5.7 三角函数的应用
学习目标 1.通过构建三角函数模型,尝试解决物理中的简单问题.2.通过构建三角函数模型解决生活中一些简单的问题.
知识归纳
知识点 函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中参数的物理意义
在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0.
其中A就是这个简谐运动的 ,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;
这个简谐运动的周期是T=,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;
这个简谐运动的频率由公式f==给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;
ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为 .
如果A<0或ω<0,应先利用诱导公式把函数进行标准化,把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相.比如y=-sin(2x-),应先变成y=sin[π+(2x-)]=sin(2x+).
基础自测
1.若某振动物体的函数解析式是y=3sin(x-),则该振动物体的初相是( )
[A]x- [B]
[C] [D]-
2.已知电流I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系是I=2sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的频率是( )
[A] Hz [B]100 Hz
[C] Hz [D]50 Hz
3.(人教A版必修第一册P248练习T1改编)下图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,由乙点开始经过周期后,与图中哪个点相同( )
[A]甲 [B]戊 [C]丙 [D]丁
4.若某路口每分钟的车流量满足函数F(t)=10sin(t-)+20,t∈[0,+∞),则车流量最大时,每分钟经过该路口的车辆数为 .
题型一 三角函数在物理中的应用
[例1] 如图,一台发电机产生的电流是正弦式电流,即电压U(单位:V)和时间t(单位:s)满足U=311sin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<).在一个周期内,电压的绝对值超过的时间为 s.
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
[变式训练] 如图,一根长l(单位:cm)的线,一端固定,另一端悬挂一个小钢球,当小钢球做单摆运动时,离开平衡位置的位移S(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系可近似的表示为S=3cos(t+),t∈[0,+∞),其中g≈1 000 cm/s2,π≈3.14.
(1)当t=0时,小钢球离开平衡位置的位移S是多少厘米
(2)要使小钢球摆动的周期是1 s,则线的长度l应该为多少厘米 (精确到0.1 cm)
题型二 三角函数在生活中的应用
[例2] 某地区的一种特产水果最早一批在每年十一月份上市,上市初期产量较低,因此价格居高且逐渐上涨,中期产量增大时价格逐渐下跌,后期又由于供应量不足价格上涨,其销售价格f(x)(单位:元/kg)随着月份x的变化满足函数f(x)=Asin(x-)+B(x∈[1,10],x∈N*,其中1表示十一月份,2表示十二月份,…),经调查统计,一月份该水果的平均销售价格为
10元/kg,五月份该水果的平均销售价格为6元/kg.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若该水果价格小于7元/kg时,果农就会联合批发商积极拓宽外销渠道,则每年哪几个月份需要采取外销策略
解三角函数应用问题的基本步骤
[变式训练] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:时)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-2sin(t+),t∈[0,24].
(1)求实验室这一天的最大温差;
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温
题型三 三角函数“拟合”模型的应用
[例3] 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(单位:m)随着时间t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表:
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0
(1)从y=at+b,y=Asin(ωt+φ)+b,y=cos(ωt+φ)中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的解析式;
(2)如果确定在一天内的7时至19时之间,当浪高不低于0.8 m时才进行训练,试安排恰当的训练时间.
当处理曲线拟合与预测问题时,通常需要以下几个步骤:
(1)根据原始数据绘出散点图.
(2)通过观察散点图,画出与其“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.
(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.
(4)利用函数解析式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.
[变式训练] 下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时):
时间/时 0 2 4 6 8 10 12
温度/℃ 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2
时间/时 14 16 18 20 22 24 —
温度/℃ 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8 —
(1)作出这些数据的散点图;
(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据.5.7 三角函数的应用
学习目标 1.通过构建三角函数模型,尝试解决物理中的简单问题.2.通过构建三角函数模型解决生活中一些简单的问题.
知识归纳
知识点 函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中参数的物理意义
在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0.
其中A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;
这个简谐运动的周期是T=,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;
这个简谐运动的频率由公式f==给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;
ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相.
如果A<0或ω<0,应先利用诱导公式把函数进行标准化,把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相.比如y=-sin(2x-),应先变成y=sin[π+(2x-)]=sin(2x+).
基础自测
1.若某振动物体的函数解析式是y=3sin(x-),则该振动物体的初相是( )
[A]x- [B]
[C] [D]-
【答案】 D
【解析】 运动物体的相位是x-,初相是-.故选D.
2.已知电流I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系是I=2sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的频率是( )
[A] Hz [B]100 Hz
[C] Hz [D]50 Hz
【答案】 D
【解析】 因为T==,所以f==50(Hz).故选D.
3.(人教A版必修第一册P248练习T1改编)下图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,由乙点开始经过周期后,与图中哪个点相同( )
[A]甲 [B]戊 [C]丙 [D]丁
【答案】 D
【解析】 因为最小值和最大值之间的横坐标相差周期,而乙在最低点,所以经过周期后,乙点与丁点相同.故选D.
4.若某路口每分钟的车流量满足函数F(t)=10sin(t-)+20,t∈[0,+∞),则车流量最大时,每分钟经过该路口的车辆数为 .
【答案】 30
【解析】 因为F(t)=10sin(t-)+20,所以F(t)max=10+20=30.
题型一 三角函数在物理中的应用
[例1] 如图,一台发电机产生的电流是正弦式电流,即电压U(单位:V)和时间t(单位:s)满足U=311sin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<).在一个周期内,电压的绝对值超过的时间为 s.
【答案】
【解析】 由已知得T=0.02,所以ω==100π,φ=0,所以U=311sin 100πt.在区间[0,0.02]内,令311sin 100πt=,得100πt=或100πt=,可得t1=,t2==;同理令311sin 100πt=-,可得t3=,t4=.
综上,电压的绝对值超过的时间为2×(-)=(s).
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
[变式训练] 如图,一根长l(单位:cm)的线,一端固定,另一端悬挂一个小钢球,当小钢球做单摆运动时,离开平衡位置的位移S(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系可近似的表示为S=3cos(t+),t∈[0,+∞),其中g≈1 000 cm/s2,π≈3.14.
(1)当t=0时,小钢球离开平衡位置的位移S是多少厘米
(2)要使小钢球摆动的周期是1 s,则线的长度l应该为多少厘米 (精确到0.1 cm)
【解】 (1)在函数S=3cos(t+),t∈[0,+∞)中,当t=0时,S=3cos =1.5,所以当t=0时,小钢球离开平衡位置的位移S=1.5 cm.
(2)依题意,ω=,而周期T=,又T=1,则ω=2π,即=2π,解得l=≈≈25.4(cm),所以线的长度l应该为 25.4 cm.
题型二 三角函数在生活中的应用
[例2] 某地区的一种特产水果最早一批在每年十一月份上市,上市初期产量较低,因此价格居高且逐渐上涨,中期产量增大时价格逐渐下跌,后期又由于供应量不足价格上涨,其销售价格f(x)(单位:元/kg)随着月份x的变化满足函数f(x)=Asin(x-)+B(x∈[1,10],x∈N*,其中1表示十一月份,2表示十二月份,…),经调查统计,一月份该水果的平均销售价格为
10元/kg,五月份该水果的平均销售价格为6元/kg.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若该水果价格小于7元/kg时,果农就会联合批发商积极拓宽外销渠道,则每年哪几个月份需要采取外销策略
【解】 (1)由题意可得,
解得所以f(x)=2sin(x-)+8.
(2)令f(x)=2sin(x-)+8<7,即sin(x-)<-,则2kπ+解得8k+因此每年四月份、五月份、六月份这三个月份需要采取外销策略.
解三角函数应用问题的基本步骤
[变式训练] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:时)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-2sin(t+),t∈[0,24].
(1)求实验室这一天的最大温差;
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温
【解】 (1)因为f(t)=10-2sin(t+),t∈[0,24],所以≤t+≤,即-1≤sin(t+)≤1,
当t=2时,sin(t+)=1;当t=14时,sin(t+)=-1,所以f(t)在[0,24]上的最大值为12,最小值
为8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.
(2)依题意得,当f(t)>11时实验室需要降温,故有10-2sin(t+)>11,即sin(t+)<-.
又0≤t≤24,所以题型三 三角函数“拟合”模型的应用
[例3] 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(单位:m)随着时间t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表:
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0
(1)从y=at+b,y=Asin(ωt+φ)+b,y=cos(ωt+φ)中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的解析式;
(2)如果确定在一天内的7时至19时之间,当浪高不低于0.8 m时才进行训练,试安排恰当的训练时间.
【解】 (1)把题表中的数据在坐标系内描出,如图所示,由所描点知,应选择模型y=Asin(ωt+φ)+b,
令A>0,ω>0,|φ|<π,依题意,函数的最大值为1.4,最小值为0.6,周期为T=12,
则A==,b==1,ω==,于是y=sin(t+φ)+1,代入点(3,1.4),
得sin(+φ)+1=0.4cos φ+1=1.4,即cos φ=1,则φ=2kπ,k∈Z,又|φ|<π,因此φ=0,
所以该模型的解析式为y=sint+1(0≤t≤24).
(2)令y=sin t+1≥0.8,得sin t≥-,则-+2kπ≤t≤+2kπ,k∈Z,解得-1+12k≤t≤7+12k,k∈Z,而0≤t≤24,当k=0时,-1≤t≤7,则0≤t≤7;当k=1时,11≤t≤19,则11≤t≤19;当k=2时,23≤t≤31,
则23≤t≤24,因此0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24,
依题意,应在白天11时到19时之间训练较恰当.
当处理曲线拟合与预测问题时,通常需要以下几个步骤:
(1)根据原始数据绘出散点图.
(2)通过观察散点图,画出与其“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.
(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.
(4)利用函数解析式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.
[变式训练] 下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时):
时间/时 0 2 4 6 8 10 12
温度/℃ 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2
时间/时 14 16 18 20 22 24 —
温度/℃ 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8 —
(1)作出这些数据的散点图;
(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据.
【解】 (1)散点图如图所示.
(2)设t时的体温y=Asin(ωt+φ)+c,由表知ymax=37.4,ymin=36.6,
则c==37,A==0.4,ω===.
由0.4sin(×16+φ)+37=37.4,得sin(+φ)=1,即+φ=2kπ+,k∈Z,则φ=2kπ-,k∈Z,
取φ=-,
故可用三角函数y=0.4sin(t-)+37来近似描述这些数据.
