第三章 函数概念与性质 章末复习提升
题型一 求函数的定义域
1.由几个式子构成的函数,其定义域是使各式子都有意义的集合的交集.
2.掌握基本集合的交、并、补运算,解简单的不等式,提升逻辑推理和数学抽象的核心素养.
3.求函数定义域的类型与方法
(1)已给出函数解析式:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.
(2)常见求定义域的形式:偶次根号下非负;分式,分母不为0;0次幂,底数不为0.
(3)复合函数问题:①函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围;②已知f(x)的定义域是A,求f(φ(x))的定义域,其实质是已知f(φ(x))中φ(x)的取值范围(值域)为A,求出x的取值范围;③已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,其实质是已知f(φ(x))中x的取值范围为B,求出φ(x)的取值范围(值域).
[典例1] 已知函数f(x)的定义域为(-4,28),则函数g(x)=的定义域为( )
[A](4,28) [B](-6,-3)∪(3,6)
[C](3,6) [D](-3,3)
[跟踪训练] 已知函数f(x-1)的定义域为(-∞,3],则函数f()的定义域为( )
[A][1,2]
[B][1,2)
[C](-∞,1]∪[2,+∞)
[D](-∞,1]∪(2,+∞)
题型二 求函数的值域
函数的值域是其定义域中所有自变量对应的函数值的取值范围,常用方法:(1)转化为常见函数,具体方法为分离常数法、换元法、配方法.(2)利用函数图象.(3)利用函数的单调性.(4)转化为方程或不等式.
[典例2] 函数f(x)=的值域为( )
[A](-∞,8] [B](-∞,6]
[C][2,+∞) [D][4,+∞)
[跟踪训练] 函数y=的值域是( )
[A][,3]
[B][,1)∪(1,3]
[C](-∞,]∪[3,+∞)
[D](,3)
题型三 函数的图象
1.会根据函数的解析式及性质判断函数的图象,利用函数的图象可以直观地观察函数的值域、最值、单调性、奇偶性等,重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象.
2.掌握简单的基本函数图象,提升直观想象和数据分析的核心素养.
[典例3] 函数y=的图象大致为( )
[A] [B]
[C] [D]
[跟踪训练] (多选)已知幂函数f(x)的图象经过点(2,4),则函数g(x)=+mx(m≠0)的大致图象可能为( )
[A] [B]
[C] [D]
题型四 函数单调性与奇偶性的综合应用
1.解决有关函数性质的综合问题时一般要结合图象辅助解答.
2.研究抽象函数的性质时要紧扣其定义,同时注意依据解题需求对x灵活赋值,也可画出符合条件的大致图象,或找出符合条件的一个具体函数(限客观题)辅助解答.
3.函数单调性与奇偶性应用的常见题型
(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性.
(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.
(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小、解不等式.
(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.
[典例4] 已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且对定义域内任意x和y,都有f(xy)=
y2f(x)+x2f(y)+2x2y2.设g(x)=.
(1)证明:函数g(x)为偶函数.
(2)若f(x)满足:当x>1时,f(x)+2x2<0.
(ⅰ)求不等式f(x2-1)-(x-1)2f(x+1)>0的解集;
(ⅱ)若 m∈(-2,2),使得对 s∈[1,+∞),都有f(s)≤s2t2-(2mt+7)s2,求实数t的取值范围.
[跟踪训练] 已知函数y=f(x)的定义域为R,且函数f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,当x>0时,
f(x)=,函数g(x)=x2-kx-2.
(1)求f(-);
(2)若对任意x∈[-1,1],存在t∈[1,2],使得f(x)>g(t)成立,求实数k的取值范围.
题型五 函数的应用
1.以现实生活为背景,解决生活中的成本最少、利润最高等问题,一般是通过构造一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等数学模型,能运用函数思想处理现实生活中的简单应用
问题.
2.通过构造数学模型解决实际问题,重点提升数学建模和数学运算的核心素养.
[典例5] 某群体的人均通勤时间是指单日内该群体中的成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示:当S中x%(0(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;
(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式,并求g(x)的最小值,指明相应的x的值.
[跟踪训练] 某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力,计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元,最大产能为100台.每生产x台,需另投入成本G(x)万元,且G(x)=
由市场调研知,该产品每台的售价为180万元,且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润W(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:台)的函数解析式.(利润=销售收入-成本)
(2)当该产品的年产量为多少时,公司所获年利润W(x)最大 最大利润是多少 第三章 函数概念与性质 章末复习提升
题型一 求函数的定义域
1.由几个式子构成的函数,其定义域是使各式子都有意义的集合的交集.
2.掌握基本集合的交、并、补运算,解简单的不等式,提升逻辑推理和数学抽象的核心素养.
3.求函数定义域的类型与方法
(1)已给出函数解析式:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.
(2)常见求定义域的形式:偶次根号下非负;分式,分母不为0;0次幂,底数不为0.
(3)复合函数问题:①函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围;②已知f(x)的定义域是A,求f(φ(x))的定义域,其实质是已知f(φ(x))中φ(x)的取值范围(值域)为A,求出x的取值范围;③已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,其实质是已知f(φ(x))中x的取值范围为B,求出φ(x)的取值范围(值域).
[典例1] 已知函数f(x)的定义域为(-4,28),则函数g(x)=的定义域为( )
[A](4,28) [B](-6,-3)∪(3,6)
[C](3,6) [D](-3,3)
【答案】 C
【解析】 由题意得解得3[跟踪训练] 已知函数f(x-1)的定义域为(-∞,3],则函数f()的定义域为( )
[A][1,2]
[B][1,2)
[C](-∞,1]∪[2,+∞)
[D](-∞,1]∪(2,+∞)
【答案】 D
【解析】 在f(x-1)中,令x≤3,则x-1≤2,所以在f()中,≤2,即≤0,即解得x≤1或x>2.故选D.
题型二 求函数的值域
函数的值域是其定义域中所有自变量对应的函数值的取值范围,常用方法:(1)转化为常见函数,具体方法为分离常数法、换元法、配方法.(2)利用函数图象.(3)利用函数的单调性.(4)转化为方程或不等式.
[典例2] 函数f(x)=的值域为( )
[A](-∞,8] [B](-∞,6]
[C][2,+∞) [D][4,+∞)
【答案】 A
【解析】 当x≤3时,设t=,t≥0,则x=3-t2,f(x)=g(t)=2(3-t2)+4t=-2(t-1)2+8,因为t≥0,所以f(x)=g(t)≤8;当x>3时,设u=,u>0,则x=u2+3,f(x)=h(u)=-2(u2+3)+4u+12=-2(u-1)2+8,因为u>0,所以f(x)=h(u)≤8.综上,函数f(x)的值域为(-∞,8].故选A.
[跟踪训练] 函数y=的值域是( )
[A][,3]
[B][,1)∪(1,3]
[C](-∞,]∪[3,+∞)
[D](,3)
【答案】 A
【解析】 法一 函数y===1-,当x=0时,y=1;当x≠0时,
y=1-=1-,设t=+x,由对勾函数的性质,得t∈(-∞,-2]∪[2,+∞),
所以1-∈[,1)∪(1,3].
综上,函数y=的值域是[,3].故选A.
法二 因为y=,所以(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)=0.当y-1=0时,y=1,x=0;当y-1≠0时,y≠1,
由 Δ≥0得(y+1)2-4(y-1)(y-1)≥0,即3y2-10y+3≤0,解得≤y≤3且y≠1.
综上,≤y≤3,即函数y=的值域是[,3].故选A.
题型三 函数的图象
1.会根据函数的解析式及性质判断函数的图象,利用函数的图象可以直观地观察函数的值域、最值、单调性、奇偶性等,重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象.
2.掌握简单的基本函数图象,提升直观想象和数据分析的核心素养.
[典例3] 函数y=的图象大致为( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 函数y=f(x)=的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,且f(-x)==-=-f(x),则函数f(x)为奇函数,C,D选项错误;又当x<0时,f(x)=≤0,B选项错误.故选A.
[跟踪训练] (多选)已知幂函数f(x)的图象经过点(2,4),则函数g(x)=+mx(m≠0)的大致图象可能为( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 AC
【解析】 设幂函数f(x)=xα(α是常数),将(2,4)代入f(x)可得α=2,所以f(x)=x2,则g(x)=
+mx(m≠0),所以g(x)是二次函数,故排除B选项;g(x)图象的对称轴方程为x=-<0,则对称轴在y轴左侧,故排除D选项;当m>0时,g(x)为图象开口向上的二次函数,可知A正确;当m<0时,g(x)为图象开口向下的二次函数,可知C正确.故选AC.
题型四 函数单调性与奇偶性的综合应用
1.解决有关函数性质的综合问题时一般要结合图象辅助解答.
2.研究抽象函数的性质时要紧扣其定义,同时注意依据解题需求对x灵活赋值,也可画出符合条件的大致图象,或找出符合条件的一个具体函数(限客观题)辅助解答.
3.函数单调性与奇偶性应用的常见题型
(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性.
(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.
(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小、解不等式.
(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.
[典例4] 已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且对定义域内任意x和y,都有f(xy)=
y2f(x)+x2f(y)+2x2y2.设g(x)=.
(1)证明:函数g(x)为偶函数.
(2)若f(x)满足:当x>1时,f(x)+2x2<0.
(ⅰ)求不等式f(x2-1)-(x-1)2f(x+1)>0的解集;
(ⅱ)若 m∈(-2,2),使得对 s∈[1,+∞),都有f(s)≤s2t2-(2mt+7)s2,求实数t的取值范围.
(1)【证明】 因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)+2x2y2,g(x)=,
所以g(xy)==++2,
即g(xy)=g(x)+g(y)+2.
令x=y=1,得g(1)=2g(1)+2,
所以g(1)=-2;令x=y=-1,得g(1)=2g(-1)+2,所以g(-1)=-2;令y=-1,得g(-x)=g(x)+g(-1)+2=
g(x),又g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,所以g(x)是其定义域上的偶函数.
(2)【解】 由(1)知g(xy)=g(x)+g(y)+2.设 x1,x2∈(0,+∞)且x11,
因为当x>1时,f(x)+2x2<0,即+2<0,即g(x)+2<0,所以g()+2<0,
所以g(x1)-g(x2)=g(x1)-g(·x1)=g(x1)-[g()+g(x1)+2]=-[g()+2]>0,
所以g(x1)>g(x2),所以g(x)在(0,+∞)上单调递减.
(ⅰ)因为f(x2-1)-(x-1)2f(x+1)>0,所以>,即g(x2-1)>g(x+1),因为g(x)为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,且x≠0,所以|x2-1|<|x+1|,又x2-1≠0,解得0所以不等式f(x2-1)-(x-1)2f(x+1)>0的解集为(0,1)∪(1,2).
(ⅱ)由f(s)≤s2t2-(2mt+7)s2,s∈[1,+∞),得≤t2-2mt-7,即g(s)≤t2-2mt-7对 s∈[1,+∞)恒成立,
所以g(s)max≤t2-2mt-7,s∈[1,+∞).
因为g(x)在[1,+∞)上单调递减,g(1)=-2,所以g(s)max=-2.
所以 m∈(-2,2),使得-2≤t2-2mt-7,即t2-2mt-5≥0成立.令h(m)=-2tm+t2-5,m∈(-2,2),则h(2)>0或h(-2)>0.由h(2)=-4t+t2-5>0,解得t>5或t<-1;由h(-2)=4t+t2-5>0,解得t>1或t<-5.
所以t<-1或t>1,即实数t的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).
[跟踪训练] 已知函数y=f(x)的定义域为R,且函数f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,当x>0时,
f(x)=,函数g(x)=x2-kx-2.
(1)求f(-);
(2)若对任意x∈[-1,1],存在t∈[1,2],使得f(x)>g(t)成立,求实数k的取值范围.
【解】 (1)因为函数f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数y=f(x)的图象关于原点对称,又函数y=f(x)的定义域为R,关于原点对称,
所以函数y=f(x)是奇函数,
所以f(-)=-f()=-=-.
(2)因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.因为当x>0时,f(x)=,所以当x∈(0,1]时,0因为对任意x∈[-1,1],存在t∈[1,2],使得f(x)>g(t)成立,所以存在t∈[1,2],使得g(t)<-1成立,所以t2-kt-1<0在t∈[1,2]上有解.
法一 即k>t-在t∈[1,2]上有解,所以k>,t∈[1,2].
因为y=t-在[1,2]上单调递增,所以y=t-在[1,2]上的最小值为1-=0,所以k>0.
故实数k的取值范围为(0,+∞).
法二 即<0,t∈[1,2].函数y=t2-kt-1的图象的对称轴为直线t=,
①当≤1,即k≤2时,y=t2-kt-1在[1,2]上单调递增,所以ymin=1-k-1<0,解得0②当1<<2,即2所以ymin=--1<0,恒成立,故2③当≥2,即k≥4时,y=t2-kt-1在[1,2]上单调递减,所以ymin=4-2k-1<0,解得k>,故k≥4.
综上,k>0.即实数k的取值范围为(0,+∞).
题型五 函数的应用
1.以现实生活为背景,解决生活中的成本最少、利润最高等问题,一般是通过构造一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等数学模型,能运用函数思想处理现实生活中的简单应用
问题.
2.通过构造数学模型解决实际问题,重点提升数学建模和数学运算的核心素养.
[典例5] 某群体的人均通勤时间是指单日内该群体中的成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示:当S中x%(0(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;
(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式,并求g(x)的最小值,指明相应的x的值.
【解】 (1)由已知可得当f(x)>40时满足题意.
当0当30由解得45所以当45(2)当0当30所以g(x)=
所以当036.875,
可知当x=32.5时,g(x)取得最小值36.875.
[跟踪训练] 某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力,计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元,最大产能为100台.每生产x台,需另投入成本G(x)万元,且G(x)=
由市场调研知,该产品每台的售价为180万元,且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润W(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:台)的函数解析式.(利润=销售收入-成本)
(2)当该产品的年产量为多少时,公司所获年利润W(x)最大 最大利润是多少
【解】 (1)当0当40故W(x)=
(2)当0当40W(x)=-(x+100+)+1 900≤-2+1 900=1 580,当且仅当x+100=,即x=60时,等号成立.又1 580>1 500,所以当年产量为60台时,公司所获年利润最大,最大利润是1 580万元.
第三章 章末检测卷
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数f(+2)=x+1,则f(3)等于( )
[A]4 [B]2
[C]1 [D]0
【答案】 B
【解析】 令x=1,则f(3)=f(+2)=1+1=2.故选B.
2.函数f(x)=+的定义域为( )
[A](-2,4] [B](-4,-2]
[C][-2,4) [D][-4,-2]
【答案】 C
【解析】 由题意得解得-2≤x<4,故f(x)的定义域为[-2,4).故选C.
3.已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm的图象与x轴没有公共点,则m等于( )
[A]-2 [B]-1
[C]1 [D]-2或1
【答案】 B
【解析】 因为f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,
f(x)=x2,图象与x轴有公共点(0,0),不符合题意;当m=-1时,f(x)=x-1,图象与x轴没有公共点,符合题意.综上,m=-1.故选B.
4.已知函数f(x)是定义在R上的减函数,且f(-1)=1,f(3)=-1,则|f(x)|>1的解集为( )
[A](-1,3)
[B](-∞,-1)∪(3,+∞)
[C](-∞,-1)
[D](-∞,3)
【答案】 B
【解析】 由|f(x)|>1,得f(x)<-1或f(x)>1,又f(-1)=1,f(3)=-1,所以f(x)f(-1),又函数f(x)在R上单调递减,故可得x>3或x<-1,即|f(x)|>1的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).故选B.
5.已知图(1)是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象.由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议,如图(2)(3)所示,则这两种建议是( )
[A](2):降低成本,票价不变;(3):成本不变,提高票价
[B](2):提高成本,票价不变;(3):成本不变,降低票价
[C](2):成本不变,提高票价;(3):提高成本,票价不变
[D](2):降低成本,提高票价;(3):降低成本,票价不变
【答案】 A
【解析】 (2):直线向上平移,当乘客量为0时,差额绝对值变小,又收入为0,说明降低成本,两直线平行,说明票价不变;(3):当乘客量为0时,差额未变,又收入为0,说明成本没变,直线的倾斜角变大,说明相同的乘客量时收入变大,即票价提高了.故选A.
6.已知函数f(x)=满足:对任意x1,x2∈R,当x1≠x2时,都有>0成立,则实数a的取值范围是( )
[A][,) [B][-2,)
[C][-2,+∞) [D](-∞,)
【答案】 A
【解析】 由题意可知,若x2>x1,则f(x1)>f(x2),所以f(x)单调递减,当x<1时,y=(2a-1)x+4a单调递减,则2a-1<0,得a<;当x≥1时,y=-x2-ax+1单调递减,则-≤1,得a≥-2;在分界点x=1处,
2a-1+4a≥-1-a+1,得a≥.综上,≤a<.故选A.
7.已知函数f(x)=-x2+4x,g(x)=x,对 x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的最小者,记为m(x)=
min{f(x),g(x)},则当m(x)取得最大值时x的值为( )
[A]0 [B]2
[C]3 [D]4
【答案】 C
【解析】 令-x2+4x=x,得x=0或x=3,在同一平面直角坐标系中,画出f(x)=-x2+4x与g(x)=x的图象,如图,因为m(x)=min{f(x),g(x)},所以图中实线部分为m(x)的图象,由图可知,当x=3时,m(x)取到最大值.故选C.
8.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+4)为偶函数,f(-x+2)为奇函数,且f(x)在[0,2]上单调递增,则下列说法错误的是( )
[A]f(2)=0
[B]直线x=4为函数f(x)图象的一条对称轴
[C]函数f(x)在[4,8]上单调递减
[D]f(1)【答案】 D
【解析】 A选项,因为f(-x+2)为奇函数,则f(-x+2)+f(x+2)=0,令x=0,得2f(2)=0,可得f(2)=0,故A正确;B选项,因为f(x+4)为偶函数,则f(x+4)=f(-x+4),即直线x=4为函数f(x)图象的一条对称轴,故B正确;C选项,由f(-x+2)+f(x+2)=0,得点(2,0)为f(x)图象的一个对称中心,又f(x)在[0,2]上单调递增,则f(x)在[2,4]上单调递增,所以f(x)在[0,4]上单调递增,又由B选项可知函数f(x)在[4,8]上单调递减,故C正确;D选项,由B选项知,f(x+4)=f(-x+4),令x=-3,可得f(1)=f(7),故D错误.故选D.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,4),则下列说法正确的是( )
[A]f(x)为偶函数
[B]若x1[C]f()≤
[D]若f(x1)+f(x2)=1,则-≤x1+x2≤
【答案】 ACD
【解析】 令f(x)=xα,由f(2)=4,得2α=4,解得α=2,则f(x)=x2.对于A,f(x)的定义域为R,f(-x)=(-x)2=f(x),f(x)为偶函数,A正确;对于B,-3<1,f(-3)=9>1=f(1),B错误;对于C,
f()==≤=,当且仅当x1=x2时,等号成立,C正确;对于D,f(x1)+f(x2)=+=1,由选项C知,≤=,解得-≤x1+x2≤,D正确.故选ACD.
10.下列关于函数f(x)的结论正确的是( )
[A]f(x)=x-在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增
[B]f(x)=在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递减
[C]f(x)=|x|在(0,+∞)上单调递增
[D]f(x)=x2-3x在(0,+∞)上单调递增
【答案】 ABC
【解析】 函数f(x)=x-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),由函数y=x和y=-在(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递增,所以f(x)=x-在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增,A正确;函数f(x)==1+,图象可由反比例函数y=的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到,由y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递减,B正确;当x>0时,函数f(x)=|x|=x,所以f(x)=|x|在(0,+∞)上单调递增,C正确;函数f(x)=x2-3x在(0,)上单调递减,
(,+∞)上单调递增,D错误.故选ABC.
11.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足下列条件:(1)f()=yf(x)-xf(y);(2)当x>1时,f(x)>0.则( )
[A]f(1)=0
[B]当0[C]f(x2)≥2f(x)
[D]f(x)在(1,+∞)上单调递增
【答案】 ABD
【解析】 对于A,由f()=yf(x)-xf(y),取x=y=1,得f(1)=f(1)-f(1)=0,故A正确;对于B,由f()=yf(x)-xf(y),取x=1,因为f(1)=0,故f()=-f(y),即f()=-f(x),当01,则f()>0,故-f(x)>0,即f(x)<0,故B正确;对于C,由f()=yf(x)-xf(y),取x=y2,可得f(y)=yf(y2)-y2f(y),整理得f(y2)=(y+)f(y),因为y>0,y+≥2,当且仅当y=1时,等号成立,但因为f(y)的符号不能确定,故不一定有f(y2)≥2f(y),即f(x2)≥2f(x)不一定成立,故C错误;对于D,任取x1>x2>1,则>1,依题意,f()>0,而f()=x2f(x1)-x1f(x2),则x2f(x1)-x1f(x2)>0,即>,即g(x)=在(1,+∞)上单调递增.于是,对于f(x)=xg(x),任取x1>x2>1,因为g(x1)>g(x2)>0,则x1g(x1)>x2g(x2),即f(x1)>f(x2),即函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,故D正确.故选ABD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知幂函数f(x)的图象经过点(,),若f(2-a)≥f(a-1),则实数a的取值范围是 .
【答案】 (-∞,1)∪[,2)
【解析】 设f(x)=xα,则=,解得α=-1,所以f(x)=x-1,因为f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,f(2-a)≥f(a-1),所以或或解得≤a<2或a<1,所以实数a的取值范围为(-∞,1)∪[,2).
13.已知“函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数”,根据这个结论,若函数f(x)=mx+图象的对称中心是点(1,-1),则m= .
【答案】 -1
【解析】 由题意可知,y=f(x+1)+1是奇函数,即g(x)=m(x+1)++1=m(x+1)++1是奇函数,又g(-x)=m(-x+1)++1,所以g(x)+g(-x)=2m+2=0,解得m=-1.
14.已知函数f(x)=的图象关于y轴对称,则a= ;当x∈[1,2]时,f(x-b)>f(1),则实数b的取值范围为 .
【答案】 (-∞,0)∪(3,+∞)
【解析】 由题意得函数f(x)是偶函数,则f(1)=f(-1),即2a+=+,解得a=,则f(x)=
x>0,-x<0,f(-x)=x2+x=f(x), x<0,-x>0,f(-x)=x2-x=f(x),f(0)=0,因此函数f(x)是偶函数,所以a=符合题意.函数f(x)=x2+x在[0,+∞)上单调递增,而当x∈[1,2]时,
f(x-b)>f(1) f(|x-b|)>f(1),则|b-x|>1,解得bx+1,因此b<0或b>3,所以实数b的取值范围为(-∞,0)∪(3,+∞).
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数f(x)=
(1)求f(f(-1))的值;
(2)在平面直角坐标系中画出函数y=f(x)的图象;
(3)求关于x的方程f(x)=1的实数根.
【解】 (1)因为f(x)=则f(-1)=1+1=2,f(f(-1))=f(2)=4.
(2)作出函数f(x)=的图象,如图所示.
(3)当-2≤x≤1时,由f(x)=|x|+1=1,可得x=0;当11,此时方程f(x)=1无解.
综上所述,方程f(x)=1的实数根为x=0.
16.(15分)已知函数f(x+1)=.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断f(x)在[2,+∞)上的单调性,并用定义法证明;
(3)若对任意的x∈[4,+∞),都有f(x)≥2m+1,求m的取值范围.
【解】 (1)因为f(x+1)===x+1+,所以f(x)=x+(x≠0).
(2)f(x)在[2,+∞)上单调递增,证明如下:
任取x2>x1≥2,f(x2)-f(x1)=x2+-x1-=(x2-x1)+=(x2-x1)(1-)=,
因为x2>x1≥2,所以x2-x1>0,x1x2>4,所以f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1),所以f(x)在[2,+∞)上单调递增.
(3)由(2)知,f(x)在[4,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(4)=4+1=5,所以2m+1≤5,解得m≤2,所以m的取值范围为(-∞,2].
17.(15分)已知函数f(x)=-3x,函数g(x)的定义域为R.
(1)试求出函数y=f(x)图象的对称中心.若没有,请说明理由;
(2)若函数y=g(x)的图象关于点(1,0)成中心对称,且当x≥1时,g(x)=f(x)+x2,求函数g(x)的解
析式.
【解】 (1)函数y=f(x)的定义域为{x|x≠-1}.
法一 f(x-1)=-3(x-1)=-3x+3=-2x,
所以f(-x-1)=-+2x=-f(x-1),所以函数y=f(x-1)为奇函数,
故函数y=f(x)图象的对称中心为点(-1,0).
法二 因为f(-1+x)+f(-1-x)=-3(x-1)+-3(-x-1)=+3-
3x++3+3x=6-6=0,所以函数y=f(x)图象的对称中心为点(-1,0).
(2)因为函数y=g(x)的图象关于点(1,0)成中心对称,所以g(1)=f(1)+1=-3+1=-2=0,解得a=4.
当x≥1时,g(x)=-3x+x2=x2-2x+-2;
当x<1时,2-x>1,则g(2-x)=-g(x)=(2-x)2+-2(2-x)-2=x2-2x+-2,
所以g(x)=-x2+2x++2.
综上所述,g(x)=
18.(17分)已知列车的发车时间间隔t(单位:min)满足2≤t≤20.经市场调研测算,列车载客量与发车时间间隔t相关,当10≤t≤20时,列车为满载状态,载客量为720人;当2≤t<10时,载客量会减少,减少的人数s(t)=k(12-t)2(k为常数),且发车时间间隔为3 min 时的载客减少量为324人.记列车载客量为p(t).
(1)求p(t)的表达式.
(2)为响应低碳出行,若载客量至少达到524人时,列车才发车,问列车发车间隔时间至少为多少分钟
(3)若该线路每分钟的净收益(单位:元)为Q(t)=-60,问当发车时间间隔为多少分钟时,该线路每分钟的净收益最大,并求出最大值.
【解】 (1)由题意知,当10≤t≤20时,p(t)=720;当2≤t<10时,p(t)=720-k(12-t)2,
因为发车时间间隔为3 min时的载客减少量为324人,所以发车时间间隔为3 min时的载客量为720-324=396(人),
所以p(3)=720-k(12-3)2=396,解得k=4,此时p(t)=720-4×(12-t)2=-4t2+96t+144,
所以p(t)=
(2)依题意p(t)≥524,
当10≤t≤20时,p(t)=720>524,满足题意;
当2≤t<10时,p(t)=-4t2+96t+144≥524,即t2-24t+95≤0,解得5≤t≤9,
所以列车发车间隔时间至少为5 min,才能使列车载客量至少达到524人.
(3)由(1)知Q(t)=
当2≤t<10时,Q(t)≤132-2=84,当且仅当t=3时,等号成立,所以Q(t)max=Q(3)=84;当10≤t≤20时,Q(t)单调递减,则Q(t)max=Q(10)=48.
综上,当发车时间间隔为3 min时,该线路每分钟的净收益最大,且最大值为84元.
19.(17分)已知二次函数f(x)满足f(2-x)=f(x),f(0)=3,且f(x)在R上的最小值为2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[t,t+1]上的最小值H(t);
(3)设g(x)=x+3,若对任意x1∈[1,2],存在x2∈[3,4],使得[f(x1)]2-mf(x1)+m>g(x2),求实数m的取值范围.
【解】 (1)由f(2-x)=f(x),可知f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(x)在R上的最小值为2,故可设f(x)=a(x-1)2+2(a>0),由f(0)=3可得a+2=3,即a=1,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+3.
(2)由(1)可知,f(x)=(x-1)2+2.
①当t≤0时,t+1≤1,此时f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,可得H(t)=f(t+1)=t2+2;
②当0③当t≥1时,此时f(x)在区间[t,t+1]上单调递增,H(t)=f(t)=t2-2t+3.
综上可得,H(t)=
(3)由题意知,当x2∈[3,4]时,g(x2)min=g(3)=6,所以对任意x1∈[1,2],[f(x1)]2-mf(x1)+m>6恒
成立,
令f(x1)=s,当x1∈[1,2]时,f(x1)=(x1-1)2+2∈[2,3],
所以 s∈[2,3],s2-ms+m>6恒成立,即 s∈[2,3],s2-6>m(s-1)恒成立,
可得m<,令r=s-1∈[1,2],所以===r-+2,
因为y=r-+2在区间[1,2]上单调递增,所以当r=1时,ymin=-2,因此可得m<-2.
即实数m的取值范围为(-∞,-2).
