5.4.3 正切函数的性质与图象
学习目标 1.了解正切函数图象的画法,理解并掌握正切函数的性质.2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题.
知识归纳
知识点 正切函数的图象与性质
正切 函数 y=tan x
图象
定义域
值域
周期 最小正周期为
奇偶性 ,对称中心为(,0)(k∈Z)
单调性 在每一个区间 上都单调递增
(1)正切函数的单调性:正切函数在每一个区间(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上,都是从-∞增大到+∞,故正切函数在每一个区间(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上都单调递增,但不能说函数y=tan x在定义域内是增函数.
(2)正切函数的对称性:由函数的奇偶性和周期性以及图象可知,正切函数的每支图象关于点(kπ,0)(k∈Z)对称,两支图象关于点(+kπ,0)(k∈Z)对称,所以正切函数的对称中心为(,0)(k∈Z).
(3)画正切函数y=tan x,x∈(-,)的图象常用“三点两线法”,即找三个关键点(,1),(0,0),(-,-1),两条平行线x=,x=-.
基础自测
1.函数y=tan 是( )
[A]最小正周期为4π的奇函数
[B]最小正周期为2π的奇函数
[C]最小正周期为4π的偶函数
[D]最小正周期为2π的偶函数
2.函数y=tan(x+)的一个对称中心是( )
[A](0,0) [B](,0)
[C](,0) [D](π,0)
3.(人教A版必修第一册P213练习T5改编)tan 138° 与tan 143°的大小顺序为 .(用“<”连接)
4.函数y=tan 2x,x∈[-,]的最大值为 .
题型一 正切函数的定义域、周期性与奇偶性
[例1] 求函数y=-2tan(3x+)的定义域、值域,并指出它的最小正周期、奇偶性.
(1)求函数定义域的方法:求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ,k∈Z.
(2)与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略:①一般地,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=,常常利用此公式来求正切函数的最小正周期;②判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称,若不对称,则该函数无奇偶性;若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.
[变式训练] (1)函数y=的定义域为( )
[A]{x}
[B]{x}
[C]{x}
[D]{x}
(2)函数y=|tan 2x|是( )
[A]周期为π的奇函数
[B]周期为π的偶函数
[C]周期为的奇函数
[D]周期为的偶函数
题型二 正切函数的图象与对称性
[例2] 函数f(x)=2tan(3x+)+1的图象的一个对称中心可以是( )
[A](-,0) [B](-,0)
[C](-,1) [D](-,1)
(1)涉及y=Atan(ωx+φ)+h(A≠0,ω≠0)图象的对称中心问题,可令ωx0+φ=(k∈Z),求得对称中心的横坐标x0,其对称中心为(x0,h).
(2)正切函数图象的对称中心的特殊性在于不仅有函数图象与x轴的交点,还有“渐近线”与x轴的交点,正确分析函数图象并结合正切函数的性质是解决有关图象问题的关键.
[变式训练] (1)(多选)已知函数f(x)=4tan(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则( )
[A]ω=2
[B]φ=
[C]函数f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,-)
[D]函数y=|f(x)|的图象关于直线x=对称
(2)在区间(-,)内,函数y=tan x与函数y=sin x的图象交点的个数为( )
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
题型三 正切函数的单调性与应用
[例3] (北师大版必修第二册P63例5)比较下列各组中三角函数值的大小:
(1)tan(-)与tan ;
(2)tan(-)与tan(-).
[典例迁移1] 函数y=tan(-3x+)的单调递减区间是( )
[A][kπ-,kπ+](k∈Z)
[B](kπ-,kπ+)(k∈Z)
[C][-,+](k∈Z)
[D](-,+)(k∈Z)
[典例迁移2] 函数f(x)=3tan(2x+),x∈[0,]的值域为( )
[A][,3] [B][,]
[C][,3] [D][,]
[典例迁移3] 函数y=tan2x-2tan x,x∈[-,]的值域为 .
(1)运用正切函数单调性比较大小的方法:①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内;②运用单调性比较大小.
(2)求函数y=tan(ωx+φ)的单调区间的方法:当ω>0时,把ωx+φ看成一个整体,解-+kπ<ωx+φ<+kπ,k∈Z即可;当ω<0时,先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
题型四 正切函数图象与性质的综合应用
[例4] 设函数f(x)=tan(-).
(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间和对称中心;
(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集;
(3)作出函数y=f(x)在一个周期内的简图.
解答正切函数图象与性质问题的注意点
(1)对称性:正切函数图象的对称中心是(,0)(k∈Z),不存在对称轴.
(2)单调性:正切函数在每一个区间(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上都单调递增,但不能说其在定义域上是增函数.
[变式训练] (多选)已知函数f(x)=tan x+|tan x|,则下列结论中正确的有( )
[A]f(x)的最小正周期为
[B]点(-,0)是f(x)图象的一个对称中心
[C]f(x)的值域为[0,+∞)
[D]不等式f(x)>2的解集为(+kπ,+kπ)(k∈Z)5.4.3 正切函数的性质与图象
学习目标 1.了解正切函数图象的画法,理解并掌握正切函数的性质.2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题.
知识归纳
知识点 正切函数的图象与性质
正切 函数 y=tan x
图象
定义域 {x+kπ,k∈Z}
值域 R
周期 最小正周期为π
奇偶性 奇函数,对称中心为(,0)(k∈Z)
单调性 在每一个区间(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上都单调递增
(1)正切函数的单调性:正切函数在每一个区间(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上,都是从-∞增大到+∞,故正切函数在每一个区间(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上都单调递增,但不能说函数y=tan x在定义域内是增函数.
(2)正切函数的对称性:由函数的奇偶性和周期性以及图象可知,正切函数的每支图象关于点(kπ,0)(k∈Z)对称,两支图象关于点(+kπ,0)(k∈Z)对称,所以正切函数的对称中心为(,0)(k∈Z).
(3)画正切函数y=tan x,x∈(-,)的图象常用“三点两线法”,即找三个关键点(,1),(0,0),(-,-1),两条平行线x=,x=-.
基础自测
1.函数y=tan 是( )
[A]最小正周期为4π的奇函数
[B]最小正周期为2π的奇函数
[C]最小正周期为4π的偶函数
[D]最小正周期为2π的偶函数
【答案】 B
【解析】 函数y=f(x)=tan ,定义域为{x|x≠π+2kπ,k∈Z},f(-x)=tan(-)=-tan =-f(x),所以函数为奇函数,其最小正周期T==2π.故选B.
2.函数y=tan(x+)的一个对称中心是( )
[A](0,0) [B](,0)
[C](,0) [D](π,0)
【答案】 C
【解析】 由题意,令x+=,k∈Z,解得x=-,k∈Z,再令k=2,可得x=,所以函数y=tan(x+)的一个对称中心是(,0).故选C.
3.(人教A版必修第一册P213练习T5改编)tan 138° 与tan 143°的大小顺序为 .(用“<”连接)
【答案】 tan 138°【解析】 因为正切函数y=tan x在(,π)上单调递增,所以tan 138°4.函数y=tan 2x,x∈[-,]的最大值为 .
【答案】
【解析】 当x∈[-,]时,2x∈[-,],所以y=tan 2x在[-,]上单调递增,所以当x=时,y=tan 2x取得最大值,即ymax=tan(2×)=.
题型一 正切函数的定义域、周期性与奇偶性
[例1] 求函数y=-2tan(3x+)的定义域、值域,并指出它的最小正周期、奇偶性.
【解】 由3x+≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,
即函数的定义域为{x+,k∈Z},
由y=-2tan(3x+)可知,函数的值域为R,函数的最小正周期T=,
因为函数的定义域关于原点不对称,所以函数为非奇非偶函数.
(1)求函数定义域的方法:求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ,k∈Z.
(2)与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略:①一般地,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=,常常利用此公式来求正切函数的最小正周期;②判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称,若不对称,则该函数无奇偶性;若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.
[变式训练] (1)函数y=的定义域为( )
[A]{x}
[B]{x}
[C]{x}
[D]{x}
(2)函数y=|tan 2x|是( )
[A]周期为π的奇函数
[B]周期为π的偶函数
[C]周期为的奇函数
[D]周期为的偶函数
【答案】 (1)A (2)D
【解析】 (1)函数y=有意义,则tan(x-)≠0,于是k∈Z,即
k∈Z,
因此x≠+,k∈Z,所以原函数的定义域为{x+,k∈Z}.故选A.
(2)因为y=tan 2x的周期为T==,定义域为{x+,k∈Z},加上绝对值符号后,周期未改变,又f(-x)=|tan(-2x)|=|tan 2x|=f(x),所以f(x)为偶函数.故选D.
题型二 正切函数的图象与对称性
[例2] 函数f(x)=2tan(3x+)+1的图象的一个对称中心可以是( )
[A](-,0) [B](-,0)
[C](-,1) [D](-,1)
【答案】 D
【解析】 令3x+=(k∈Z),解得x=-(k∈Z),当k=0时,x=-.因为f(x)=2tan(3x+)+1的图象是由f(x)=2tan(3x+)的图象向上平移1个单位长度得到的,所以函数f(x)=2tan(3x+)+1的图象的一个对称中心可以是(-,1).故选D.
(1)涉及y=Atan(ωx+φ)+h(A≠0,ω≠0)图象的对称中心问题,可令ωx0+φ=(k∈Z),求得对称中心的横坐标x0,其对称中心为(x0,h).
(2)正切函数图象的对称中心的特殊性在于不仅有函数图象与x轴的交点,还有“渐近线”与x轴的交点,正确分析函数图象并结合正切函数的性质是解决有关图象问题的关键.
[变式训练] (1)(多选)已知函数f(x)=4tan(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则( )
[A]ω=2
[B]φ=
[C]函数f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,-)
[D]函数y=|f(x)|的图象关于直线x=对称
(2)在区间(-,)内,函数y=tan x与函数y=sin x的图象交点的个数为( )
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【答案】 (1)ACD (2)C
【解析】 (1)由题图可知,f(x)的最小正周期T==,则ω=2,A正确;由题图可知当x=时,函数无意义,故-φ=+kπ,k∈Z,由0<φ<π,得φ=,即f(x)=4tan(2x-),B错误;f(0)=-,C正确;由f()=4tan(-)=0,可得f(x)的图象关于点(,0)对称,由图象对称变换可得函数y=|f(x)|的图象关于直线x=对称,D正确.故选ACD.
(2)如图,在同一平面直角坐标系内画出函数y=tan x与函数y=sin x在区间(-,)内的图象,
由图象可得,两函数的图象有3个交点.故选C.
题型三 正切函数的单调性与应用
[例3] (北师大版必修第二册P63例5)比较下列各组中三角函数值的大小:
(1)tan(-)与tan ;
(2)tan(-)与tan(-).
【解】 (1)tan(-)=-tan =-tan(-+π)=-(-tan )=tan ,
tan =tan(+π)=tan.
由于y=tan x在区间(0,)上单调递增,
且0<<<,因此tan 即tan(-)(2)tan(-)=-tan =-tan(3π+)=-tan ,
tan(-)=-tan =-tan(+3π)=-tan .
由于y=tan x在区间(0,)上单调递增,
且0<<<,
因此tan -tan ,
即tan(-)>tan(-).
[典例迁移1] 函数y=tan(-3x+)的单调递减区间是( )
[A][kπ-,kπ+](k∈Z)
[B](kπ-,kπ+)(k∈Z)
[C][-,+](k∈Z)
[D](-,+)(k∈Z)
【答案】 D
【解析】 y=tan(-3x+)=-tan(3x-),令kπ-<3x-[典例迁移2] 函数f(x)=3tan(2x+),x∈[0,]的值域为( )
[A][,3] [B][,]
[C][,3] [D][,]
【答案】 C
【解析】 因为x∈[0,],所以2x+∈[,],所以tan(2x+)∈[,],所以3tan(2x+)∈[,3].故选C.
[典例迁移3] 函数y=tan2x-2tan x,x∈[-,]的值域为 .
【答案】 [-1,3+2]
【解析】 y=tan2x-2tan x=(tan x-1)2-1.因为x∈[-,],所以tan x∈[-,].当tan x=1,即x=时,y取最小值-1;当tan x=-,即x=-时,y取最大值3+2,所以该函数的值域为[-1,3+2].
(1)运用正切函数单调性比较大小的方法:①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内;②运用单调性比较大小.
(2)求函数y=tan(ωx+φ)的单调区间的方法:当ω>0时,把ωx+φ看成一个整体,解-+kπ<ωx+φ<+kπ,k∈Z即可;当ω<0时,先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
题型四 正切函数图象与性质的综合应用
[例4] 设函数f(x)=tan(-).
(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间和对称中心;
(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集;
(3)作出函数y=f(x)在一个周期内的简图.
【解】 (1)由-≠+kπ(k∈Z),得x≠+2kπ(k∈Z),所以f(x)的定义域是{x+2kπ,k∈Z},
因为ω=,所以最小正周期T===2π.
由-+kπ<-<+kπ(k∈Z),得-+2kπ令-=,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z,所以f(x)的对称中心为(+kπ,0),k∈Z.
(2)由-1≤tan(-)≤,得-+kπ≤-≤+kπ(k∈Z),解得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),所以不等式-1≤f(x)≤的解集是{x+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}.
(3)令-=0,则x=;令-=,则x=;令-=-,则x=-,
所以函数f(x)=tan(-)的图象与x轴的一个交点坐标是(,0),在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-,x=,所以函数y=f(x)在一个周期(-,)内的简图如下.
解答正切函数图象与性质问题的注意点
(1)对称性:正切函数图象的对称中心是(,0)(k∈Z),不存在对称轴.
(2)单调性:正切函数在每一个区间(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上都单调递增,但不能说其在定义域上是增函数.
[变式训练] (多选)已知函数f(x)=tan x+|tan x|,则下列结论中正确的有( )
[A]f(x)的最小正周期为
[B]点(-,0)是f(x)图象的一个对称中心
[C]f(x)的值域为[0,+∞)
[D]不等式f(x)>2的解集为(+kπ,+kπ)(k∈Z)
【答案】 CD
【解析】 f(x)=tan x+|tan x|=作出f(x)的图象如图所示,观察图象,
f(x)的最小正周期为π,A错误;f(x)的图象没有对称中心,B错误;f(x)的值域为[0,+∞),C正确;不等式f(x)>2,即当x∈[kπ,+kπ)(k∈Z)时,2tan x>2,得tan x>1,解得+kπ2的解集为(+kπ,+kπ)(k∈Z),D正确.故选CD.
