5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
学习目标 1.理解函数y=Asin(ωx+φ)中φ,ω,A对图象的影响.2.掌握函数y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤.3.会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
知识归纳
知识点 A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ),x∈R图象的影响
1.φ对函数y=sin(x+φ),x∈R图象的影响
2.ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响
3.A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响
对A,ω,φ(A>0,ω>0)的三点说明:
(1)A越大,函数的最大值越大,最大值与A是正比例关系.
(2)ω越大,函数的周期越小,ω越小,函数的周期越大,周期与ω为反比例关系.
(3)φ 大于0时,函数图象向左平移,φ小于0时,函数图象向右平移,即“左加右减”.
基础自测
1.为了得到函数y=sin 4x,x∈R的图象,只需把正弦曲线y=sin x上所有点的( )
[A]横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变
[B]横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
[C]纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变
[D]纵坐标缩短到原来的,横坐标不变
2.(人教A版必修第一册P240习题5.6 T1改编)为了得到函数y=cos x的图象,只需把余弦曲线y=cos x上所有点的( )
[A]横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变
[B]横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
[C]纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变
[D]纵坐标缩短到原来的,横坐标不变
3.要得到函数y=sin(3x+3)的图象,只需将函数y=sin 3x的图象( )
[A]向左平移1个单位长度
[B]向右平移1个单位长度
[C]向左平移3个单位长度
[D]向右平移3个单位长度
4.用“五点法”作函数y=2sin(x-)的图象时,描出的五个点的横坐标依次是 .
题型一 三角函数图象的平移变换
[例1] (1)函数y=sin x的图象可以看作是由函数y=sin(x-)的图象经过怎样的变换而得到的
(2)求函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式.
(3)由函数y=sin(x+)的图象经过怎样的变换可以得到函数y=cos x的图象
对平移变换应先观察函数名是否相同,若函数名不同,则先化为同名函数,再观察x的系数,当x的系数不为1时,应提取系数确定平移的单位和方向,方向遵循“左加右减”的原则,
且ωx→ωx+φ的平移量为||个单位长度.
[变式训练] (1)要得到函数y=sin(2x-)的图象,需要将函数y=sin 2x的图象( )
[A]向左平移个单位长度
[B]向右平移个单位长度
[C]向左平移个单位长度
[D]向右平移个单位长度
(2)函数g(x)=sin(2x-)的图象向左平移个单位长度得到函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x)的解析式为( )
[A]f(x)=sin 2x
[B]f(x)=-sin 2x
[C]f(x)=cos 2x
[D]f(x)=-cos 2x
题型二 三角函数图象的伸缩变换
[例2] (1)把函数y=sin(2x-)图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,则所得图象的函数解析式为 .
(2)函数y=sin(2x-)的图象上所有点的横坐标保持不变,将纵坐标 (填“伸长”或“缩短”)为原来的 倍,将会得到函数y=3sin(2x-)的图象.
(1)在研究ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响时,将y=sin(x+φ)图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),即可得到y=sin(ωx+φ)的图象.
(2)在研究A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响时,将y=sin(ωx+φ)图象上所有点的纵坐标变成原来的A倍(横坐标不变),即可得到y=Asin(ωx+φ)的图象.
[变式训练] 将函数f(x)=cos(2x-)的图象上所有点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标变为原来的2倍,得到的函数g(x)的图象的解析式为( )
[A]g(x)=2cos(8x-)
[B]g(x)=cos(8x-)
[C]g(x)=2cos(x-)
[D]g(x)=cos(x-)
题型三 函数y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系
[例3] 由y=3sin x的图象变换得到y=3sin(x+)的图象主要有两个方法:先平移后伸缩和先伸缩后平移,前者需向左平移 个单位长度,后者需向左平移 个单位长度.
(1)由函数y=sin x的图象得到y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的两种途径可以通过图形表示,如图所示.
(2)两种变换仅影响平移的单位长度,其余参数不受影响.
(3)若相应变换的函数名称不同,要先用诱导公式转化为同名的三角函数,再进行平移变换或伸缩变换.
[变式训练] 将函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变),再向右平移个单位长度得到函数y=Asin x的图象,则ω= ,φ= .
题型四 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
[例4] 用“五点法”画函数y=2sin(3x+),x∈[0,]的图象.
(1)利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点,两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
(2)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤.
第一步:列表.
ωx+φ 0 π 2π
x - - - - -
f(x) 0 A 0 -A 0
第二步:在同一平面直角坐标系中描出各点.
第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图象.
(3)在画指定区间上的函数图象时,先由x的第一个取值确定ωx+φ整体取的第一个值,然后再确定ωx+φ整体后面的取值.
[变式训练] 已知函数f(x)=8sin(-).
(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期内的图象;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再将得到的图象上各点的横、纵坐标均变为原来的,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的解析式.5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
学习目标 1.理解函数y=Asin(ωx+φ)中φ,ω,A对图象的影响.2.掌握函数y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤.3.会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
知识归纳
知识点 A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ),x∈R图象的影响
1.φ对函数y=sin(x+φ),x∈R图象的影响
2.ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响
3.A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响
对A,ω,φ(A>0,ω>0)的三点说明:
(1)A越大,函数的最大值越大,最大值与A是正比例关系.
(2)ω越大,函数的周期越小,ω越小,函数的周期越大,周期与ω为反比例关系.
(3)φ 大于0时,函数图象向左平移,φ小于0时,函数图象向右平移,即“左加右减”.
基础自测
1.为了得到函数y=sin 4x,x∈R的图象,只需把正弦曲线y=sin x上所有点的( )
[A]横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变
[B]横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
[C]纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变
[D]纵坐标缩短到原来的,横坐标不变
【答案】 B
【解析】 ω=4>1,因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变.
故选B.
2.(人教A版必修第一册P240习题5.6 T1改编)为了得到函数y=cos x的图象,只需把余弦曲线y=cos x上所有点的( )
[A]横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变
[B]横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
[C]纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变
[D]纵坐标缩短到原来的,横坐标不变
【答案】 D
【解析】 将y=cos x图象上所有点的纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,即可得到函数y=cos x的图象.故选D.
3.要得到函数y=sin(3x+3)的图象,只需将函数y=sin 3x的图象( )
[A]向左平移1个单位长度
[B]向右平移1个单位长度
[C]向左平移3个单位长度
[D]向右平移3个单位长度
【答案】 A
【解析】 因为y=sin[3(x+1)]=sin(3x+3),所以只要将函数y=sin 3x的图象向左平移1个单位长度即可得到函数y=sin(3x+3)的图象.故选A.
4.用“五点法”作函数y=2sin(x-)的图象时,描出的五个点的横坐标依次是 .
【答案】 π,,4π,π,7π
【解析】 用“五点法”作图时,当x-分别取0,,π,,2π时,x的值分别为π,,4π,,7π.
题型一 三角函数图象的平移变换
[例1] (1)函数y=sin x的图象可以看作是由函数y=sin(x-)的图象经过怎样的变换而得到的
(2)求函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式.
(3)由函数y=sin(x+)的图象经过怎样的变换可以得到函数y=cos x的图象
【解】 (1)函数y=sin x的图象可以看作是由函数y=sin(x-)图象上的所有点向左平移个单位长度而得到的.
(2)函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin[2(x-)],即y=sin(2x-)的
图象.
(3)因为y=sin(x+)=cos[-(x+)]=cos(-x)=cos(x-),所以只需将函数y=sin(x+)的图象向左平移个单位长度即可得到函数y=cos x的图象.
对平移变换应先观察函数名是否相同,若函数名不同,则先化为同名函数,再观察x的系数,当x的系数不为1时,应提取系数确定平移的单位和方向,方向遵循“左加右减”的原则,
且ωx→ωx+φ的平移量为||个单位长度.
[变式训练] (1)要得到函数y=sin(2x-)的图象,需要将函数y=sin 2x的图象( )
[A]向左平移个单位长度
[B]向右平移个单位长度
[C]向左平移个单位长度
[D]向右平移个单位长度
(2)函数g(x)=sin(2x-)的图象向左平移个单位长度得到函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x)的解析式为( )
[A]f(x)=sin 2x
[B]f(x)=-sin 2x
[C]f(x)=cos 2x
[D]f(x)=-cos 2x
【答案】 (1)D (2)D
【解析】 (1)因为y=sin(2x-)=sin[2(x-)],为了得到函数y=sin(2x-)的图象,需要将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度.故选D.
(2)由函数g(x)=sin(2x-)的图象向左平移个单位长度得到函数y=f(x)的图象,
所以f(x)=sin[2(x+)-]=-cos 2x.故选D.
题型二 三角函数图象的伸缩变换
[例2] (1)把函数y=sin(2x-)图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,则所得图象的函数解析式为 .
(2)函数y=sin(2x-)的图象上所有点的横坐标保持不变,将纵坐标 (填“伸长”或“缩短”)为原来的 倍,将会得到函数y=3sin(2x-)的图象.
【答案】 (1)y=sin(4x-) (2)伸长 3
【解析】 (1)由题意,所得图象的函数解析式为y=sin(2x×2-)=sin(4x-).
(2)A=3>1,故函数y=sin(2x-)的图象上所有点的横坐标保持不变,将纵坐标伸长为原来的3倍,即可得到函数y=3sin(2x-)的图象.
(1)在研究ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响时,将y=sin(x+φ)图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),即可得到y=sin(ωx+φ)的图象.
(2)在研究A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响时,将y=sin(ωx+φ)图象上所有点的纵坐标变成原来的A倍(横坐标不变),即可得到y=Asin(ωx+φ)的图象.
[变式训练] 将函数f(x)=cos(2x-)的图象上所有点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标变为原来的2倍,得到的函数g(x)的图象的解析式为( )
[A]g(x)=2cos(8x-)
[B]g(x)=cos(8x-)
[C]g(x)=2cos(x-)
[D]g(x)=cos(x-)
【答案】 C
【解析】 由题意g(x)=2cos(2××x-)=2cos(x-).故选C.
题型三 函数y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系
[例3] 由y=3sin x的图象变换得到y=3sin(x+)的图象主要有两个方法:先平移后伸缩和先伸缩后平移,前者需向左平移 个单位长度,后者需向左平移 个单位长度.
【答案】
【解析】 (1)y=3sin x的图象y=3sin(x+)的图象y=3sin(x+)的图象.
(2)y=3sin x的图象y=3sin x 的图象y=3sin[(x+)]=3sin(x+)的图象.
(1)由函数y=sin x的图象得到y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的两种途径可以通过图形表示,如图所示.
(2)两种变换仅影响平移的单位长度,其余参数不受影响.
(3)若相应变换的函数名称不同,要先用诱导公式转化为同名的三角函数,再进行平移变换或伸缩变换.
[变式训练] 将函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变),再向右平移个单位长度得到函数y=Asin x的图象,则ω= ,φ= .
【答案】
【解析】 法一 将函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变),再向右平移个单位长度得到y=Asin[2ω(x-)+φ]=Asin[2ωx+2ω×(-)+φ]=Asin x,所以2ω=1,2ω×(-)+φ=0,所以ω=,φ=.
法二 将函数y=Asin x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=Asin(x+)的图象,再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=Asin(x+)的图象,即为函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,所以f(x)=Asin(x+),所以ω=,φ=.
题型四 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
[例4] 用“五点法”画函数y=2sin(3x+),x∈[0,]的图象.
【解】 因为x∈[0,],所以3x+∈[,],列表如下:
3x+ π 2π
x 0
y 1 2 0 -2 0 1
描点连线,画图如下.
(1)利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点,两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
(2)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤.
第一步:列表.
ωx+φ 0 π 2π
x - - - - -
f(x) 0 A 0 -A 0
第二步:在同一平面直角坐标系中描出各点.
第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图象.
(3)在画指定区间上的函数图象时,先由x的第一个取值确定ωx+φ整体取的第一个值,然后再确定ωx+φ整体后面的取值.
[变式训练] 已知函数f(x)=8sin(-).
(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期内的图象;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再将得到的图象上各点的横、纵坐标均变为原来的,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的解析式.
【解】 (1)列表如下:
- 0 π 2π
x
f(x) 0 8 0 -8 0
描点连线,画图如下.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到y=8sin[(x-)-]=8sin(x-)的图象,
再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的,得到函数y=8sin(x-)的图象,
再将得到的图象上各点的纵坐标变为原来的,得到函数g(x)=4sin(x-)的图象.第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
学习目标 1.会通过函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式.2.结合三角恒等变换中的有关公式,研究三角函数y=Asin(ωx+φ)的综合性问题.3.会求解简单的匀速圆周运动的数学模型y=Asin(ωx+φ)+B.
题型一 已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
[例1] 如图所示是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象的一部分,求此函数的解析式.
给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,确定A,ω,φ的方法
(1)逐一定参法:如果从图象中可直接确定A和ω,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”),或选取最大值点时代入公式ωx+φ=+2kπ,k∈Z,选取最小值点时代入公式ωx+φ=+2kπ,k∈Z,求得φ.
(2)待定系数法:将若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,ω,φ.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入式子.
(3)图象变换法:运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式y=Asin ωx,再根据图象
平移、伸缩规律确定相关的参数.
[变式训练] 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则函数f(x)的最小正周期T= ,函数f(x)的解析式为 .
题型二 函数y=Asin(ωx+φ)的有关性质
[例2] 已知函数f(x)=sin(2ωx-)-4sin2ωx+2(ω>0),其图象与x轴相邻的两个交点的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到的函数g(x)的图象恰好经过点(-,0),求当m取得最小值时,函数g(x)在[-,]上的单调区间.
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)
定义域 R
值域 [-A,A]
周期性 T=
对称性 对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ,k∈Z求得,即(,0)(k∈Z)
对称轴由ωx+φ=+kπ,k∈Z求得,即x=+(k∈Z)
奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时是奇函数;当φ=kπ+(k∈Z)时是偶函数;其它情况为非奇非偶函数
单调性 通过整体代换可求出其单调区间
[变式训练] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0,|φ|<),其图象经过M(0,),且函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求f(x)的解析式.
(2)是否存在正实数m,使f(x)图象向左平移m个单位长度后所得图象对应的函数是偶函数 若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.
题型三 匀速圆周运动的数学模型
[例3] 如图,一个水轮的半径为4 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟逆时针转动1圈,当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.
(1)将点P距离水面的距离z(单位:m,在水面以下,z为负数)表示为时间t(单位:s)的函数;
(2)在水轮转动1圈内,有多长时间点P位于水面上方
匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式.此类问题的切入点是初始位置及其半径、周期的值,半径决定A,周期能确定ω,初始位置的不同对φ有影响,还要注意最大值、最小值与函数中参数的关系.
[变式训练] 如图所示,某风车的半径为2 m,每12 s 旋转一周,它的最低点O距离地面
0.5 m.风车圆周上一点A从最低点O开始,运动t(单位:s)后与地面的距离为h(单位:m),则h与t满足的函数关系为( )
[A]h=sin(+)+2.5
[B]h=2sin(-)+1.5
[C]h=-2cos +2.5
[D]h=2cos +2.5第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
学习目标 1.会通过函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式.2.结合三角恒等变换中的有关公式,研究三角函数y=Asin(ωx+φ)的综合性问题.3.会求解简单的匀速圆周运动的数学模型y=Asin(ωx+φ)+B.
题型一 已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
[例1] 如图所示是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象的一部分,求此函数的解析式.
【解】 法一(逐一定参法) 由题图知A=3,T=-(-)=π,所以ω==2,所以y=3sin(2x+φ).
因为点(-,0)在函数图象上,所以-×2+φ=2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,
所以y=3sin(2x+).
法二(待定系数法) 由题图知A=3.因为图象过点(,0)和(,0),所以
解得所以y=3sin(2x+).
法三(图象变换法) 由A=3,T=π,点(-,0)在图象上,可知函数图象由y=3sin 2x 的图象向左平移个单位长度而得,所以y=3sin 2(x+),即y=3sin(2x+).
给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,确定A,ω,φ的方法
(1)逐一定参法:如果从图象中可直接确定A和ω,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”),或选取最大值点时代入公式ωx+φ=+2kπ,k∈Z,选取最小值点时代入公式ωx+φ=+2kπ,k∈Z,求得φ.
(2)待定系数法:将若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,ω,φ.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入式子.
(3)图象变换法:运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式y=Asin ωx,再根据图象
平移、伸缩规律确定相关的参数.
[变式训练] 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则函数f(x)的最小正周期T= ,函数f(x)的解析式为 .
【答案】 π f(x)=2sin(2x-)
【解析】 由题图可知函数图象过点(-,-2)和(,2),并且分别是图象上的最低点和最高点,所以可判断出A=2,T=-(-)=,所以T=π=,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),将点(,2)代入f(x)=2sin(2x+φ),可得2sin(2×+φ)=2,解得φ=-+2kπ,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=-,
所以f(x)=2sin(2x-).
题型二 函数y=Asin(ωx+φ)的有关性质
[例2] 已知函数f(x)=sin(2ωx-)-4sin2ωx+2(ω>0),其图象与x轴相邻的两个交点的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到的函数g(x)的图象恰好经过点(-,0),求当m取得最小值时,函数g(x)在[-,]上的单调区间.
【解】 (1)f(x)=sin(2ωx-)-4sin2ωx+2=sin 2ωx-cos 2ωx-4×+2=sin 2ωx+
cos 2ωx=sin(2ωx+),由已知函数f(x)的周期T=π,可得=π,ω=1,所以f(x)=sin(2x+).
(2)将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象,
所以g(x)=sin(2x+2m+),因为函数g(x)的图象经过点(-,0),所以sin[2×(-)+2m+]=0,即sin(2m-)=0,所以2m-=kπ,k∈Z,所以m=+,k∈Z,因为m>0,所以当k=0时,m取最小值,此时g(x)=sin(2x+).因为-≤x≤,所以≤2x+≤,当≤2x+≤或≤2x+≤,即-≤x≤-或≤x≤时,函数g(x)单调递增,当≤2x+≤,即-≤x≤时,函数g(x)单调
递减.
所以函数g(x)在[-,]上的单调增区间为[-,-],[,];单调减区间为[-,].
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)
定义域 R
值域 [-A,A]
周期性 T=
对称性 对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ,k∈Z求得,即(,0)(k∈Z)
对称轴由ωx+φ=+kπ,k∈Z求得,即x=+(k∈Z)
奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时是奇函数;当φ=kπ+(k∈Z)时是偶函数;其它情况为非奇非偶函数
单调性 通过整体代换可求出其单调区间
[变式训练] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0,|φ|<),其图象经过M(0,),且函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求f(x)的解析式.
(2)是否存在正实数m,使f(x)图象向左平移m个单位长度后所得图象对应的函数是偶函数 若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.
【解】 (1)因为图象经过M(0,),所以=sin φ,因为|φ|<,所以φ=,
因为函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,所以=,所以ω=4,则f(x)=sin(4x+).
(2)设g(x)=sin[4(x+m)+]=sin(4x+4m+),因为g(x)是偶函数,所以4m+=+kπ(k∈Z),
所以m=+(k∈Z),因为m为正实数,所以mmin=.
题型三 匀速圆周运动的数学模型
[例3] 如图,一个水轮的半径为4 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟逆时针转动1圈,当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.
(1)将点P距离水面的距离z(单位:m,在水面以下,z为负数)表示为时间t(单位:s)的函数;
(2)在水轮转动1圈内,有多长时间点P位于水面上方
【解】 (1)由题意可知P0(2,-2),则tan φ=-,所以取φ=-,因为水轮每分钟逆时针转动
1圈,所以t s可转动的角度为=,此时OP对应的角为-+,
所以点P的坐标为(4cos(-),4sin(-)),且点P的纵坐标加上2即为点P到水面的距离,
所以z=4sin(-)+2(t≥0).
(2)因为t∈[0,60],(-)∈[-,],令4sin(-)+2>0,所以sin(-)>-,
所以-<-<,所以0匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式.此类问题的切入点是初始位置及其半径、周期的值,半径决定A,周期能确定ω,初始位置的不同对φ有影响,还要注意最大值、最小值与函数中参数的关系.
[变式训练] 如图所示,某风车的半径为2 m,每12 s 旋转一周,它的最低点O距离地面
0.5 m.风车圆周上一点A从最低点O开始,运动t(单位:s)后与地面的距离为h(单位:m),则h与t满足的函数关系为( )
[A]h=sin(+)+2.5
[B]h=2sin(-)+1.5
[C]h=-2cos +2.5
[D]h=2cos +2.5
【答案】 C
【解析】 设h与t满足的函数关系为h=Asin(ωt+φ)+b(ω>0),最大值M=4.5 m,最小值m=
0.5 m,所以A==2,b==2.5,由题意知,风车每12 s旋转一周,所以T=12,所以ω==,又风车从最低点开始运动,所以函数过点(0,),则×0+φ=+2kπ(k∈Z),不妨设φ=,所以h与t满足的函数关系为h=2sin(+)+2.5=-2cos +2.5.故选C.
