°,把角α逆时针旋转20°得到角β,则α-β= .
【答案】 -20°
【解析】 因为角β是由角α逆时针旋转20°所得,所以β=α+20°=30°+20°=50°,所以α-β=30°-50°=-20°.
题型一 任意角的概念
[例1] 写出下列说法所表示的角:
(1)顺时针拧螺丝2圈;
(2)将时钟拨慢2 h 30 min,分针转过的角.
【解】 (1)顺时针拧螺丝2圈,即旋转了2×360°=720°,顺时针旋转得到的角为负角,故转过的角是-720°.
(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转,分针拨慢2 h 30 min,是2.5周角,角度数是2.5×360°=900°,又分针是逆时针旋转,所以转过的角是900°.
正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角,顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量,它的正负规定纯属习惯,就好像正数和负数的规定一样.
[变式训练] 如图(1),∠AOC= ;如图(2),∠AOC= .
【答案】 110° -70°
【解析】 题图(1)中∠AOC为正角,所以∠AOC=110°;题图(2)中∠AOC为负角,所以
∠AOC=-70°.
题型二 象限角
[例2] (多选)下列叙述不正确的是( )
[A]三角形的内角是第一象限角或第二象限角
[B]钝角是第二象限角
[C]第二象限角比第一象限角大
[D]小于180°的角是钝角、直角或锐角
【答案】 ACD
【解析】 直角不属于任何一个象限,故A不正确;钝角是大于90°小于180°的角,是第二象限角,故B正确;120°是第二象限角,390°是第一象限角,120°<390°,故C不正确;零角和负角也小于180°,故D不正确.故选ACD.
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的关系,需要掌握判断结论正确与否的技巧,结论正确需要证明,而结论不正确只需举一个反例即可.
[变式训练] (多选)已知A={α|α是第一象限角},B={α|α是锐角},C={α|α是小于90°的角},那么A,B,C的关系是( )
[A]B=A∩C [B]B∪C=C
[C]B∩A=B [D]A=B=C
【答案】 BC
【解析】 A∩C除了包括锐角,还包括其他角,比如-330°角,故A错误;锐角是大于0°且小于90°的角,故B正确;锐角是第一象限角,故C正确;A,B,C中角的范围不一样,故D错误.故选BC.
题型三 终边相同的角
[例3] (湘教版必修第一册P157例1)在0°～360°内找出与下列各角终边相同的角,并判定它是第几象限角.
(1)-80°;(2)1 600°;(3)-819°36′.
【解】 (1)因为-80°=280°-360°,所以在0°～360°内,与-80°角终边相同的角是280°,它是第四象限角.
(2)因为1 600°=160°+4×360°,所以在 0°～360°内,与1 600°角终边相同的角是160°,它是第二象限角.
(3)因为-819°36′=260°24′-3×360°,所以在 0°～360°内,与-819°36′角终边相同的角是260°24′,它是第三象限角.
终边相同的角的表示
(1)与角α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式.
(2)终边相同的角相差360°的整数倍.
[变式训练] 在与角10 030°终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最大的负角;
(2)最小的正角;
(3)360°～720°内的角.
【解】 因为10 030°=27×360°+310°,所以与10 030°终边相同的角为β=k·360°+310°,k∈Z.
(1)当k=-1时,β=-360°+310°=-50°,即最大的负角为-50°.
(2)当k=0时,β=310°,即最小的正角为310°.
(3)当k=1时,β=360°+310°=670°,即在 360°～720°内的角为670°.
题型四 终边在已知直线上的角及区域角的表示
[例4] 写出终边在如图所示的直线上的角的集合.
【解】 (1)法一 在0°～360°范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0°和180°,又所有与0°角终边相同的角的集合为S1={β|β=k·360°,k∈Z},所有与180°角终边相同的角的集合为S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是终边在直线y=0上的角的集合为S=S1∪S2={β|β=k·180°,
k∈Z}.
法二 根据角的定义,0°角顺时针或逆时针每次旋转180°的整数倍可得所求的任意角,所以所求角的集合为{β|β=k·180°,k∈Z}.
(2)法一 由题图易知,在0°～360°范围内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135°和315°,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}=
{β|β=135°+k·180°,k∈Z}.
法二 根据角的定义,135°角顺时针或逆时针每次旋转180°的整数倍可得所求的任意角,所以所求角的集合为{β|β=135°+k·180°,k∈Z}.
(3)根据角的定义,45°角顺时针或逆时针每次旋转90°的整数倍可得所求的任意角,所以所求角的集合为{β|β=45°+k·90°,k∈Z}.
[典例迁移1] 终边在第一或第三象限的角的集合是 .
【答案】 {α|k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z}
【解析】 法一 因为终边在第一象限的角的集合为{α|k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z},终边在第三象限的角的集合为{α|180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z},故终边在第一或第三象限的角的集合为{α|k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z}.
法二 集合{α|0°<α<90°}中的任意一个角顺时针或逆时针每次旋转180°的整数倍可得第一或第三象限的角,所以终边在第一或第三象限的角的集合为{α|k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z}.
[典例迁移2] 已知角x的终边落在图示阴影部分区域,写出角x组成的集合.
【解】 题图(1)中角x组成的集合为{x|k·360°-135°≤x≤k·360°+135°,k∈Z}.
题图(2)中角x组成的集合为{x|k·360°+30°≤x≤k·360°+60°,k∈Z}∪{x|k·360°+210°≤x≤k·360°+240°,k∈Z}={x|2k·180°+30°≤x≤2k·180°+60°或(2k+1)·180°+30°≤x≤(2k+1)·180°+60°,k∈Z}={x|n·180°+30°≤x≤n·180°+60°,n∈Z}.
(1)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
(2)表示区域角的三个步骤.
①先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界;
②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°～360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α③起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区域角的集合.
注意:实线包括边界,虚线不包括边界.
培优拓展 判定nα或 所在的象限
[典例] 若α是第二象限角,试分别确定2α,的终边所在位置.
【解】 因为α是第二象限角,所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),所以180°+2k·360°<
2α<360°+2k·360°(k∈Z),所以2α的终边位于第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.
法一 因为45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z),当k=2n(n∈Z)时,45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z);当k=2n+1(n∈Z)时,225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z),所以的终边位于第一或第三象限.
法二 将坐标系的每个象限二等分,得到8个区域.自x轴正半轴按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ.如图所示,因为α是第二象限角,与角α所在象限标号一致的区域,即为的终边所在的象限,所以的终边位于第一或第三象限.
n倍角和n分角的终边位置的确定方法
(1)不等式分类讨论法.
①利用象限角的概念或已知条件,写出角α的取值范围.
②利用不等式的性质,求出nα,等角的取值范围.根据α的象限把(n∈N*)表示出来后,要对k进行分类讨论,k一般按nm,nm+1,nm+2,…,nm+(n-1)(m∈Z)分成n类,如就要把k分成k=3m,k=3m+1,k=3m+2(m∈Z)三类来求解.
(2)等分象限法.
对于的取值范围问题,可采用等分象限法,即把每个象限平均分成n份,从第一象限x轴正半轴的上方起按逆时针方向循环标注象限序号(如图以为例),则标注序号与α所在象限序号相同的区域即为所在的区域.
(3)利用“旋转”的观点,确定角终边的位置.例如,如果得到k·120°<[跟踪训练] 若α是第二象限角,试确定的终边所在位置.
【解】 法一 因为α是第二象限角,所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),
所以30°+k·120°<<60°+k·120°(k∈Z),当k=3n(n∈Z)时,30°+n·360°<<60°+n·360°(n∈Z);
当k=3n+1(n∈Z)时,150°+n·360°<<180°+n·360°(n∈Z);
当k=3n+2(n∈Z)时,270°+n·360°<<300°+n·360°(n∈Z),所以的终边位于第一、第二或第四
象限.
法二 将坐标系的每个象限三等分,得到12个区域.自x轴正半轴按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ.如图所示,因为α是第二象限角,与角α所在象限标号一致的区域,即为的终边所在的象限,所以的终边位于第一、第二或第四象限.
