第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习提升
题型一 不等式及其性质
1.不等式及其性质贯穿整个高中数学,只要是涉及范围的问题,几乎都和不等式有关,在高中数学中有着很高的地位.
2.掌握不等式的运算性质,重点提升数学抽象和逻辑推理素养.
3.此类题目多为判断不等式能否成立,优先考虑特殊值法和直接使用性质,在这两种方法都不能解答问题的情况下,考虑使用作差法.
4.在利用不等式性质求最值问题时,多次使用不等式要注意等号是否同时成立.
[典例1] (多选)若x<-y
[A]xy<0 [B]xz<0
[C]-2<<- [D]yz>0
[跟踪训练] 已知(a+1)2≥(a+1)3,且0[A]a-b>0 [B]a+b<0
[C]> [D] a2题型二 利用基本不等式求最值
1.基本不等式:≤(a>0,b>0)是每年高考的热点,主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题,同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查恒等变形的技巧,因此基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.
2.利用基本不等式求最值,要遵循“一正、二定、三相等”的原则,其关键是凑定值,凑定值时要利用已知条件或隐含条件对代数式进行变形和化简,多次或连续使用基本不等式时,要保证等号同时成立,不能使用基本不等式求最值时,可利用函数等求最值.
[典例2] (多选)下列命题正确的是( )
[A]若a,b∈R,且ab>0,a+b≥2
[B]已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值为
[C]函数y=的最小值为2
[D]若x=(x-2)y,x>0,y>0,则x+2y的最小值是8
[跟踪训练] 已知a,b满足a2+ab-2b2=1,则3a2-2ab的最小值为 .
题型三 一元二次不等式的解法及其应用
1.一元二次不等式常与集合、逻辑用语结合.
2.三个二次之间的关系是解决一元二次不等式的关键,注意数形结合思想方法的应用.
3.解含参数的一元二次不等式问题要注意分类讨论.
[典例3] 已知函数y=(m+1)x2-(m-1)x+m-1.
(1)当m=0,y<0时,求x的取值范围;
(2)若不等式y<0的解集为R,求实数m的取值范围;
(3)当m<0时,解关于x的不等式y≥3x+m-2.
[跟踪训练] 已知全集U=R,不等式ax2+bx+c<0的解集是A={x},B={x},C={x|(x-2m)(x-m2-1)<0,m≠1}.
(1)计算( UA)∩B;
(2)若不等式cx2-bx+a<0的解集为D,且“x∈D”是“x∈C”的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
题型四 一元二次不等式与基本不等式的实际应用
1.不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,根据题设条件构建数学模型是解题关键.
2.利用不等式解决实际应用问题,重点提升数学建模和数学运算的核心素养.
[典例4] 如图是一张矩形的宣传单,其排版面积(矩形ABCD)为P,左右两边都留有宽为
a cm 的空白,顶部和底部都留有宽为2a cm 的空白.
(1)若AB=20 cm,BC=30 cm,且该宣传单的面积不超过1 000 cm2,则a的最大值是多少
(2)若a=2,P=800 cm2,则当AB长多少时,宣传单的面积最小 最小面积是多少
[跟踪训练] 某公司决定对旗下的某商品进行一次评估,该商品原来每件售价为40元,年销售6万件.
(1)据市场调查,价格每提高1元,销售量将相应减少1 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元
(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定对该商品进行全面技术革新和销售策略调整,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-100)万元作为技改费用,投入160万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时每件商品的定价.第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习提升
题型一 不等式及其性质
1.不等式及其性质贯穿整个高中数学,只要是涉及范围的问题,几乎都和不等式有关,在高中数学中有着很高的地位.
2.掌握不等式的运算性质,重点提升数学抽象和逻辑推理素养.
3.此类题目多为判断不等式能否成立,优先考虑特殊值法和直接使用性质,在这两种方法都不能解答问题的情况下,考虑使用作差法.
4.在利用不等式性质求最值问题时,多次使用不等式要注意等号是否同时成立.
[典例1] (多选)若x<-y[A]xy<0 [B]xz<0
[C]-2<<- [D]yz>0
【答案】 BC
【解析】 x+z=y x=y-z,因为x<-y-z,所以-z0,由y<可得x=y-z<-z=-<0,即x<0,所以xz<0,B正确;不妨设x=-3,y=-1,z=2,满足x<-y0,yz<0,A,D错误;x<-两边同除以-x 得-2<,又-y故选BC.
[跟踪训练] 已知(a+1)2≥(a+1)3,且0[A]a-b>0 [B]a+b<0
[C]> [D] a2【答案】 B
【解析】 因为(a+1)2≥(a+1)3,所以(a+1)2-(a+1)3=(a+1)2(1-a-1)=-a(a+1)2≥0,所以a≤0,
又0b2,B正确,A,C,D错误.故选B.
题型二 利用基本不等式求最值
1.基本不等式:≤(a>0,b>0)是每年高考的热点,主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题,同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查恒等变形的技巧,因此基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.
2.利用基本不等式求最值,要遵循“一正、二定、三相等”的原则,其关键是凑定值,凑定值时要利用已知条件或隐含条件对代数式进行变形和化简,多次或连续使用基本不等式时,要保证等号同时成立,不能使用基本不等式求最值时,可利用函数等求最值.
[典例2] (多选)下列命题正确的是( )
[A]若a,b∈R,且ab>0,a+b≥2
[B]已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值为
[C]函数y=的最小值为2
[D]若x=(x-2)y,x>0,y>0,则x+2y的最小值是8
【答案】 BD
【解析】 对于A,当a<0,b<0时,ab>0,而a+b<0<2,A错误;对于B,正数x,y满足x+y=1,则x+(1+y)=2,+=[x+(1+y)](+)=(5++)≥(5+2)=,当且仅当1+y=2x=时,等号成立,B正确;对于C,函数 y==+≥2=2,当且仅当=,即=1时,等号成立,而≥2,因此等号不成立,C错误;对于D,x>0,y>0,由x=(x-2)y,得x+2y=xy=·x·2y≤()2,解得x+2y≥8,当且仅当x=2y=4时,等号成立,D正确.故选BD.
[跟踪训练] 已知a,b满足a2+ab-2b2=1,则3a2-2ab的最小值为 .
【答案】 2
【解析】 由a2+ab-2b2=1,得(a+2b)(a-b)=1,令a+2b=m,则a-b=,
解得a=+,3a-2b=a+2(a-b)=+,因此3a2-2ab=a(3a-2b)=(+)(+)=(10+m2+)≥(10+2)=2,
当且仅当m2=,即m2=4时,等号成立,所以3a2-2ab的最小值为2.
题型三 一元二次不等式的解法及其应用
1.一元二次不等式常与集合、逻辑用语结合.
2.三个二次之间的关系是解决一元二次不等式的关键,注意数形结合思想方法的应用.
3.解含参数的一元二次不等式问题要注意分类讨论.
[典例3] 已知函数y=(m+1)x2-(m-1)x+m-1.
(1)当m=0,y<0时,求x的取值范围;
(2)若不等式y<0的解集为R,求实数m的取值范围;
(3)当m<0时,解关于x的不等式y≥3x+m-2.
【解】 (1)当m=0,y<0时,x2+x-1<0,解得所以x的取值范围是{x}.
(2)①当m+1=0,即m=-1时,原不等式化为y=2x-2<0,解集为{x|x<1},不符合题意;
②当m+1≠0,即m≠-1时,y<0的解集为R,即(m+1)x2-(m-1)x+m-1<0的解集为R,
则有
即解得m<-.
所以实数m的取值范围是{m}.
(3)不等式y≥3x+m-2 (m+1)x2-(m-1)x+m-1≥3x+m-2,
即(m+1)x2-(m+2)x+1≥0,
即[(m+1)x-1](x-1)≥0.
当m+1=0,即m=-1时,不等式化为-x+1≥0,解得x≤1.
当m+1≠0,即m≠-1时,解方程[(m+1)x-1]·(x-1)=0,得x=或x=1.
①当m+1>0时,又m<0,得-1即01,
则解不等式[(m+1)x-1](x-1)≥0,
得x≤1或x≥;
②当m+1<0,即m<-1时,有<0<1,解不等式[(m+1)x-1](x-1)≥0,得≤x≤1.
综上,当-1当m=-1时,不等式的解集为{x|x≤1};
当m<-1时,不等式的解集为{x}.
[跟踪训练] 已知全集U=R,不等式ax2+bx+c<0的解集是A={x},B={x},C={x|(x-2m)(x-m2-1)<0,m≠1}.
(1)计算( UA)∩B;
(2)若不等式cx2-bx+a<0的解集为D,且“x∈D”是“x∈C”的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
【解】 (1)由A={x},得 UA={x},
而B={x},
所以( UA)∩B={x}.
(2)由不等式ax2+bx+c<0的解集是A={x},得-,
1是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,
则解得
所以不等式cx2-bx+a<0化为-ax2+ax+a<0,
即x2-2x-3<0,解得-1即D={x|-1由m≠1,得m2+1>2m,所以C={x|2m由“x∈D”是“x∈C”的充分不必要条件,得D C,则或解得m≤-,所以实数m的取值范围是{m|m≤-}.
题型四 一元二次不等式与基本不等式的实际应用
1.不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,根据题设条件构建数学模型是解题关键.
2.利用不等式解决实际应用问题,重点提升数学建模和数学运算的核心素养.
[典例4] 如图是一张矩形的宣传单,其排版面积(矩形ABCD)为P,左右两边都留有宽为
a cm 的空白,顶部和底部都留有宽为2a cm 的空白.
(1)若AB=20 cm,BC=30 cm,且该宣传单的面积不超过1 000 cm2,则a的最大值是多少
(2)若a=2,P=800 cm2,则当AB长多少时,宣传单的面积最小 最小面积是多少
【解】 (1)由宣传单的面积不超过1 000 cm2可得,(20+2a)(30+4a)≤1 000,化简得2a2+35a-100≤0,即(2a-5)(a+20)≤0,解得-20≤a≤,又a>0,所以0(2)设AB=x cm,则BC= cm,设宣传单的面积为S,
则S=(x+4)(+8)=8x++832≥832+2=1 152,
当且仅当8x=,即x=20时,等号成立.
所以当AB长20 cm时,宣传单的面积最小,且最小面积是 1 152 cm2.
[跟踪训练] 某公司决定对旗下的某商品进行一次评估,该商品原来每件售价为40元,年销售6万件.
(1)据市场调查,价格每提高1元,销售量将相应减少1 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元
(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定对该商品进行全面技术革新和销售策略调整,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-100)万元作为技改费用,投入160万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时每件商品的定价.
【解】 (1)设每件定价为t元,
依题意得(6-×0.1)t≥40×6,
整理得t2-100t+2 400≤0,解得40≤t≤60.
所以要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为60元.
(2)依题意知,当x>40时,ax≥40×6+160+x2-100+x,
等价于当x>40时,a≥+x+,
由于+x≥2=10,当且仅当=x,即x=60时,等号成立,所以a≥10.5,
所以当该商品改革后销售量a至少达到10.5万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时每件商品的定价为60元.
第二章 章末检测卷
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.不等式(2-x)(3-x)>0的解集是( )
[A]{x|23}
[C]{x|x<2} [D]{x|x<2或x>3}
【答案】 D
【解析】 不等式(2-x)(3-x)>0,解得x<2或 x>3,所以不等式的解集为{x|x<2或x>3}.
故选D.
2.如果b>0>a,那么下列不等式中正确的是( )
[A]-ab[C]a2【答案】 D
【解析】 当b=1,a=-2时,-ab>b2,>,a2>b2,即A,B,C错误;由b>0>a,得<恒成立,即D正确.故选D.
3.下列不等式中,正确的是( )
[A]a+≥4 [B]a2+b2≥4ab
[C]≥ [D]x2+≥2
【答案】 D
【解析】 当a<0时,a+≤-4,故A错误;取a=b=1,a2+b2<4ab,故B错误;当a>0,b<0时,无意义,故C错误;+x2≥2,当且仅当=x2,即x=±时,等号成立,故D正确.故选D.
4.某物流公司为了提高运输效率,计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用C(单位:万元)与仓储中心到机场的距离s(单位:km)之间满足的关系为C=+2s+
2 000,则当C最小时,s的值为( )
[A]2 080 [B]20 [C]20 [D]400
【答案】 B
【解析】 依题意,s>0,则C=+2s+2 000≥2+2 000=2 080,当且仅当=2s,即s=20时,等号成立,所以当C最小时,s的值为20.故选B.
5.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0,甲写错了常数b,得到的解集为{x|1[A]{x|-1[C]{x|-3【答案】 D
【解析】 由题意知,甲的常数c正确,由根与系数的关系可知1×6=c,故c=6;乙的常数b正确,故1+4=-b,故b=-5,所以原不等式为x2-5x+6<0,即(x-2)(x-3)<0,解得26.已知a=-x2-2x,b=-2x2-2,c=-1,则( )
[A]b[C]b【答案】 A
【解析】 a-b=-x2-2x-(-2x2-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,故a>b;
c-a=-1-(-x2-2x)=x2+2x+-1=(x+1)2+-2>0,故c>a.
综上,b7.已知正实数m,n满足m(n-1)=4n,则m+4n的最小值是( )
[A]25 [B]16 [C]18 [D]8
【答案】 B
【解析】 由m(n-1)=4n展开变形得+=1,则m+4n=(m+4n)(+)=8++,因为m>0,n>0,所以原式8++≥8+2=16,当且仅当=,即m=8,n=2时,等号成立.故选B.
8.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数公理或定理都能够通过图形证明,也称之为无字证明.现有图形如图所示,C为线段AB上的点,且AC=a,BC=b,O为AB的中点,以AB为直径作半圆,过点O作AB的垂线交半圆于点D,连接CD,则该图形可以完成的无字证明为( )
[A]≥(a>0,b>0)
[B]a2+b2≥2ab(a>0,b>0)
[C]≥(a>0,b>0)
[D]≥(a>0,b>0)
【答案】 D
【解析】 OD=,OC=,CD==,而CD≥OD(C,O重合时取等号),因此有≥.故选D.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知1≤x≤2,3≤y≤4,则( )
[A]2x+y的最小值是4
[B]y-x的最小值是1
[C]xy的最大值是8
[D]的最大值是
【答案】 BCD
【解析】 若1≤x≤2,则2≤2x≤4,又3≤y≤4,所以5≤2x+y≤8,所以2x+y的最小值是5,A错误;若1≤x≤2,则-2≤-x≤-1,又3≤y≤4,所以1≤y-x≤3,所以y-x的最小值是1,B正确;因为1≤x≤2,
3≤y≤4,所以1×3≤xy≤2×4,即3≤xy≤8,所以xy的最大值是8,C正确;若3≤y≤4,则≤≤,又1≤x≤2,所以×1≤≤×2,所以≤≤,所以的最大值是,D正确.故选BCD.
10.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为直线x=1,点B的坐标为(-1,0),则下列结论不正确的是( )
[A]2a+b=0
[B]b2-4ac<0
[C]cx2+bx+a≤0的解集为{x}
[D]方程ax2+bx+c=4(a≠0)有且仅有一个实数解
【答案】 BCD
【解析】 因为函数图象的对称轴为直线x=1,所以-=1,整理得2a+b=0,故A正确;因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,所以b2-4ac>0,故B不正确;因为二次函数图象的对称轴为直线x=1,点B的坐标为(-1,0),所以点A的坐标为(3,0),所以-1和3是方程ax2+bx+c=0(a<0)的两根,所以-=2,=-3,所以b=-2a,c=-3a,所以cx2+bx+a≤0可化为-3ax2-2ax+a≤0,由于a<0,所以3x2+2x-1≤0,解得-1≤x≤,故C不正确;由C的分析可设y=ax2+bx+c=-k(x+1)(x-3)=-k(x2-2x-3)(k>0),当k=4时,方程ax2+bx+c=4即为-k(x2-2x-3)=k,所以x2-2x-2=0,由于Δ=4-4×(-2)>0,此时方程有两个不等实数根,故D不正确.故选BCD.
11.已知a,b为正实数,且ab+a+b=8,则下列说法正确的是( )
[A]a+b的最小值为4
[B]ab的最大值为2
[C]2a+b的最小值为6-3
[D]+的最小值为
【答案】 ACD
【解析】 正实数a,b满足ab+a+b=8,则(a+1)(b+1)=9.对于A,由9=(a+1)(b+1)≤,当且仅当a=b=2时,等号成立,于是()2≥9,则a+b≥4,即a+b的最小值为4,故A正确;对于B,由8=ab+a+b≥ab+2,当且仅当a=b=2时,等号成立,于是ab+2-8≤0,解得ab≤4,因此ab的最大值为4,故B错误;对于C,a=-1,则2a+b=-2+b=+(b+1)-3≥
2-3=6-3,当且仅当=b+1,即b=3-1时,等号成立,所以2a+b的最小值为6-3,故C正确;对于D,+==,由A知,a+b≥4,则+=≥
=,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以+的最小值为,故D正确.故选ACD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知实数x,y,z满足(x+y)z=2,则xyz2的最大值为 .
【答案】 1
【解析】 由(x+y)z=2,得xz+yz=2,所以xyz2=xz·yz≤=1,当且仅当xz=yz=1时,等号成立,故xyz2的最大值为1.
13.如图,某居民小区要建一座八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个周长均为28 m的相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为2 000元/m2;在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺鹅卵石,造价75元/m2;再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,造价为200元/m2.若要使总造价不高于28 000元,则正方形MNPQ的周长的最大值为 m.
【答案】 12
【解析】 设正方形MNPQ的边长为x m,x>0,则正方形MNPQ的面积为x2 m2,
四个相同的矩形即阴影部分的面积为2(14-x)x-2x2=28x-4x2(m2),
四个空角的面积为4××=98-28x+2x2(m2),设总造价为W元,
则W=2 000x2+75(28x-4x2)+200(98-28x+2x2)=2 100x2-3 500x+19 600≤28 000,
即3x2-5x-12≤0,即(x-3)(3x+4)≤0,解得0故正方形MNPQ周长的最大值为3×4=12(m).
14.若对 x∈R, a>0,使得x2+ax-a2≥x-am+1成立,则实数m的取值范围为 .
【答案】 {m|m≥2}
【解析】 由x2+ax-a2≥x-am+1,得x2+(a-1)x-a2+am-1≥0.由题意可得 a>0,
使得(a-1)2+4(a2-am+1)≤0成立,即 a>0,使得m≥+-成立.
又+-≥2-=2,当且仅当a=1时,等号成立,
故m≥2.故实数m的取值范围为{m|m≥2}.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知集合A={x|x2+2x-3≤0},集合B={x|-1(1)分别求A∩B,A∪( RB);
(2)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为B,且a∈{-1,0,1},求b,c的值.
【解】 (1)由已知得A={x|-3≤x≤1}, RB={x|x≤-1或x≥3},
所以A∩B={x|-1(2)由题意知a<0,且-1和3是方程ax2+bx+c=0的两个根,所以
即b=-2a,c=-3a(a<0),因为a∈{-1,0,1},所以a=-1,所以b=2,c=3.
16.(15分)已知正实数x,y满足x+3y=1.
(1)求xy的最大值;
(2)若不等式+≤有解,求实数m的取值范围.
【解】 (1)因为x>0,y>0,所以1=x+3y≥2,所以1≥12xy,得xy≤,
当且仅当x=3y=,即x=,y=时,等号成立,所以xy的最大值为.
(2)因为+=+=++1≥2+1=3,当且仅当=,即x=,y=时,等号成立,
所以+的最小值为3.所以由题意得≥3,所以≥0,即
解得-4≤m<-2,所以实数m的取值范围是{m|-4≤m<-2}.
17.(15分)已知关于x的不等式ax2-x+1-a≤0.
(1)当3≤x≤4时,不等式ax2-x+1-a≤0恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当a>0时,解关于x的不等式.
【解】 (1)不等式ax2-x+1-a≤0可化为a(x2-1)≤x-1,当3≤x≤4时,8≤x2-1≤15,2≤x-1≤3,
所以不等式化为a≤,又4≤x+1≤5,所以≥,所以实数a的取值范围是{a}.
(2)不等式ax2-x+1-a≤0可化为(x-1)(ax-1+a)≤0,因为a>0,所以不等式对应方程的根为1和-1.当-1=1时,a=,所以a=时,不等式为(x-1)2≤0,解得x=1;当01,解不等式得1时,-1<1,解不等式得-1综上,当a=时,原不等式的解集为{1};
当0当a>时,原不等式的解集为{x}.
18.(17分)某校计划利用其一侧原有墙体,建造高为1 m,底面积为100 m2,且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地,靠墙那面无需建造费用,因此甲工程队给出的报价如下:长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元,左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元,地面以及其他报价共计6 400元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为x(6≤x≤12) m,且原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少时,甲工程队的总报价最低
(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标,其给出的整体报价为(a>0)元,若无论左面墙的长度为多少,乙工程队都能竞标成功(约定整体报价更低的工程队竞标成功),求a的取值范围.
【解】 (1)设甲工程队的总报价为y元,依题意,左、右两面墙的长度均为x(6≤x≤12) m,
则长方体前面新建墙体的长度为 m,所以y=160×2x×1+320××1+6 400,
即y=320(x+)+6 400≥320×2+6 400=12 800,当且仅当x=,即x=10时,等号成立.
故当左面墙的长度为10 m时,甲工程队的总报价最低.
(2)由题意可知,320(x+)+6 400>,即(x+)+20>对任意的6≤x≤12恒成立,
所以>,可得a<,即a<.
又=x+1++18≥2+18=36,
当且仅当x+1=,即x=8时,取得最小值36,所以a的取值范围是{a|019.(17分)对于基本不等式,即当a>0,b>0时有≥(当且仅当a=b时,等号成立),我们称为正数a,b的算术平均数,为正数a,b的几何平均数,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.这只是基本不等式的一个简化版本,它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系.它表明:n个正数x1,x2,x3,…,xn的平方平均数大于等于它们的算术平均数大于等于它们的几何平均数大于等于它们的调和平均数,且当x1,x2,x3,…,xn全部相等时,等号成立.
(1)请直接运用上述不等式链中某个n的情形求y=x+(x>0)的最小值;
(2)写出当n=3时,它们的调和平均数与几何平均数之间的关系,并证明;
(3)如图,把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形,再将它的边沿虚线折起做成一个无盖的方底盒子.问切去的正方形边长是多少时,才能使盒子的容积最大
【解】 (1)由题意得≥,
所以当x>0时,y=x+=x+x+≥3=3,
当且仅当x=,即x=2时,等号成立,所以y=x+(x>0)的最小值为3.
(2)由题意可知,当n=3时,它们的调和平均数与几何平均数之间的关系为≤,其中x1>0,x2>0,x3>0,当且仅当x1=x2=x3时,等号成立.
证明:++-3x1x2x3=-3x2-3x1+-3x1x2x3
=(x1+x2+x3)[-(x1+x2)x3+]-3x1x2(x1+x2+x3)
=(x1+x2+x3)[++-x1x2-x2x3-x1x3]
=(x1+x2+x3)[++(x3-]≥0,
所以++≥3x1x2x3,当且仅当x1=x2=x3时,等号成立.根据题意,可设x1>0,x2>0,x3>0,用,,替换x1,x2,x3可得x1+x2+x3≥3,当且仅当x1=x2=x3时,等号成立,所以++≥3,所以≤==,当且仅当x1=x2=x3时,等号成立.
(3)设小正方形的边长为x,则盒子的高h=x,底边边长为6-2x,可得盒子的容积为V=x(6-2x)2,其中0