第一章 集合与常用逻辑用语 章末复习提升
题型一 集合的概念与集合间的基本关系
1.理解集合的有关概念、元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合,能在集合不同的表示方法之间进行转化.
2.集合间的基本关系包括包含、真包含、相等.能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念,能根据集合间的关系,利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值或取值
范围.
3.掌握集合的概念与集合间的基本关系,提升数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.
[典例1] (多选)已知集合A={x|x<-3或x≥7},B={x|2a
[A]3 [B]-8 [C]3.5 [D]6
【答案】 BCD
【解析】 因为B是A的真子集,若B= ,则2a≥a+5,解得a≥5,符合题意;若B≠ ,则2a[跟踪训练] (多选)已知集合A={-2,a2-8,-a2+a-1},B={-7,2a},若B A,则a的值可能是( )
[A]-2 [B]-1 [C]1 [D]3
【答案】 AB
【解析】 因为B A,所以a2-8=-7或-a2+a-1=-7,解得a=1或a=-1或a=-2或a=3.当a=1时,A={-2,-7,-1},B={-7,2},则a=1不符合题意;当a=-1时,A={-2,-7,-3},B={-7,-2},此时B A,则a=-1符合题意;当a=-2时,A={-2,-4,-7},B={-7,-4},此时B A,则a=-2符合题意;当a=3时,A={-2,1,-7},B={-7,6},则a=3不符合题意.故选AB.
题型二 集合的基本运算
1.集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.对于较抽象的集合问题,解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析,使问题直观化、形象化,进而能使问题简捷、准确地获解.
2.掌握集合的概念与运算,重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
[典例2] (2024·全国甲卷)集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则 A(A∩B)等于( )
[A]{1,4,9} [B]{3,4,9}
[C]{1,2,3} [D]{2,3,5}
【答案】 D
【解析】 因为A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},所以B={1,4,9,16,25,81},
则A∩B={1,4,9}, A(A∩B)={2,3,5}.故选D.
[跟踪训练] (2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1[A] U(M∪N) [B]N∪ UM
[C] U(M∩N) [D]M∪ UN
【答案】 A
【解析】 由题意可得M∪N={x|x<2},则 U(M∪N)={x|x≥2},选项A正确;
易知 UM={x|x≥1},则N∪ UM={x|x>-1},选项B错误;
易知M∩N={x|-1易知 UN={x|x≤-1或x≥2},则M∪ UN={x|x<1或x≥2},选项D错误.故选A.
题型三 充分条件与必要条件
1.若p q,且qp,则p是q的充分不必要条件,同时q是p的必要不充分条件;
若p q,则p是q的充要条件,同时q是p的充要条件.
2.掌握充要条件的判断和证明方法,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
[典例3] 设全集U=R,集合A={x|2≤x≤4},B={x|-a≤x≤a-2}.
(1)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求实数a的取值范围;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
【解】 (1)由“x∈A”是“x∈B”的必要条件,可知B A,当B= 时,-a>a-2,解得a<1,符合题意;当B≠ 时,则有2≤-a≤a-2≤4,无解.
综上,实数a的取值范围为{a|a<1}.
(2)由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,得A B,因此或解得a≥6,所以实数a的取值范围为{a|a≥6}.
[跟踪训练] (2023·北京卷)若xy≠0,则“x+y=0”是“+=-2”的( )
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】 充分性:因为xy≠0,且x+y=0,所以 x=-y,所以+=+=-1-1=-2,
所以充分性成立;
必要性:因为xy≠0,且+=-2,所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,即(x+y)2=0,所以x+y=0,
所以必要性成立.
所以“x+y=0”是“+=-2”的充要条件.故选C.
题型四 全称量词与存在量词
1.全称量词命题的否定一定是存在量词命题,存在量词命题的否定一定是全称量词命题.对含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题进行否定时,首先改变量词,把全称量词改为存在量词,把存在量词改为全称量词,然后对结论进行否定.
2.通过对含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数取值范围等问题的研究,培养逻辑推理和数学运算的核心素养.
[典例4] 已知命题p: 1≤x≤2,x2-a≥0,命题q: x∈R,x2+2ax+2a+a2=0.
(1)若命题p的否定为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题p和命题q的否定均为真命题,求实数a的取值范围.
【解】 (1)对于任意1≤x≤2,不等式x2-a≥0等价于对于任意1≤x≤2,a≤x2恒成立,
而=1,则a≤1,
即命题p:a≤1,则命题p的否定:a>1,所以实数a的取值范围是{a|a>1}.
(2)由 x∈R,x2+2ax+2a+a2=0,得Δ=4a2-4(2a+a2)=-8a≥0,解得a≤0,
即命题q:a≤0,则命题q的否定:a>0.
由(1)知命题p:a≤1,由命题p和命题q的否定均为真命题,得0所以实数a的取值范围是{a|0[跟踪训练] (多选)已知两个命题:(1)若x>0,则2x+1>5;(2)若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.则下列说法正确的是( )
[A]命题(2)是全称量词命题
[B]命题(1)的否定:存在x>0,2x+1≤5
[C]命题(2)的否定:存在四边形不是等腰梯形,这个四边形的对角线不相等
[D]命题(1)和(2)被否定后,都是真命题
【答案】 AB
【解析】 对于A,“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等”等价于“对于任意一个等腰梯形,它的对角线都相等”,故A正确;
对于B,命题(1)的否定:存在x>0,2x+1≤5,故B正确;
对于C,命题(2)的否定:存在四边形是等腰梯形,这个四边形的对角线不相等,故C错误;
对于D,由于命题(2)“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等”是真命题,所以它的否定是假命题,故D错误.故选AB.第一章 集合与常用逻辑用语 章末复习提升
题型一 集合的概念与集合间的基本关系
1.理解集合的有关概念、元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合,能在集合不同的表示方法之间进行转化.
2.集合间的基本关系包括包含、真包含、相等.能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念,能根据集合间的关系,利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值或取值
范围.
3.掌握集合的概念与集合间的基本关系,提升数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.
[典例1] (多选)已知集合A={x|x<-3或x≥7},B={x|2a[A]3 [B]-8 [C]3.5 [D]6
[跟踪训练] (多选)已知集合A={-2,a2-8,-a2+a-1},B={-7,2a},若B A,则a的值可能是( )
[A]-2 [B]-1 [C]1 [D]3
题型二 集合的基本运算
1.集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.对于较抽象的集合问题,解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析,使问题直观化、形象化,进而能使问题简捷、准确地获解.
2.掌握集合的概念与运算,重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
[典例2] (2024·全国甲卷)集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则 A(A∩B)等于( )
[A]{1,4,9} [B]{3,4,9}
[C]{1,2,3} [D]{2,3,5}
[跟踪训练] (2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1[A] U(M∪N) [B]N∪ UM
[C] U(M∩N) [D]M∪ UN
题型三 充分条件与必要条件
1.若p q,且qp,则p是q的充分不必要条件,同时q是p的必要不充分条件;
若p q,则p是q的充要条件,同时q是p的充要条件.
2.掌握充要条件的判断和证明方法,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
[典例3] 设全集U=R,集合A={x|2≤x≤4},B={x|-a≤x≤a-2}.
(1)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求实数a的取值范围;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
[跟踪训练] (2023·北京卷)若xy≠0,则“x+y=0”是“+=-2”的( )
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
题型四 全称量词与存在量词
1.全称量词命题的否定一定是存在量词命题,存在量词命题的否定一定是全称量词命题.对含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题进行否定时,首先改变量词,把全称量词改为存在量词,把存在量词改为全称量词,然后对结论进行否定.
2.通过对含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数取值范围等问题的研究,培养逻辑推理和数学运算的核心素养.
[典例4] 已知命题p: 1≤x≤2,x2-a≥0,命题q: x∈R,x2+2ax+2a+a2=0.
(1)若命题p的否定为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题p和命题q的否定均为真命题,求实数a的取值范围.
[跟踪训练] (多选)已知两个命题:(1)若x>0,则2x+1>5;(2)若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.则下列说法正确的是( )
[A]命题(2)是全称量词命题
[B]命题(1)的否定:存在x>0,2x+1≤5
[C]命题(2)的否定:存在四边形不是等腰梯形,这个四边形的对角线不相等
[D]命题(1)和(2)被否定后,都是真命题