第五章 三角函数章末复习提升
题型一 同角三角函数的基本关系式和诱导公式
1.(1)两个基本关系式:sin2α+cos2α=1及=tan α.
(2)诱导公式:可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.
2.主要考查角度:(1)角的概念及其表示;(2)三角函数的定义及其应用;(3)扇形的弧长及面积公式;(4)同角三角函数的基本关系和三角函数的诱导公式.
3.掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用,重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
[典例1] (2023·全国甲卷)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则( )
[A]甲是乙的充分条件但不是必要条件
[B]甲是乙的必要条件但不是充分条件
[C]甲是乙的充要条件
[D]甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
[跟踪训练] (1)(2023·全国乙卷)若θ∈(0,),tan θ=,则sin θ-cos θ= .
(2)若3sin α-sin β=,α+β=,则sin α= ,cos 2β= .
题型二 三角函数的图象与性质
1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等,在研究三角函数的性质时,将ωx+φ看成一个整体,利用整体代换思想解题是常见的技巧.
2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
(1)“五点法”作图;(2)图象伸缩、平移变换.
3.掌握三角函数的图象和性质,重点培养直观想象和数学运算的核心素养.
[典例2] (1)(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin(3x-)的交点个数为( )
[A]3 [B]4 [C]6 [D]8
(2)(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin(2x-),下列说法中正确的有( )
[A]f(x)与g(x)有相同的零点
[B]f(x)与g(x)有相同的最大值
[C]f(x)与g(x)有相同的最小正周期
[D]f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
[跟踪训练] (1)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(,)单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f(-)=( )
[A]- [B]- [C] [D]
(2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)= .
题型三 三角函数的图象变换
1.由函数y=sin x的图象得到函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象有两种途径:先平移再伸缩;先伸缩再平移.这两种途径的区别是平移的单位长度不同,其余参数不受影响.若相应变换的函数名称不同时,要先用诱导公式转化为同名的三角函数,再进行平移或伸缩变换.
2.对于函数y=Asin(ωx+φ)+h,应明确A,ω决定“形变”,φ,h决定“位变”,A影响值域,ω影响周期,A,ω,φ影响单调性.针对x的变换,即变换多少个单位长度,向左或向右很容易出错,应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别.
[典例3] (1)(2022·全国甲卷)将函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最小值是( )
[A] [B] [C] [D]
(2)(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为( )
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
[跟踪训练]为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin(3x+)图象上所有的点( )
[A]向左平移个单位长度
[B]向右平移个单位长度
[C]向左平移个单位长度
[D]向右平移个单位长度
题型四 三角恒等变换
1.熟练掌握两角和与差的正(余)弦、正切公式及二倍角公式是进行三角函数式化简、求值的关键,注意公式的逆用与变形用.对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“目标角”变成“已知角”.
2.在进行三角恒等变换时,既要注意运用切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化,角的代换的运用,还要注意一般的数学思想方法如换元法的运用.
[典例4] (1)(2024·全国甲卷)已知=,则tan(α+)等于( )
[A]2+1 [B]2-1
[C] [D]1-
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)等于( )
[A]-3m [B]- [C] [D]3m
[跟踪训练] (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=( )
[A] [B]
[C]- [D]-
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)= .
题型五 三角函数的综合应用
1.三角函数的综合问题,常以三角恒等变换为主要的化简手段,考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂时,我们要先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k等形式,然后再根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.
2.熟练运用两个换元(整体思想),一是设ωx+φ=t,二是设sin(ωx+φ)=t(或Acos(ωx+φ)=t).
[典例5] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2()-1(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且函数f(x)图象的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求f(x)的解析式及单调递减区间.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈[-,]时,求函数g(x)的值域.
(3)对于第(2)问中的函数g(x),记方程g(x)=在x∈[,]上的根从小到大依次为x1,x2,…,xn,试确定n的值,并求x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn的值.
[跟踪训练] 已知函数f(x)=sin 2xcos φ-cos 2xcos(+φ)(0<|φ|<),对 x∈R,有f(x)≤|f()|.
(1)求φ的值及f(x)的单调递增区间.
(2)若x0∈[0,],f(x0)=,求sin 2x0.
(3)将函数y=f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后,再将所得图象上的所有点纵坐标保持不变,横坐标变为原来的2倍,得到函数y=g(x)的图象.若 x∈[0,π],g(x)+sin 2x≤2m2-3m,求实数m的取值范围.第五章 三角函数章末复习提升
题型一 同角三角函数的基本关系式和诱导公式
1.(1)两个基本关系式:sin2α+cos2α=1及=tan α.
(2)诱导公式:可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.
2.主要考查角度:(1)角的概念及其表示;(2)三角函数的定义及其应用;(3)扇形的弧长及面积公式;(4)同角三角函数的基本关系和三角函数的诱导公式.
3.掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用,重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
[典例1] (2023·全国甲卷)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则( )
[A]甲是乙的充分条件但不是必要条件
[B]甲是乙的必要条件但不是充分条件
[C]甲是乙的充要条件
[D]甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】 B
【解析】 当sin2α+sin2β=1时,例如α=,β=0,但sin α+cos β≠0,即“sin2α+sin2β=1”推不出
“sin α+cos β=0”;当sin α+cos β=0时,sin2α+sin2β=(-cos β)2+sin2β=1,即“sin α+cos β=0”能推出“sin2α+sin2β=1”.综上可知,甲是乙的必要不充分条件.故选B.
[跟踪训练] (1)(2023·全国乙卷)若θ∈(0,),tan θ=,则sin θ-cos θ= .
(2)若3sin α-sin β=,α+β=,则sin α= ,cos 2β= .
【答案】 (1)- (2)
【解析】 (1)因为θ∈(0,),所以sin θ>0,cos θ>0,又因为tan θ==,所以cos θ=2sin θ,
且cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1,解得sin θ=或sin θ=-(舍去),
所以sin θ-cos θ=sin θ-2sin θ=-sin θ=-.
(2)法一(利用辅助角公式和诱导公式) 因为α+β=,所以sin β=cos α,即3sin α-cos α=,即(sin α-cos α)=,令sin θ=,cos θ=,则sin(α-θ)=,
所以α-θ=+2kπ,k∈Z,即α=θ++2kπ,k∈Z,所以sin α=sin(θ++2kπ)=cos θ=,
则cos 2β=2cos2β-1=2sin2α-1=.
法二(直接用同角三角函数关系式解方程) 因为α+β=,所以sin β=cos α,
即3sin α-cos α=,又sin2α+cos2α=1,将cos α=3sin α-代入得10sin2α-6sin α+9=0,解得sin α=,则cos 2β=2cos2β-1=2sin2α-1=.
题型二 三角函数的图象与性质
1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等,在研究三角函数的性质时,将ωx+φ看成一个整体,利用整体代换思想解题是常见的技巧.
2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
(1)“五点法”作图;(2)图象伸缩、平移变换.
3.掌握三角函数的图象和性质,重点培养直观想象和数学运算的核心素养.
[典例2] (1)(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin(3x-)的交点个数为( )
[A]3 [B]4 [C]6 [D]8
(2)(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin(2x-),下列说法中正确的有( )
[A]f(x)与g(x)有相同的零点
[B]f(x)与g(x)有相同的最大值
[C]f(x)与g(x)有相同的最小正周期
[D]f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
【答案】 (1)C (2)BC
【解析】 (1)因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π,函数y=2sin(3x-)的最小正周期为T=,所以在x∈[0,2π]上函数y=2sin(3x-)有三个周期的图象,在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如图所示.
由图可知,两函数图象有6个交点.故选C.
(2)A选项,令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即为f(x)的零点,令g(x)=sin(2x-)=0,解得x=+,k∈Z,即为g(x)的零点,显然f(x),g(x)的零点不同,A选项错误;B选项,显然f(x)max=g(x)max=1,B选项正确;C选项,根据周期公式,f(x),g(x)的最小正周期均为=π,C选项正确;D选项,根据正弦函数的性质,f(x)的对称轴满足2x=kπ+,k∈Z x=+,k∈Z,g(x)的对称轴满足2x-=kπ+,k∈Z x=+,k∈Z,显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,D选项错误.故选BC.
[跟踪训练] (1)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(,)单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f(-)=( )
[A]- [B]- [C] [D]
(2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)= .
【答案】 (1)D (2)-
【解析】 (1)因为f(x)=sin(ωx+φ)在区间(,)上单调递增,且直线x=和直线x=为函数图象的两条对称轴,所以=-=,且ω>0,则T=π,ω==2,当x=时,f(x)取得最小值,则2×+φ=2kπ-,k∈Z,则φ=2kπ-,k∈Z,不妨取k=0,则f(x)=sin(2x-),则f(-)=sin(-)=.故选D.
(2)设A(x1,),B(x2,),由|AB|=可得x2-x1=,令wx+φ=t,由sin t=可知,t=+2kπ,k∈Z或t=+2kπ,k∈Z,由题图可知,ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=,即ω(x2-x1)=,所以ω=4.
因为f()=sin(+φ)=0,所以+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z.
所以f(x)=sin(4x-+kπ)=sin(4x-+kπ),k∈Z,所以f(x)=sin(4x-)或f(x)=-sin(4x-),
又因为f(0)<0,所以f(x)=sin(4x-),所以f(π)=sin(4π-)=-.
题型三 三角函数的图象变换
1.由函数y=sin x的图象得到函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象有两种途径:先平移再伸缩;先伸缩再平移.这两种途径的区别是平移的单位长度不同,其余参数不受影响.若相应变换的函数名称不同时,要先用诱导公式转化为同名的三角函数,再进行平移或伸缩变换.
2.对于函数y=Asin(ωx+φ)+h,应明确A,ω决定“形变”,φ,h决定“位变”,A影响值域,ω影响周期,A,ω,φ影响单调性.针对x的变换,即变换多少个单位长度,向左或向右很容易出错,应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别.
[典例3] (1)(2022·全国甲卷)将函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最小值是( )
[A] [B] [C] [D]
(2)(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为( )
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【答案】 (1)C (2)C
【解析】 (1)由题意知,曲线C为y=sin[ω(x+)+]=sin(ωx++),又曲线C关于y轴对称,所以+=+kπ,k∈Z,解得ω=+2k,k∈Z,又ω>0,故当k=0时,ω的最小值为.故选C.
(2)因为y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度所得图象的函数解析式为y=cos[2(x+)+]=cos(2x+)=-sin 2x,所以f(x)=-sin 2x,而y=x-显然过(0,-)与(1,0)两点,作出y=f(x)与y=x-的部分大致图象,如图所示.
考虑2x=-,2x=,2x=,即x=-,x=,x=处f(x)与y=x-的大小关系.
当x=-时,f(-)=-sin(-)=-1,y=×(-)-=-<-1;
当x=时,f()=-sin =1,y=×-=<1;
当x=时,f()=-sin =1,y=×-=>1.
所以由图可知,y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为3.故选C.
[跟踪训练]为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin(3x+)图象上所有的点( )
[A]向左平移个单位长度
[B]向右平移个单位长度
[C]向左平移个单位长度
[D]向右平移个单位长度
【答案】 D
【解析】 因为y=2sin 3x=2sin[3(x-)+],所以把函数y=2sin(3x+)图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数y=2sin 3x的图象.故选D.
题型四 三角恒等变换
1.熟练掌握两角和与差的正(余)弦、正切公式及二倍角公式是进行三角函数式化简、求值的关键,注意公式的逆用与变形用.对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“目标角”变成“已知角”.
2.在进行三角恒等变换时,既要注意运用切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化,角的代换的运用,还要注意一般的数学思想方法如换元法的运用.
[典例4] (1)(2024·全国甲卷)已知=,则tan(α+)等于( )
[A]2+1 [B]2-1
[C] [D]1-
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)等于( )
[A]-3m [B]- [C] [D]3m
【答案】 (1)B (2)A
【解析】 (1)因为=,所以=,即tan α=1-,所以tan(α+)==2-1.故选B.
(2)因为cos(α+β)=m,所以cos αcos β-sin αsin β=m,而tan αtan β=2,
所以sin αsin β=2cos αcos β,故cos αcos β-2cos αcos β=m,即cos αcos β=-m,
从而sin αsin β=-2m,故cos(α-β)=-3m.故选A.
[跟踪训练] (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=( )
[A] [B]
[C]- [D]-
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)= .
【答案】 (1)B (2)-
【解析】 (1)因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,而cos αsin β=,因此sin αcos β=,则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,所以cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×=.故选B.
(2)法一 由题意得tan(α+β)===-2,
因为α∈(2kπ,2kπ+),β∈(2mπ+π,2mπ+),k,m∈Z,则α+β∈((2m+2k)π+π,(2m+2k)π+2π),k,
m∈Z,又因为tan(α+β)=-2<0,所以α+β∈((2m+2k)π+,(2m+2k)π+2π),k,m∈Z,
则sin(α+β)<0,则=-2,联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,解得sin(α+β)=-.
法二 因为α为第一象限角,β为第三象限角,则cos α>0,cos β<0,
cos α==,cos β==,则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=
cos αcos β(tan α+tan β)=4cos αcos β=
=
=
=-.
题型五 三角函数的综合应用
1.三角函数的综合问题,常以三角恒等变换为主要的化简手段,考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂时,我们要先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k等形式,然后再根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.
2.熟练运用两个换元(整体思想),一是设ωx+φ=t,二是设sin(ωx+φ)=t(或Acos(ωx+φ)=t).
[典例5] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2()-1(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且函数f(x)图象的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求f(x)的解析式及单调递减区间.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈[-,]时,求函数g(x)的值域.
(3)对于第(2)问中的函数g(x),记方程g(x)=在x∈[,]上的根从小到大依次为x1,x2,…,xn,试确定n的值,并求x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn的值.
【解】 (1)由题意,函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2()-1=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ-),
因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为,所以T=π,可得ω=2,又由函数f(x)为奇函数,
可得f(0)=2sin(φ-)=0,所以φ-=kπ,k∈Z,因为0<φ<π,所以φ=,所以函数f(x)=2sin 2x.
令2kπ+≤2x≤2kπ+,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递减区间为[kπ+,kπ+],k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,可得y=2sin(2x-)的图象,再把横坐标缩短为原来的,得到函数y=g(x)=2sin(4x-)的图象,当x∈[-,]时,4x-∈[-,],当4x-=-时,函数g(x)取得最小值,最小值为-2,当4x-=时,函数g(x)取得最大值,最大值为,故函数g(x)的值域为[-2,].
(3)由方程g(x)=,得2sin(4x-)=,即sin(4x-)=,由x∈[,],可得4x-∈[,5π],设θ=4x-,
θ∈[,5π],即sin θ=,结合正弦函数y=sin θ的图象,如图所示,
可得方程sin θ=在区间[,5π]上有5个解,即n=5,
其中θ1+θ2=3π,θ2+θ3=5π,θ3+θ4=7π,θ4+θ5=9π,
即4x1-+4x2-=3π,4x2-+4x3-=5π,4x3-+4x4-=7π,4x4-+4x5-=9π,
解得x1+x2=,x2+x3=,x3+x4=,x4+x5=,
所以x1+2x2+2x3+2x4+x5=(x1+x2)+(x2+x3)+(x3+x4)+(x4+x5)=.
[跟踪训练] 已知函数f(x)=sin 2xcos φ-cos 2xcos(+φ)(0<|φ|<),对 x∈R,有f(x)≤|f()|.
(1)求φ的值及f(x)的单调递增区间.
(2)若x0∈[0,],f(x0)=,求sin 2x0.
(3)将函数y=f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后,再将所得图象上的所有点纵坐标保持不变,横坐标变为原来的2倍,得到函数y=g(x)的图象.若 x∈[0,π],g(x)+sin 2x≤2m2-3m,求实数m的取值范围.
【解】 (1)f(x)=sin 2xcos φ+cos 2xsin φ=sin(2x+φ),因为对 x∈R,有f(x)≤|f()|,可得当x=时,f(x)取得最值,所以2×+φ=+kπ,k∈Z,可得φ=-+kπ,k∈Z,又0<|φ|<,所以φ=-,
所以f(x)=sin(2x-),由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z).
(2)由x0∈[0,],f(x0)=,f(x)=sin(2x-),可得2x0-∈[-,],sin(2x0-)=,所以cos(2x0-)=,
所以sin 2x0=sin[(2x0-)+]=sin(2x0-)cos +cos(2x0-)sin =.
(3)将函数y=f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后得到函数y=sin[2(x-)-]=sin(2x-)的图象,进而可得函数g(x)=sin(x-)的图象,
令h(x)=sin(x-)+sin 2x=sin x-cos x+2sin xcos x,x∈[0,π],
只需h(x)min≤2m2-3m,令t=sin x-cos x=sin(x-),因为x∈[0,π],
所以x-∈[-,],所以t∈[-1,],
因为t2=(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x,
可得2sin xcos x=1-t2,
所以y=t+1-t2=-+,
因为t∈[-1,],
所以当t=-1时,h(x)min=-1,
所以2m2-3m≥-1,即(2m-1)(m-1)≥0,
解得m≤或m≥1.
所以实数m的取值范围为(-∞,]∪[1,+∞).
