5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
学习目标 1.熟悉两角差的余弦公式的推导过程.2.掌握两角差的余弦公式的应用.
知识归纳
知识点 两角差的余弦公式
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,其中α,β∈R,简记作C(α-β).
(1)该公式对任意角都能成立.
(2)公式的结构:左端为两角差的余弦,右端为这两角的同名三角函数值积的和.
(3)公式的逆用仍然成立,即cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β).
基础自测
1.cos 52°cos 22°+sin 52°sin 22°等于( )
[A] [B]
[C]sin 74° [D]cos 74°
【答案】 B
【解析】 cos 52°cos 22°+sin 52°sin 22°=cos(52°-22°)=cos 30°=.故选B.
2.(人教A版必修第一册P217练习T4改编)已知cos α=-,α∈(,π),sin β=-,β是第四象限角,则cos(β-α)的值是( )
[A]- [B]
[C]- [D]-
【答案】 C
【解析】 由已知得sin α=,cos β=,则cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α=×(-)+(-)×=-.故选C.
3.若sin αsin β=1,则cos(α-β)的值为( )
[A]0 [B]1
[C]±1 [D]-1
【答案】 B
【解析】 因为sin αsin β=1,sin α∈[-1,1],sin β∈[-1,1],只能sin α,sin β同时取1,或同时取-1,所以cos α=cos β=0,得cos αcos β=0,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=0+1=1.故选B.
4.已知cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=m,且β为第三象限角,则sin β= .
【答案】 -
【解析】 因为cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=cos[(α-β)-α]=m,即cos β=m.
又β为第三象限角,所以sin β=-=-.
题型一 给角求值
[例1] 求下列各式的值:
(1)cos(-);
(2)cos cos +cos sin ;
(3)cos 105°+sin 105°.
【解】 (1)cos(-)=cos(-)=cos cos +sin sin=×+×=.
(2)原式=cos cos +cos(-)·sin =cos cos +sin sin =cos(-)=cos =.
(3)原式=cos 60°cos 105°+sin 60°sin 105°=cos(60°-105°)=cos(-45°)=.
(1)求非特殊角的三角函数值时,通常把非特殊角转化为两个特殊角的和或差,然后利用公式求解.
(2)不符合两角差结构的三角式可以通过诱导公式变为符合公式结构的形式达到化简求值的目的.
(3)有些含有常数的式子,先将系数转化为特殊角的三角函数值,再利用公式求解,含有特殊角的三角式也可以考虑直接展开化简.
[变式训练] 求下列各式的值:
(1)cos(+θ)cos θ+sin(+θ)sin θ;
(2)cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°.
【解】 (1)原式=cos[(+θ)-θ]=cos =.
(2)原式=cos 75°cos 15°-sin 75°sin(180°+15°)=cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=cos(75°-15°)=
cos 60°=.
题型二 给值求值
[例2] 已知sin α=,tan β=-,且α∈(,π),β∈(0,π),求cos(α-β)的值.
【解】 因为sin α=,α∈(,π),所以cos α=-=-=-.因为tan β=-,β∈(0,π),所以β∈(,π),且sin β=-cos β,由sin2β+cos2β=1知sin β=,cos β=-,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=(-)×(-)+×=.
[典例迁移1] 已知sin(α+)=,且<α<,求cos α.
【解】 因为sin(α+)=,且<α<,所以<α+<π,所以cos(α+)=-=-,所以cos α=cos[(α+)-]=cos(α+)cos +sin(α+)sin =(-)×+×=.
[典例迁移2] 已知cos(α+β)=,sin(α-β)=,且<α+β<2π,<α-β<π,求cos 2β的值.
【解】 因为cos(α+β)=,且<α+β<2π,所以sin(α+β)=-.因为sin(α-β)=,且<α-β<π,所以cos(α-β)=-.所以cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=
×(-)+(-)×=-1.
(1)直接使用公式求值时,应该充分利用已知角的三角函数值,求所需要的三角函数值,注意利用角的范围确定三角函数值的符号.
(2)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值时,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角.
(3)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有①α=(α+β)-β;②β=-;③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β).
题型三 给值求角
[例3] 已知cos(α-β)=,cos 2α=,α为锐角,β为钝角,求α+β的值.
【解】 因为α∈(0,),且β∈(,π),cos 2α=>0,所以α-β∈(-π,0),2α∈(0,),α∈(0,),
所以sin(α-β)=-,sin 2α=,所以cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos 2α·cos(α-β)+
sin 2αsin(α-β)=×+×(-)=-.因为α+β∈(,),所以α+β=.
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值时,为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
提醒:根据三角函数值求角时,易忽视角的范围,而得到错误答案.
[变式训练] 已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β的值.
【解】 由cos α=,0<α<,得sin α===.由0<β<α<,得0<α-β<.
又cos(α-β)=,所以sin(α-β)===.因为β=α-(α-β),所以cos β=
cos [α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=.因为0<β<,所以β=.5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
学习目标 1.熟悉两角差的余弦公式的推导过程.2.掌握两角差的余弦公式的应用.
知识归纳
知识点 两角差的余弦公式
cos(α-β)= ,其中α,β∈R,简记作C(α-β).
(1)该公式对任意角都能成立.
(2)公式的结构:左端为两角差的余弦,右端为这两角的同名三角函数值积的和.
(3)公式的逆用仍然成立,即cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β).
基础自测
1.cos 52°cos 22°+sin 52°sin 22°等于( )
[A] [B]
[C]sin 74° [D]cos 74°
2.(人教A版必修第一册P217练习T4改编)已知cos α=-,α∈(,π),sin β=-,β是第四象限角,则cos(β-α)的值是( )
[A]- [B]
[C]- [D]-
3.若sin αsin β=1,则cos(α-β)的值为( )
[A]0 [B]1
[C]±1 [D]-1
4.已知cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=m,且β为第三象限角,则sin β= .
题型一 给角求值
[例1] 求下列各式的值:
(1)cos(-);
(2)cos cos +cos sin ;
(3)cos 105°+sin 105°.
(1)求非特殊角的三角函数值时,通常把非特殊角转化为两个特殊角的和或差,然后利用公式求解.
(2)不符合两角差结构的三角式可以通过诱导公式变为符合公式结构的形式达到化简求值的目的.
(3)有些含有常数的式子,先将系数转化为特殊角的三角函数值,再利用公式求解,含有特殊角的三角式也可以考虑直接展开化简.
[变式训练] 求下列各式的值:
(1)cos(+θ)cos θ+sin(+θ)sin θ;
(2)cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°.
题型二 给值求值
[例2] 已知sin α=,tan β=-,且α∈(,π),β∈(0,π),求cos(α-β)的值.
[典例迁移1] 已知sin(α+)=,且<α<,求cos α.
[典例迁移2] 已知cos(α+β)=,sin(α-β)=,且<α+β<2π,<α-β<π,求cos 2β的值.
(1)直接使用公式求值时,应该充分利用已知角的三角函数值,求所需要的三角函数值,注意利用角的范围确定三角函数值的符号.
(2)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值时,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角.
(3)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有①α=(α+β)-β;②β=-;③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β).
题型三 给值求角
[例3] 已知cos(α-β)=,cos 2α=,α为锐角,β为钝角,求α+β的值.
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值时,为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
提醒:根据三角函数值求角时,易忽视角的范围,而得到错误答案.
[变式训练] 已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β的值.第3课时 两角和与差的正切公式
学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.
知识归纳
知识点 正切公式
名称 公式 条件 简记符号
两角和的 正切公式 tan(α+β)= α,β,α+β≠kπ+(k∈Z) T(α+β)
两角差的 正切公式 tan(α-β)= α,β,α-β≠kπ+(k∈Z) T(α-β)
(1)只有当α,β,α-β,α+β≠kπ+(k∈Z)时,上述公式才能成立.
(2)公式的符号变化简记为“分子同,分母反”.
知识拓展
1.T(α+β)的变形:
tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);
tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β);
tan αtan β=1-.
2.T(α-β)的变形:
tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β);
tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=tan(α-β);
tan αtan β=-1.
基础自测
1.已知tan α=3,tan β=4,则tan(α-β)等于( )
[A]- [B]- [C] [D]
【答案】 B
【解析】 tan(α-β)===-.故选B.
2.(人教A版必修第一册P220练习T2(3)改编)已知tan θ=2,则tan(θ+)等于( )
[A]2 [B]-3 [C]0 [D]
【答案】 B
【解析】 因为tan θ=2,所以tan(θ+)===-3.故选B.
3.已知tan(α+)=9,则tan α等于( )
[A] [B]- [C] [D]-
【答案】 A
【解析】 由tan(α+)==9,解得tan α=.故选A.
4.求值:= .
【答案】 1
【解析】 =tan(50°-5°)=tan 45°=1.
题型一 给角求值
[例1] (人教B版必修第三册P99例5)求下列各式的值.
(1)tan 75°;
(2);
(3).
【解】 (1)tan 75°=tan(45°+30°)===2+.
(2)=tan(17°+43°)=tan 60°=.
(3)因为tan 45°=1,
所以==tan(45°-15°)=tan 30°=.
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构,正确选用公式形式:应用时先从所化简(求值)式子的结构出发,确定是正用、逆用还是变形用,并注意整体代换.
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用:当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时,要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换,如“1=tan ”,“=tan ”,
这样可以构造出利用公式的条件,从而可以进行化简和求值.
[变式训练] 求下列各式的值:
(1);
(2)tan 72°-tan 42°-tan 72°tan 42°.
【解】 (1)原式==tan(60°-15°)=tan 45°=1.
(2)因为tan(72°-42°)==,所以tan 72°-tan 42°=(1+tan 72°·tan 42°),
所以tan 72°-tan 42°-tan 72°·tan 42°=.
题型二 给值求值(角)
[例2] 如图,在平面直角坐标系Oxy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.求:
(1)tan(α+β)的值;
(2)α+2β的大小.
【解】 (1)由条件得cos α=,cos β=.因为α,β为锐角,所以sin α==,
sin β==.
因此tan α==7,tan β==.所以tan(α+β)===-3.
(2)因为tan 2β=tan(β+β)===,所以tan(α+2β)===-1.因为α,β为锐角,所以0<α+2β<,所以α+2β=.
(1)关于求值问题,应该先利用角的代换,将所求角转化为已知角的和与差,再根据公式
求解.
(2)关于求角问题,应该先确定该角的某个三角函数值,再根据角的取值范围确定该角的
大小.
[变式训练] 已知tan(+α)=,tan(β-)=2,求:
(1)tan(α+β-);
(2)tan(α+β).
【解】 (1)tan(α+β-)
=tan[(α+)+(β-)]
=
==-.
(2)tan(α+β)=tan[(α+β-)+]===2-3.
题型三 两角和与差的正切公式的综合应用
[例3] (苏教版必修第二册P64例1)已知tan α,tan β 是方程x2+5x-6=0的两根,求tan(α+β)的值.
【解】 法一 解方程得tan α=-6,tan β=1或tan α=1,tan β=-6.
代入两角和的正切公式,得
tan(α+β)===-.
法二 因为tan α,tan β是方程x2+5x-6=0的两根,所以tan α+tan β=-5,tan αtan β=-6.
因此,tan(α+β)==-.
当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时,要把它们看成两个整体,这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关,通过公式能相互转换,二是这两个整体还与根与系数的关系相似,在应用时要注意隐含的条件.
[变式训练] (多选)已知在△ABC中,∠C=120°,tan A+tan B=,下列各式正确的是( )
[A]tan(A+B)=-
[B]tan A=tan B
[C]cos B=sin A
[D]tan A·tan B=
【答案】 BCD
【解析】 由∠C=120°,可知A+B=60°,所以tan(A+B)=tan 60°=,故A错误;因为tan(A+B)=,所以tan A+tan B=(1-tan A·tan B)=,所以tan A·tan B=,
又tan A+tan B=,解得tan A=tan B=,所以A=B=30°,所以cos B=sin A,故B,C,D正确.故选BCD.第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式
学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式.2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用,以及公式的正用、逆用和角的变换的常用方法.
知识归纳
知识点一 两角和的余弦公式
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,其中α,β∈R,简记作C(α+β).
知识点二 两角和与差的正弦公式
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,其中α,β∈R,简记作S(α+β);
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,其中α,β∈R,简记作S(α-β).
(1)注意公式的展开形式,两角和与差的余弦展开式可简记为“余余正正,符号相反”,两角和与差的正弦展开式可简记为“正余余正,符号相同”.
(2)公式的逆用,一定要注意名称的顺序和角的顺序.
(3)当α,β,α+β中至少有一个为2kπ(k∈Z)时,公式sin(α+β)=sin α+sin β成立.
基础自测
1.sin 40°cos 10°-sin 130°sin 10°等于( )
[A]- [B] [C]- [D]
2.(人教A版必修第一册P220练习T2改编)设α∈(0,),若sin α=,则cos(α-)等于( )
[A] [B]
[C]- [D]-
3.若sin(α+β)-2cos αsin β=cos(α-β),则下列结论一定正确的是( )
[A]tan(α-β)=1
[B]tan(α+β)=1
[C]tan(α-β)=-1
[D]tan(α+β)=-1
4.若α是锐角,且sin(α-)=,则cos α的值是 .
题型一 给角求值
[例1] 等于( )
[A]- [B] [C] [D]2
探究解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变形使用公式.
(3)一般地,选择正弦 、余弦的这四个公式之一都可以解答,但是根据题意应尽量选择使得角的变化最少的公式.
[变式训练] cos 70°cos 50°+cos 200°cos 40°的值为( )
[A]- [B]- [C] [D]
题型二 给值求值
[例2] 已知<α<,0<β<,cos(+α)=-,sin(+β)=.
(1)求sin(α+β)的值;
(2)求cos(α-β)的值.
(1)在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角.具体做法是:①当条件中只有一个已知角时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角;②当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差的形式,也可能继续考虑使用诱导公式.
(2)在此类问题中,角的范围不容忽视,解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.
[变式训练] (湘教版必修第二册P71例6)已知sin α=,α为第二象限角,sin β=-,β∈(,2π),求sin(α+β)与sin(α-β)的值.
题型三 给值求角
[例3] 已知α,β为锐角,且cos α=,cos β=,求α-β.
解决给值求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值,而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定,当所求角的范围是(0,π)或(π,2π)时,选取求余弦值;当所求角的范围是(,)或(-,)时,选取求正弦值.若可以限制角的范围是某一个象限,则选择正弦函数和余弦函数都是可以的.
[变式训练] 已知α,β都是锐角,若sin α=,sin β=,则α+β= . 第3课时 两角和与差的正切公式
学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.
知识归纳
知识点 正切公式
名称 公式 条件 简记符号
两角和的 正切公式 tan(α+β)= α,β,α+β≠kπ+(k∈Z) T(α+β)
两角差的 正切公式 tan(α-β)= α,β,α-β≠kπ+(k∈Z) T(α-β)
(1)只有当α,β,α-β,α+β≠kπ+(k∈Z)时,上述公式才能成立.
(2)公式的符号变化简记为“分子同,分母反”.
知识拓展
1.T(α+β)的变形:
tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);
tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β);
tan αtan β=1-.
2.T(α-β)的变形:
tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β);
tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=tan(α-β);
tan αtan β=-1.
基础自测
1.已知tan α=3,tan β=4,则tan(α-β)等于( )
[A]- [B]- [C] [D]
2.(人教A版必修第一册P220练习T2(3)改编)已知tan θ=2,则tan(θ+)等于( )
[A]2 [B]-3 [C]0 [D]
3.已知tan(α+)=9,则tan α等于( )
[A] [B]- [C] [D]-
4.求值:= .
题型一 给角求值
[例1] (人教B版必修第三册P99例5)求下列各式的值.
(1)tan 75°;
(2);
(3).
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构,正确选用公式形式:应用时先从所化简(求值)式子的结构出发,确定是正用、逆用还是变形用,并注意整体代换.
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用:当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时,要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换,如“1=tan ”,“=tan ”,
这样可以构造出利用公式的条件,从而可以进行化简和求值.
[变式训练] 求下列各式的值:
(1);
(2)tan 72°-tan 42°-tan 72°tan 42°.
题型二 给值求值(角)
[例2] 如图,在平面直角坐标系Oxy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.求:
(1)tan(α+β)的值;
(2)α+2β的大小.
(1)关于求值问题,应该先利用角的代换,将所求角转化为已知角的和与差,再根据公式
求解.
(2)关于求角问题,应该先确定该角的某个三角函数值,再根据角的取值范围确定该角的
大小.
[变式训练] 已知tan(+α)=,tan(β-)=2,求:
(1)tan(α+β-);
(2)tan(α+β).
题型三 两角和与差的正切公式的综合应用
[例3] (苏教版必修第二册P64例1)已知tan α,tan β 是方程x2+5x-6=0的两根,求tan(α+β)的值.
当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时,要把它们看成两个整体,这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关,通过公式能相互转换,二是这两个整体还与根与系数的关系相似,在应用时要注意隐含的条件.
[变式训练] (多选)已知在△ABC中,∠C=120°,tan A+tan B=,下列各式正确的是( )
[A]tan(A+B)=-
[B]tan A=tan B
[C]cos B=sin A
[D]tan A·tan B=第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标 1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用.
知识归纳
知识点 倍角公式
名称 公式 条件 简记符号
二倍角 的正弦 公式 sin 2α= α∈R S2α
二倍角 的余弦 公式 cos 2α =cos2α-sin2α = = α∈R C2α
二倍角 的正切 公式 tan 2α= α≠+ 且α≠+kπ(k∈Z) T2α
(1)这里的倍角专指二倍角,遇到“三倍角”“四倍角”等名词时,“三”“四”等字不可省去.
(2)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况,还可运用于4α作为2α的二倍,α作为的二倍,3α作为的二倍,α+β作为的二倍等情况,这里蕴含着换元的思想.
知识拓展
常见二倍角公式的变形:
cos 2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α);1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
降幂(扩角)公式:sin αcos α=sin 2α;cos2α=;sin2α=.
升幂(缩角)公式:1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α.
基础自测
1.2sin cos 的值为( )
[A] [B] [C] [D]
2.已知cos x=,则cos 2x等于( )
[A]- [B] [C]- [D]
3.设sin θ-cos θ=,则sin 2θ等于( )
[A]- [B]- [C] [D]
4.(人教A版必修第一册P223练习T4改编)已知sin θ-2cos θ=0,则tan 2θ= .
题型一 给角求值
[例1] 求下列各式的值:
(1)sin2-cos2;
(2);
(3)cos cos .
对于给角求值问题,一般有两类:
(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
[变式训练] 求下列各式的值:(1);
(2)2sin 20°cos 20°-2cos225°;
(3)tan +tan .
题型二 给值求值
[例2] 已知cos(α+)=,≤α<,求sin 2α,cos 2α的值.
(1)给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系.
(2)注意几种公式的灵活应用,
如:①sin 2x=cos(-2x)=cos[2(-x)]=2cos2(-x)-1=1-2sin2(-x);
②cos 2x=sin(-2x)=sin[2(-x)]=2sin(-x)cos(-x).
[变式训练] 已知sin α=,且α是第二象限角.
(1)求sin 2α及tan 2α的值;
(2)求的值.
题型三 倍角公式的综合运用
[例3] 已知△ABC的三个内角为A,B,C,f(B)=4cos Bsin2(+)+cos 2B-2cos B.
(1)若f(B)=2,求B的大小;
(2)若f(B)-m>2恒成立,求实数m的取值范围.
(1)要结合之前所学的公式,进行合理的角的变换,将三角函数的表达式变形化简为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k的形式.
(2)要结合三角函数值及角的取值范围求角.
(3)在三角形中最多只有一个直角或钝角,角的正弦值均为正,余弦和正切值并不一定为正.
[变式训练] 已知sin 2α+cos2α=4sin α+2cos α.
(1)求sin αcos α+cos 2α的值;
(2)若α∈(-π,0),β∈(0,),且tan2β-6tan β=1,求α+2β的值.第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式
学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式.2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用,以及公式的正用、逆用和角的变换的常用方法.
知识归纳
知识点一 两角和的余弦公式
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,其中α,β∈R,简记作C(α+β).
知识点二 两角和与差的正弦公式
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,其中α,β∈R,简记作S(α+β);
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,其中α,β∈R,简记作S(α-β).
(1)注意公式的展开形式,两角和与差的余弦展开式可简记为“余余正正,符号相反”,两角和与差的正弦展开式可简记为“正余余正,符号相同”.
(2)公式的逆用,一定要注意名称的顺序和角的顺序.
(3)当α,β,α+β中至少有一个为2kπ(k∈Z)时,公式sin(α+β)=sin α+sin β成立.
基础自测
1.sin 40°cos 10°-sin 130°sin 10°等于( )
[A]- [B] [C]- [D]
【答案】 D
【解析】 sin 40°cos 10°-sin 130°sin 10°=sin 40°cos 10°-cos 40°sin 10°=sin 30°=.故选D.
2.(人教A版必修第一册P220练习T2改编)设α∈(0,),若sin α=,则cos(α-)等于( )
[A] [B]
[C]- [D]-
【答案】 B
【解析】 因为α∈(0,),sin α=,所以cos α=,
所以原式=(cos αcos +sin αsin )=cos α+sin α=+=.故选B.
3.若sin(α+β)-2cos αsin β=cos(α-β),则下列结论一定正确的是( )
[A]tan(α-β)=1
[B]tan(α+β)=1
[C]tan(α-β)=-1
[D]tan(α+β)=-1
【答案】 A
【解析】 由已知得,sin αcos β+cos αsin β-2cos αsin β=cos(α-β),即sin(α-β)=cos(α-β),所以tan(α-β)=1.故选A.
4.若α是锐角,且sin(α-)=,则cos α的值是 .
【答案】
【解析】 根据题意,由于α是锐角,且sin(α-)=,因为α-∈(-,),所以α-∈(0,),故cos(α-)=,那么cos α=cos[(α-)+]=cos(α-)cos -sin(α-)sin =.
题型一 给角求值
[例1] 等于( )
[A]- [B] [C] [D]2
【答案】 C
【解析】 根据三角函数两角和公式,得cos 85°=cos(60°+25°)=cos 60°cos 25°-sin 60°·sin 25°,
将其代入原式可得,
=.
因为cos 30°=,sin 60°=,
所以cos 30°-sin 60°=0,
则原式变为=cos 60°=.故选C.
探究解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变形使用公式.
(3)一般地,选择正弦 、余弦的这四个公式之一都可以解答,但是根据题意应尽量选择使得角的变化最少的公式.
[变式训练] cos 70°cos 50°+cos 200°cos 40°的值为( )
[A]- [B]- [C] [D]
【答案】 B
【解析】 法一 原式=sin 20°sin 40°-cos 20°cos 40°=-(cos 20°cos 40°-sin 20°sin 40°)=
-cos 60°=-.故选B.
法二 原式=cos 70°sin 40°-cos 20°cos 40°=sin 40°cos 70°-sin 70°cos 40°=sin(40°-70°)=sin(-30°)=-sin 30°=-.故选B.
题型二 给值求值
[例2] 已知<α<,0<β<,cos(+α)=-,sin(+β)=.
(1)求sin(α+β)的值;
(2)求cos(α-β)的值.
【解】 (1)因为<α<,所以<+α<π,所以sin(+α)==.
因为0<β<,所以<+β<π,所以cos(+β)=-=-,
所以sin(α+β)=-sin(π+α+β)=-sin[(+α)+(+β)]=-[sin(+α)cos(+β)+cos(+α)sin(+β)]=
-[×(-)+(-)×]=.
(2)由(1)可知,sin(+α)=,cos(+β)=-,所以sin[(+α)-(+β)]=sin(+α)cos(+β)-
cos(+α)sin(+β)=×(-)-(-)×=-,
又sin[(+α)-(+β)]=sin(α-β-)=-cos(α-β),所以cos(α-β)=.
(1)在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角.具体做法是:①当条件中只有一个已知角时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角;②当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差的形式,也可能继续考虑使用诱导公式.
(2)在此类问题中,角的范围不容忽视,解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.
[变式训练] (湘教版必修第二册P71例6)已知sin α=,α为第二象限角,sin β=-,β∈(,2π),求sin(α+β)与sin(α-β)的值.
【解】 因为α为第二象限角,所以cos α<0.
又sin α=,所以cos α=-=-.
因为β∈(,2π),所以cos β>0.
又sin β=-,所以cos β==.
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+(-)×(-)=,
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-(-)×(-)=-.
题型三 给值求角
[例3] 已知α,β为锐角,且cos α=,cos β=,求α-β.
【解】 因为0<α<,0<β<,且cos α=,cos β=,所以sin α==,sin β=
=,-<α-β<.故sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=-,由于-<α-β<,所以α-β=-.
解决给值求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值,而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定,当所求角的范围是(0,π)或(π,2π)时,选取求余弦值;当所求角的范围是(,)或(-,)时,选取求正弦值.若可以限制角的范围是某一个象限,则选择正弦函数和余弦函数都是可以的.
[变式训练] 已知α,β都是锐角,若sin α=,sin β=,则α+β= .
【答案】
【解析】 因为sin α=,sin β=,α∈(0,),β∈(0,),所以cos α==,cos β
==,所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=,又(α+β)∈(0,π),
所以α+β=.第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标 1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用.
知识归纳
知识点 倍角公式
名称 公式 条件 简记符号
二倍角 的正弦 公式 sin 2α=2sin αcos α α∈R S2α
二倍角 的余弦 公式 cos 2α =cos2α-sin2α =2cos2α-1 =1-2sin2α α∈R C2α
二倍角 的正切 公式 tan 2α= α≠+ 且α≠+kπ(k∈Z) T2α
(1)这里的倍角专指二倍角,遇到“三倍角”“四倍角”等名词时,“三”“四”等字不可省去.
(2)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况,还可运用于4α作为2α的二倍,α作为的二倍,3α作为的二倍,α+β作为的二倍等情况,这里蕴含着换元的思想.
知识拓展
常见二倍角公式的变形:
cos 2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α);1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
降幂(扩角)公式:sin αcos α=sin 2α;cos2α=;sin2α=.
升幂(缩角)公式:1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α.
基础自测
1.2sin cos 的值为( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 2sin cos =sin =.故选B.
2.已知cos x=,则cos 2x等于( )
[A]- [B] [C]- [D]
【答案】 D
【解析】 cos 2x=2cos2x-1=2×-1=.故选D.
3.设sin θ-cos θ=,则sin 2θ等于( )
[A]- [B]- [C] [D]
【答案】 C
【解析】 由sin θ-cos θ=,平方可得(sin θ-cos θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ=1-sin 2θ==,解得sin 2θ=.故选C.
4.(人教A版必修第一册P223练习T4改编)已知sin θ-2cos θ=0,则tan 2θ= .
【答案】 -2
【解析】 因为sin θ-2cos θ=0,所以tan θ==,所以tan 2θ===-2.
题型一 给角求值
[例1] 求下列各式的值:
(1)sin2-cos2;
(2);
(3)cos cos .
【解】 (1)原式=-(cos2-sin2)=-cos =-cos(π-)=cos =.
(2)原式==2×=2×=2.
(3)原式=====.
对于给角求值问题,一般有两类:
(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
[变式训练] 求下列各式的值:(1);
(2)2sin 20°cos 20°-2cos225°;
(3)tan +tan .
【解】 (1)=tan 30°=.
(2)2sin 20°cos 20°-2cos225°=sin 40°-2×(1+cos 50°)=sin 40°-cos 50°-1=sin 40°-sin 40°-
1=-1.
(3)tan +tan =tan +tan(-)=+=+===2.
题型二 给值求值
[例2] 已知cos(α+)=,≤α<,求sin 2α,cos 2α的值.
【解】 因为≤α<,所以≤α+<.
因为cos(α+)>0,所以<α+<,
所以sin(α+)=-=
-=-.所以cos 2α=sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=2×(-)×=-,
sin 2α=-cos(2α+)=1-2cos2(α+)=1-2×()2=.
(1)给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系.
(2)注意几种公式的灵活应用,
如:①sin 2x=cos(-2x)=cos[2(-x)]=2cos2(-x)-1=1-2sin2(-x);
②cos 2x=sin(-2x)=sin[2(-x)]=2sin(-x)cos(-x).
[变式训练] 已知sin α=,且α是第二象限角.
(1)求sin 2α及tan 2α的值;
(2)求的值.
【解】 (1)因为sin α=,且α是第二象限角,所以cos α=-,tan α=-,
所以sin 2α=2sin αcos α=-,tan 2α==-.
(2)因为
=
=
=
===-.
题型三 倍角公式的综合运用
[例3] 已知△ABC的三个内角为A,B,C,f(B)=4cos Bsin2(+)+cos 2B-2cos B.
(1)若f(B)=2,求B的大小;
(2)若f(B)-m>2恒成立,求实数m的取值范围.
【解】 (1)f(B)=4cos B·+cos 2B-2cos B=2cos B(1+sin B)+cos 2B-2cos B=
2cos Bsin B+cos 2B=sin 2B+cos 2B=2sin(2B+),因为f(B)=2,所以2sin(2B+)=2,
即sin(2B+)=1.
所以2B+=+2kπ,k∈Z.又因为0(2)由(1)知f(B)-m>2恒成立,即2sin(2B+)>2+m恒成立.因为0所以2sin(2B+)∈[-2,2],所以2+m<-2,所以m<-4,故实数m的取值范围是(-∞,-4).
(1)要结合之前所学的公式,进行合理的角的变换,将三角函数的表达式变形化简为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k的形式.
(2)要结合三角函数值及角的取值范围求角.
(3)在三角形中最多只有一个直角或钝角,角的正弦值均为正,余弦和正切值并不一定为正.
[变式训练] 已知sin 2α+cos2α=4sin α+2cos α.
(1)求sin αcos α+cos 2α的值;
(2)若α∈(-π,0),β∈(0,),且tan2β-6tan β=1,求α+2β的值.
【解】 (1)因为sin 2α+cos2α=4sin α+2cos α,所以(2sin α+cos α)(cos α-2)=0,
因为cos α-2≠0,所以2sin α+cos α=0,
所以tan α=-,sin αcos α+cos 2α===.
(2)由tan2β-6tan β=1,
可得tan 2β==-,
则tan(α+2β)===-1,
因为β∈(0,),所以2β∈(0,π),
又tan 2β=-,所以2β∈(,π),
因为α∈(-π,0),又tan α=-,
则α∈(-,0),所以α+2β∈(0,π),
所以α+2β=.
