第3课时 诱导公式的综合应用
学习目标 1.熟练掌握诱导公式的结构特征.2.会利用诱导公式求值、化简与证明.
题型一 利用诱导公式证明恒等式
[例1] 求证:=.
【证明】 因为左边==
==-==右边,所以原式成立.
对于三角恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
[变式训练] 证明:sin(217°-α)cos(α-127°)+cos2(127°-α)tan2(53°+α)=1.
【证明】 sin(217°-α)=sin[180°+(37°-α)]=-sin(37°-α),
cos(α-127°)=cos(127°-α)=-sin(37°-α),cos2(127°-α)=sin2(37°-α),
tan2(53°+α)=
==,
故等式左边=sin2(37°-α)+cos2(37°-α)=1,等式成立.
题型二 诱导公式在解三角形中的应用
[例2] 已知在△ABC中,sin =sin ,试判断△ABC的形状.
【解】 因为A+B+C=π,所以A+B-C=π-2C,A-B+C=π-2B.又sin =sin ,所以sin =
sin ,所以sin(-C)=sin(-B),所以cos C=cos B.又B,C为△ABC的内角,所以C=B,所以△ABC为等腰三角形.
利用诱导公式解决实际问题时,需注意公式四和公式五中的互补和互余,是广义上的互补和互余.在涉及三角形问题时,一定要注意根据三角形内角和A+B+C=π以及题目的具体条件进行适当变形,再化简求值.
[变式训练] 已知A,B,C为△ABC的内角.
(1)求证:cos2+cos2=1;
(2)若cos(+A)sin(+B)tan(C-π)<0,求证:△ABC为钝角三角形.
【证明】 (1)因为在△ABC中,A+B=π-C,所以=-,所以cos=cos(-)=sin ,
所以cos2+cos2=sin2+cos2=1.
(2)因为cos(+A)sin(+B)tan(C-π)<0,所以-sin A·(-cos B)·tan C<0,即sin Acos Btan C<0.
又A,B,C∈(0,π),所以sin A>0,所以cos Btan C<0,即cos B<0,tan C>0或 tan C<0,cos B>0,所以B为钝角或C为钝角,所以△ABC为钝角三角形.
题型三 三角函数的综合应用
[例3] 已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(,).
(1)求sin(α+π)的值;
(2)若角β是将角α的终边顺时针旋转得到的,求5sin β-5cos β+3tan β的值.
【解】 (1)根据题意,sin α==,cos α==,tan α==,sin(α+π)=
-sin α=-.
(2)根据题意,β=α-,故5sin β-5cos β+3tan β=5sin(α-)-5cos(α-)+3tan(α-)=5cos α+
5sin α-=5×+5×-3×=-.
对于三角函数式的化简求值问题,一般遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行切化弦,以保证三角函数名最少.对于特殊角的三角函数值,有时候先求出角然后化简比较简单.
[变式训练] 已知tan(α-180°)=-,且90°<α<180°,求cos(α-360°)+sin(180°+α)值.
【解】 法一 tan(α-180°)=tan α=-,
又cos(α-360°)+sin(180°+α)=cos α-sin α,
则(cos α-sin α)2
=
===4.
又90°<α<180°,所以sin α>0,cos α<0,
即cos α-sin α<0,所以cos α-sin α=-2,
即cos(α-360°)+sin(180°+α)=cos α-sin α=-2.
法二 因为tan(α-180°)=tan α=-,90°<α<180°,所以α=120°,
所以cos(α-360°)+sin(180°+α)=cos(120°-360°)+sin(180°+120°)=cos 120°-sin 120°=
--×=-2.第2课时 诱导公式五、六
学习目标 1.理解公式五、六的推导过程并熟记诱导公式,理解和掌握公式的内涵及结构特征.2.会初步运用诱导公式求三角函数的值与进行简单三角函数式的化简.
知识归纳
知识点一 诱导公式五
1.角-α与角α的终边关于直线y=x对称,如图所示.
2.公式:sin(-α) =cos α,cos(-α)=sin α.
知识点二 诱导公式六
1.公式五与公式六中角的联系为+α=π-(-α).
2.公式:sin(+α)=cos α,cos(+α)=-sin α.
(1)记忆方法:±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
(2)记忆口诀:“函数名改变,符号看象限”或“正变余,余变正,符号象限定”.
知识拓展
公式七:sin(-α)=-cos α,cos(-α)=-sin α.
公式八:sin(+α)=-cos α,cos(+α)=sin α.
诱导公式一～八可以统一概括为α+k·(k∈Z)的三角函数值,等于α的同名(k是偶数时)或异名(k是奇数时)三角函数值,前面加上一个将α看成锐角时原函数值的符号,简称为“奇变偶不变,符号看象限”.当k=0,1,2,3时,±α的具体情况如下表:
不变名 变名
k=0 k=2 k=1 k=3
±α -α π-α π+α -α +α -α +α
α看成锐角时, ±α所在象限 四 二 三 一 二 三 四
基础自测
1.下列等式恒成立的是( )
[A]sin(π+α)=sin α
[B]cos(α-)=-sin α
[C]sin(-+α)=cos α
[D]tan(π+α)=-tan α
【答案】 C
【解析】 sin(π+α)=-sin α,故A错误;cos(α-)=cos(-α)=sin α,故B错误;sin(-+α)=cos α,故C正确;tan(π+α)=tan α,故D错误.故选C.
2.已知cos(-α)=,则cos(+α)等于( )
[A]- [B] [C]- [D]
【答案】 A
【解析】 因为cos(-α)=sin α=,所以cos(+α)=-sin α=-.故选A.
3.(人教A版必修第一册P195习题5.3 T8改编)已知sin(60°+α)=-,则cos(30°-α)的值为( )
[A]- [B]
[C]- [D]
【答案】 A
【解析】 cos(30°-α)=cos[90°-(60°+α)]=sin(60°+α)=-.故选A.
4.化简:= .
【答案】
【解析】 原式==.
题型一 化简
[例1] 化简:+.
【解】 原式=+=+=tan2α-tan2α=0.
(1)化简方法:三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系,熟练应用“奇变偶不变,符号看象限”,据此灵活应用相关的公式及变形,解决问题.
(2)常用技巧:①异名化同名;②异角化同角;③切化弦.
[变式训练] 化简:
.
【解】 原式
=
==-cos α.
题型二 求值
[例2] 已知cos(-α)=,求cos(+α)-sin2(α-)+sin(--α)的值.
【解】 因为cos(+α)=cos[π-(-α)]=-cos(-α)=-,
sin2(α-)=1-cos2(-α)=,sin(--α)=sin[-+(-α)]=-sin[-(-α)]=-cos(-α)=-,
所以原式=--×-=-.
[典例迁移1] 已知cos 31°=m,则sin 239°tan 149°的值是( )
[A] [B]
[C]- [D]-
【答案】 B
【解析】 sin 239°tan 149°=sin(180°+59°)·tan(180°-31°)=-sin 59°(-tan 31°)=-sin(90°-31°)·
(-tan 31°)=-cos 31°·(-tan 31°)=sin 31°==.故选B.
[典例迁移2] 若cos(-α)=,则sin(+α)+sin(α-)= .
【答案】 0
【解析】 因为sin(+α)=sin[-(-α)]=cos(-α)=.sin(α-)=sin[--(-α)]=-sin[+(-α)]=
-cos(-α)=-.所以原式=-=0.
(1)知值求值问题的求解方法.
①观察已知角与未知角之间的关系,运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数,将不同的角化为相同的角是解决问题的关键.
②对于有条件的三角函数求值题,求解的一般方法是从角的关系上寻求突破,找到所求角与已知角之间的关系,结合诱导公式,进而把待求式转化到已知式完成求值.
③当所给的角是复合角时,不易看出已知角与所求角的联系,可将已知角看成一个整体,用这个整体去表示所求角,便可发现它们之间的关系.
(2)常见的互余、互补关系.一般常见的互余关系有-α与+α;+α与-α;+α与-α等.常见的互补关系有+α与-α;+α与-α等.
题型三 诱导公式的综合应用
[例3] 已知:
f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若cos(2π-α)=-,且α为第二象限角,求f(-α)的值.
【解】 (1)f(α)
=
==-tan α.
(2)由cos(2π-α)=-,得cos α=-,
又α为第二象限角,则sin α==,
所以tan α==-,
所以f(-α)=-tan(-α)=-=-=-=.
诱导公式综合应用要“三看”
一看角:化大为小;看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.二看函数名称:一般是弦切互化.三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形,以便逆用平方和差、立方和差公式等.
[变式训练] 已知sin α是方程5x2-7x-6=0的其中一个根,α是第三象限角,求
·tan2(π-α)的值.
【解】 方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-,x2=2(舍去),由α是第三象限角,
得sin α=-,则cos α=-,
所以·tan2(π-α)
=·tan2α
=·tan2α=-tan2α
=-=-.5.3 诱导公式
第1课时 诱导公式二、三、四
学习目标 1.理解诱导公式二、三、四的推导过程并熟记诱导公式,理解和掌握公式的内涵和结构特征.2.会初步运用诱导公式求三角函数的值与进行简单三角函数式的化简.
知识归纳
知识点一 诱导公式二
1.角π+α与角α的终边关于原点对称,如图所示.
2.公式:sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α.
知识点二 诱导公式三
1.角-α与角α的终边关于x轴对称,如图所示.
2.公式:sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α.
知识点三 诱导公式四
1.角π-α与角α的终边关于y轴对称,如图所示.
2.公式:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α.
诱导公式中角α可以是任意角,要注意正切函数中要求α≠kπ+,k∈Z.
(1)记忆方法:2kπ+α,-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
(2)记忆口诀:“函数名不变,符号看象限”,“口诀”的正确理解:“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;“符号”是指等号右边是正号还是负号;“看象限”是指假设α是锐角,要看原函数值在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值.
基础自测
1.sin 120°的值是( )
[A] [B]
[C]- [D]-
【答案】 B
【解析】 sin 120°=sin(180°-60°)=sin 60°=.故选B.
2.cos 的值是( )
[A] [B]- [C]- [D]
【答案】 D
【解析】 cos =cos(4π-) =cos(-) =cos =.故选D.
3.若tan(π+α)=-4,则等于( )
[A]4 [B] [C]-4 [D]-
【答案】 C
【解析】 因为tan(π+α)=tan α=-4,所以==tan α=-4.故选C.
4.(人教A版必修第一册P191练习T3改编)化简:= .
【答案】 1
【解析】
==1.
题型一 给角求值
[例1] 利用公式求下列三角函数值:
(1)sin 870°+cos(-1 100°)+tan(-2 040°);
(2)sin(-) cos(-) tan .
【解】 (1)因为sin 870°=sin(2×360°+150°)
=sin 150°=sin(180°-30°)=sin 30°=,
cos(-1 110°)=cos(-3×360°-30°)
=cos(-30°)=cos 30°=,
tan(-2 040°)=-tan 2 040°
=-tan(6×360°-120°)
=-tan(-120°)=tan 120°
=tan(180°-60°)=-tan 60°=-,
所以原式=+-=.
(2)因为sin(-) =sin(-6π+)
=sin =sin(π-)=sin =,
cos(-)=cos =cos(4π+)
=cos =cos(π-)=-cos =-,
tan =tan(5π+)=tan(π+)=tan =1,所以原式=×(-)×1=-.
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化.
(2)“大化小”——用公式一将角化为0到2π间的角.
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于的角转化为锐角.
(4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值.
[变式训练] (1)cos(-480°)+sin 210°= .
(2)sin(-)·cos ·tan = .
【答案】 (1)-1 (2)-
【解析】 (1)原式=cos 480°+sin(180°+30°)=cos(360°+120°)-sin 30°=cos 120°-=
cos(180°-60°)-=-cos 60°-=--=-1.
(2)原式=sin(-4π+)·cos(4π-)·tan(6π+)=sin ·cos(-)·tan =sin(π+)·cos ·tan =
-sin ·cos ·tan =-××=-.
题型二 给值(式)求值
[例2] (1)已知cos(-α)=,求cos(+α)-sin2(α-)的值;
(2)已知cos(α-75°)=-,且α为第四象限角,求sin(105°+α)的值.
【解】 (1)cos(+α)=cos[π-(-α)]=-cos(-α)=-,
sin2(α-)=sin2[-(-α)]=sin2(-α)=1-cos2(-α)=,
因此,cos(+α)-sin2(α-)=--=-.
(2)因为α为第四象限角,
所以270°+k·360°<α<360°+k·360°(k∈Z),
所以195°+k·360°<α-75°<285°+k·360°(k∈Z),
所以sin(α-75°)<0,
则sin(α-75°)=-=-,
因此sin(105°+α)=sin[(α-75°)+180°]=-sin(α-75°)=.
(1)解决给值求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间角的差异及联系,用已知角表示待求角.
(2)利用诱导公式将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
[变式训练] (1)已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,则cos(α-2π)的值是( )
[A]- [B] [C]± [D]
(2)若cos(-α)=-,则cos(α+)的值为( )
[A] [B]-
[C]- [D]
【答案】 (1)B (2)A
【解析】 (1)由sin(π+α)=,得sin α=-,因为cos(α-2π)=cos α,且α是第四象限角,所以
cos α==.故选B.
(2)cos(α+)=cos[3π-(-α)]=-cos(-α)=.故选A.
题型三 利用公式进行化简
[例3] 化简:(1);
(2).
【解】 (1)原式=
===1.
(2)原式
=
==-1.
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的.
(2)化简时函数名没有改变,但一定要注意函数的符号有没有改变.
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简,一般采用切化弦,有时也将弦化切.
[变式训练] 化简:
(1);
(2)(n∈Z).
【解】 (1)
==-1.
(2)当n为偶数时,==;
当n为奇数时,==-.5.3 诱导公式
第1课时 诱导公式二、三、四
学习目标 1.理解诱导公式二、三、四的推导过程并熟记诱导公式,理解和掌握公式的内涵和结构特征.2.会初步运用诱导公式求三角函数的值与进行简单三角函数式的化简.
知识归纳
知识点一 诱导公式二
1.角π+α与角α的终边关于 对称,如图所示.
2.公式:sin(π+α)= ,cos(π+α)= ,tan(π+α)= .
知识点二 诱导公式三
1.角-α与角α的终边关于 轴对称,如图所示.
2.公式:sin(-α)= ,cos(-α)= ,tan(-α)= .
知识点三 诱导公式四
1.角π-α与角α的终边关于 轴对称,如图所示.
2.公式:sin(π-α)= ,cos(π-α)= ,tan(π-α)= .
诱导公式中角α可以是任意角,要注意正切函数中要求α≠kπ+,k∈Z.
(1)记忆方法:2kπ+α,-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
(2)记忆口诀:“函数名不变,符号看象限”,“口诀”的正确理解:“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;“符号”是指等号右边是正号还是负号;“看象限”是指假设α是锐角,要看原函数值在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值.
基础自测
1.sin 120°的值是( )
[A] [B]
[C]- [D]-
2.cos 的值是( )
[A] [B]- [C]- [D]
3.若tan(π+α)=-4,则等于( )
[A]4 [B] [C]-4 [D]-
4.(人教A版必修第一册P191练习T3改编)化简:= .
题型一 给角求值
[例1] 利用公式求下列三角函数值:
(1)sin 870°+cos(-1 100°)+tan(-2 040°);
(2)sin(-) cos(-) tan .
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化.
(2)“大化小”——用公式一将角化为0到2π间的角.
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于的角转化为锐角.
(4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值.
[变式训练] (1)cos(-480°)+sin 210°= .
(2)sin(-)·cos ·tan = .
题型二 给值(式)求值
[例2] (1)已知cos(-α)=,求cos(+α)-sin2(α-)的值;
(2)已知cos(α-75°)=-,且α为第四象限角,求sin(105°+α)的值.
(1)解决给值求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间角的差异及联系,用已知角表示待求角.
(2)利用诱导公式将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
[变式训练] (1)已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,则cos(α-2π)的值是( )
[A]- [B] [C]± [D]
(2)若cos(-α)=-,则cos(α+)的值为( )
[A] [B]-
[C]- [D]
题型三 利用公式进行化简
[例3] 化简:(1);
(2).
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的.
(2)化简时函数名没有改变,但一定要注意函数的符号有没有改变.
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简,一般采用切化弦,有时也将弦化切.
[变式训练] 化简:
(1);
(2)(n∈Z).第3课时 诱导公式的综合应用
学习目标 1.熟练掌握诱导公式的结构特征.2.会利用诱导公式求值、化简与证明.
题型一 利用诱导公式证明恒等式
[例1] 求证:=.
对于三角恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
[变式训练] 证明:sin(217°-α)cos(α-127°)+cos2(127°-α)tan2(53°+α)=1.
题型二 诱导公式在解三角形中的应用
[例2] 已知在△ABC中,sin =sin ,试判断△ABC的形状.
利用诱导公式解决实际问题时,需注意公式四和公式五中的互补和互余,是广义上的互补和互余.在涉及三角形问题时,一定要注意根据三角形内角和A+B+C=π以及题目的具体条件进行适当变形,再化简求值.
[变式训练] 已知A,B,C为△ABC的内角.
(1)求证:cos2+cos2=1;
(2)若cos(+A)sin(+B)tan(C-π)<0,求证:△ABC为钝角三角形.
题型三 三角函数的综合应用
[例3] 已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(,).
(1)求sin(α+π)的值;
(2)若角β是将角α的终边顺时针旋转得到的,求5sin β-5cos β+3tan β的值.
对于三角函数式的化简求值问题,一般遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行切化弦,以保证三角函数名最少.对于特殊角的三角函数值,有时候先求出角然后化简比较简单.
[变式训练] 已知tan(α-180°)=-,且90°<α<180°,求cos(α-360°)+sin(180°+α)值.第2课时 诱导公式五、六
学习目标 1.理解公式五、六的推导过程并熟记诱导公式,理解和掌握公式的内涵及结构特征.2.会初步运用诱导公式求三角函数的值与进行简单三角函数式的化简.
知识归纳
知识点一 诱导公式五
1.角-α与角α的终边关于直线 对称,如图所示.
2.公式:sin(-α) = ,cos(-α)= .
知识点二 诱导公式六
1.公式五与公式六中角的联系为+α=π-(-α).
2.公式:sin(+α)= ,cos(+α)= .
(1)记忆方法:±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
(2)记忆口诀:“函数名改变,符号看象限”或“正变余,余变正,符号象限定”.
知识拓展
公式七:sin(-α)=-cos α,cos(-α)=-sin α.
公式八:sin(+α)=-cos α,cos(+α)=sin α.
诱导公式一～八可以统一概括为α+k·(k∈Z)的三角函数值,等于α的同名(k是偶数时)或异名(k是奇数时)三角函数值,前面加上一个将α看成锐角时原函数值的符号,简称为“奇变偶不变,符号看象限”.当k=0,1,2,3时,±α的具体情况如下表:
不变名 变名
k=0 k=2 k=1 k=3
±α -α π-α π+α -α +α -α +α
α看成锐角时, ±α所在象限 四 二 三 一 二 三 四
基础自测
1.下列等式恒成立的是( )
[A]sin(π+α)=sin α
[B]cos(α-)=-sin α
[C]sin(-+α)=cos α
[D]tan(π+α)=-tan α
2.已知cos(-α)=,则cos(+α)等于( )
[A]- [B] [C]- [D]
3.(人教A版必修第一册P195习题5.3 T8改编)已知sin(60°+α)=-,则cos(30°-α)的值为( )
[A]- [B]
[C]- [D]
4.化简:= .
题型一 化简
[例1] 化简:+.
(1)化简方法:三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系,熟练应用“奇变偶不变,符号看象限”,据此灵活应用相关的公式及变形,解决问题.
(2)常用技巧:①异名化同名;②异角化同角;③切化弦.
[变式训练] 化简:
.
题型二 求值
[例2] 已知cos(-α)=,求cos(+α)-sin2(α-)+sin(--α)的值.
[典例迁移1] 已知cos 31°=m,则sin 239°tan 149°的值是( )
[A] [B]
[C]- [D]-
[典例迁移2] 若cos(-α)=,则sin(+α)+sin(α-)= .
(1)知值求值问题的求解方法.
①观察已知角与未知角之间的关系,运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数,将不同的角化为相同的角是解决问题的关键.
②对于有条件的三角函数求值题,求解的一般方法是从角的关系上寻求突破,找到所求角与已知角之间的关系,结合诱导公式,进而把待求式转化到已知式完成求值.
③当所给的角是复合角时,不易看出已知角与所求角的联系,可将已知角看成一个整体,用这个整体去表示所求角,便可发现它们之间的关系.
(2)常见的互余、互补关系.一般常见的互余关系有-α与+α;+α与-α;+α与-α等.常见的互补关系有+α与-α;+α与-α等.
题型三 诱导公式的综合应用
[例3] 已知:
f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若cos(2π-α)=-,且α为第二象限角,求f(-α)的值.
诱导公式综合应用要“三看”
一看角:化大为小;看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.二看函数名称:一般是弦切互化.三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形,以便逆用平方和差、立方和差公式等.
[变式训练] 已知sin α是方程5x2-7x-6=0的其中一个根,α是第三象限角,求
·tan2(π-α)的值.
