11．1 与三角形有关的线段
11．1.1 三角形的边
1．结合具体的实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素．
2．会用符号、字母表示三角形，并了解按边的相等关系对三角形进行分类．
3．理解三角形任何两边之和大于第三边与任意两边之差小于第三边的性质，并会初步运用这些性质来解决问题．
重点
三角形的三边关系．
难点
三角形的三边关系．
一、创设情境，引入新课
老师出示一个用硬纸板剪好的三角形，并提出问题；
小学中我们已经认识了三角形，那么你能不能给三角形下一个完整的定义？
老师出示教具，提出问题．让学生观察教具，然后给出三角形的定义．
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
二、探究问题，形成概念
(一)探究三角形的有关概念
1．三角形的顶点及符号表示方法．
2．三角形的内角．
3．三角形的边．
教师继续利用教具向学生直接指明相关的概念．
学生注意记忆相关的概念．
教师再出示另外剪好的三角形，各顶点字母与原来不同，然后通过新三角形让学生巩固刚才的有关概念．
(二)探究三角形的分类
问题1：小学中已经学过，如何将三角形进行分类？
问题2：如何将三角形按边分类？
教师提出问题，学生举手回答．
教师提示，分类的标准是什么？
学生回答：有两边相等和有三边相等，以及三条边均不相等．
教师进一步提出新的问题，并进一步讲解等边三角形、等腰三角形的有关概念，然后给出三角形按边分类的方法：
三角形
之后师生共同归纳三角形的分类方法．按不同的标准分类，可以有不同的分法．
(三)探究三角形的三边关系
探究：画出一个△ABC，假设有一只小虫要从B点出发，沿三角形的边爬到C点，它有几种路线可以选择？各条路线的长一样吗？
教师提出问题，学生先画图然后进行讨论，并思考问题，然后教师指定学生回答问题．
(1)小虫从点B出发沿三角形的边爬到点C有如下几条路线：
a．从B→C
b．从B→A→C
(2)从B→C路线最短．
然后老师进一步提出问题：这条路线为什么是最短的？
学生举手回答：“两点之间，线段最短．”
然后师生共同归纳得出：
AC＋BC＞AB ①
AB＋AC＞BC ②
AB＋BC＞AC ③
即三角形两边的和大于第三边．
教师提问：(1)由不等式①②③移项，你能得到怎样的不等式？
(2)通过刚才得到的不等式，你有什么发现？
学生回答，师生共同归纳：三角形两边的差小于第三边．
教师出示教材第3页例题．
分析：(1)“用一条长18 cm的细绳围成一个等腰三角形”，这句话有什么含义？
(2)有一边长为4 cm是什么意思，哪一边的长度是4 cm?
三、练习巩固
练习：教材第4页练习第1，2题．
老师布置练习，学生举手回答即可．第2题注意让学生说明理由．
解决完以后，教师利用投影出示补充练习，学生独立完成．
补充练习：一个三角形有两条边相等，周长为20 cm，一条边长是6 cm，求其他两条边长．
四、小结与作业
小结：谈谈本节课的收获．
老师引导学生主要从对三角形的分类和三边关系的认识方面进行小结．
布置作业：习题11.1第1，2，7题．
三角形的三边关系是在学生了解了三角形的一些基本特征的基础上学习的，学生虽然知道了三角形有三条边，但三角形“边”的研究却是学生首次接触，让学生自己动手操作，初步感知三条边之间的关系，接着重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系？”通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论。这样教学符合学生的认知特点，既增加了兴趣，又增强学生的动手能力．21教育网
11．1.2 三角形的高、中线与角平分线
11．1.3 三角形的稳定性
1．掌握三角形的高、中线、角平分线、重心的定义中体现出来的性质．
2．会画三角形的高、中线、角平分线．
3．了解三角形的稳定性．
重点
了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，了解三角形具有稳定性这一性质．21世纪教育网版权所有
难点
1．三角形的角平分线与角的平分线的区别，三角形的高与垂线的区别．
2．钝角三角形高的画法．
3．不同的三角形三条高的位置关系．
一、情境导入
生活实例演示：
人字型屋顶钢架、风筝骨架，并从中抽象出数学图形，引出三角形中的特殊线段．
二、探究新知
(一)三角形的高
问题1：如何求三角形的面积？
问题2：什么是三角形的高，怎样画三角形的高？教师首先提出问题1，学生举手回答，然后教师进一步提出来问题2.引入本节课的第一个概念．21·世纪*教育网
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．如图，AD是△ABC的边BC上高．
想一想，一个三角形有几条高？
然后教师要求学生举手画三个不同的三角形，即锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，之后要求学生作出它们的高，然后同学进行交流．
观察：每一个三角形的三条高有什么位置关系？
三条高交于一点．
教师提出问题：各种三角形的高都分别交于一点吗？
学生讨论，交流，然后归纳结果．
练习：教材第5页练习第1题．
学生独立观察，然后交流，归纳．
(二)三角形的中线与角平分线的概念及画法
1．三角形的中线及其画法．
2．三角形的角平分线及其画法．
教师指出三角形中线的定义及角平分线的定义，然后仿照三角形的高的教学过程，安排学生画一画，并相应地提出类似的问题．
学生动手操作，然后交流，探讨，师生共同归纳总结．
三角形的三条中线都在三角形的内部，且它们交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．
三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且它们交于一点．
三角形的三条高不一定在三角形的内部，它们也相交于一点．
三角形的高、中线、角平分线都是线段．
(三)三角形的稳定性
教师利用折尺让学生先折成三角形的样子，然后拆成四边形的样子，认识三角形的稳定性．
学生认识到三角形的稳定性以后，让学生找出几个生活中利用三角形的稳定性的例子，并完成教材第7页练习．
三、练习巩固
练习：教材第5页练习第2题．
思考：如下图，AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD和△ADC的面积有何关系，为什么？
教师布置练习，学生独立完成，然后举手回答．
教师利用投影出示思考题，学生进行讨论后，再进行归纳．
归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
思考：高和角平分线是否也有这样的性质呢？
四、小结与作业
小结：谈谈你对三角形的高、中线、角平分线的认识．
教师引导学生归纳三角形的高、中线、角平分线的相关性质．
布置作业：习题11.1第3，4，8题，选做题：第9题．
以学生为本，充分调动学生的学习兴趣，主动参与到新课堂的实践活动．例如：学生在学习了三角形的角平分线、中线后，引导学生及时比较它们的异同点，以免混淆，建立了求同存异的思想。学生在得到了任意三角形的三条角平分线、中线交于一点，且在三角形的内部，这一规律后，就轻易认为三条高线也适用此规律．教师抓住学生的惯性心理，引导学生通过动手发现新问题，从而解决它．在教学三角形的稳定性时，尽可能利用多媒体引导学生探寻三角形稳定性的数学含义，进而用三角形的稳定性解释“为什么不易变形”，再回归生活，运用三角形的稳定性解释为什么要用上三角形和用三角形解决生活中的问题．
11．2 与三角形有关的角
11．2.1 三角形的内角
1．理解三角形内角和定理的内容，能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题．
2．掌握直角三角形的两个锐角互余，能用有两个角互余的三角形是直角三角形对三角形进行判定．
重点
三角形内角和定理
难点
三角形内角和定理的推理过程．
一、情境导入
我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？21·cn·jy·com
二、探究新知
(一)探究三角形的内角和
1．在所准备的三角形硬纸上标出三个内角的编码．
2．让学生动手把一个三角形的两个剪下拼在第三个角的顶点处(如上图)，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.www.21-cn-jy.com
3．把∠B和∠C剪下按下图拼在一起，用量角器量一量∠MAN的度数，会得到什么结果？
教师在学生完成后，提出问题：
在图(2)中直线CM与AB是什么关系？
在图(3)中直线MN与BC是什么关系？
你能从中找到三角形内角和定理的证明方法吗？
(二)证明三角形内角和定理
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
已知：△ABC，如图．
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
教师引导学生从上面的操作中得到证明三角形内角和定理的方法，然后规范地写出证明过程．注意向学生提示辅助线要用虚线．2·1·c·n·j·y
这一过程中教师应当注意，必须要写出规范的证明过程．教师可以采用示范一个，练习一个的方式．用如上图的方法进行教师示范，用如下图的方法让学生进行练习．
想一想，还有没有其他的方法？(利用同旁内角互补)
三、举例分析
教师用多媒体出示例1，要求学生独立完成．
学生说出解题过程，教师讲评，规范格式．
老师利用多媒体出示例2，学生先读题，弄懂题意，然后师生共同分析解题．
之后教师可进一步向学生提问：“还有没有其他的方法来解决．”
教师指导学生尝试探究直角三角形的两个锐角之间的关系，要求写出推理过程．
学生汇报结果，师生总结得到“直角三角形的两个锐角互余”．
教师多媒体出示例3，指名板演，集体讲评，注重讲题说理．接着让学生思考：有两个角互余的三角形是否是直角三角形？(简单说明理由)【来源：21cnj*y.co*m】
四、课堂练习
练习：教材练习．
补充练习：
1．三角形中最大的角是70°，那么这个三角形是锐角三角形．( )
2．一个三角形中最多只有一个钝角或直角．( )
3．一个等腰三角形一定是锐角三角形．( )
4．一个三角形最少有一个角不大于60°.( )
5．一个三角形中有两个角分别是40°，50°，则这个三角形是直角三角形．( )
五、小结与作业
小结：谈谈本节课的收获．
教师引导学生从定理的证明过程和对例题中解题的思路方法的角度进行小结．
布置作业：习题11.2第1，2，3，7题，选做题：第9题．
在教学中，当引出课题后，先引导学生积极讨论交流探究三角形内角和的方法，再引导学生通过探究活动来得出结论．当学生有困难时，教师也参与学生的研究，适当进行点拨，并充分进行交流反馈，给学生创造了一个宽松和谐的探究氛围．【来源：21·世纪·教育·网】
11．2.2 三角形的外角
1．了解三角形的外角．
2．知道三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
3．学会运用简单的说理来计算三角形相关的角．
重点
三角形外角的性质．
难点
运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推理．
一、复习引入
什么是三角形的内角？它是由什么组成的？
三角形内角和定理的内容是什么？
教师提出问题，学生举手回答问题．
二、探究新知
1．探究三角形外角的概念．
教师布置学生自学教材第14页最后一段话的内容，然后完成以下问题：
(1)举例说明什么是三角形的外角．(上黑板画图说明)
(2)如图，∠ADB，∠BPC，∠BDC，∠DPC分别是哪个三角形的外角？
2．探究三角形外角的性质．
老师布置学生自学教材第15页思考的内容，然后同学间进行交流、讨论，归纳三角形的外角有什么性质，并提出以下问题：21*cnjy*com
你能否用证明的方法说明你所归纳的性质？
学生归纳得出三角形外角的性质：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三、举例分析
例1 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
教师出示教材例4，先让学生进行分析，教师可以适当加以引导学生，将三角形的外角转化为三角形的内角，然后师生共同写出规范的解答过程．
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE＝∠2＋∠3，∠CBF＝∠1＋∠3，∠ACD＝∠1＋∠2.
所以∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3)．
由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°.
四、练习与小结
练习：教材练习．
教师布置练习，学生举手回答．
小结：谈谈你对三角形外角的认识．
教师引导学生谈谈对三角形外角的认识．主要从定义和性质两个方面入手．
五、布置作业
习题11.2第5，6，8题，选做题：第11题．
通过三角形的内角和回顾引入，然后通过学生的预习，在他们的理解基础上，去学习三角形的外角的定义，这样能够加深他们对外角定义的理解，在探索三角形外角定理的时候，我也是采取了学生去探索的思想，让他们自己大胆猜想，然后同学们在老师的引导下去证明自己的猜想，这样以后才能运用自如．
11．3 多边形及其内角和
11．3.1 多边形
了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念．
重点
多边形及有关概念．
难点
区分凹凸多边形．
一、情境导入
问题：什么是三角形，什么是三角形的边、内角？
老师提出问题，学生举手回答．
二、探究新知
(一)多边形的有关概念
问题1：观察下列图片，它们由哪些基本图形组成？
问题2：你能说出生活中的多边形吗？
教师利用投影出示图片，学生观察图片，并进行讨论、交流．之后学生自由发言．
然后教师指出相关的概念．
多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．按组成多边形线段的条数分为三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成，这个多边形叫做n边形．【版权所有：21教育】
根据三角形的内角、外角的概念，你能说出多边形的内角和外角的概念吗？
之后教师提出问题2让学生多举几个例子，然后教师给出凸、凹多边形、正多边形的概念．
要点：
(1)多边形的概念与三角形相比，多了“在平面内”．
(2)正多边形是各边相等，各角也相等，二者缺一不可．
(3)凸、凹多边形的区别．
(二)多边形的对角线的条数
问题：什么是多边形的对角线？三角形有几条对角线，四边形呢？五边形、六边形、n边形呢？
教师给出多边形对角线的概念，然后提出问题，组织学生进行讨论、探究．
教师可以根据图形适当向学生提示：过四边形的一个顶点可以画几条对角线，四边形一共有几条对角线？
过五边形的一个顶点可以画几条对角线，五边形一共有几条对角线？
六边形呢？这里有什么规律吗？
归纳：多边形的对角线的条数是：，
这里n是多边形的边数．
(三)探究凸、凹多边形及正多边形的概念
如图(1)，画出四边形ABCD的任何一条边(例如CD)所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形．而图(2)中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD(或BC)所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧．类似地，画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．本节只讨论凸多边形．www-2-1-cnjy-com
我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等，像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．下图是正多边形的一些例子．
教师要求学生自己去解决这两个问题，可以通过讨论、交流的形式去解决，完成以后，教师可以随机地画几个多边形让学生进行凸、凹多边形的区分．对于正多边形的概念，关键让学生掌握住各边都相等，各角都相等，二者缺一不可．
三、练习与小结
教师布置练习，学生完成后举手回答．
小结：谈谈你本节课的收获．
教师引导学生从概念、相关知识等方面进行小结．
四、布置作业
习题11.3第1题．
教学过程中采用与三角形类比的方式进行教学，有利于学生理解概念。在对角线的教学中，先让学生动手探索从一个顶点出发的对角线的条线的规律，并让其观察分成三角形个数的规律；进而才进行探究对角线的总条线．使学生经历了一次自主获取新知的成功体验，正好体现了“重学习过程，轻学习结果”的新理念．
11．3.2 多边形的内角和
1．掌握多边形的外角和及内角和公式．
2．通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法．
3．了解平面镶嵌的条件，会用简单的平面图形进行平面镶嵌．
重点
探索多边形的内角和公式及外角和．
难点
如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和．
一、复习引入
问题：你知道三角形的内角和是多少度吗？
1．教师提问，学生思考作答．
2．教师总结：三角形的内角和等于180°.
3．引出课题：你想知道任意一个多边形的内角和吗？今天我们就来进一步探讨多边形的内角和与外角和．
二、探究新知
(一)四边形的内角和
问题：你知道任意一个四边形的内角和是多少度吗？
学生展示探究成果．
分割成2个三角形，180°×2＝360°.
分割成4个三角形，180°×4－360°＝360°.
分割成3个三角形，180°×3－180°＝360°.
1．引导学生猜想：四边形的内角和等于360°.
2．学生分小组交流与探究，进一步来论证自己的猜想．
3．由各小组成员汇报探索的思路与方法，讲明理由．
4．教师汇总学生所探索出的不同方法，除测量与拼凑法外，并提出疑问：你们添加辅助线的目的是什么？说一说你的想法．【出处：21教育名师】
5．教师在学生回答的基础上小结：借助辅助线把四边形分割成几个三角形，利用三角形内角和定理求得四边形的内角和．21教育名师原创作品
教师可点拨学生从正方形、长方形这两个特殊的四边形的内角和入手，进而猜测出四边形的内角和等于360°.
(二)五边形的内角和
问题1：你知道任意一个五边形的内角和是多少度吗？
问题2：你知道任意一个n边形的内角和是多少度吗？
(n－2)×180°
180°n－360°
180°(n－1)－180°
板书：
多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)×180°
补充例题：求十五边形内角和的度数．
1．教师提出问题，学生思考后分组活动．
2．教师深入小组，参与小组活动，及时了解学生探索的情况．
3．让学生归纳借助辅助线将五边形分割成三角形的不同分法．
4．探究五边形的边数与所分割的三角形个数间的关系，进而得出五边形内角和与边数的关系．
5．根据以上分割三角形的方法，引导学生归纳n边形内角和公式及不同公式间的联系，指明为了书写整齐，便于记忆，我们选择(n－2)×180°这个公式．21cnjy.com
6．通过计算，让学生巩固并掌握n边形内角和公式．
(三)多边形的外角和
问题1：小明家有一张六边形的地毯，小明绕各顶点走了一圈，回到起点A，并面对他出发时的方向，他的身体旋转了多少度？2-1-c-n-j-y
例：六边形外角和等于多少度？
问题2：n边形外角和等于多少度？
n边形外角和等于360°.
1．学生思考作答，教师作适当点拨．通过课件演示，由学生发现：六边形的外角和等于360°.
2．教师引导学生利用多边形内角和公式，进一步论证六边形外角和等于360°，即六个平角减去六边形内角和等于六边形外角和． 21*cnjy*com
3．进行类比推理并小结：n边形外角和等于n个平角减去n边形内角和，与边数无关．
三、练习应用
1．教材练习．
补充：
2．问题：一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？
四、小结与作业
问题：谈谈本节课你有哪些收获？
1．学生反思学习和解决问题的过程．
2．鼓励学生大胆表达，并对学生的进步给予肯定，树立学生学好数学的自信心．
作业：习题11.3第2，4，5，6，7，8题，选做题：第9，10题．
这节课通过研究发现由多边形的一个顶点引对角线后原多边形被分成(n－2 )三角形，由此可得多边形的内角和公式为：(n－2 )180，这里充分体现由特殊到一般的推理特点．换一个角度看问题，在多边形内任取一点与各个顶点相连得到n 个三角形，但是这里多算了一个周角，因此可得到公式为：180n－360. 这样培养了学生从多方面探究问题的能力．
第十一章 三角形
11．1 与三角形有关的线段
11．1.1 三角形的边
1．会用符号表示三角形，了解按边的大小关系对三角形进行分类；理解掌握三角形三边之间的不等关系，并会初步应用它们来解决问题．【来源：21·世纪·教育·网】
2．进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三边关系．
重点：三角形的三边之间的不等关系．
难点：应用三角形的三边之间的不等关系判断3条线段能否组成三角形．
一、自学指导
自学1：自学课本P2－3页，掌握三角形的概念、表示方法及分类，完成填空．(5分钟)
总结归纳：(1)由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；其中这三条线段叫做三角形的边；相邻两边组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．2-1-c-n-j-y
(2)三边都相等的三角形叫做等边三角形，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 21*cnjy*com
(3)三角形按内角大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．
(4)三角形按边的大小关系可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形；等腰三角形可分为底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形．
点拨精讲：等边三角形是特殊的等腰三角形．
自学2：自学课本P3－4页“探究与例题”，掌握三角形三边关系．(5分钟)
总结归纳：一般地，三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)
1．如图①，以A，B，C为顶点的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”，它的边分别是AB，AC，BC(或a，b，c)，内角是∠A，∠B，∠C，顶点是点A，B，C．
点拨精讲：三角形的边也可以用边所对顶点的小写字母表示．
2．图②中有5个三角形，分别是△ABE，△ABC，△BEC，△CDE，△BCD，以E为顶点的三角形是△ABE，△BEC，△CDE，以∠D为角的三角形是△CDE，△BCD，以AB为边的三角形是△ABE，△ABC．
3．下列长度的三条线段能组成三角形的有②：①3，4，11；②2，5，6；③3，5，8.
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究1 一个等腰三角形的周长为28 cm.
(1)已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；
(2)已知其中一边的长为6 cm，求其他两边的长．
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为3x cm，依题意得2×3x＋x＝28，解得x＝4，3x＝12，∴三边长分别为4 cm，12 cm，12 cm.
(2)设另一边长为x cm，依题意得，当6 cm为底边时，2x＋6＝28，∴x＝11；当6 cm为腰长时，x＋2×6＝28，∴x＝16.∵6＋6＜16，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长为6 cm的等腰三角形，∴其他两边的长为11 cm，11 cm.
探究2 某同学有两根长度为40 cm，90 cm的木条，他想钉一个三角形的木框，那么第三根应该如何选择？(40 cm，50 cm，60 cm，90 cm，130 cm)
解：设第三根木条长为x cm，依题意得90－40＜x＜40＋90，∴50＜x＜130，∴第三根应选60 cm或90 cm.
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．图中有6个三角形，以E为顶点的三角形有△ABE，△ADE，△ACE；以AD为边的三角形有△ABD，△ADE，△ACD．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是C．
A．3，4，8 B．5，6，11 C．2，4，5
3．等腰三角形一条边等于3 cm，一条边等于6 cm，则它的周长为15_cm．
点拨精讲：注意三角形三边关系．
(3分钟)(3分钟)1.等边三角形是特殊的等腰三角形．
2．在进行等腰三角形的相关计算时，要注意分类思想的运用，同时要注意运用三角形三边关系判断所求三条线段长能否构成三角形．
3．已知三角形的两边长，可依据三边关系求出第三边的取值范围．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
11．1.2 三角形的高、中线与角平分线
1．了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念．
2．掌握三角形的高、中线与角平分线的画法；了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点．
重点：三角形的高、中线、角平分线概念的简单运用及它们的几何语言表达．
难点：钝角三角形的高的画法．
一、自学指导
自学1：自学课本P4页，掌握三角形的高的画法，完成下列填空．(4分钟)
作出下列三角形的高：
如图①，AD是△ABC的边BC上的高，则有∠ADB＝∠ADC＝90°．
总结归纳：三角形的高有3条，锐角三角形的三条高都在三角形的内部，相交于一点，直角三角形的三条高相交于三角形的直角顶点上；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部．www-2-1-cnjy-com
自学2：自学课本P4－5页，掌握三角形的中线的画法，理解重心的概念，完成下列填空．(5分钟)
作出下列三角形的中线，回答下面问题：
如图①，AD是△ABC的边BC上的中线，则有DB＝DC＝BC；
总结归纳：三角形的中线有3条，相交于一点，且在三角形的内部，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．
取一块质地均匀的三角形木板，试着找出它的重心．
自学3：自学课本P5页，掌握三角形的角平分线的画法，理解三角形的角平分线与角的平分线的区别，完成下列填空．(3分钟)21cnjy.com
作出下列三角形的角平分线，回答下列问题：
如图①，AD是△ABC的角平分线，则有∠BAD＝∠DAC＝∠BAC；
总结归纳：三角形的角平分线有3条，相交于一点，且在三角形的内部．三角形的角平分线是线段，而角的角平分线是射线．
点拨精讲：三角形的高、中线和角平分线都是线段．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)
完成课本P5页的练习题1，2.
小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)
探究1 如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则：
(1)∵AE是△ABC的中线，∴BE＝CE＝BC；
(2)∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC；
(3)∵AF是△ABC的高，∴∠AFB＝∠AFC＝90°；
(4)∵AE是△ABC的中线，∴BE＝CE，又∵S△ABE＝BE·AF，S△AEC＝CE·AF，∴S△ABE＝S△ACE.【版权所有：21教育】
点拨精讲：三角形的高、中线和角平分线的概念既是性质，也可以做为判定定理用．
探究2 如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，△ABC的高AD与CE的比是多少？
解：∵AB·CE＝BC·AD，AB＝2，BC＝4，∴CE＝2AD，∴AD∶CE＝1∶2.
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是(C)
A．直线 B．射线
C．线段 D．射线或线段
2．一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是(B)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
3．能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是(D)
A．中线 B．高
C．角平分线 D．以上都正确
4．如图，D，E是边AC的三等分点：
(1)图中有6个三角形，BD是三角形ABE中AE边上的中线，BE是三角形DBC中CD边上的中线，AD＝DE＝EC＝AC，AE＝DC＝AC；【出处：21教育名师】
(2)S△ABD＝S△DBE＝S△EBC＝S△ABC；
(3)S△ABE＝S△DBC＝S△ABC．
(1分钟)
1．三角形的高、中线和角平分线都是线段．
2．三角形的高、中线和角平分线的概念既可得到角与线段的数量关系，也可做为判定三角形高、中线和角平分线的判定定理．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
11．1.3 三角形的稳定性
通过观察和操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的应用．
重、难点：了解三角形稳定性在生产、生活中的实际应用.
一、自学指导
自学：自学课本P6－7页，掌握三角形的稳定性及应用，完成下列填空．(5分钟)
将准备好的木条做成的三角形木架、四边形木架取出进行操作并观察：
(1)如图①，扭动三角形木架，它的形状会改变吗？
(2)如图②，扭动四边形木架，它的形状会改变吗？
总结归纳：由上面的操作我们发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变．
(3)如图③，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．想一想其中的道理是什么？
总结归纳：三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)
1．课本P7页练习题第1题．
2．请例举生活中关于三角形的稳定性与四边形的不稳定性的应用实例．
小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)
探究1 要使四边形不变形，最少需要加1条线段，五边形最少需要加2条线段，六边形最少需要加3条线段……n边形(n＞3)最少需要加(n－3)条线段才具有稳定性．
点拨精讲：过一点把一个多边形分成若干个三角形最少需要几条线段．
探究2 等腰三角形一腰上的中线将此等腰三角形分成9 cm，15 cm两部分，求此等腰三角形的周长是多少？
解：设等腰三角形的腰长为x cm，底边长为y cm，依题意得，当x＞y时，解得当x＜y时，解得∵6＋6＝12，不符合三角形的三边关系，故舍去．∴此三角形的周长为10＋10＋4＝24(cm)．
答：此等腰三角形的周长为24 cm.
点拨精讲：此题用到分类思想，同时要考虑三角形的三边关系．
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．课本P9页第10题．
2．下列图形具有稳定性的有(C)
A．梯形 B．长方形
C．三角形 D．正方形
3．体育馆屋顶的横梁用钢筋焊出了无数个三角形，是因为：三角形具有稳定性．
4．已知AD，AE分别是△ABC的中线、高，且AB＝5 cm，AC＝3 cm，则△ABD与△ADC的周长之差为2_cm；△ABD与△ADC的面积关系是相等．21·世纪*教育网
5．如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC交AB边于E，DF∥AB交AC边于F，且∠ADE＝∠ADF.求证：AD是△ABC的角平分线．
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴∠ADE＝∠DAC，∠ADF＝∠DAB，又∵∠ADE＝∠ADF，∴∠DAC＝∠DAB，∴AD是△ABC的角平分线．
(1分钟)
三角形的稳定性与四边形的不稳定性在日常生活中非常常用．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(12分钟)
11．2 与三角形有关的角
11．2.1 三角形的内角(1)
1．会用不同的方法证明三角形的内角和定理．
2．能应用三角形内角和定理解决一些简单的问题．
重点：三角形内角和定理的应用．
难点：三角形内角和定理的证明．
一、自学指导
自学1：自学课本P11－12页“探究”，掌握三角形内角和定理的证明方法，完成下列填空．(5分钟)
归纳总结：三角形内角和定理——三角形三个内角的和等于180°．
已知：△ABC．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．
点拨精讲：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线．作辅助线是几何证明过程中常用到的方法，辅助线通常画成虚线．21*cnjy*com
证明：延长BC到点D，过点B作BE∥AC，∵BE∥AC，∴∠1＝∠A，∠2＝∠C，∵∠1＋∠2＋∠ABC＝180°，∴∠A＋∠ABC＋∠C＝180°．
自学2：自学课本P12－13“例1、例2”，掌握三角形内角和的应用．(5分钟)
你可以用其他方法解决例2的问题吗？
点拨精讲：可过点C作CF∥AD，可证得CF∥BE，同时将∠ACB分成∠ACF与∠BCF，求出这两个角的度数，就能求出∠ACB.
解：过点C作CF∥AD，∵AD∥BE，∴CF∥BE，∵CF∥AD，CF∥BE，∴∠ACF＝∠DAC＝50°，∠FCB＝∠CBE＝40°，∴∠ACB＝∠ACF＋∠FCB＝50°＋40°＝90°，∵∠CAB＝∠DAB－∠DAC＝80°－50°＝30°，∴∠ABC＝180°－∠CAB－∠ACB＝180°－30°－90°＝60°.
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)
完成课本P13页的练习题1，2.
点拨精讲：仰角是当视线在视平线上方时视线与视平线所夹的角．
小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(7分钟)
探究1 ①一个三角形中最多有1个直角；②一个三角形中最多有1个钝角；③一个三角形中至少有2个锐角；④任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为60°．为什么？
点拨精讲：三角形的内角和为180°.
探究2 如图，在△ABC中，EF与AC交于点G，与BC的延长线交于点F，∠B＝45°，∠F＝30°，∠CGF＝70°，求∠A的度数．
解：在△CGF中，∠GCF＝180°－∠CGF－∠F＝180°－70°－30°＝80°，∴∠ACB＝180°－∠GCF＝180°－80°＝100°，在△ABC中，∠A＝180°－∠B－∠ACB＝180°－45°－100°＝35°.
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．课本P16页复习巩固第1题．
2．在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝43°，则∠C＝102°．
3．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝80°．
4．在△ABC中，如果∠A＝∠B＝∠C，那么△ABC是什么三角形？
解：∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＋2∠A＋3∠A＝180°，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．
(3分钟)(3分钟)为了说明三角形的内角和为180°，转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
11．2.1 三角形的内角(2)
1．掌握直角三角形的表示方法，并理解直角三角形的性质与判定．
2．能运用直角三角形的性质与判定解决实际问题．
重、难点：理解和运用直角三角形的性质与判定．
一、自学指导
自学：自学课本P13－14页，掌握直角三角形的表示方法及其性质，完成下列填空．(5分钟)
总结归纳：(1)直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．
(2)直角三角形的两个锐角互余．
(3)有两个角互余的三角形是直角三角形．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(10分钟)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，求出∠A，∠B的度数．
解：Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°(直角三角形的两个锐角互余)．
∵∠A＝2∠B，∴2∠B＋∠B＝90°，∴∠B＝30°，∠A＝60°.
2．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
解：结论：∠ACD＝∠B.
理由如下：在Rt△ACB中，∠A＋∠B＝90°，在Rt△ACD中，∠A＋∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B.
点拨精讲：利用同角的余角相等可以方便地证出两角的相等关系．
3．如图，∠C＝90°，∠AED＝∠B，△ADE是直角三角形吗？为什么？
解：结论：△ADE是直角三角形．
理由如下：在Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°(直角三角形的两个锐角相等)．
∵∠AED＝∠B，∴∠A＋∠AED＝90°，∴△ADE是直角三角形(有两个角互余的三角形是直角三角形)．
小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)
探究1 如图，AB∥CD，AE，CE分别平分∠BAC，∠ACD.求证：△ACE是Rt△.
证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，∵AE，CE分别平分∠BAC，∠ACD，∴∠EAC＝∠BAC，∠ACE＝∠ACD，∴∠EAC＋∠ACE＝∠BAC＋∠ACD＝90°，∴△ACE是Rt△(有两个角互余的三角形是直角三角形)．
探究2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD，BD是∠CAB，∠CBA的角平分线，求∠D的度数．
解：在Rt△ABC中，∠CAB＋∠CBA＝90°，
∵AD，BD是∠CAB，∠CBA的角平分线，∴∠DAB＝∠CAB，∠DBA＝∠CBA，∴∠DAB＋∠DBA＝∠CAB＋∠CBA＝45°，在△ADB中，∠D＝180°－(∠DAB＋∠DBA)＝180°－45°＝135°.
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则此三角形是直角三角形．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B.
求证：△ACD是Rt△.
证明：在Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°(直角三角形的两个锐角互余)．
∵∠ACD＝∠B，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴△ACD是Rt△(有两个角互余的三角形是直角三角形)．
(3分钟)(3分钟)1.直角三角形的性质：两个锐角互余．
2．直角三角形的判定：①有一个角是直角；②两边互相垂直；③有两个角互余；
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
11．2.2 三角形的外角
1．探索并了解三角形的外角的两条性质，利用学过的定理证明这些性质．
2．能利用三角形的外角性质解决实际问题．
重点：三角形外角的性质．
难点：运用三角形外角的性质解决有关角的计算及证明问题．
一、自学指导
自学1：自学课本P14页，掌握三角形外角的定义，完成下列填空．(3分钟)
如图1，把△ABC的边BC延长到D，我们把∠ACD叫做三角形的外角．
思考：①在△ABC中，除了∠ACD外，还有那些外角？请在图2中分别画出来；②以点C为顶点的外角有2个，所以△ABC共有6个外角；③外角∠ACD与内角∠ACB的关系是：互为邻补角．
总结归纳：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角；每一个三角形都有6个外角；每一个顶点相对应的外角都有2个；每个外角与它相邻的内角互为邻补角．
自学2：自学课本P15页“探究与例4”，理解三角形外角的性质并学会运用．(7分钟)
如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠ACD是△ABC的一个外角．能由内角∠A，∠B求出外角∠ACD吗？如果能，外角∠ACD与内角∠A，∠B有什么关系？认真思考，完成下面的填空：
(1)∠ACB＝50°，∠ACD＝130°，∠A＋∠B＝130°，∠ACD＝∠A＋∠B；(填“＞”“＜”或“＝”)
(2)∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.(填“＞”“＜”或“＝”)
总结归纳：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．【来源：21cnj*y.co*m】
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)
1．如图，是△BFD的外角有∠CDA，∠BFC，∠DFE，以∠AEB为外角的三角形是△CEF，△CEB．
2．如图，∠1，∠2，∠3是△ABC不同的三个外角，求∠1＋∠2＋∠3.
解：∵∠1＝∠ABC＋∠ACB，∠2＝∠BAC＋∠ACB，∠3＝∠ABC＋∠CAB，
∴∠1＋∠2＋∠3＝2(∠ABC＋∠ACB＋∠BAC)，∵∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝2×180°＝360°.
3．课本P15页练习题．
小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)
探究1 如图，在△ABC中，∠A＝α，△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P，且∠P＝β，试探求下列各图中α与β的关系，并选一个结论加以证明．
解：①β＝α＋90°；②β＝α；③β＝90°－α.
证明：(略)
探究2 如图，∠A＝50°，∠B＝40°，∠C＝30°，求∠BPC的度数．
解：连接AP并延长到点E，∵∠BPE＝∠B＋∠BAP，∠CPE＝∠C＋∠CAP，又∵∠BPC＝∠BPE＋∠CPE，∴∠BPC＝∠B＋∠BAP＋∠C＋∠CAP＝∠BAC＋∠B＋∠C＝50°＋40°＋30°＝120°.21世纪教育网版权所有
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是(C)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
2．已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数为(C)
A．90° B．110° C．100° D．120°
3．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°．
,第4题图)
4．如图，BE∥CF，∠B＝50°，∠C＝75°，求∠A的度数．
解：∵BE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∵∠ADE＝∠B＋∠A，∴50°＋∠A＝75°，∴∠A＝25°.2·1·c·n·j·y
(3分钟)(3分钟)1.三角形的每个顶点处都有2个外角，这两个外角互为对顶角，外角与它相邻的内角互为邻补角．
2．在三角形的每个顶点处各取一个外角，这三个外角的和为360°.
3．三角形外角的性质是三角形有关角的计算与证明的常用依据．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
11．3 多边形及其内角和
11．3.1 多边形
1．理解多边形的相关概念．
2．认识凸多边形及正多边形，掌握正多边形的定义及判定．
重点：理解多边形的相关概述．
难点：掌握正多边形的定义及判定．
一、自学指导
自学1：自学课本P19页，掌握多边形的相关概念，完成下列填空．(5分钟)
总结归纳：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．多边形相邻两边组成的角叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．21教育名师原创作品
自学2：自学课本P20页，掌握多边形的相关概念，完成下列填空．(5分钟)
总结归纳：(1)连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
(2)画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．
(3)各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)
1．四边形有4条边，4个顶点，4个内角，8个外角；五边形有5条边，5个顶点，5个内角，10个外角；n边形有n条边，n个顶点，n个内角，2n个外角．
2．画出下列多边形的全部对角线：
3．四边形的一条对角形将四边形分成2个三角形，从五边形的一个顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分成3个三角形．
小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)
探究1：过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，求mn的平方根．
解：由题意可得m－3＝7，∴m＝10，n＝3，∴±＝±.
探究2：填表
顶点数
一个顶点可引
的对角线条数
对角线总
共条数
过一个顶点可分
成三角形个数
四边形
4
1
2
2
五边形
5
2
5
3
六边形
6
3
9
4
…
…
…
…
…
n边形
n
n－3
n－2
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．下列图形中，是正多边形的是(D)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．长方形 D．正方形
2．过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是10.
3．一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的边数．
解：设这是一个n边形，依题意得＝4n，∵n≥3且为整数，∴n＝11.
(3分钟)1.在初中阶段所讲的多边形指的都是凸多边形．
2．已知多边形的边，可以推导出其对角线的条数和分成的三角形的个数；反过来，已知过一点所画对角线的条数或分成的三角形的个数可以推导出多边形的边数．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
11.3.2 多边形的内角和
探索多边形的内角和公式及外角和，会利用多边形的内角和公式解决问题．
重点：掌握多边形的内角和公式．
难点：探索多边形的内角和公式．
一、自学指导
自学1：自学课本P21－22页，掌握多边形内角和公式的推导方法，完成下列填空．(5分钟)
填写下列表格：
多边形
三角形
四边形
五边形
六边形
…
n边形
一个顶点可引的
对角线条数
0
1
2
3
…
n－3
所引对角线分成
三角形的个数
1
2
3
4
…
n－2
总结归纳：三角形的内角和为180度；任意四边形的内角和为360度；任意五边形的内角和等于540度；六边形的内角和等于720度；n边形的内角和等于(n－2)·180°；多边形的边数每增加一条，那么它的内角和就增加180°．21·cn·jy·com
点拨精讲：多边形可分成若干个三角形，将多边形内角和转化成三角形知识(如图1，2)．
自学2：自学课本P22－23例1，例2和探究，掌握多边形外角和应用．(5分钟)
如图3，根据前面三角形的有关知识，探索在每个五边形顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和，五边形的外角和等于360度，六边形的外角和是360度．
总结归纳：n边形的外角和是360°．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)
1．课本P24页练习题1，2，3.
2．七边形的内角和900°，十边形的内角和是1440°；如果一个多边形的内角和等于1260°，那么它是九边形．21教育网
3．已知四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4，则∠C＝108°．
4．求出正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形的内角的度数．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究1 (1)一个多边形的内角和是外角和的一半，它是几边形？
(2)一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？
解：(1)设它是n边形，则有180°·(n－2)＝×360°，∴n＝3.
(2)设它是n边形，则有180°·(n－2)＝2×360°，∴n＝6.
探究2 如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB＝60°，AB与DE有怎样的位置关系？BC与FE有这种关系吗？www.21-cn-jy.com
解：结论：AB∥DE，BC∥FE.
证明：(略)
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．一个多边形的每个内角都等于150°，则它的边数为12．
2．一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？
3．已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，求这个多边形的边数．
解：设这个边多形的边数为n，则有180°(n－2)＝2×180°×(5－2)，∴n＝8.
(3分钟)1.已知多边形的边数可以求出其内角和，根据其内角和也可以求出其边数．
2．内角和的推理要用到转化的思想，将多边形的知识转化为三角形的知识．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
第十一章综合能力检测题
时间：100分钟 满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列长度的各组线段中可组成三角形的是( D )
A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，3，6 D.，，
2．下列事例应用了三角形稳定性的有( B )
①人们通常会在栅栏门上斜着钉上一根木条；②新植的树木，常用一些粗木与之成角度的支撑起来防止倒斜；③四边形模具．21·cn·jy·com
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
3．多边形每一个内角都等于150°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为( C )
A．7条 B．8条 C．9条 D．10条
4．在△ABC中，能说明△ABC是直角三角形的是( C )
A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶2 B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4
5．如果三角形的一个外角是锐角，那么这个三角形为( A )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
6．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝80°，∠ACB＝60°，那么∠BDC的度数是( D )2·1·c·n·j·y
A．80° B．90°
C．100° D．110°
7．如图所示三角形纸片，其中有一个内角为60°，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为( C )【来源：21·世纪·教育·网】
A．120° B．180°
C．240° D．300°
8．如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是( D )
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
9．在锐角三角形中，最大角α的取值范围是( D )
A．0°<α<90° B．60°<α<90°
C．60°<α<180° D．60°≤α<90°
10．一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是( D )21世纪教育网版权所有
A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．一个起重架的结构如图所示，如果∠1＝155°，那么∠2＝__65°__．
12．P为△ABC中BC边的延长线上一点，且∠A＝40°，∠B＝70°，则∠ACP＝__110°__．21·世纪*教育网
13．如果一个三角形的两边长分别为2 cm和7 cm，且第三边为奇数，则三角形的周长是__16__cm. 21*cnjy*com
14．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角与一个外角的度数比为5∶1，则这个多边形的边数是__十二__．21教育名师原创作品
15．在活动课上，小红有两根长为4 cm、8 cm的小棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒的长度是__8__cm.
16．下图是一颗五角星，则∠ABC为__108__度．
,第18题图)
17．一个三角形的两边长为8和10，则它的最短边a的取值范围是__2
18．如图，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的高，∠BAC＝40°，则∠AFE的度数为__70°__．
三、解答题(共66分)
19．(6分)在△ABC中，已知∠A＝105°，∠B比∠C大15°，求∠B，∠C的度数．
解：∠B＝45°，∠C＝30°
20．(6分)如图，一个宽度相等的纸条，如图折叠，则∠1的度数是多少？
解：∠1＝40°
21．(8分)如图，已知AC⊥BC，CD⊥AD，∠B＝30°，∠ACD＝40°，求图中能用字母表示出来的四边形ABCD的外角的度数．www.21-cn-jy.com
解：图中四边形ABCD的外角有∠CDF，∠BAE，因为∠CDA＝90°，所以∠CDF＝90°，因为∠CDA＝90°，∠ACD＝40°，三角形内角和是180°，所以∠CAD＝50°，因为∠ACB＝90°，∠B＝30°，三角形内角和是180°，所以∠BAC＝60°，所以∠EAB＝180°－50°－60°＝70° www-2-1-cnjy-com
22．(8分)△ABC的三边长a，b，c是三个连续的偶数，且△ABC的周长为24 cm，求a，b，c.2-1-c-n-j-y
解：a＝6 cm，b＝8 cm，c＝10 cm
23．(8分)如图，△ABC中，点O是高AD，BE的交点，观察图形猜想∠C和∠DOE之间有怎样的数量关系？并说明你的结论．【出处：21教育名师】
解：∠C＋∠EOD＝180°，说明略
24．(8分)如图，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC＝100°，求△BDE各内角的度数．21教育网
解：∵∠BDC是△ABD的一个外角，∴∠BDC＝∠A＋∠DBE，∴∠DBE＝∠BDC－∠A＝100°－60°＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠DBE＝40°，∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠DBC＝40°，在△BDE中，∠BED＝180°－∠DBE－∠BDE＝180°－40°－40°＝100°，∴△BDE各内角的度数是∠BDE＝∠DBE＝40°，∠BED＝100° 【来源：21cnj*y.co*m】
25．(10分)如图所示，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F，请判断BE与DF是否平行，并说明理由．
解：BE∥DF，先说明∠ABC＋∠ADC＝180°，从而∠1＋∠3＝90°，又易得∠3＋∠5＝90°，从而有∠1＝∠5，即BE∥DF 【版权所有：21教育】
26．(12分)已知：如图，∠xOy＝90°，点A，B分别在射线Ox，Oy上移动，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化，如果保持不变，请给出证明，如果随点A，B的移动发生变化，请求出变化的范围．
解：∠ACB＝45°，不变，因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠4＝∠C＋∠1，∠3＋∠4＝2∠4＝∠1＋∠2＋90°，即2∠4＝2∠1＋90°，而2∠4＝2∠C＋2∠1，所以2∠C＝90°，∠C＝45° 21cnjy.com
课件9张PPT。Company name
Name of presentation第十一章 三角形11.1.1 三角形的边【学习目标】
1、会用符号表示三角形，了解按边关系对三角形进行分类.；理解掌握三角形三边之间的不等关系，并会初步应用它们来解决问题；
2、进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三边关系；
【学习重、难点】
重点：三角形的三边之间的不等关系；
难点：应用三角形的三边之间的不等关系判断3条线段能否组成三角形。【预习导学】一、自学指导
1、自学1：自学课本P2-3页，掌握三角形的概念、表示方法及分类，完成填空。5分钟
总结归纳：①由 的三条线段 相接所组成的图形叫做三角形；其中这三条线段叫做 ； 组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点叫做三角形的 。
② 都相等的三角形叫做等边三角形，有 相等的三角形叫做等腰三角形。在等腰三角形中， 都叫做腰，另一边叫做 ，
叫做顶角，腰和底边的夹角叫做 。
③三角形按内角大小可分为 ；
④三角形按边的大小关系可分为 ；等腰三角形可分为 。不在同一条直线上首尾顺次三角形的边相邻两边顶点三边两条边相等的两边底边两腰的夹角底角锐角三角形 、 直角三角形 、 钝角三角形三边都不相等的三角形 、 等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形 、 等边三角形点拨精讲：等边三角形是特殊的等腰三角形。2、自学2：自学教材P3－4页探究与例题，掌握三角形三边关系。5分钟
总结归纳：一般地，三角形的两边的和 第三边；三角形的两边的差 第三边.【预习导学】二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。5分钟
1、如图一，以A、B、C为顶点的三角形记
作 ，读作 ，它的边分别
是 ，内角是
，顶点是 。
2、图中有 个三角形，分别是
，
以E为顶点的三角形是 ，
以∠D为角的三角形是 ，以AB
为边的三角形是 。
3、下列长度的三条线段能组成三角形的有 ：① 3，4，11；② 2，5，6；③ 3，5，8.
大于小于点拨精讲：三角形的边也可以用边所对顶点的小写字母表示。△ABC“三角形ABC”AB、AC、BC（或a、b、c）∠A、∠B、∠C点A、点B、点C5△ABE、△ABC、△BEC △CDE、△BCD△ABE、△BEC △CDE△CDE、△BCD△ABE、△ABC②【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟 探究1 一个等腰三角形的周长为28cm.①已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟 探究2 某同学有两根长度为40cm、90cm的木条，他想钉一个三角形的木框，那他第三根应该如何选择？（40cm，50cm，60cm，90cm，130 cm）【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。5分钟 1、图中有 6 个三角形。以E为顶点的三角形有 ；以AD为边的三角形有 。
2、下列长度的三条线段能组成三角形的是 ；
A、3,4,8 B、5,6,11 C、2,4,5
3、等腰三角形一条边等于3cm，一条边等于6cm，它的周
长为 。
点拨精讲：注意三角形三边关系。△ABE、△ADE、△ACE△ABD、△ADE、△ACDC15cm 1、等边三角形是特殊的等腰三角形；
2、在进行等腰三角形的相关计算时，要注意分类思想的运用，同时要注意运用三角形三边关系进行判断所求三条线段长能否构成三角形。
3、已知三角形的两边长，可依据三边关系求出第三边的取值范围。【点拨精讲】（3分钟）【课堂小结】
（学生总结本堂课的收获与困惑）2分钟
【当堂训练】10分钟课件11张PPT。Company name
Name of presentation第十一章 三角形11.1.2 三角形的高、中线与角平分线【学习目标】
1、了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念；
2、掌握三角形的高、中线与角平分线的画法；了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点。
【学习重、难点】
重点：三角形的高、中线、角平分线概念的简单运用及它们的几何语言表达。
难点：钝角三角形的高的画法。【预习导学】
一、自学指导
1、自学1：自学课本P4页，掌握三角形的高的画法，完成下列填空。4分钟
作出下列三角形的高：
①如图1，AD是△ABC的边 上的高，则有∠ADB= = ；
总结归纳：三角形的高有 条，锐角三角形的三条高都在三角形的 ；直角三角形的三条高相交于三角形的 ；钝角三角形的三条高相交于三角形的 。BC∠ADC90o3内部直角顶点上外部【预习导学】2、自学2：自学教材P4－5页，掌握三角形的中线的画法，理解重心的概念，完成下列填空。5分钟
①作出下列三角形的中线，回答下面问题： 如图1，AD是△ABC的边 上的中线，则有DB＝ ＝ . 总结归纳：三角形的中线有 条，相交于 点，且在三角形的 ，三角形三条中线的交点叫做三角形的 。
②取一块质地均匀的三角形木板，试着找出它的重心。31内部重心【预习导学】2、自学3：自学教材P5页，掌握三角形的角平分线的画法，理解三角形的角平分线与角的平分线的区别，完成下列填空。3分钟
作出下列三角形的角平分线，回答下列问题： 如图1，AD是△ABC的角平分线，则有∠BAD＝ ＝ . 总结归纳：三角形的角平分线有 条，相交于 点，且在三角形的
。三角形的角平分线是 ，而角的角平分线是 。点拨精讲：三角形的高、中线和角平分线都是线段。∠DAC31射线线段内部【预习导学】 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。5分钟
1、完成教材P5页的练习题1、2.【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟 点拨精讲：∠DAC
∠BAC∠AFC探究1 如右图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。则
①∵AE是△ABC的中线，∴BE＝ ＝ ；
②∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝ .＝ ；
③∵AF是△ABC的高，∴∠AFB＝ ＝90o
④∵AE是△ABC的中线，
∴BE=CE
又∵ . , .
∴
三角形的高、中线和角平分线的概念既是性质也可以做为判定定理用。【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟 探究2 【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。5分钟DBCABEAEDBC CDDEECACDC【点拨精讲】（3分钟） 1、三角形的高、中线和角平分线都是线段；
2、三角形的高、中线和角平分线的概念既可得到角与线段的数量关系，也可做为判定三角形高、中线和角平分线的判定定理。【课堂小结】
（学生总结本堂课的收获与困惑）2分钟
【当堂训练】10分钟课件9张PPT。第十一章 三角形11.1.3三角形的稳定性【学习目标】
1、通过观察和操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的应用；
【学习重、难点】
重点：了解三角形稳定性在生产、生活中的实际应用。【预习导学】一、自学指导
1、自学1：自学课本P6－7页，掌握三角形的稳定性及应用，完成下列填空。5分钟
将准备好的木条做成的三角形木架、四边形木架取出进行操作并观察：
①如图⑴扭动三角形木架，它的形状会改变吗？
②如图⑵扭动四边形木架，它的形状会改变吗？
总结归纳：由上面的操作我们发现，三角形木架的形
状_ _，而四边形木架的形状_ 。
③如图⑶斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变.想
一想其中的道理是什么？
不会改变会改变三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性总结归纳： 。【预习导学】二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。5分钟
1、教材P7页练习题第1题；
2、请例举生活中关于三角形的稳定性与四边形的不稳定性的应用实例。【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟
探究1 要使四边形不变形，至少需要加 条线段，五边形至少需要加 上 条线段，六边形至少需要加 条线段，… n边形（n﹥3）最少需要加 条线段才具有稳定性。
点拨精讲：过一点能这个多边形分成若干个三角形最少需要几条线段。123（n－3）【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟探究2 等腰三角形一腰上的中线将此等腰三角形成9cm、15cm两部分，求此等腰三角形周长是多少？ 点拨精讲：此题用到分类思想，同时要考虑三角形的三边关系。【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。5分钟1、教材P9页第10题.
2、下列图形具有稳定性的有（ ）
A 梯形 B 菱形 C 三角形 D 正方形
3、体育馆屋顶的横梁用钢筋焊出了无数的三角形，
是因为： 4、已知AD、AE分别是△ABC的中线、高，且AB＝5cm ，AC＝3cm ，则△ABD与△ADC的周长之差为_ ；△ABD与△ADC的面积关系是 .
5、如图，D是△ABC中 BC边上的一点， DE∥AC，DE交AB边于E，DF∥AB，DF交AC边于F，且∠ADE=∠ADF。
证明：AD是△ABC的角平分线。 证明：∵DE∥AC，DF∥AB
∴∠ADE=∠DAC，∠ADF=∠DAB
又∵∠ADE=∠ADF
∴∠DAC＝∠DAB
∴AD是△ABC的角平分线C 三角形具有稳定性 。2cm2cm相等【点拨精讲】（3分钟） 1、三角形的稳定性与四边形的不稳定性在日常生活中非常常用。【课堂小结】
（学生总结本堂课的收获与困惑）2分钟
【当堂训练】10分钟课件10张PPT。第十一章 三角形11.2.1 三角形的内角（1）【学习目标】
1、会用不同的方法证明三角形的内角和定理；
2、能应用三角形内角和定理解决一些简单的问题。
【学习重、难点】
重点：三角形内角和的应用。
难点：三角形内角和定理的证明。【预习导学】点拨精讲：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。做辅助线是几何证明过程中常用到的方法，辅助线通常画成虚线。一、自学指导
1、自学1：自学课本P11－12页探究，掌握三角形内角和定理的证明方法，完成下列填空。5分钟归纳总结：三角形内角和定理—— 。
已知： 求证： 三角形三个内角的和等于180o △ABC ∠A+∠B+∠C＝180o证明：延长 到点D，过点 作
∵BE//AB
∴
∵ ＝180o
∴ ∠A+∠ABC+∠C＝180o∠1＝∠A，∠2＝∠CBBCBE//AB ∠1+∠2+∠ABC【预习导学】 点拨精讲：可过点C作CF//AD，可证得CF//BE，同时将∠ACB分成∠ACF与∠BCF，求出这两个角的度数，就能求出∠ACB. 解：过点C作CF//AD
∵AD//BE
∴CF//BE
∵CF//AD，CF//BE
∴∠ACF＝∠DAC＝50o，∠FCB＝∠CBE＝40o
∴∠ACB＝∠ACF+∠FCB＝50o+40o＝90o
∵∠CAB＝∠DAB－∠DAC＝80o－50o＝30o
∴∠ABC＝180o－∠CAB－∠ACB＝180o－30o－90o＝60o
答：从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60o，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90o2、自学2：自学教材P12-13例1、例2，掌握三角形内角和的应用。5分钟
你可以用其他方法解决例2的问题吗？【预习导学】二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。5分钟
1、教材P13页练习第1、2两题
点拨精讲：仰角是当视线在视平线上方时视线与视平线所夹的角。
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。7分钟 探究1 ①一个三角形中最多有 个直角；
②一个三角形中最多有 个钝角；
③一个三角形中至少有 个锐角；
④任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为 。
为什么？
60o 211点拨精讲：三角形的内角和为180o
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。7分钟
探究2 如图：已知在△ABC中，EF与AC交于点G，与BC的延长线交于点F，∠B=45°，∠F=30°，∠CGF=70°，求∠A的度数.解：在△CGF中，
∠GCF=180°－∠CGF－∠F=180°－70°－30°=80°
∴∠ACB=180°－∠GCF=180°－80°=100°
在△ABC中，∠A=180°－∠B－∠ACB
=180°－45°－100°
=35°【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。5分钟
1、教材P16页复习巩固第1题；
2、在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43°，则∠C＝ .
3、在△ABC中，∠A :∠B:∠C=2:3:4，则∠A = ，∠B= ，∠C= .
4、在△ABC中，如果∠A= ∠B=∠C，那么△ABC是什么三角形？80° . 40°102°60°【点拨精讲】（3分钟） 1、为了说明三个角的和为180o，转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法.【课堂小结】
（学生总结本堂课的收获与困惑）2分钟
【当堂训练】10分钟课件10张PPT。第十一章 三角形11.2.1 三角形的内角（2）【学习目标】
1、掌握直角三角形的表示方法，并理解直角三角形的性质与判定；
2、能运用直角三角形的性质与判定解决实际问题。
【学习重、难点】
重点：理解和运用直角三角形的性质与判定。【预习导学】“Rt△” Rt△ABC 互余有两个角互余【预习导学】二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。10分钟
1、在Rt△ABC中，∠C＝90o，∠A＝2∠B，
求出∠A、∠B的度数？解：Rt△ABC中，∠A+∠B＝90o（直角三角形的两个锐角互余）
∵∠A＝2∠B
∴2∠B+∠B＝90o
∴∠B＝30o，∠A＝60o【预习导学】 2、如图，∠ACB＝90o，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B
有什么关系？为什么？结论：∠ACD＝∠B
理由如下：在Rt△ACB中，∠A+∠B＝90o
在Rt△ACD中，∠A+∠ACD＝90o
∴∠ACD＝∠B点拨精讲：利用同角的余角相等可以方便证出两角的相等关系。 3、如图，∠C＝90，∠AED＝∠B，△ADE是直角三角形吗？
为什么？结论：△ADE是直角三角形
理由如下：在Rt△ABC中，∠A+∠B＝90o（直角三角形的两个锐角相等）
∵∠AED＝∠B
∴∠A+∠AED＝90o
∴△ADE是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟 探究1 已知：如图，AB//CD，AE、CE分别平分∠BAC、∠ACD；求证：△ACE是Rt△.【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟探究2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90o，AD、BD是∠CAB、∠CBA的角平分线，求∠D的度数。【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。5分钟1、在△ABC中，∠A:∠B:∠C＝1：2：3，则此三角形是 ；
2、已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90o，∠ACD＝∠B；
求证：△ACD是Rt△.证明：在Rt△ABC中，
∠A+∠B＝90o（直角三角形的两个锐角互余）
∵∠ACD＝∠B
∴∠A+∠ACD＝90o
∴△ACD是Rt△（有两个角互余的三角形是直角三角形）
直角三角形 【点拨精讲】（3分钟）1、直角三角形的性质：两个锐角互余。
2、直角三角形的判定：
①有一个角是直角；
②两边互相垂直；
③有两个角互余；【课堂小结】
（学生总结本堂课的收获与困惑）2分钟
【当堂训练】10分钟课件10张PPT。Company name
Name of presentation第十一章 三角形11.2.1 三角形的外角【学习目标】
1、探索并了解三角形的外角的两条性质，利用学过的定理论证这些性质。
2、能利用三角形的外角性质解决实际问题。
【学习重、难点】
重点：三角形外角的性质。
难点：运用三角形外角的性质解决有关角的计算及证明问题。【预习导学】一、自学指导
1、自学1：自学课本P14页，掌握三角形外角的定义，完成下列填空。3分钟
如图1，把△ABC的边BC延长到D，我们把∠ACD叫做三角形的 。
思考：①在△ABC中，除了∠ACD外，还有那些外角？请在图2中分别画出来；②以点C为顶点的外角有 个；所以，△ABC共有 个外角；③外角∠ACD与内角∠ACB的关系是：互为 角。
总结归纳： 组成的角，叫做三角形的外角；每一个三角形都有 个外角；每一个顶点相对应的外角都
有 个；每个外角与它相邻的内角互为 。外角 62邻补62邻补角三角形的一边与另一边的延长线 【预习导学】2、自学2：自学教材P5页探究与例4，理解三角形外角的性质并学会运用。7分钟
如图3，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角。能由内角∠A，∠B求出外角∠ACD吗？如果能，外角∠ACD与内角∠A，∠B有什么关系？认真思考，完成下面的填空：
①∠ACB= ；∠ACD= ； ∠A+∠B= ；∠ACD ∠A+∠B
（填“＞，＜或=” ）。
②∠ACD ∠A（填“＞，＜或=” ）； ∠ACD ∠B（填“＞，＜或=” ）。
总结归纳：三角形的一个外角等于与它不相邻
的 的和；三角形的一个外角大于任何
一个 内角。内角 130o＞=50o130o＞ 与它不相邻的 【预习导学】二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。5分钟
1、如图，是△BFD的外有 ，以∠AEB 为外角的三角形是 。
2、如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的不同三个外角，求∠1、∠2、∠3。 ∠CDA、∠BFC、∠DFE △CEF、△CEB3、教材P15页练习题。【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟 探究1 如图所示，在△ABC中，∠A＝a，△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P，且∠P＝β，试探求下列各图中a与β的关系，并选一个结论加以证明。【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟 探究2 如图,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,求∠BPC的度数。【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。5分钟 1、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
2、已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为( )
A.90° B.110° C.100° D.120°
3、如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ ；
4、如图，如图，BE//CF，∠B＝50°，∠C＝75°，求∠A的度数。解：∵BE//CF
∴∠ADE＝∠C
∵∠ADE＝∠B+∠A
∴50°+∠A＝75°
∴∠A＝25° C 360° C 【点拨精讲】（3分钟）1、三角形的每个顶点处都有2个外角，这两个外角互为对顶角，外角与它相邻的内角互为邻补角；
2、在三角形的每个顶点处各取一个外角，这三个外角的和为360°；
3、三角形外角的性质是三角形有关角的计算与证明常用依据。【课堂小结】
（学生总结本堂课的收获与困惑）2分钟
【当堂训练】10分钟课件9张PPT。第十一章 三角形11.3.1 多边形【学习目标】
1、理解多边形的相关概念；
2、认识凸多边形及正多边形，掌握正多边形的定义及判定。
【学习重、难点】
重点：理解多边形的相关概述；
难点：掌握正多边形的定义及判定。【预习导学】一、自学指导
1、自学1：自学课本P19－页，掌握多边形的相关概念，完成下列填空。5分钟
总结归纳：在平面内，由一些线段 组成的封闭图形叫做多边形。多边形 组成的角叫做它的内角， .
组成的角叫做多边形的外角2、自学2：自学教材P3例1，动手操作下列问题，总结出对顶角性质。5分钟
总结归纳：① 的线段，叫做多边形的对角形。
②画出多边形的任何一条边所在直线，如果 ，那么这个多边形就是凸多边形。
③ 的多边形叫做正多边形。首尾顺次相接相邻两边多边形的边与它的邻边的延长线连接多边形不相邻的两个顶点整个多边形都在这条直线的同一侧各个角都相等，各条边都相等【预习导学】二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。5分钟
1、四边形有 条边， 个顶点， 个内角， 个外角；五边形有
条边， 个顶点， 个内角， 个外角；n边形有 条边， 个顶点， 个内角， 个外角。
2、画出下列多边形的全部对角线：
3、四边形的一条对角形将四边形分成 个三角形，从五边形的一个顶点出发，可以画 条对角线，它们将五边形分成 个三角形。444855510nnn2n223探究1： 过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，求nm
的平方根。【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟探究2：填表412252536394nn-3n-2【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。5分钟1、下列图形中，是正多边形的是（ ）
A、直角三角形 B 、等腰三角形 C、长方形 D、正方形
2、过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是 。
3、一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的边数。D10【点拨精讲】（3分钟）1、在初中阶段所讲的多边形指的都是凸多边形；
2、已知多边形的边，可以推导出其对角线的条数和分成的三角形的个数；反过来，已知过一点所画对角线的条数或分成的三角形的个数可以推导出多边形的边数。【课堂小结】
（学生总结本堂课的收获与困惑）2分钟
【当堂训练】10分钟课件10张PPT。Company name
Name of presentation第十一章 三角形11.3.2 多边形的内角和【学习目标】
探索多边形的内角和公式及外角和，会利用多边形的内角和公式解决问题。
【学习重、难点】
重点：掌握多边形的内角和公式。
难点：探索多边形的内角和公式。【预习导学】一、自学指导
1、自学1：自学课本P21－22页，掌握多边形内角和有公式的推导方法，完成下列填空。5分钟
①填写下列表格： 归纳总结：三角形的内角和为 度；任意四边形的内角和为 度；任意五边形的内角和等于 度；六边形的内角和等于 度；n边形的内角和等于 ；多边形的边数每增加一条，那么它的内角和就增加 。
点拨精讲：多边形可分成若干个三角形，将多边形内角和转化成三角形知识（如图1、2）。0123n-31234n-2180360540720180【预习导学】2、自学2：自学教材P22－23例1、例2和探究，掌握多边形外角和应用。5分钟
如图3，根据前面三角形的有关知识，探索在每个五边形顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和，五边形的外角和等于
度，六边形的外角和是 度......
归纳总结：n边形的外角和是 。360360360o【预习导学】二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。5分钟
1、教材P24页练习题1、2、3题；
2、七边形的内角和 ，十边形内角和是 ，一个多边形的内角和等于1260°，那么它是 边形。
3、已知四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C ∶∠D=1∶2∶3∶4，则∠C= 。
4、求出正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角的度数？900o1140o九108o【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟探究1 ①一个多边形的内角和是外角和的一半，它是几边形？②一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟探究2 如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB＝60o，AB与DE有怎样的位置关系？BC与FE有这种关系吗？【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。5分钟 1、一个多边形的每个内角都等于150°，则它的边数为 条。
2、一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？
3、已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，求这个多边形的边数。12 【点拨精讲】（3分钟）1、已知多边形的边数可以求出其内角和，根据其内角和也可以求出其边数。
2、内角和的推理要用到转化的思想，将多边形的知识转化为三角形的知识。【课堂小结】
（学生总结本堂课的收获与困惑）2分钟
【当堂训练】10分钟课件11张PPT。11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边知识点1：三角形的概念
1．如图，在△ABC中，∠A的对边是____；在△ABD中，∠A的对边是____．BCBD2．在上题如图所示中，三角形的个数共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，以AD为边的三角形是__________________________，以∠C为一个内角的三角形是________________________________.C△ABD，△ADE，△ADC△AEC，△ADC，△ABC第3题图 第1题图 知识点2：三角形的分类
4．用集合来表示“用边把三角形分类”，下面集合正确的是( )D知识点三：三角形的三边关系
5．(2014·南平)下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是( )
A．1，2，1 B．1，2，2
C．1，2，3 D．1，2，4
6．(2015·台州模拟)一个三角形的三条边长分别为1，2，x，则x的取值范围是( )
A．1≤x≤3 B．1C．1≤x<3 D．17．已知三角形的两边分别为2和5，则第三边x的范围是__________．BD39．已知等腰三角形中，一边的长为9 cm，另一边的长为4 cm.
小伟：“这个三角形的周长为17 cm.”
小宇：“你说的不对，这个三角形的周长应该为22 cm.”
同学们，你认为谁说的对呢？说说你的理由！
解：小宇对，当腰为4 cm时，4＋4<9，不能组成三角形 410．下列说法中正确的是( )
A．不等边三角形一定是锐角三角形
B．三角形按边相等的关系分为等腰三角形和等边三角形
C．三角形按角分可分为直角三角形、钝角三角形和锐角三角形
D．三角形ABC也可表示为△abcC11．如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB＝10米，A，B间的距离不可能是( )
A．20米 B．15米
C．10米 D．5米D12．(2015·中山改编)一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为( )
A．17 B．15
C．13 D．13或17
13．(2014·淮安)若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为______________．(填一个整数)
14．△ABC的三边长分别为a，b，c，则|a－b－c|－|b－a－c|＝___________．A2或3或42b－2a15．某校八(8)班有一位身高大约为1.68 m的男同学，有一次吹牛说自己的步子大，一步能走2 m多，你相信吗？说明理由．
解：不相信，因为身高约为1.68 m，所以两腿之和小于2 m，所以一步不能走2 m 16．用一条长为35 cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长分别是多少？
(2)能围成有一边的长为1 cm的等腰三角形吗？
解：(1)设底边长为x cm，腰长为3x cm，x＋3x＋3x＝35，解得x＝5，∴三边长分别为5 cm，15 cm，15 cm (2)①当1 cm的边为腰时，1＋1<33，不能构成三角形，②当1 cm的边为底边时，则腰为17 cm，∵17＋1>17，∴能围成底边为1 cm的等腰三角形 17．某木材市场上木棒规格与价格如下表：小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度为3 m和5 m的木棒，还需要到某木材市场上购买一根．
(1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？
(2)在能做成三角架的情况下，选择哪一种规格的木棒最省钱？
解：(1)设第三根木棒长x，由三角形的三边关系可得：5－3解：由题意得b－2＝0，c－3＝0，a－4＝±2，∴a＝6或2，b＝2，c＝3，当a＝6，b＝2，c＝3时，2＋3<6，不能构成三角形，当a＝2，b＝2，c＝3时，2＋2>3，∴△ABC的周长为2＋2＋3＝7，此三角形为等腰三角形 课件13张PPT。11.1 与三角形有关的线段11．1.2 三角形的高、中线与角平分线
11．1.3 三角形的稳定性知识点1：三角形的三条重要线段
1．如图所示，∠ACB是钝角，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，则△ABC中BC边上的高是( )
A．CF B．BE C．AD D．AEC2．如图所示，AE是△ABC的中线，已知EC＝6，DE＝2，则BD的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．6C3．如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是( )AA．20° B．30° C．45° D．60°
4．一个三角形有____条高，____条中线，____条角平分线，交点在三角形内部的是________________________________．三三三中线、角平分线ADB ADC DAE EAC DAC BF S△BFC △ABH △AGF 6．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，画出：
(1)∠B的平分线；
(2)边BC上的中线；
(3)边AC上的高．解：图略 知识点2：三角形的稳定性
7．图中，不具有稳定性的是( )B8．如图，一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定，这里所运用的原理是( )
A．三角形的稳定性
B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短
D．垂线段最短AB 10．如图，在△ABC中，BD⊥AC，EF∥AC，交BD于点G，那么下列结论错误的是( )
A．BD是△ABC的高 B．CD是△BCD的高
C．EG是△ABD的高 D．BG是△BEF的高
11．如图，AD⊥BC于点D，则AD是___________或_________或___________的高．C△ABD△ADC△ABC12．(2015·泉州模拟)如图，点D，E，F分别是BC，AD，BE的中点，若S△EFD＝2，则S△ABC＝_______．1613．空调安装在墙上时，一般都会像如图所示的方法固定在墙上，这种方法应用的数学知识是_______________________．三角形的稳定性14．如图所示，四边形ABCD是一种凹四边形，它具有稳定性吗？若有，说说你的理由，若没有，怎样才能使其具有稳定性？解：不具有，改动方案(不唯一)，如连接AC，形成两个三角形 15．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠CAB＝90°，试求：
(1)AD的长；
(2)△ABE的面积；
(3)△ACE和△ABE的周长的差．16．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，EF∥AD交BC于点F.试问：EF是△BDE的角平分线吗？说明理由．解：EF是△BDE的角平分线．理由：因为EF∥AD，所以∠FED＝∠EDA，∠BEF＝∠BAD，因为DE∥AC，所以∠EDA＝∠DAC.所以∠FED＝∠DAC，因为AD为角平分线，所以∠BAD＝∠DAC，所以∠BEF＝∠FED.所以EF为△ABE的角平分线 17．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24 cm和30 cm的两部分，求三角形的三边长．(提示：分两种情况考虑)课件12张PPT。11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角120° 40° 20° 60° 64°，80°，36° 解：∠A＝20°，∠B＝60°，∠C＝100° 知识点2：三角形内角和定理的运用
5．如图，C岛在A岛的北偏东60°方向上，B岛在A岛的北偏东80°的方向上，C岛在B岛的北偏西50°方向上，从C岛看A岛，B岛的视角∠ACB＝__________．110°6．如图，已知AC∥DE，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED＝_________．63°知识点三：直角三角形的性质与判定
7．(2015·丽水改编)如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝60°，则∠2的度数是( )DA．50°
B．45°
C．35°
D．30°8．三角形三个内角之比为1∶2∶3，则此三角形是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．以上都有可能
9．根据下列条件，判断△ABC是锐角三角形，直角三角形还是钝角三角形？
(1)∠A＝∠B，∠C＝70°；
(2)∠B＝∠C＝30°；
(3)∠A＝75°，∠B＝15°.
解：(1)锐角三角形 (2)钝角三角形 (3)直角三角形 CD C A．60°
B．20°
C．40°
D．30°12．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_________．300°13．(2015·黄冈模拟)如图，若AD∥BE，且∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，则∠CAD＝_______度．6014．如图所示，已知AD与BC相交于点O，AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝40°，求∠BOA的度数． 解：∠BOA＝120° 15．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．解：设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝2x.∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，∴x＝36°，∴∠C＝72°.在Rt∠DBC中，∠DBC＝90°－∠C＝18° 16．(1)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O.若∠A＝42°，求∠BOC的度数；
(2)把(1)中∠A＝42°这个条件去掉，试探索∠BOC和∠A之间有怎样的数量关系．17．如图，B处在A处的南偏西60°方向，C处在A处的南偏东20°方向，C处在B处的正东方向，求∠ACB的度数．解：∠ACB＝70° 18．如图，AB∥CD，∠BAE＝∠DCE＝45°，容易说明∠E＝90°，试探究∠BAE和∠DCE有何关系时∠E＝90°，并写出理由．解：∠BAE＋∠DCE＝90°时∠E＝90°，∴∠BAC＋∠DCA＝180°.∴∠BAE＋∠1＋∠DCE＋∠2＝180°.∵∠BAE＋∠DCE＝90°，∴∠1＋∠2＝90°.∵∠1＋∠2＋∠E＝180°，∴∠E＝90° 课件15张PPT。11.2 与三角形有关的角11.2.2 三角形的外角知识点1：三角形的外角及性质
1．(2014·日照)下图能说明∠1>∠2的是( )C2．如图，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A等于( )
A．60° B．70° C．80° D．90°C3．(2014·南充)如图，已知AB∥CD，∠C＝65°，∠E＝30°，则∠A的度数为( )
A．30° B．32.5° C．35° D．37.5°
4．(2015·广州模拟)在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的外角的度数是_________．C140°5．(2014·温州)如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝_________．80°6．如图将一副三角板按图所示的方法叠在一起，则图中∠α等于_______度．157．求图中的x.解：x＝60° 8．如图，AD是△ABC的外角∠CAE的角平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，求∠C的度数．解：∵AD是∠CAE的平分线，∴∠CAE＝2∠DAE＝120°，∵∠B＝35°，∴∠C＝∠CAE－∠B＝120°－35°＝85° 9．(2015·株洲改编)如图，已知AD∥BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，则∠DEC的度数为( )BA．30°
B．60°
C．90°
D．120°10．一个三角形的外角中，最多有几个锐角( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．不能确定
11．如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的不同的三个外角，则∠1＋∠2＋∠3＝___________．A360°12．如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为_________．
13．(2014·常德)把一副三角板按如图所示的方式摆放，则两条斜边所成的钝角x为_________．90°165°14．已知，如图，∠A＝25°，∠CED＝95°，∠D＝40°，求∠B的度数．解：∠B＝20° 15．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AE平分△ABC的外角∠DAC，问AE与BC平行吗？为什么？解：AE∥BC，理由略 16．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB、∠CBA的平分线相交于点D，BD的延长线交AC于点E，求∠ADE的度数．解：∠ADE＝45° 17．如图所示，已知BD是∠ABC的角平分线，且∠C＝∠DBC，∠BDA＝80°，求△ABC各内角的度数．解：∠A＝60°，∠ABC＝80°，∠C＝40° 18．如图，△ABC中，外角∠ACD的平分线与∠ABC的平分线交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，则∠A2与∠A有怎样的数量关系？继续作∠A2BC与∠A2CD的平分线可得∠A3，如此下去可得∠A4，…，∠An，那么猜想∠An与∠A又有怎样的数量关系？并求出∠A＝64°时，∠A4的度数．课件12张PPT。11.3 多边形及其内角和11.3.1 多边形知识点1：多边形的有关概念
1．过四边形的一个顶点，能画出____条对角线，过五边形的一个顶点，能画出____条对角线，过n边形的一个顶点，能画出_________条对角线．
2．过四边形的一个顶点画对角线能得到____个三角形，过五边形的一个顶点画对角线能得到____个三角形，过n边形的一个顶点画对角线能得到___________个三角形．
3．图中不是凸多边形的是( )12n－323n－2D4．如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上几根木条，请画出相应木条所在的线段．解：至少要钉三根木条(即从一个顶点出发连三条对角线)，如图 知识点2：正多边形
5．有一种螺母的底面是正六边形，其边长是2 cm，那么螺母的底面周长是___________．
6．下列说法不正确的是( )
A．正多边形的各边都相等
B．正多边形的各角都相等
C．正四边形就是长方形
D．正三角形就是等边三角形12cmC7．下列说法正确的是( )
A．五个角都相等的五边形是正五边形
B．六条边都相等的六边形是正六边形
C．四个角都是直角的四边形是正四边形
D．七个角都相等的七边形不一定是正七边形D8．将一个四边形截去一个角后，它不可能是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
9．一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，这个多边形的边数是( )
A．7 B．6
C．5 D．4
10．从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把n边形分成9个三角形，则n等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12DCC11．把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，那么打开以后的形状是( )A．六边形 B．八边形
C．十二边形 D．十六边形
12．九边形共有____个顶点，____条边，____个内角．C99913．从一个多边形一个顶点所引的对角线将多边形分成15个三角形，则此多边形的边数是____，这个多边形共有________条对角线．
14．如图，要把边长为12的正三角形纸板剪去三个小正三角形，得到正六边形，则剪去的小正三角形边长是____．17119415．如图所示，点O为四边形ABCD内一点，连接OA，OB，OC，OD，可以得到几个三角形？三角形的个数与四边形的边数有何关系？解：可以得到4个三角形，三角形的个数与四边形的边数相同 16．观察图形，并阅读图形下面的相关文字：三角形的对角线有0条，四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条，六边形的对角线有9条．通过分析上面的材料，请你说说十边形的对角线有多少条？你能总结出n边形的对角线有多少条吗？18．有一根长为32 cm的铁丝，请你按下列要求，弯成一个长方形或正方形，并分别计算它们的面积：
(1)长为10 cm，宽为6 cm；
(2)长为9 cm，宽为7 cm；
(3)边长为8 cm的正方形．
你会发现在长与宽的变化过程中，其面积有什么规律？根据这一规律，请将总长为100 m的篱笆围成一个面积尽可能大的长方形或正方形．
解：(1)面积为60 cm2 (2)面积为63 cm2 (3)面积为64 cm2 随着长与宽的差越来越小，其面积越来越大；将100 m的篱笆围成一个边长为25 m的正方形，其面积最大，为625 m2 课件13张PPT。11.3 多边形及其内角和11.3.2 多边形的内角和知识点1：多边形的内角和
1．(2014·重庆)五边形的内角和是( )
A．180° B．360°
C．540° D．600°
2．(2014·揭阳)一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是( )
A．10 B．9 C．8 D．7
3．若在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1∶3∶3∶5，则∠D等于( )
A．20° B．90° C．130° D．150°CDD4．下列角度，不可能是某多边形内角和的度数的是( )
A．1080° B．900°
C．630° D．1440°
5．在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＝240°，∠C＝∠D＝∠E＝2∠B，求∠B的度数． C解：五边形ABCDE的内角和为(5－2)×180°＝540°，∴240°－∠B＋∠B＋2∠B＋2∠B＋2∠B＝540°，∠B＝50°知识点2：多边形的外角和
6．(2015·泉州模拟)七边形的外角和为( )
A．180° B．360°
C．900° D．1260°
7．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是( )BDA．110°
B．108°
C．105°
D．100°8．(2015·遂宁改编)正多边形一个外角的度数是60°，则该正多边形的边数是____．
9．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为x，依题意得(x－2)×180＝2×360＋180解得x＝7.∴这个多边形的边数是7 六10．多边形的一个顶点可以引9条对角线，那么这个多边形的内角和为( )
A．1620° B．1800°
C．1980° D．2160°B11．(2014·毕节)如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为( )
A．13 B．14 C．15 D．16B12．如图所示，x的值为________．55°13．如图所示，小亮从点A出发，沿直线前进10 m后左转30°，再沿直线前进10 m，又向左转30°，……照这样下去，他第一次回到出发点A时，一共走了_______m.12014．已知两个多边形所有内角相加的和为1800°，且两个多边形的边数之比为2∶5，求这两个多边形的边数．
解：设这两个多边形的边数分别为2x，5x，则有(2x－2)×180°＋(5x－2)×180°＝1800°，∴x＝2，∴2x＝4，5x＝10 16．如图所示的模板按规定AB，CD的延长线相交成80°的角，因交点不在板上，不便测量，工人师傅测得∠BAE＝122°，∠DCF＝155°，此时，AB，CD的延长线相交所成的角是否符合规定？为什么？解：延长AB，CD相交于G，∴多边形AEFCG为五边形，∴∠G＝540°－90°－90°－122°－155°＝83°，不符合规定 17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试问：BE与DF平行吗？为什么？解：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠ADF＋∠ABE＝90°，∵∠ADF＋∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠ABE，∴BE∥DF 18．如图所示，若∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝660°，求∠G＋∠H的度数．解：60° 19．看图回答问题：(1)内角和为2015°，小明为什么说不可能？
(2)小华求的是几边形的内角和？
(3)错把外角当内角的那个外角的度数你能求吗？是多少度呢？
解：(1)2015不能被180整除 (2)十三 (3)35° 课件14张PPT。滚动练习1(11.1～11.2)1．三角形按边分类可分为( )
A．等边三角形，三边都不相等的三角形
B．等腰三角形，等边三角形，三边都不相等的三角形
C．三边都不相等的三角形，等边三角形，底边和腰不相等的等腰三角形
D．等腰三角形，等边三角形
2．三角形两边的长分别是3和5，则周长l的范围是( )
A．2C．10A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．都有可能BCB 6．(2015·白银改编)如图，将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
7．(2014·河北)如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是( )
A．20° B．30° C．70° D．80°CB8．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝( )
A．90° B．120° C．125° D．180°D9．若一个三角形两边为2 cm和7 cm，第三边长为奇数，则它的周长为______cm.
10．等腰三角形两边长是4和9，则第三边长是____，若其两边是6和10，则其周长是___________．
11．已知线段AB＝6，BC＝3，AC＝x，则x满足__________．
12．要使四边形木架不变形，至少要钉上____根木条；要使五边形木架不变形，至少要钉上____根木条．16922或263≤x≤91213．如图：第(1)题图 第(2)题图 (1)中的∠α＝_______；
(2)中的∠α＝_________．30°105°14．小明想制作一个三角形铁丝架，现有两根铁丝，长度分别为3 cm，5 cm.
(1)小明将如何选用第三根铁丝？能确定第三根铁丝的长度范围吗？
(2)如果第三根铁丝的长度要求是整数，小明有几种选择？
解：(1)第三根铁丝的长度在2 cm和8 cm之间(不包括2 cm和8 cm) (2)5种 15．如图，BD是△ABC的中线，△ABD的周长比△BCD的周长多2 cm.若△ABC的周长为18 cm，且AC＝4 cm，求AB和BC的长．解：由题意有C△ABC＝18 cm，AC＝4 cm，∴AB＋BC＝14 cm①，∵D为AC的中点，∴AD＝DC，∵C△ABD－C△BCD＝2，∴(AB＋BD＋AD)－(BC＋BD＋DC)＝AB－BC＝2 cm②，由①②，得AB＝8 cm，BC＝6 cm 16．如图，已知CM是△ABC的边AB上的中线．
(1)作出△AMC中AM边上的高；
(2)若△ABC的面积为40，求△AMC的面积；
(3)若△AMC的面积为12，且AM边上的高为4，求AB的长．17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，高CD与角平分线AE交于点F，试说明∠CEF＝∠CFE.解：∵∠ACB＝90°，∴∠1＋∠CEA＝90°.∵CD⊥AB，∴∠2＋∠3＝90°.∵AE平分∠CAB，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠CEF.∵∠3＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF 18．如图，△ABC中，D是BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．解：设∠2＝x°，则∠1＝x°，∴∠3＝∠4＝∠1＋∠2＝2x°，在△ABC中，∵∠BAC＝63°，∴2x＋x＋63°＝180°，∴x＝39°，∴∠DAC＝63°－39°＝24° 19．一个零件的形状如图，按规定∠BAC＝90°，∠B＝21°，∠C＝20°，检验工人量得∠BDC＝130°，就断定这个零件不合格，运用所学知识说明零件不合格的理由．解：如图，连接AD并延长到E点，则∠CDE＝∠C＋∠1，∠EDB＝∠B＋∠2.所以∠CDE＋∠EDB＝∠C＋∠1＋∠B＋∠2，即∠BDC＝∠C＋∠B＋∠BAC.若零件合格，则有∠BDC＝20°＋21°＋90°＝131°，而量得∠BDC＝130°，所以零件不合格 课件15张PPT。第十一章 综合训练1．如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是( )
A．2 B．3 C．4 D．8
2．(2015·玉林模拟)在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是( )
A．1 cmC．4 cmA．50° B．60° C．70° D．80°C4．如图，直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB等于( )
A．40° B．30° C．20° D．10°D5．关于三角形的三个内角，下列说法错误的是( )
A．必有一个内角不小于60°
B．必有一个内角不大于60°
C．最少有两个锐角
D．最多有两个锐角
6．如图，已知一长方形，一条直线将长方形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M＋N不可能是( )
A．360° B．540°
C．720° D．630°DD7．(2014·泰安)如图，把一把直尺放置在一个三角形纸片上，则下列结论正确的是( )
A．∠1＋∠6>180° B．∠2＋∠5<180°
C．∠3＋∠4<180° D．∠3＋∠7>180°D8．如图，已知点D，E是边AC的三等分点，则BD是三角形_________中_______边上的中线，BE是三角形_______中______边上的中线．ABEAEBDCCD9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE＝________．
10．学生凳有两条腿左右摇晃，要克服摇晃可采用_______________方法．
11．如图，直线a∥b，则∠A＝_________，若作BH⊥AC于H，则∠ABH＝__________．70°斜钉一根木条20°70°12．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝__________．360°13．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝158°，则∠EDF＝________．
14．直角三角形两锐角角平分线相交所成的角的度数是____________________．68°45°或135°15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点F是AC延长线上一点，FD⊥AB，垂足为点D，FD与BC相交于点E，∠BED＝55°，求∠A的度数．解：∠A＝55° 16．已知等腰三角形的三边长分别为a，2a－1，5a－3，求三角形的周长． 17．上午9时，一艘船从A处出发以每小时20海里的速度向正北航行，11时到达B处，若在A处测得灯塔C在北偏西34°方向，且∠ACB＝∠BAC，则在B处测得灯塔C应是什么方向？18．如图所示，将三角形纸片ABC的一个角折叠，折痕为EF，若∠A＝80°，∠B＝68°，∠CFE＝78°，求∠CEF的度数．解：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠CEF＋∠CFE＋∠C＝180°，∴∠A＋∠B＝∠CEF＋∠CFE，即80°＋68°＝78°＋∠CEF，∴∠CEF＝70° 19．两个多边形边数的比是1∶2，这两个多边形的内角和为1980°，求这两个多边形的边数．
解：设两个多边形的边数分别是n条和2n条，则(n－2)×180＋(2n－2)·180＝1980，解得n＝5，2n＝10，即两个多边形分别是五边形和十边形 20．如图，在△ABC中，BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线，分别交于点D，P.
(1)若∠A＝30°，求∠BDC，∠BPC的度数；
(2)若∠A＝m°，求∠BDC，∠BPC的度数(直接写出结果，不必说明理由)；
(3)想一想，∠A的大小变化，对∠D＋∠P的值是否有影响，若有影响，请说明理由，若无影响，直接求出其值．课件12张PPT。11．1 与三角形有关的线段11．1.1 三角形的边教学目标1．结合具体的实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素．
2．会用符号、字母表示三角形，并了解按边的相等关系对三角形进行分类．
3．理解三角形任何两边之和大于第三边与任意两边之差小于第三边的性质，并会初步运用这些性质来解决问题．重点难点重点
三角形的三边关系．
难点
三角形的三边关系．教学设计一、创设情境，引入新课
老师出示一个用硬纸板剪好的三角形，并提出问题；
小学中我们已经认识了三角形，那么你能不能给三角形下一个完整的定义？
老师出示教具，提出问题．让学生观察教具，然后给出三角形的定义．
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．教学设计二、探究问题，形成概念
(一)探究三角形的有关概念
1．三角形的顶点及符号表示方法．
2．三角形的内角．
3．三角形的边．
教师继续利用教具向学生直接指明相关的概念．
学生注意记忆相关的概念．
教师再出示另外剪好的三角形，各顶点字母与原来不同，然后通过新三角形让学生巩固刚才的有关概念．教学设计(二)探究三角形的分类
问题1：小学中已经学过，如何将三角形进行分类？
问题2：如何将三角形按边分类？
教师提出问题，学生举手回答．
教师提示，分类的标准是什么？
学生回答：有两边相等和有三边相等，以及三条边均不相等．
教师进一步提出新的问题，并进一步讲解等边三角形、等腰三角形的有关概念，然后给出三角形按边分类的方法：教学设计教学设计(三)探究三角形的三边关系
探究：画出一个△ABC，假设有一只小虫要从B点出发，沿三角形的边爬到C点，它有几种路线可以选择？各条路线的长一样吗？
教师提出问题，学生先画图然后进行讨论，并思考问题，然后教师指定学生回答问题．
(1)小虫从点B出发沿三角形的边爬到点C有如下几条路线：
a．从B→C
b．从B→A→C教学设计(2)从B→C路线最短．
然后老师进一步提出问题：这条路线为什么是最短的？
学生举手回答：“两点之间，线段最短．”
然后师生共同归纳得出：
AC＋BC＞AB ①
AB＋AC＞BC ②
AB＋BC＞AC ③
即三角形两边的和大于第三边．
教师提问：(1)由不等式①②③移项，你能得到怎样的不等式？教学设计(2)通过刚才得到的不等式，你有什么发现？
学生回答，师生共同归纳：三角形两边的差小于第三边．
教师出示教材第3页例题．
分析：(1)“用一条长18 cm的细绳围成一个等腰三角形”，这句话有什么含义？
(2)有一边长为4 cm是什么意思，哪一边的长度是4 cm?三、练习巩固
练习：教材第4页练习第1，2题．
老师布置练习，学生举手回答即可．第2题注意让学生说明理由．
解决完以后，教师利用投影出示补充练习，学生独立完成．
补充练习：一个三角形有两条边相等，周长为20 cm，一条边长是6 cm，求其他两条边长．
四、小结与作业
小结：谈谈本节课的收获．
老师引导学生主要从对三角形的分类和三边关系的认识方面进行小结．
布置作业：习题11.1第1，2，7题．教学设计三角形的三边关系是在学生了解了三角形的一些基本特征的基础上学习的，学生虽然知道了三角形有三条边，但三角形“边”的研究却是学生首次接触，让学生自己动手操作，初步感知三条边之间的关系，接着重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系？”通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论。这样教学符合学生的认知特点，既增加了兴趣，又增强学生的动手能力．教学反思课件11张PPT。11．1 与三角形有关的线段11．1.2 三角形的高、中线与角平分线
11．1.3 三角形的稳定性教学目标1．掌握三角形的高、中线、角平分线、重心的定义中体现出来的性质．
2．会画三角形的高、中线、角平分线．
3．了解三角形的稳定性．重点难点重点
了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，了解三角形具有稳定性这一性质．
难点
1．三角形的角平分线与角的平分线的区别，三角形的高与垂线的区别．
2．钝角三角形高的画法．
3．不同的三角形三条高的位置关系．教学设计一、情境导入
生活实例演示：
人字型屋顶钢架、风筝骨架，并从中抽象出数学图形，引出三角形中的特殊线段．教学设计二、探究新知
(一)三角形的高
问题1：如何求三角形的面积？
问题2：什么是三角形的高，怎样画三角形的高？教师首先提出问题1，学生举手回答，然后教师进一步提出来问题2.引入本节课的第一个概念．
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．如图，AD是△ABC的边BC上高．教学设计想一想，一个三角形有几条高？
然后教师要求学生举手画三个不同的三角形，即锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，之后要求学生作出它们的高，然后同学进行交流．
观察：每一个三角形的三条高有什么位置关系？三条高交于一点．
教师提出问题：各种三角形的高都分别交于一点吗？
学生讨论，交流，然后归纳结果．
练习：教材第5页练习第1题．
学生独立观察，然后交流，归纳．教学设计(二)三角形的中线与角平分线的概念及画法
1．三角形的中线及其画法．
2．三角形的角平分线及其画法．
教师指出三角形中线的定义及角平分线的定义，然后仿照三角形的高的教学过程，安排学生画一画，并相应地提出类似的问题．
学生动手操作，然后交流，探讨，师生共同归纳总结．
三角形的三条中线都在三角形的内部，且它们交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．教学设计三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且它们交于一点．
三角形的三条高不一定在三角形的内部，它们也相交于一点．
三角形的高、中线、角平分线都是线段．
(三)三角形的稳定性
教师利用折尺让学生先折成三角形的样子，然后拆成四边形的样子，认识三角形的稳定性．
学生认识到三角形的稳定性以后，让学生找出几个生活中利用三角形的稳定性的例子，并完成教材第7页练习．教学设计三、练习巩固
练习：教材第5页练习第2题．
思考：如下图，AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD和△ADC的面积有何关系，为什么？
教师布置练习，学生独立完成，然后举手回答．
教师利用投影出示思考题，学生进行讨论后，再进行归纳．
归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
思考：高和角平分线是否也有这样的性质呢？教学设计四、小结与作业
小结：谈谈你对三角形的高、中线、角平分线的认识．
教师引导学生归纳三角形的高、中线、角平分线的相关性质．
布置作业：习题11.1第3，4，8题，选做题：第9题．以学生为本，充分调动学生的学习兴趣，主动参与到新课堂的实践活动．例如：学生在学习了三角形的角平分线、中线后，引导学生及时比较它们的异同点，以免混淆，建立了求同存异的思想。学生在得到了任意三角形的三条角平分线、中线交于一点，且在三角形的内部，这一规律后，就轻易认为三条高线也适用此规律．教师抓住学生的惯性心理，引导学生通过动手发现新问题，从而解决它．在教学三角形的稳定性时，尽可能利用多媒体引导学生探寻三角形稳定性的数学含义，进而用三角形的稳定性解释“为什么不易变形”，再回归生活，运用三角形的稳定性解释为什么要用上三角形和用三角形解决生活中的问题． 教学反思课件13张PPT。11．2 与三角形有关的角11．2.1 三角形的内角教学目标1．理解三角形内角和定理的内容，能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题．
2．掌握直角三角形的两个锐角互余，能用有两个角互余的三角形是直角三角形对三角形进行判定．重点难点重点
三角形内角和定理
难点
三角形内角和定理的推理过程．教学设计一、情境导入
我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？教学设计二、探究新知
(一)探究三角形的内角和
1．在所准备的三角形硬纸上标出三个内角的编码．2．让学生动手把一个三角形的两个剪下拼在第三个角的顶点处(如上图)，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.教学设计3．把∠B和∠C剪下按下图拼在一起，用量角器量一量∠MAN的度数，会得到什么结果？教师在学生完成后，提出问题：
在图(2)中直线CM与AB是什么关系？
在图(3)中直线MN与BC是什么关系？
你能从中找到三角形内角和定理的证明方法吗？教学设计(二)证明三角形内角和定理
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.已知：△ABC，如图．
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
教师引导学生从上面的操作中得到证明三角形内角和定理的方法，然后规范地写出证明过程．注意向学生提示辅助线要用虚线．教学设计这一过程中教师应当注意，必须要写出规范的证明过程．教师可以采用示范一个，练习一个的方式．用如上图的方法进行教师示范，用如下图的方法让学生进行练习．想一想，还有没有其他的方法？(利用同旁内角互补)教学设计三、举例分析
教师用多媒体出示例1，要求学生独立完成．
学生说出解题过程，教师讲评，规范格式．
老师利用多媒体出示例2，学生先读题，弄懂题意，然后师生共同分析解题．
之后教师可进一步向学生提问：“还有没有其他的方法来解决．”
教师指导学生尝试探究直角三角形的两个锐角之间的关系，要求写出推理过程．教学设计(2)通过刚才得到的不等式，你有什么发现？
学生回答，师生共同归纳：三角形两边的差小于第三边．
教师出示教材第3页例题．
分析：(1)“用一条长18 cm的细绳围成一个等腰三角形”，这句话有什么含义？
(2)有一边长为4 cm是什么意思，哪一边的长度是4 cm?四、课堂练习
练习：教材练习．
补充练习：
1．三角形中最大的角是70°，那么这个三角形是锐角三角形．( )
2．一个三角形中最多只有一个钝角或直角．( )
3．一个等腰三角形一定是锐角三角形．( )
4．一个三角形最少有一个角不大于60°.( )
5．一个三角形中有两个角分别是40°，50°，则这个三角形是直角三角形．( )教学设计五、小结与作业
小结：谈谈本节课的收获．
教师引导学生从定理的证明过程和对例题中解题的思路方法的角度进行小结．
布置作业：习题11.2第1，2，3，7题，选做题：第9题．教学设计在教学中，当引出课题后，先引导学生积极讨论交流探究三角形内角和的方法，再引导学生通过探究活动来得出结论．当学生有困难时，教师也参与学生的研究，适当进行点拨，并充分进行交流反馈，给学生创造了一个宽松和谐的探究氛围．教学反思课件9张PPT。11．2 与三角形有关的角11．2.2 三角形的外角教学目标1．了解三角形的外角．
2．知道三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
3．学会运用简单的说理来计算三角形相关的角．重点难点重点
三角形外角的性质．
难点
运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推理．教学设计一、复习引入
什么是三角形的内角？它是由什么组成的？
三角形内角和定理的内容是什么？
教师提出问题，学生举手回答问题．
二、探究新知
1．探究三角形外角的概念．
教师布置学生自学教材第14页最后一段话的内容，然后完成以下问题：
(1)举例说明什么是三角形的外角．(上黑板画图说明)
(2)如图，∠ADB，∠BPC，∠BDC，∠DPC分别是哪个三角形的外角？教学设计2．探究三角形外角的性质．
老师布置学生自学教材第15页思考的内容，然后同学间进行交流、讨论，归纳三角形的外角有什么性质，并提出以下问题：
你能否用证明的方法说明你所归纳的性质？
学生归纳得出三角形外角的性质：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和教学设计三、举例分析
例1 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？教师出示教材例4，先让学生进行分析，教师可以适当加以引导学生，将三角形的外角转化为三角形的内角，然后师生共同写出规范的解答过程．教学设计解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE＝∠2＋∠3，∠CBF＝∠1＋∠3，∠ACD＝∠1＋∠2.
所以∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3)．
由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°.教学设计四、练习与小结
练习：教材练习．
教师布置练习，学生举手回答．
小结：谈谈你对三角形外角的认识．
教师引导学生谈谈对三角形外角的认识．主要从定义和性质两个方面入手．
五、布置作业
习题11.2第5，6，8题，选做题：第11题．通过三角形的内角和回顾引入，然后通过学生的预习，在他们的理解基础上，去学习三角形的外角的定义，这样能够加深他们对外角定义的理解，在探索三角形外角定理的时候，我也是采取了学生去探索的思想，让他们自己大胆猜想，然后同学们在老师的引导下去证明自己的猜想，这样以后才能运用自如．教学反思课件13张PPT。11．3 多边形及其内角和11．3.1 多边形教学目标了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念．重点难点重点
多边形及有关概念．
难点
区分凹凸多边形．教学设计一、情境导入
问题：什么是三角形，什么是三角形的边、内角？
老师提出问题，学生举手回答．
二、探究新知
(一)多边形的有关概念
问题1：观察下列图片，它们由哪些基本图形组成？教学设计问题2：你能说出生活中的多边形吗？
教师利用投影出示图片，学生观察图片，并进行讨论、交流．之后学生自由发言．
然后教师指出相关的概念．
多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．按组成多边形线段的条数分为三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成，这个多边形叫做n边形．教学设计根据三角形的内角、外角的概念，你能说出多边形的内角和外角的概念吗？
之后教师提出问题2让学生多举几个例子，然后教师给出凸、凹多边形、正多边形的概念．
要点：
(1)多边形的概念与三角形相比，多了“在平面内”．
(2)正多边形是各边相等，各角也相等，二者缺一不可．
(3)凸、凹多边形的区别．教学设计(二)多边形的对角线的条数
问题：什么是多边形的对角线？三角形有几条对角线，四边形呢？五边形、六边形、n边形呢？教学设计(三)探究凸、凹多边形及正多边形的概念
如图(1)，画出四边形ABCD的任何一条边(例如CD)所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形．而图(2)中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD(或BC)所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧．类似地，画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．本节只讨论凸多边形．教学设计教学设计我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等，像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．下图是正多边形的一些例子．教学设计教师要求学生自己去解决这两个问题，可以通过讨论、交流的形式去解决，完成以后，教师可以随机地画几个多边形让学生进行凸、凹多边形的区分．对于正多边形的概念，关键让学生掌握住各边都相等，各角都相等，二者缺一不可．三、练习与小结
教师布置练习，学生完成后举手回答．
小结：谈谈你本节课的收获．
教师引导学生从概念、相关知识等方面进行小结．
四、布置作业
习题11.3第1题．教学设计教学过程中采用与三角形类比的方式进行教学，有利于学生理解概念。在对角线的教学中，先让学生动手探索从一个顶点出发的对角线的条线的规律，并让其观察分成三角形个数的规律；进而才进行探究对角线的总条线．使学生经历了一次自主获取新知的成功体验，正好体现了“重学习过程，轻学习结果”的新理念．教学反思课件14张PPT。11．3 多边形及其内角和11．3.2 多边形的内角和教学目标1．掌握多边形的外角和及内角和公式．
2．通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法．
3．了解平面镶嵌的条件，会用简单的平面图形进行平面镶嵌．重点难点重点
探索多边形的内角和公式及外角和．
难点
如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和．教学设计一、复习引入
问题：你知道三角形的内角和是多少度吗？
1．教师提问，学生思考作答．
2．教师总结：三角形的内角和等于180°.
3．引出课题：你想知道任意一个多边形的内角和吗？今天我们就来进一步探讨多边形的内角和与外角和．教学设计二、探究新知
(一)四边形的内角和
问题：你知道任意一个四边形的内角和是多少度吗？
学生展示探究成果．分割成2个三角形，180°×2＝360°.教学设计分割成4个三角形，180°×4－360°＝360°.分割成3个三角形，180°×3－180°＝360°.教学设计1．引导学生猜想：四边形的内角和等于360°.
2．学生分小组交流与探究，进一步来论证自己的猜想．
3．由各小组成员汇报探索的思路与方法，讲明理由．
4．教师汇总学生所探索出的不同方法，除测量与拼凑法外，并提出疑问：你们添加辅助线的目的是什么？说一说你的想法．
5．教师在学生回答的基础上小结：借助辅助线把四边形分割成几个三角形，利用三角形内角和定理求得四边形的内角和．
教师可点拨学生从正方形、长方形这两个特殊的四边形的内角和入手，进而猜测出四边形的内角和等于360°.(二)五边形的内角和
问题1：你知道任意一个五边形的内角和是多少度吗？教学设计教学设计问题2：你知道任意一个n边形的内角和是多少度吗？
(n－2)×180°
180°n－360°
180°(n－1)－180°
板书：
多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)×180°教学设计补充例题：求十五边形内角和的度数．
1．教师提出问题，学生思考后分组活动．
2．教师深入小组，参与小组活动，及时了解学生探索的情况．
3．让学生归纳借助辅助线将五边形分割成三角形的不同分法．
4．探究五边形的边数与所分割的三角形个数间的关系，进而得出五边形内角和与边数的关系．
5．根据以上分割三角形的方法，引导学生归纳n边形内角和公式及不同公式间的联系，指明为了书写整齐，便于记忆，我们选择(n－2)×180°这个公式．
6．通过计算，让学生巩固并掌握n边形内角和公式．(三)多边形的外角和
问题1：小明家有一张六边形的地毯，小明绕各顶点走了一圈，回到起点A，并面对他出发时的方向，他的身体旋转了多少度？
例：六边形外角和等于多少度？教学设计问题2：n边形外角和等于多少度？
n边形外角和等于360°.
1．学生思考作答，教师作适当点拨．通过课件演示，由学生发现：六边形的外角和等于360°.
2．教师引导学生利用多边形内角和公式，进一步论证六边形外角和等于360°，即六个平角减去六边形内角和等于六边形外角和．
3．进行类比推理并小结：n边形外角和等于n个平角减去n边形内角和，与边数无关．教学设计三、练习应用
1．教材练习．
补充：
2．问题：一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？
四、小结与作业
问题：谈谈本节课你有哪些收获？
1．学生反思学习和解决问题的过程．
2．鼓励学生大胆表达，并对学生的进步给予肯定，树立学生学好数学的自信心．
作业：习题11.3第2，4，5，6，7，8题，选做题：第9，10题．教学设计这节课通过研究发现由多边形的一个顶点引对角线后原多边形被分成(n－2 )三角形，由此可得多边形的内角和公式为：(n－2 )180，这里充分体现由特殊到一般的推理特点．换一个角度看问题，在多边形内任取一点与各个顶点相连得到n 个三角形，但是这里多算了一个周角，因此可得到公式为：180n－360. 这样培养了学生从多方面探究问题的能力．教学反思 