5.5.2 简单的三角恒等变换
第1课时 简单的三角恒等变换(一)
学习目标 1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.
2.了解半角公式的结构形式,并能利用半角公式解决简单的求值问题.3.掌握两角和、差的正弦、余弦公式,通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明.
知识归纳
知识点一 半角公式
(1)sin = ;
(2)cos = ;
(3)tan = ;
(4)tan ==.
半角公式中的“±”符号不能去掉,若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留“±”两个符号;若给出α的具体范围,则先求的所在范围,然后根据所在的范围选用符号.
知识点二 积化和差
(1) =[sin(α+β)+sin(α-β)];
(2) =[sin(α+β)-sin(α-β)];
(3) =[cos(α+β)+cos(α-β)];
(4) =-[cos(α+β)-cos(α-β)].
知识点三 和差化积
(1)sin θ+sin φ= ;
(2)sin θ-sin φ= ;
(3)cos θ+cos φ= ;
(4)cos θ-cos φ= .
(1)积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式转化为θ,φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x,cos αsin β看作y,把等式看作x,y的方程,则原问题转化为解方程(组)求x,它们都体现了化归思想.
(2)积化和差从右边通过展开计算可以得到左边,和差化积结合角变换θ=+,
φ=-从左边计算得到右边.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P226练习T1改编)下列各式与tan α相等的是( )
[A] [B]
[C] [D]
2.对任意的实数α,β,下列等式恒成立的是( )
[A]cos α+cos β=2sin ·sin
[B]cos α-cos β=2cos ·cos
[C]2sin α·cos β=sin(α+β)+sin(α-β)
[D]2cos α·sin β=cos(α+β)+cos(α-β)
3.化简的结果是( )
[A]-cos 1 [B]cos 1
[C]cos 1 [D]-cos 1
4.已知cos 2α=,α∈(,π),则sin α= .
题型一 利用半角公式求值
[例1] (湘教版必修第二册P84例1)已知sin α=,求下列条件下sin ,cos ,tan 的值:
(1)0<α<;
(2)角α在第一象限.
利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,求解时务必依据角的取值范围,求出相应半角的取值范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan ==,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的取值范围问题;涉及半角公式的正弦、余弦值时,常先利用sin2=,cos2=计算.
[变式训练] (1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin =( )
[A] [B]
[C] [D]
(2)已知sin α=-,α∈(π,),则tan = .
题型二 利用和差化积、积化和差求值
[例2] 求sin270°+cos240°-sin 70°cos 40°的值.
和差化积、积化和差公式不要求记忆,使用它们时,注意利用以下方法做简单推导.
(1)和差化积公式需要结合角的变换:cos 40°+cos 80°=cos(60°-20°)+cos(60°+20°).
(2)积化和差公式需要利用解方程组的思想方法:
[变式训练] 求下列各式的值:
(1)sin cos ;
(2)sin 20°+sin 40°-sin 80°.
题型三 三角函数式的化简
[例3] 化简:.
化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择适用于它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.
[变式训练] 化简:+(π<α<).
题型四 三角函数式的证明
[例4] (人教B版必修第三册P107例4)已知A+B+C=180°,求证:sin A+sin B+sin C=
4cos cos cos .
三角函数式证明的常用方法
(1)执因索果法:证明的形式一般是化繁为简.
(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子.
(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形以消除它们之间的差异,简言之,化异求同.
(4)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”.
(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到回溯至已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.
[变式训练] 已知2tan α=3tan β,求证:tan(α-β)=.5.5.2 简单的三角恒等变换
第1课时 简单的三角恒等变换(一)
学习目标 1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.
2.了解半角公式的结构形式,并能利用半角公式解决简单的求值问题.3.掌握两角和、差的正弦、余弦公式,通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明.
知识归纳
知识点一 半角公式
(1)sin =±;
(2)cos =±;
(3)tan =±;
(4)tan ==.
半角公式中的“±”符号不能去掉,若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留“±”两个符号;若给出α的具体范围,则先求的所在范围,然后根据所在的范围选用符号.
知识点二 积化和差
(1)sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)];
(2)cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)];
(3)cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)];
(4)sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
知识点三 和差化积
(1)sin θ+sin φ=2sin cos ;
(2)sin θ-sin φ=2cos sin ;
(3)cos θ+cos φ=2cos cos ;
(4)cos θ-cos φ=-2sin ·sin .
(1)积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式转化为θ,φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x,cos αsin β看作y,把等式看作x,y的方程,则原问题转化为解方程(组)求x,它们都体现了化归思想.
(2)积化和差从右边通过展开计算可以得到左边,和差化积结合角变换θ=+,
φ=-从左边计算得到右边.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P226练习T1改编)下列各式与tan α相等的是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 ===tan α.故选D.
2.对任意的实数α,β,下列等式恒成立的是( )
[A]cos α+cos β=2sin ·sin
[B]cos α-cos β=2cos ·cos
[C]2sin α·cos β=sin(α+β)+sin(α-β)
[D]2cos α·sin β=cos(α+β)+cos(α-β)
【答案】 C
【解析】 因为cos α+cos β=cos(+)+cos(-)=2cos ·cos ,故A错误;因为cos α-cos β=cos(+)-cos(-)=-2sin ·sin ,故B错误;sin(α+β)=sin αcos β+
cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,以上两式相加,整理得2sin α·cos β=sin(α+β)+
sin(α-β),故C正确;cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,以上两式相加,整理得cos(α+β)+cos(α-β)=2cos α·cos β,故D错误.故选C.
3.化简的结果是( )
[A]-cos 1 [B]cos 1
[C]cos 1 [D]-cos 1
【答案】 C
【解析】 原式==,因为0<1<,故原式=cos 1.故选C.
4.已知cos 2α=,α∈(,π),则sin α= .
【答案】
【解析】 因为α∈(,π),所以sin α>0,
所以sin α===.
题型一 利用半角公式求值
[例1] (湘教版必修第二册P84例1)已知sin α=,求下列条件下sin ,cos ,tan 的值:
(1)0<α<;
(2)角α在第一象限.
【解】 (1)当0<α<时,0<<.
又sin α=,
所以cos α===,
所以sin ===,
cos ===,
tan ===.
(2)当角α在第一象限时,
2kπ<α<2kπ+(k∈Z),
则kπ<当k为偶数时,角在第一象限,故由(1)可得sin =,cos =,tan =.
当k为奇数时,角在第三象限,此时有sin =-,cos =-,tan =.
利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,求解时务必依据角的取值范围,求出相应半角的取值范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan ==,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的取值范围问题;涉及半角公式的正弦、余弦值时,常先利用sin2=,cos2=计算.
[变式训练] (1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin =( )
[A] [B]
[C] [D]
(2)已知sin α=-,α∈(π,),则tan = .
【答案】 (1)D (2)-
【解析】 (1)因为cos α=1-2sin2=,而α为锐角,所以sin ===.
故选D.
(2)法一 因为sin α=-,α∈(π,),所以cos α=-.因为α∈(π,),所以∈(,),所以
tan <0.
所以tan =-=-.
法二 因为sin α=-,α∈(π,),所以cos α=-,所以tan ===-=-.
题型二 利用和差化积、积化和差求值
[例2] 求sin270°+cos240°-sin 70°cos 40°的值.
【解】 原式=+-sin 70°cos 40°=1+(cos 40°+cos 80°)-sin 70°cos 40°=
1+cos 60°cos 20°-(sin 110°+sin 30°)=1+cos 20°-cos 20°-=1-=.
和差化积、积化和差公式不要求记忆,使用它们时,注意利用以下方法做简单推导.
(1)和差化积公式需要结合角的变换:cos 40°+cos 80°=cos(60°-20°)+cos(60°+20°).
(2)积化和差公式需要利用解方程组的思想方法:
[变式训练] 求下列各式的值:
(1)sin cos ;
(2)sin 20°+sin 40°-sin 80°.
【解】 (1)原式=[sin(+)+sin(-)]=(sin+sin)=+.
(2)原式=sin(30°-10°)+sin(30°+10°)-sin(90°-10°)=sin 30°cos 10°-cos 30°sin 10°+
sin 30°cos 10°+cos 30°sin 10°-cos 10°=2sin 30°cos 10°-cos 10°=cos 10°-cos 10°=0.
题型三 三角函数式的化简
[例3] 化简:.
【解】 原式====tan 2α.
化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择适用于它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.
[变式训练] 化简:+(π<α<).
【解】 因为π<α<,所以<<,
原式=+=-(sin +cos )+(sin -cos )=-cos .
题型四 三角函数式的证明
[例4] (人教B版必修第三册P107例4)已知A+B+C=180°,求证:sin A+sin B+sin C=
4cos cos cos .
【证明】 因为A+B+C=180°,
所以C=180°-(A+B),=90°-,
因此sin A+sin B+sin C=2sin ·cos +sin(A+B)
=2sin cos +2sin ·cos
=2sin (cos +cos )
=2sin ×2cos cos
=2cos ×2cos cos
=4cos cos cos .
三角函数式证明的常用方法
(1)执因索果法:证明的形式一般是化繁为简.
(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子.
(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形以消除它们之间的差异,简言之,化异求同.
(4)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”.
(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到回溯至已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.
[变式训练] 已知2tan α=3tan β,求证:tan(α-β)=.
【证明】 左边===,
右边===,
因此,tan(α-β)=.第2课时 简单的三角恒等变换(二)
学习目标 1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题.
知识归纳
知识点 辅助角公式
一般地,对于y=asin x+bcos x,
第一步:提常数,提取,得到y=·(sin x+cos x).
第二步:定角度,确定一个角φ满足cos φ=,sin φ=,
得到y=·(sin xcos φ+cos xsin φ).
第三步:合并,由和角公式化为一个三角函数式的辅助角公式,
即y=asin x+bcos x=·sin(x+φ)(其中tan φ=).
(1)该函数的最大值为,最小值为-.
(2)有时也利用y=asin x+bcos x=·cos(x-φ)(其中tan φ=).
基础自测
1.函数y=2sin x-cos x(x∈R)的最小正周期为( )
[A]2π [B]π
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 y=2sin x-cos x=sin(x+φ),其中tan φ=-,其最小正周期为T==2π.故选A.
2.已知α∈(0,π),且sin α-cos α=2,则tan α等于( )
[A]- [B]-
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 由sin α-cos α=2,得sin α-cos α=1,即sin(α-)=1,由α∈(0,π),得α-∈(-,),则α-=,即α=,所以tan α=tan =-tan =-.故选B.
3.函数f(x)=sin x+sin(x+)的最大值为( )
[A]1 [B]
[C] [D]2
【答案】 B
【解析】 f(x)=sin x+sin(x+)=sin x+cos x=sin(x+).当sin(x+)=1时,函数取得最大值.故选B.
4.(人教A版必修第一册P228练习T2改编)以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为 .
【答案】 25
【解析】 如图,设∠NOB=θ,则矩形面积S=5sin θ×2×5cos θ=50sin θ·cos θ=25sin 2θ,所以当sin 2θ=1时,S取得最大值25.
题型一 辅助角公式的应用
[例1] 已知函数f(x)=2sin xcos x-2sin2x+.
(1)化简函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间[0,]上的值域;
(3)设α∈(,π),f()=,求sin α的值.
【解】 (1)f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+).
(2)当x∈[0,]时,≤2x+≤,则-≤2sin(2x+)≤2,所以函数f(x)在区间[0,]上的值域为[-,2].
(3)因为f()=2sin(α+)=,所以sin(α+)=,因为α∈(,π),所以<α+<,所以cos(α+)=-,则sin α=sin[(α+)-]=sin(α+)cos -cos(α+)sin =×-(-)×=.
(1)研究三角函数的性质,如单调性和最值问题,通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换,转化为一种简单的三角函数,再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式,将y=asin x+bcos x转化为y=sin(x+φ)或y=cos(x-φ)的形式,以便研究函数的性质.
(2)当函数可化为f(x)=asin2ωx+bsin ωxcos ωx+ccos2ωx的函数形式时,常先利用降幂公式sin2=,cos2=,sin αcos α=sin 2α,将函数统一化成f(x)=msin 2ωx+ncos 2ωx+k的形式,再利用辅助角公式化为f(x)=Asin(2ωx+φ)+k的形式来研究其性质.
[变式训练] 已知函数f(x)=2sin xcos x+sin2x-cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)取得最大值时x的取值集合;
(3)设函数f(x)在区间[,m]上单调递减,求实数m的取值范围.
【解】 (1)因为f(x)=2sin xcos x+sin2x-cos2x=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-),所以函数f(x)的最小正周期为T==π.
(2)当2x-=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时,函数f(x)取得最大值,
故函数f(x)取得最大值时x的取值集合为{x,k∈Z}.
(3)当≤x≤m时,≤2x-≤2m-,由于函数f(x)在区间[,m]上单调递减,则解得题型二 三角函数在平面几何中的应用
[例2] 如图,某城市有一条公路从正西方沿MO通过市中心O后转到北偏东30°的ON上,为了缓解城市交通压力,现准备修建一条绕城高速公路L,并在MO,ON上分别设置两个出口A,B.若要求市中心O与AB的距离为10 km,则线段AB最短为( )
[A]10 km [B]20 km
[C]10 km [D]20 km
【答案】 D
【解析】 过点O作OD⊥AB,垂足为点D,设∠OAB=α,∠OBA=β,且α+β=60°,0<α<60°,
由题意可得AD==,BD==,所以AB=AD+BD=+=
=
=10(-1),
因为tan αtan β=tan αtan(60°-α)=,
令t=1+tan α∈(1,4),
则0当且仅当t=2时,等号成立,
故AB=10(-1)≥10×2=20(km).故选D.
(1)三角函数与平面几何有着密切联系,几何中的角度、长度、面积等问题,常借助三角函数来解决,这体现了数学中的化归思想.
(2)当几何问题中某个角α比较容易表示与之相关的线段的长度时,一般选择这个角α作为自变量,构建三角函数关系式,要注意结合实际问题确定角α的取值范围.
[变式训练] 如图,在扇形OAB中,∠AOB=,半径OA=2.在上取一点M,连接OM,过M点分别向半径OA,OB作垂线,垂足分别为E,F,得到一个四边形MEOF.
(1)设∠AOM=x,将四边形MEOF的面积S表示成x的函数,并写出x的取值范围;
(2)求四边形MEOF的面积S的最大值.
【解】 (1)S=S△MOE+S△MOF=×2sin x×2cos x+×2sin(-x)×2cos(-x)=sin 2x+sin(-2x)=
sin 2x-cos 2x=sin(2x-),由题意要得到四边形MEOF,则x∈(,).
(2)由(1)知,S=sin(2x-),因为x∈(,),所以2x-∈(,),所以当2x-=,即x=时,四边形MEOF的面积S取得最大值.第2课时 简单的三角恒等变换(二)
学习目标 1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题.
知识归纳
知识点 辅助角公式
一般地,对于y=asin x+bcos x,
第一步:提常数,提取,得到y=·(sin x+cos x).
第二步:定角度,确定一个角φ满足cos φ=,sin φ=,
得到y=·(sin xcos φ+cos xsin φ).
第三步:合并,由和角公式化为一个三角函数式的辅助角公式,
即y=asin x+bcos x=· (其中tan φ=).
(1)该函数的最大值为,最小值为-.
(2)有时也利用y=asin x+bcos x=·cos(x-φ)(其中tan φ=).
基础自测
1.函数y=2sin x-cos x(x∈R)的最小正周期为( )
[A]2π [B]π
[C] [D]
2.已知α∈(0,π),且sin α-cos α=2,则tan α等于( )
[A]- [B]-
[C] [D]
3.函数f(x)=sin x+sin(x+)的最大值为( )
[A]1 [B]
[C] [D]2
4.(人教A版必修第一册P228练习T2改编)以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为 .
题型一 辅助角公式的应用
[例1] 已知函数f(x)=2sin xcos x-2sin2x+.
(1)化简函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间[0,]上的值域;
(3)设α∈(,π),f()=,求sin α的值.
(1)研究三角函数的性质,如单调性和最值问题,通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换,转化为一种简单的三角函数,再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式,将y=asin x+bcos x转化为y=sin(x+φ)或y=cos(x-φ)的形式,以便研究函数的性质.
(2)当函数可化为f(x)=asin2ωx+bsin ωxcos ωx+ccos2ωx的函数形式时,常先利用降幂公式sin2=,cos2=,sin αcos α=sin 2α,将函数统一化成f(x)=msin 2ωx+ncos 2ωx+k的形式,再利用辅助角公式化为f(x)=Asin(2ωx+φ)+k的形式来研究其性质.
[变式训练] 已知函数f(x)=2sin xcos x+sin2x-cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)取得最大值时x的取值集合;
(3)设函数f(x)在区间[,m]上单调递减,求实数m的取值范围.
题型二 三角函数在平面几何中的应用
[例2] 如图,某城市有一条公路从正西方沿MO通过市中心O后转到北偏东30°的ON上,为了缓解城市交通压力,现准备修建一条绕城高速公路L,并在MO,ON上分别设置两个出口A,B.若要求市中心O与AB的距离为10 km,则线段AB最短为( )
[A]10 km [B]20 km
[C]10 km [D]20 km
(1)三角函数与平面几何有着密切联系,几何中的角度、长度、面积等问题,常借助三角函数来解决,这体现了数学中的化归思想.
(2)当几何问题中某个角α比较容易表示与之相关的线段的长度时,一般选择这个角α作为自变量,构建三角函数关系式,要注意结合实际问题确定角α的取值范围.
[变式训练] 如图,在扇形OAB中,∠AOB=,半径OA=2.在上取一点M,连接OM,过M点分别向半径OA,OB作垂线,垂足分别为E,F,得到一个四边形MEOF.
(1)设∠AOM=x,将四边形MEOF的面积S表示成x的函数,并写出x的取值范围;
(2)求四边形MEOF的面积S的最大值.
