第2课时 单调性与最值
学习目标 1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律.2.能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题.
知识归纳
知识点 正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z)
正弦函数 余弦函数
图象
值域
单调性 在[-+2kπ,+2kπ]上 ,在[+2kπ,+2kπ]上 在 上单调递增,在 上单调递减
最值 当x= 时,ymax=1; 当x= 时,ymin=-1 当x= 时,ymax=1; 当x= 时,ymin=-1
(1)正弦函数、余弦函数都不是单调函数,但它们都有无数个单调区间.
(2)利用函数的单调性,可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小.
基础自测
1.下列命题中正确的是( )
[A]y=cos x在第一象限和第四象限内单调递减
[B]y=sin x在第一象限和第三象限内单调递增
[C]y=cos x在[-,]上单调递减
[D]y=sin x在[-,]上单调递增
2.若a=sin 47°,b=cos 37°,c=cos 47°,则a,b,c的大小关系为( )
[A]a>b>c [B]b>c>a
[C]b>a>c [D]c>b>a
3.(人教A版必修第一册P207练习T2改编)已知函数f(x)=sin(x+)在x0处取得最大值,则x0可能是( )
[A] [B] [C] [D]
4.在区间[0,2π]中,使函数y=sin x与y=cos x都单调递减的区间是 .
题型一 利用单调性比较大小
[例1] 比较下列各组数的大小.
(1)cos 与cos ;
(2)sin 265°和cos 165°;
(3)sin 和cos .
比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数.
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上.
(3)利用函数的单调性比较大小.
[变式训练] (多选)下列不等式中成立的是( )
[A]sin 3[B]cos 3>cos 2
[C]cos(-)[D]sin 题型二 求正弦函数、余弦函数的单调区间
[例2] 求函数y=2sin(x-)的单调区间.
[典例迁移1] 函数y=sin(-2x),x∈(0,π)的单调递增区间是( )
[A](0,] [B][,]
[C][,] [D][,π)
[典例迁移2]求函数y=cos(-2x)的单调递增区间.
求正弦函数、余弦函数单调区间的方法
(1)求函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A>0,ω>0)的单调区间,一般将ωx+φ视作整体,代入y=sin x(或y=cos x)相应单调区间所对应的不等式来求解.
(2)当ω<0时,先利用诱导公式将y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A>0,ω<0)变形为y=-Asin(-ωx-φ)(或y=Acos(-ωx-φ))(A>0,ω<0),再求函数的单调区间.
(3)当A<0时,要注意单调区间的变化,不要将单调递增区间与单调递减区间混淆.
题型三 求正弦函数、余弦函数的最值(值域)
[例3] 求下列函数的最大值、最小值以及对应的x值的集合:
(1)y=+;
(2)y=-2cos x;
(3)y=3sin(x-).
[典例迁移1] 已知函数f(x)=2sin(2x-),x∈[0,],则f(x)的值域是( )
[A][-2,2]
[B][-1,1]
[C][-1,2]
[D][-,2]
[典例迁移2] 函数f(x)=cos(2x+),x∈[-,0]的值域为 .
(1)形如y=Asin x(或y=Acos x),可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意A的正、负对最值的影响.
(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b),可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得值域(最值).
(3)求给定区间上最值(值域)的问题,可利用换元思想,设t=ωx+φ,转换成y=Asin t(或y=Acos t)型的函数求值.5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
学习目标 1.理解周期函数的概念,能熟练地求出简单三角函数的周期.2.会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性,能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性.
知识归纳
知识点一 正弦、余弦函数的周期性
1.周期函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3.正弦、余弦函数的周期性
(1)正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.
(2)余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.
(1)“每一个x”强调定义域中每一个值都得成立.
(2)周期函数的周期不唯一,任何T的非零整数倍都是函数的周期.
(3)三角函数的周期是函数的整体性质,我们在研究函数时,只需研究一个周期上的图象和性质即可.
(4)若不加特殊说明,一般求三角函数的周期的问题,求的是函数的最小正周期.
知识点二 正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P203练习T2改编)下列函数中,最小正周期为π的是( )
[A]y=sin x [B]y=cos x
[C]y=sin x [D]y=cos 2x
【答案】 D
【解析】 选项A,B中,T=2π;选项C中,T==4π;选项D中,T==π.故选D.
2.函数f(x)=sin xcos x是( )
[A]奇函数 [B]偶函数
[C]非奇非偶函数 [D]无法确定
【答案】 A
【解析】 f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x),所以f(x)=sin xcos x是奇函数.故选A.
3.设函数f(x)=sin(2x-),x∈R,则f(x)是( )
[A]最小正周期为π的奇函数
[B]最小正周期为π的偶函数
[C]最小正周期为的奇函数
[D]最小正周期为的偶函数
【答案】 B
【解析】 因为f(x)=sin(2x-)=-sin(-2x)=-cos 2x,x∈R,又T==π,且f(-x)=-cos(-2x)=
-cos 2x=f(x),所以f(x)是最小正周期为π的偶函数.故选B.
4.若f(x+1)=-f(x),则f(x)的一个周期为 .
【答案】 2
【解析】 因为f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)=f(x),所以f(x)是周期函数且2是它的一个周期.
题型一 正弦、余弦函数的周期性
[例1] 求下列三角函数的周期:
(1)y=sin x,x∈R;
(2)y=cos x,x∈R;
(3)y=|cos x|,x∈R.
【解】 (1)法一 因为sin[(x+3π)]=sin(x+2π)=sin x,由周期函数的定义知,y=sin x的周期为3π.
法二 T==3π.
(2)法一 因为cos(x+2π)=cos x,由周期函数的定义知,y=cos x的周期为2π.
法二 T==2π.
(3)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cos x|的周期为π.
求三角函数周期的方法
(1)定义法,即利用周期函数的定义求解.
(2)公式法,对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的函数,T=.
(3)图象法,即通过观察函数图象求其周期.
提醒:y=|cos x|与y=|sin x|均是周期为π的周期函数,而y=cos|x|是周期为2π的周期函数,y=sin|x|则不是周期函数.
[变式训练] 求下列函数的周期:
(1)y=cos(4x+);
(2)y=3sin(-x+);
(3)y=|sin x+|.
【解】 (1)函数y=cos(4x+)的周期为T==.
(2)函数y=3sin(-x+)的周期为T==4π.
(3)结合y=|sin x+|的图象(如图)可知其周期为T=2π.
题型二 正弦、余弦函数的奇偶性
[例2] 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=sin(x+);
(2)f(x)=|sin x|+cos x;
(3)f(x)=x2cos(x+);
(4)f(x)=.
【解】 (1)f(x)=sin(x+)=-cos x,x∈R.因为 x∈R,都有-x∈R,
又f(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x),
所以函数f(x)=sin(x+)是偶函数.
(2)函数f(x)=|sin x|+cos x的定义域为R,
因为 x∈R,都有-x∈R,
又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x),
所以函数f(x)=|sin x|+cos x是偶函数.
(3)f(x)=x2cos(x+)=-x2sin x,x∈R,
因为 x∈R,都有-x∈R,
又f(-x)=-(-x)2sin(-x)=x2sin x=-f(x),
所以函数f(x)=x2cos(x+)为奇函数.
(4)因为2sin 2x-1≥0,所以sin 2x≥,
所以+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),
即x∈[+kπ,+kπ](k∈Z),
定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.
(1)判断函数奇偶性应把握好两个方面:一看函数的定义域是否关于原点对称(提醒:研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则);二看f(x)与f(-x)的关系.
(2)对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断,规律如下:
对y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω>0),当φ=kπ(k∈Z)时,是奇函数;当φ=+kπ(k∈Z)时,是偶函数.对y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω>0),当φ=kπ(k∈Z)时,是偶函数;当φ=+kπ(k∈Z)时,是奇函数.φ为其他值时,均为非奇非偶函数.
[变式训练] 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=2cos(x+);
(2)f(x)=2sin(x+);
(3)f(x)=;
(4)f(x)=.
【解】 (1)f(x)=2cos(x+),f(x)的定义域为R,因为 x∈R,都有-x∈R,f(x)=2cos(x+)=
2cos(x+)=-2sin x,又f(-x)=-2·sin(-x)=2sin x=-f(x).所以f(x)为奇函数.
(2)函数的定义域为R,f(0)=2sin =1≠0,所以f(x)=2sin(x+)不是奇函数,f(-)=2sin 0=0,f()=
2sin =,则f(-)≠f(),则y=2sin(x+)不是偶函数,所以y=f(x)=2sin(x+)为非奇非偶函数.
(3)由cos x≠1,解得x≠2kπ,k∈Z,即函数f(x)=的定义域为D={x|x≠2kπ,k∈Z},
因为 x∈D,都有-x∈D,且f(-x)===-f(x),所以函数f(x)=为奇函数.
(4)法一 由sin x≠1,解得x≠+2kπ,k∈Z,即函数f(x)=的定义域为{x+2kπ,k∈Z},不关于原点对称,所以函数f(x)=为非奇非偶函数.
法二 f()没有意义,f(-)=0有意义,所以函数f(x)=为非奇非偶函数.
题型三 利用奇偶性与周期性求值(或解析式)
[例3] 定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈[0,]时,f(x)=sin x.
(1)求f()的值;
(2)求当x∈[-π,0]时函数的解析式.
【解】 (1)f()=f(-2π)=f(-)=f()=sin =.
(2)因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),
因为x∈[0,]时,f(x)=sin x,
所以当x∈[-,0]时,-x∈[0,],
所以f(-x)=sin(-x)=-sin x=f(x),
即当x∈[-,0]时,f(x)=-sin x,
当x∈[-π,-]时,x+π∈[0,],
又因为f(x)的周期为π,
所以f(x)=f(x+π)=sin(x+π)=-sin x,
即当x∈[-π,-]时,f(x)=-sin x.综上所述,当x∈[-π,0]时,f(x)=-sin x.
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值,利用函数的奇偶性,可以找到一x与x的函数值的关系,从而解决求值问题.
[变式训练] 已知f(x)为奇函数,且周期为,若f()=-1,则f()= .
【答案】 1
【解析】 因为f(x)为奇函数,且周期为,所以f()=f(8×-)=f(-)=-f(),又因为f()=-1,所以f()=1.
培优拓展 奇偶性、对称性和周期的关系
[典例] 已知函数f(x)是R上的奇函数,且f(x-)=-f(x),且当x∈(0,]时,f(x)=2x-3,则f(2 024)+
f(2 025)-f(2 026)= .
【答案】 4
【解析】 因为f(x-)=-f(x),所以f(x-3)=-f(x-),所以f(x-3)=f(x),因此函数的周期为3,所以
f(2 024)+f(2 025)-f(2 026)=f(-1)+f(0)-f(1)=-f(1)+0-f(1)=-2f(1),此时f(1)中的1 (0,],继续转化:在f(x-)=-f(x)中令x=1有f(1-)=-f(1),所以f(1)=-f(1-)=-f(-)=f()=2×-3=-2,所以原式=-2×(-2)=4.
推得函数周期的常见形式
(1)平移、相反数和倒数关系中的周期.
①若f(x+a)=f(x),则f(x)的周期为T=|a|;
②若f(x+a)=f(x+b),则f(x)的周期为T=|a-b|;
③若f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期为T=|2a|;
④若f(x+a)=±,则f(x)的周期为T=|2a|.
(2)对称性与周期.
①若f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x),其中a≠b,则f(x)的周期为T=2|a-b|;
②若f(a+x)=-f(a-x),f(b+x)=-f(b-x),其中a≠b,则f(x)的周期为T=2|a-b|;
③若f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=-f(b-x),其中a≠b,则f(x)的周期为T=4|a-b|.
(3)奇偶性与周期.
①已知f(x)为偶函数,f(x+a)为奇函数,则f(x)的周期为T=4|a|;
②已知f(x)为奇函数,f(x+a)为偶函数,则f(x)的周期为T=4|a|.
[跟踪训练] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称.若f(1)=3,则f(2)+f(3)+…+f(50)等于( )
[A]3 [B]2 [C]0 [D]50
【答案】 C
【解析】 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),且f(0)=0,又f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(x)=f(2-x),即f(x)=-f(x-2),①
则f(2)=-f(0)=0,f(3)=-f(1)=-3,在①中,令x=x+2,得f(x+2)=-f(x)=f(x-2),则f(x)=f(x+4),所以函数f(x)的周期为4,即f(4)=f(0)=0,则有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=3+0+(-3)+0=0,所以f(2)+f(3)+…+f(50)=
f(1)+f(2)+…+f(50)-f(1)=[f(1)+f(2)+…+f(48)]+f(4×12+1)+f(4×12+2)-f(1)=12×0+f(1)+f(2)-f(1)=
f(2)=0.故选C.第3课时 正弦函数、余弦函数的性质的综合问题
学习目标 1.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质,能够了解函数的整体性质.2.能够解决简单的函数性质的综合问题.
题型一 形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题
[例1] 求函数y=cos2x-sin x的值域.
【解】 由题意得y=cos2x-sin x=-sin2x-sin x+1=-(sin x+) 2+,令sin x=t,t∈[-1,1],
则f(t)=-(t+)2+,所以当t=- 时,f(t)max=f(-)=;
当t=1时,f(1)=-1;当t=-1时,f(-1)=1,故f(t)∈[-1,],所以函数y=cos2x-sin x 的值域为[-1,].
求y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型
函数最值(值域)的方法
形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的取值范围需要根据定义域来确定.若是y=asin2x+bcos x+c,还需利用同角三角函数的基本关系,转化成同名三角函数求值.
[变式训练] 函数f(x)=sin2x+cos x-(x∈[0,])的最大值是 .
【答案】 1
【解析】 f(x)=1-cos2x+cos x-=-cos2x+cos x+=-(cos x-)2+1,由x∈[0,],可得
cos x∈[0,1],当cos x=时,函数f(x)取得最大值1.
题型二 正弦函数、余弦函数的对称性
[例2] 函数y=sin(2x+)的图象的对称轴方程为 ,对称中心为 .
【答案】 x=+(k∈Z) (-,0)(k∈Z)
【解析】 由2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),由2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),所以函数y=sin(2x+)的对称轴方程为x=+(k∈Z),对称中心为(-,0)(k∈Z).
(1)曲线y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0,下同)的对称轴方程可令ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得,对称中心横坐标可令ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.
(2)曲线y=Acos(ωx+φ)的对称轴方程可令ωx+φ=kπ(k∈Z)求得,对称中心横坐标可令ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得.
(3)以上两种曲线的对称轴x=x0一定分别过曲线的最高点或最低点,即此时sin(ωx0+φ)=±1(或cos(ωx0+φ)=±1),函数取最大值或最小值;曲线的对称中心横坐标x0一定使得sin(ωx0+φ)=0(或cos(ωx0+φ)=0).
[变式训练] 函数f(x)=2cos(2x+)+的图象的对称轴方程为 ,对称中心为 .
【答案】 x=-+,k∈Z (+,),k∈Z
【解析】 因为f(x)=2cos(2x+)+,令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-+,k∈Z,所以f(x)图象的对称轴方程为x=-+,k∈Z;令2x+=kπ+,k∈Z,可得x=+,k∈Z,此时f(x)=,故函数f(x)图象的对称中心为(+,),k∈Z.
题型三 函数性质的综合应用
[例3] 若函数y=f(x)同时满足下列三个性质:①最小正周期为π;②图象关于直线x=对称;③在区间[-,]上单调递增,则y=f(x)的解析式可以是( )
[A]y=sin(2x-)
[B]y=sin(-)
[C]y=cos(2x-)
[D]y=cos(2x+)
【答案】 A
【解析】 逐一验证,因为函数f(x)的最小正周期为π,而选项B中函数最小正周期为=4π,故排除B;又cos(2×-)=cos =0,所以y=cos(2x-)的图象不关于直线x=对称,故排除C;若-≤x≤,则0≤2x+≤π,故函数y=cos(2x+)在[-,]上单调递减,故排除D;令-≤2x-≤,得-≤x≤,所以函数y=sin(2x-)在[-,]上单调递增,由周期公式可得T==π,当x=时,sin(2×-)=
sin =1,所以函数y=sin(2x-)同时满足三个性质.故选A.
研究三角函数性质的几个方面是通过数形结合的方法.用整体代换的数学思想研究三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等.
[变式训练] (1)(多选)已知函数f(x)=2cos(2x+),则( )
[A]f(x)的最小正周期为π
[B]f(x)的图象关于直线x=对称
[C]f(x)的图象关于点(,0)对称
[D]f(x)在区间(0,π)上有两个零点
(2)(多选)若函数f(x)=2sin(x-),则( )
[A]f(x)的最小正周期为10
[B]f(x)的图象关于点(,0)对称
[C]f(x)在(0,)上有最小值
[D]f(x)的图象关于直线x=对称
【答案】 (1)ABD (2)AD
【解析】 (1)T==π,A正确;f()=2cos(2×+)=-2,B正确;f()=2cos(2×+)≠0,C错误;当x∈(0,π)时,2x+∈(,),函数y=2cos x在(,)上有两个零点,故f(x)在区间(0,π)上有两个零点,D正确.故选ABD.
(2)T==10,A正确;
因为f()=2sin(-)≠0,所以f(x)的图象不关于点(,0)对称,B错误;
若x∈(0,),则x-∈(-,π),由y=sin x的图象可知,f(x)在(0,)上有最大值,没有最小值,C错误;
因为f()=2sin =2,所以f(x)的图象关于直线x=对称,D正确.故选AD.第3课时 正弦函数、余弦函数的性质的综合问题
学习目标 1.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质,能够了解函数的整体性质.2.能够解决简单的函数性质的综合问题.
题型一 形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题
[例1] 求函数y=cos2x-sin x的值域.
求y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型
函数最值(值域)的方法
形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的取值范围需要根据定义域来确定.若是y=asin2x+bcos x+c,还需利用同角三角函数的基本关系,转化成同名三角函数求值.
[变式训练] 函数f(x)=sin2x+cos x-(x∈[0,])的最大值是 .
题型二 正弦函数、余弦函数的对称性
[例2] 函数y=sin(2x+)的图象的对称轴方程为 ,对称中心为 .
(1)曲线y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0,下同)的对称轴方程可令ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得,对称中心横坐标可令ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.
(2)曲线y=Acos(ωx+φ)的对称轴方程可令ωx+φ=kπ(k∈Z)求得,对称中心横坐标可令ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得.
(3)以上两种曲线的对称轴x=x0一定分别过曲线的最高点或最低点,即此时sin(ωx0+φ)=±1(或cos(ωx0+φ)=±1),函数取最大值或最小值;曲线的对称中心横坐标x0一定使得sin(ωx0+φ)=0(或cos(ωx0+φ)=0).
[变式训练] 函数f(x)=2cos(2x+)+的图象的对称轴方程为 ,对称中心为 .
题型三 函数性质的综合应用
[例3] 若函数y=f(x)同时满足下列三个性质:①最小正周期为π;②图象关于直线x=对称;③在区间[-,]上单调递增,则y=f(x)的解析式可以是( )
[A]y=sin(2x-)
[B]y=sin(-)
[C]y=cos(2x-)
[D]y=cos(2x+)
研究三角函数性质的几个方面是通过数形结合的方法.用整体代换的数学思想研究三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等.
[变式训练] (1)(多选)已知函数f(x)=2cos(2x+),则( )
[A]f(x)的最小正周期为π
[B]f(x)的图象关于直线x=对称
[C]f(x)的图象关于点(,0)对称
[D]f(x)在区间(0,π)上有两个零点
(2)(多选)若函数f(x)=2sin(x-),则( )
[A]f(x)的最小正周期为10
[B]f(x)的图象关于点(,0)对称
[C]f(x)在(0,)上有最小值
[D]f(x)的图象关于直线x=对称5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
学习目标 1.理解周期函数的概念,能熟练地求出简单三角函数的周期.2.会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性,能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性.
知识归纳
知识点一 正弦、余弦函数的周期性
1.周期函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个 ,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且 ,那么函数f(x)就叫做周期函数. 叫做这个函数的周期.若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3.正弦、余弦函数的周期性
(1)正弦函数是 ,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是 .
(2)余弦函数是 ,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是 .
(1)“每一个x”强调定义域中每一个值都得成立.
(2)周期函数的周期不唯一,任何T的非零整数倍都是函数的周期.
(3)三角函数的周期是函数的整体性质,我们在研究函数时,只需研究一个周期上的图象和性质即可.
(4)若不加特殊说明,一般求三角函数的周期的问题,求的是函数的最小正周期.
知识点二 正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数是 ,余弦函数是 .
基础自测
1.(人教A版必修第一册P203练习T2改编)下列函数中,最小正周期为π的是( )
[A]y=sin x [B]y=cos x
[C]y=sin x [D]y=cos 2x
2.函数f(x)=sin xcos x是( )
[A]奇函数 [B]偶函数
[C]非奇非偶函数 [D]无法确定
3.设函数f(x)=sin(2x-),x∈R,则f(x)是( )
[A]最小正周期为π的奇函数
[B]最小正周期为π的偶函数
[C]最小正周期为的奇函数
[D]最小正周期为的偶函数
4.若f(x+1)=-f(x),则f(x)的一个周期为 .
题型一 正弦、余弦函数的周期性
[例1] 求下列三角函数的周期:
(1)y=sin x,x∈R;
(2)y=cos x,x∈R;
(3)y=|cos x|,x∈R.
求三角函数周期的方法
(1)定义法,即利用周期函数的定义求解.
(2)公式法,对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的函数,T=.
(3)图象法,即通过观察函数图象求其周期.
提醒:y=|cos x|与y=|sin x|均是周期为π的周期函数,而y=cos|x|是周期为2π的周期函数,y=sin|x|则不是周期函数.
[变式训练] 求下列函数的周期:
(1)y=cos(4x+);
(2)y=3sin(-x+);
(3)y=|sin x+|.
题型二 正弦、余弦函数的奇偶性
[例2] 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=sin(x+);
(2)f(x)=|sin x|+cos x;
(3)f(x)=x2cos(x+);
(4)f(x)=.
(1)判断函数奇偶性应把握好两个方面:一看函数的定义域是否关于原点对称(提醒:研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则);二看f(x)与f(-x)的关系.
(2)对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断,规律如下:
对y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω>0),当φ=kπ(k∈Z)时,是奇函数;当φ=+kπ(k∈Z)时,是偶函数.对y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω>0),当φ=kπ(k∈Z)时,是偶函数;当φ=+kπ(k∈Z)时,是奇函数.φ为其他值时,均为非奇非偶函数.
[变式训练] 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=2cos(x+);
(2)f(x)=2sin(x+);
(3)f(x)=;
(4)f(x)=.
题型三 利用奇偶性与周期性求值(或解析式)
[例3] 定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈[0,]时,f(x)=sin x.
(1)求f()的值;
(2)求当x∈[-π,0]时函数的解析式.
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值,利用函数的奇偶性,可以找到一x与x的函数值的关系,从而解决求值问题.
[变式训练] 已知f(x)为奇函数,且周期为,若f()=-1,则f()= .
培优拓展 奇偶性、对称性和周期的关系
[典例] 已知函数f(x)是R上的奇函数,且f(x-)=-f(x),且当x∈(0,]时,f(x)=2x-3,则f(2 024)+
f(2 025)-f(2 026)= .
推得函数周期的常见形式
(1)平移、相反数和倒数关系中的周期.
①若f(x+a)=f(x),则f(x)的周期为T=|a|;
②若f(x+a)=f(x+b),则f(x)的周期为T=|a-b|;
③若f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期为T=|2a|;
④若f(x+a)=±,则f(x)的周期为T=|2a|.
(2)对称性与周期.
①若f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x),其中a≠b,则f(x)的周期为T=2|a-b|;
②若f(a+x)=-f(a-x),f(b+x)=-f(b-x),其中a≠b,则f(x)的周期为T=2|a-b|;
③若f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=-f(b-x),其中a≠b,则f(x)的周期为T=4|a-b|.
(3)奇偶性与周期.
①已知f(x)为偶函数,f(x+a)为奇函数,则f(x)的周期为T=4|a|;
②已知f(x)为奇函数,f(x+a)为偶函数,则f(x)的周期为T=4|a|.
[跟踪训练] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称.若f(1)=3,则f(2)+f(3)+…+f(50)等于( )
[A]3 [B]2 [C]0 [D]50第2课时 单调性与最值
学习目标 1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律.2.能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题.
知识归纳
知识点 正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z)
正弦函数 余弦函数
图象
值域 [-1,1] [-1,1]
单调性 在[-+2kπ,+2kπ]上单调递增,在[+2kπ,+2kπ]上单调递减 在[-π+2kπ,2kπ]上单调递增,在[2kπ,π+2kπ]上单调递减
最值 当x=+2kπ时,ymax=1; 当x=-+2kπ时,ymin=-1 当x=2kπ时,ymax=1; 当x=π+2kπ时,ymin=-1
(1)正弦函数、余弦函数都不是单调函数,但它们都有无数个单调区间.
(2)利用函数的单调性,可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小.
基础自测
1.下列命题中正确的是( )
[A]y=cos x在第一象限和第四象限内单调递减
[B]y=sin x在第一象限和第三象限内单调递增
[C]y=cos x在[-,]上单调递减
[D]y=sin x在[-,]上单调递增
【答案】 D
【解析】 正弦、余弦函数的单调性只针对区间,不能针对象限,故A,B错误;对于y=cos x,该函数的单调递减区间为[2kπ,π+2kπ],k∈Z,故C错误;对于y=sin x,该函数的单调递增区间为[-+2kπ,+2kπ],k∈Z,故D正确.故选D.
2.若a=sin 47°,b=cos 37°,c=cos 47°,则a,b,c的大小关系为( )
[A]a>b>c [B]b>c>a
[C]b>a>c [D]c>b>a
【答案】 C
【解析】 由题意得sin 47°=sin(90°-43°)=cos 43°,因为y=cos x在[0,]上单调递减,所以b>a>c.故选C.
3.(人教A版必修第一册P207练习T2改编)已知函数f(x)=sin(x+)在x0处取得最大值,则x0可能是( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 当x+=+2kπ,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值.故选C.
4.在区间[0,2π]中,使函数y=sin x与y=cos x都单调递减的区间是 .
【答案】 [,π]
【解析】 在区间[0,2π]中,函数y=sin x的单调递减区间是[,],函数y=cos x的单调递减区间是[0,π].所以函数y=sin x和y=cos x都单调递减的区间是[,]∩[0,π]=[,π].
题型一 利用单调性比较大小
[例1] 比较下列各组数的大小.
(1)cos 与cos ;
(2)sin 265°和cos 165°;
(3)sin 和cos .
【解】 (1)因为cos =cos(2π-)=cos(-)=cos ,cos =cos(2π-)=cos(-)=cos ,由于函数y=cos x在[0,π]上单调递减,>,所以cos cos .
(2)sin 265°=sin(180°+85°)=-sin 85°,cos 165°=cos(90°+75°)=-sin 75°,因为函数y=sin x在[0,]上单调递增,则sin 85°>sin 75°,得-sin 85°<-sin 75°,即sin 265°(3)cos =sin(+),≈1.57<1.75=<3.24≈+<,又函数y=sin x在[,]上单调递减,所以
sin >sin(+)=cos ,即sin >cos .
比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数.
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上.
(3)利用函数的单调性比较大小.
[变式训练] (多选)下列不等式中成立的是( )
[A]sin 3[B]cos 3>cos 2
[C]cos(-)[D]sin 【答案】 AC
【解析】 对于A,因为<2<3<π,且函数y=sin x在[,π]上单调递减,所以sin 3sin .故选AC.
题型二 求正弦函数、余弦函数的单调区间
[例2] 求函数y=2sin(x-)的单调区间.
【解】 令z=x-,则y=2sin z.因为z=x-是增函数,所以y=2sin z单调递增(减)时,函数y=2sin(x-)也单调递增(减).
由z∈[2kπ-,2kπ+](k∈Z),得x-∈[2kπ-,2kπ+](k∈Z),即x∈[2kπ-,2kπ+](k∈Z),故函数y=2sin(x-)的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z).同理可求函数y=2sin(x-)的单调递减区间为[2kπ+,2kπ+](k∈Z).
[典例迁移1] 函数y=sin(-2x),x∈(0,π)的单调递增区间是( )
[A](0,] [B][,]
[C][,] [D][,π)
【答案】 C
【解析】 法一 由题意,得y=sin(-2x)=-sin(2x-).令2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.所以函数y=sin(-2x)的单调递增区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).
因为x∈(0,π),所以令k=0,得函数y=sin(-2x),x∈(0,π)的单调递增区间为[,].故选C.
法二 x∈(0,π) 2x-∈(-,),由2x-∈[,],可得x∈[,],所以函数y=sin(2x-)在[,]上单调递减,函数y=-sin(2x-)在[,]上单调递增.故选C.
[典例迁移2]求函数y=cos(-2x)的单调递增区间.
【解】 cos(-2x)=cos(2x-).
令z=2x-,函数 y=cos z的单调递增区间是[π+2kπ,2π+2kπ],k∈Z.
由π+2kπ≤2x-≤2π+2kπ,k∈Z,
得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
因此,函数y=cos(-2x)的单调递增区间是[+kπ,+kπ],k∈Z.
求正弦函数、余弦函数单调区间的方法
(1)求函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A>0,ω>0)的单调区间,一般将ωx+φ视作整体,代入y=sin x(或y=cos x)相应单调区间所对应的不等式来求解.
(2)当ω<0时,先利用诱导公式将y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A>0,ω<0)变形为y=-Asin(-ωx-φ)(或y=Acos(-ωx-φ))(A>0,ω<0),再求函数的单调区间.
(3)当A<0时,要注意单调区间的变化,不要将单调递增区间与单调递减区间混淆.
题型三 求正弦函数、余弦函数的最值(值域)
[例3] 求下列函数的最大值、最小值以及对应的x值的集合:
(1)y=+;
(2)y=-2cos x;
(3)y=3sin(x-).
【解】 (1)当y=sin x取到最大值1时,
y=+取到最大值+,此时对应的x值的集合为{x+2kπ,k∈Z};
当y=sin x取到最小值-1时,
y=+取到最小值-,此时对应的x值的集合为{x+2kπ,k∈Z}.
(2)当y=cos x取到最小值-1时,
y=-2cos x取到最大值,此时对应的x值的集合为{x|x=π+2kπ,k∈Z};
当y=cos x取到最大值1时,
y=-2cos x取到最小值-,此时对应的x值的集合为{x|x=2kπ,k∈Z}.
(3)令x-=+2kπ,k∈Z,解得x=π+kπ,k∈Z,
所以y=3sin(x-)的最大值为3,此时对应的x值的集合为{xkπ,k∈Z};
令x-=-+2kπ,k∈Z,解得x=-+kπ,k∈Z,
所以y=3sin(x-)的最小值为-3,此时对应的x值的集合为{x+kπ,k∈Z}.
[典例迁移1] 已知函数f(x)=2sin(2x-),x∈[0,],则f(x)的值域是( )
[A][-2,2]
[B][-1,1]
[C][-1,2]
[D][-,2]
【答案】 C
【解析】 因为x∈[0,],所以2x-∈[-,],所以sin(2x-)∈[-,1],所以2sin(2x-)∈[-1,2],所以f(x)的值域是[-1,2].故选C.
[典例迁移2] 函数f(x)=cos(2x+),x∈[-,0]的值域为 .
【答案】 [-1,]
【解析】 因为-≤x≤0,所以-≤2x+≤,所以-≤cos(2x+)≤1,故-1≤cos(2x+)≤,即f(x)的值域是[-1,].
(1)形如y=Asin x(或y=Acos x),可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意A的正、负对最值的影响.
(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b),可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得值域(最值).
(3)求给定区间上最值(值域)的问题,可利用换元思想,设t=ωx+φ,转换成y=Asin t(或y=Acos t)型的函数求值.
