第四章 指数函数与对数函数 章末复习
题型一 指数、对数的运算
1.指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化,对数、指数的运算性质以及换底公式等,会利用运算性质进行化简、计算、证明.
2.指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算,其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.
3.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质、对数恒等式、换底公式及其推论.
[典例1] (2024·全国甲卷)已知a>1,且-=-,则a等于 .
[跟踪训练] (2022·浙江卷)已知2a=5,log83=b,则4a-3b等于( )
[A]25 [B]5
[C] [D]
题型二 指数、对数函数的图象及应用
1.已知函数解析式求作函数图象,即“知式求图”,解此类题要注意利用定义域、奇偶性、单调性、关键点和关键线,注意指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移、对称、翻折等变换.
2.判断方程的根的个数或解不等式时,通常不具体解方程或不等式,而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题.
[典例2] (多选)已知函数f(x)=若存在不相等的实数a,b,c,d满足a[A]k∈(0,1]
[B]a+b=-6
[C]cd=1
[D]a+b+c+d的取值范围为(-2,]
[跟踪训练] 函数f(x)=的部分图象大致为( )
[A] [B]
[C] [D]
题型三 指数、对数性质的应用
1.以函数的性质为依托,结合运算考查函数的图象性质,以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等.在解含对数式的方程或不等式时,不能忘记对数中真数大于0,以免出现增根或扩大范围.
2.要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质.方程、不等式的求解可利用函数的单调性进行转化,对含参数的问题进行分类讨论.
3.含有指数式或对数式的函数也常使用换元法.
[典例3] (2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=(x+a)ln (x+b),若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为( )
[A] [B] [C] [D]1
[跟踪训练] (2024·北京卷)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点,则( )
[A]log2<
[B]log2>
[C]log2[D]log2>x1+x2
题型四 函数的零点
1.函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间,主要利用了转化思想,把零点问题转化成函数与x轴的交点以及两函数图象的交点问题.
2.掌握函数零点存在定理及转化思想,提升逻辑推理和直观想象的核心素养.
[典例4] (2022·天津卷)设a∈R,对任意实数x,记f(x)=min{|x|-2,x2-ax+3a-5}.若f(x)至少有3个零点,则实数a的取值范围为 .
[跟踪训练] 已知函数f(x)=-,那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是( )
[A](0,) [B](,)
[C](,1) [D](1,4)
题型五 函数模型的应用
1.已知函数模型解决实际问题,高考中以此类问题为主.解此类问题的关键是理解已知函数模型中有关参数的实际意义,多数题目需要根据已知条件先求得已知函数模型中的的参数,熟练掌握指数和对数运算是基本功.
2.根据实际问题构建出切合实际的函数模型,并应用函数模型解决实际问题,实际命题时,一般会提供一些常见的函数模型,关键是利用题目的条件正确选择函数模型.
[典例5] (多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m 处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则( )
[A]p1≥p2 [B]p2>10p3
[C]p3=100p0 [D]p1≤100p2
[跟踪训练] (2024·北京卷)生物丰富度指数 d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则( )
[A]3N2=2N1 [B]2N2=3N1
[C]= [D]=第四章 指数函数与对数函数 章末复习
题型一 指数、对数的运算
1.指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化,对数、指数的运算性质以及换底公式等,会利用运算性质进行化简、计算、证明.
2.指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算,其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.
3.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质、对数恒等式、换底公式及其推论.
[典例1] (2024·全国甲卷)已知a>1,且-=-,则a等于 .
【答案】 64
【解析】 由题-=-log2a=-,整理得-5log2a-6=0,解得log2a=-1或log2a=6,
又a>1,所以log2a=6=log226,故a=26=64.
[跟踪训练] (2022·浙江卷)已知2a=5,log83=b,则4a-3b等于( )
[A]25 [B]5
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 因为2a=5,b=log83=log23,即23b=3,所以4a-3b====.故选C.
题型二 指数、对数函数的图象及应用
1.已知函数解析式求作函数图象,即“知式求图”,解此类题要注意利用定义域、奇偶性、单调性、关键点和关键线,注意指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移、对称、翻折等变换.
2.判断方程的根的个数或解不等式时,通常不具体解方程或不等式,而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题.
[典例2] (多选)已知函数f(x)=若存在不相等的实数a,b,c,d满足a[A]k∈(0,1]
[B]a+b=-6
[C]cd=1
[D]a+b+c+d的取值范围为(-2,]
【答案】 ACD
【解析】 A选项,画出|f(x)|与y=k的图象如下,要想满足|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=|f(d)|=k,则0B选项,由对称性可知,a+b=2×(-2)=-4,B错误;C选项,令-lg x=1,解得x=,故≤c<1,令lg x=1,解得x=10,故1所以y=c+∈(2,],a+b+c+d=c+-4∈(-2,],D正确.故选ACD.
[跟踪训练] 函数f(x)=的部分图象大致为( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 函数f(x)=的定义域为(-∞,-)∪(-,0)∪(0,)∪(,+∞),
且f(-x)==-=-f(x),所以f(x)=为奇函数,函数图象关于原点对称,故排除B,D;又当0题型三 指数、对数性质的应用
1.以函数的性质为依托,结合运算考查函数的图象性质,以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等.在解含对数式的方程或不等式时,不能忘记对数中真数大于0,以免出现增根或扩大范围.
2.要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质.方程、不等式的求解可利用函数的单调性进行转化,对含参数的问题进行分类讨论.
3.含有指数式或对数式的函数也常使用换元法.
[典例3] (2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=(x+a)ln (x+b),若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为( )
[A] [B] [C] [D]1
【答案】 C
【解析】 由题意可知,f(x)的定义域为(-b,+∞),令x+a=0解得x=-a;令ln (x+b)=0解得x=1-b;
则当x∈(-b,1-b)时,ln (x+b)<0,故x+a≤0,所以1-b+a≤0;当x∈(1-b,+∞)时,ln (x+b)>0,故x+a≥0,所以1-b+a≥0;
故1-b+a=0, 则a2+b2=a2+(a+1)2=2(a+)2+≥,
当且仅当a=-,b=时,等号成立,所以a2+b2的最小值为.故选C.
[跟踪训练] (2024·北京卷)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点,则( )
[A]log2<
[B]log2>
[C]log2[D]log2>x1+x2
【答案】 B
【解析】 由题意不妨设x1对于选项A,B,可得>=,即>>0,根据函数y=log2x是增函数,所以log2>log2=,故B正确,A错误;对于选项C,例如x1=-1,x2=-2,则y1=,y2=,可得log2=log2=log23-3∈(-2,-1),即log2>-3=x1+x2,故C错误;对于选项D,例如x1=0,x2=1,则y1=1,y2=2,可得log2=log2∈(0,1),即log2<1=x1+x2,故D错误.故选B.
题型四 函数的零点
1.函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间,主要利用了转化思想,把零点问题转化成函数与x轴的交点以及两函数图象的交点问题.
2.掌握函数零点存在定理及转化思想,提升逻辑推理和直观想象的核心素养.
[典例4] (2022·天津卷)设a∈R,对任意实数x,记f(x)=min{|x|-2,x2-ax+3a-5}.若f(x)至少有3个零点,则实数a的取值范围为 .
【答案】 [10,+∞)
【解析】 设g(x)=x2-ax+3a-5,h(x)=|x|-2,由|x|-2=0可得x=±2.要使得函数f(x)至少有3个零点,
则函数g(x)至少有一个零点,则Δ=a2-12a+20≥0,解得a≤2或a≥10.
①当a=2时,g(x)=x2-2x+1,作出函数g(x),h(x)的图象如下图所示:
此时函数f(x)只有两个零点,不符合题意;
②当a<2时,设函数g(x)的两个零点分别为x1,x2(x1所以无解;
③当a=10时,g(x)=x2-10x+25,作出函数g(x),h(x)的图象如下图所示:
由图可知,函数f(x)的零点个数为3,符合题意;
④当a>10时,设函数g(x)的两个零点分别为x3,x4(x3可得解得a>4,此时a>10.综上所述,实数a的取值范围是[10,+∞).
[跟踪训练] 已知函数f(x)=-,那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是( )
[A](0,) [B](,)
[C](,1) [D](1,4)
【答案】 B
【解析】 因为y=,y=-在(0,+∞)上单调递减,则f(x)=-在(0,+∞)上单调递减,f(0)=-=1-0=1>0,f()=->0(因为幂函数y=在(0,+∞)上单调递增),
f()=-<0(因为指数函数y=在R上单调递减),f(1)=-1=-<0,f(4)题型五 函数模型的应用
1.已知函数模型解决实际问题,高考中以此类问题为主.解此类问题的关键是理解已知函数模型中有关参数的实际意义,多数题目需要根据已知条件先求得已知函数模型中的的参数,熟练掌握指数和对数运算是基本功.
2.根据实际问题构建出切合实际的函数模型,并应用函数模型解决实际问题,实际命题时,一般会提供一些常见的函数模型,关键是利用题目的条件正确选择函数模型.
[典例5] (多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m 处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则( )
[A]p1≥p2 [B]p2>10p3
[C]p3=100p0 [D]p1≤100p2
【答案】 ACD
【解析】 由题意可知,∈[60,90],∈[50,60],=40.
对于选项A,可得-=20×lg -20×lg =20×lg ,因为≥,则-=20×lg ≥0,即lg ≥0,
所以≥1且p1,p2>0,可得p1≥p2,故A正确;对于选项B,可得-=20×lg -20×lg =20×lg ,因为-=-40≥10,则20×lg ≥10,即lg ≥,所以≥且p2,p3>0,可得p2≥p3,当且仅当=50时,等号成立,故B错误;
对于选项C,因为=20×lg =40,即lg =2,
可得=100,即p3=100p0,故C正确;
对于选项D,由选项A的分析可知,-=20×lg ,且-≤90-50=40,则20×lg ≤40,即lg ≤2,可得≤100,且p1,p2>0,所以p1≤100p2,故D正确.故选ACD.
[跟踪训练] (2024·北京卷)生物丰富度指数 d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则( )
[A]3N2=2N1 [B]2N2=3N1
[C]= [D]=
【答案】 D
【解析】 由题意得=2.1,=3.15,则2.1ln N1=3.15ln N2,即2ln N1=3ln N2,所以=.故选D.
