第5章 导数及其应用 复习与测试 （含解析）高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第5章 导数及其应用 复习与测试 （含解析）高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 106.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-16 14:30:03 | ||
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文档简介
苏教版（新课标）选择性必修第一册第五章导数及其应用
一、单选题
1.设是上的可导函数，且满足，则在点处的切线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.已知对任意恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是
A. 在上为减函数 B. 在处取得最大值
C. 在上为减函数 D. 在处取得最小值
4.函数在区间上有最大值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知函数的一个极值点为，则在上的最小值为( )
A. B. C. D.
6.函数，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
7.将直径为的圆木锯成长方体横梁，其断面为矩形，如图，横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比强度系数为，，则要将直径为的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽应为( )
A. B. C. D.
8.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
9.已知函数，则曲线在处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
10.若函数在上为增函数，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
11.已知有两个不同极值点，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
12.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
二、多选题
13.下列关于函数的判断正确的是( )
A. 的单减区间是 B. 是极小值，是极大值
C. 没有最小值，也没有最大值 D. 有最大值，没有最小值
14.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的( )
A. 为函数的单调递增区间
B. 为函数的单调递减区间
C. 函数在处取得极小值
D. 函数在处取得极大值
15.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点
C. 的极小值点为 D.
16.设，都是单调函数，其导函数分别为，，，下列命题中，正确的是( )
A. 若，，则递增
B. 若，，则递增
C. 若，，则递减
D. 若，，则递减
三、填空题
17.已知函数在上的最大值为，则函数在处的切线方程为________________．
18.不等式对任意的恒成立，则的取值范围为
19.函数在点处的切线方程为 ．
20.已知定义在上的函数的导函数为，满足，，，则不等式的解集为 ．
四、解答题21.已知函数在处取得极值．
求的单调区间；
求在上的最小值和最大值．
22.已知函数．
若函数在点处切线的斜率为，求的值；
在第问的前提下，求函数的单调区间及最值．
23.已知函数，．
Ⅰ若，求的值；
Ⅱ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅲ若在时取得极值，求的值．
24.已知函数，，其中为自然对数的底数，设函数，
若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围；
当时，、分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
对于函数，若实数满足，其中、为非零实数，则称为函数的“笃志点”．
已知函数，且函数有且只有个“笃志点”，求实数的取值范围；
定义在上的函数满足：存在唯一实数，对任意的实数，使得恒成立或恒成立对于有序实数对，讨论函数“笃志点”个数的奇偶性，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
，
在点处的切线的斜率为
故选A．
2.【答案】
【解析】
令，则，
当时，，当时，，
可得函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以函数在上的最大值为，
所以，
故的最小值为．
故选C．
3.【答案】
【解析】
当或时，，故函数在，上单调递减，
当或时，，故函数在上单调递增，
故A错误，C正确，
当或时函数取得极大值，当时函数取得极小值，
但函数的最值与端点值的大小有关，故未必是最大值，未必是最小值，
故BD错误．
故选C．
4.【答案】
【解析】
因为，
所以，
所以当或时，，当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
因为在上有最大值，
所以极大值点，
又，
当时，即，
解得或，
所以，
则的取值范围是．
故选D．
5.【答案】
【解析】因为，所以，得，
因为，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
因为，，
所以在上的最小值为．
故选D．
6.【答案】
【解析】
函数，
故在上单调递增，而，
故即，解得：，
故选：．
7.【答案】
【解析】
设断面高为，横梁的强度函数为，则，
．
令，解得或舍去．
当时，，单调递增
当时，，单调递减．
所以函数在定义域内只有一个极大值点，
所以当时，有最大值，故选C．
8.【答案】
【解析】的定义域为．
，
令，解得，
所以函数的单调减区间是
9.【答案】
【解析】
依题意，，令，则，解得，
所以，，，
故选D．
10.【答案】
【解析】由题意可知，
即对恒成立，
所以．
故选A．
11.【答案】
【解析】有两个不同极值点，
则有两解，
即方程有两解，
设，则，
当或时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
故当时，函数有极小值为，
在同一坐标系下作出的图象，
由函数图象可得当时，与有两个交点，
即方程有两解，有两个不同极值点，
故的取值范围为．
故选B．
12.【答案】
【解析】，
，
，，，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，
函数的图象为．
故选C．
13.【答案】
【解析】对于，由，得，
当时，，
是的单调递增区间，故A错误
对于，由知，在，上是减函数，在上是增函数，
是的极小值，是的极大值，故B正确
对于，，当时，恒成立，
且在单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值，又当时，，
无最小值，故C错误，D正确．
故选BD．
14.【答案】
【解析】由函数的导函数的图象可得，，，单调递增，故A正确；
由函数的导函数的图象可得，，，单调递减，故B正确；
因为，且的左边导数为负，右边导数为正，故函数在处取得极小值，故C正确；
因为，所以不是函数的极值点，故D错误．
故选ABC．
15.【答案】
【解析】 函数的导数，，
令得，则当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
则当时，函数取得极大值，极大值为，故A正确，C错误，
当，，，，
则的图象如图：由得得，即函数只有一个零点，故B错误，
，在递增，，故D正确；
故选：．
16.【答案】
【解析】对于，都是单调函数，其导函数分别为，，
，所以，
当，时，，
故，所以函数为单调递增函数，故B正确
当，时，，
故，所以函数为单调递减函数，故C正确
对于和，由于，，和，，
不能判定的正负，则的单调性不能确定，故A和D错误．
故选BC．
17.【答案】
【解析】依题意，，
所以时，，即在上递增，
得，所以，
，
所以函数在处的切线方程为，
即．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】因为不等式对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
记函数，，
可得，由可得，
可得在单调递增，在单调递减，
故当时，
可得的取值范围为．
故答案为．
19.【答案】
【解析】
因为，
所以， ，
所以函数的图象在点处的切线方程为：
，
即．
故答案为：．
20.【答案】
【解析】因为，
故图像关于对称，
又因为，
当时，，当时，，
故在上单调递减，上单调递增，
不等式可化为或
因为，由的单调性，解得，
故不等式的解集为．
故答案为．
21.【答案】解：，
因为在处取得极值，
所以，
解得．在处取得极小值，满足条件．
所以，
令，解得或，
令，解得，
所以的增区间为，，减区间为
令，解得或，
由得，单调递增，，单调递减，，单调递增，
又，
，
，
，
所以，．
22.【解析，
函数在点处切线的斜率为，
，
解得：
由得：，
，
令，解得：，令，解得：，
在递减，在递增，
最小值为，无最大值．
23.【解析Ⅰ，定义域为，
．
，．
解得．
Ⅱ当时，，，
．
．
因此曲线在点处的切线方程为．
Ⅲ在时取得极值，
，即，
解得．
当时，．
令，即，解得；令，即，解得．
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
在时取得极大值，符合题意．
因此．
24.【答案】解：，
，
当时，，，
所以，函数在上单调递增，
当时，，，
所以，函数在上单调递减，
当时，，，
所以，函数在上单调递增，
综上所述：函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
，，画出函数图象，如图所示：
根据图象知．
，
，
取，得到或，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故是极大值点，是极小值点，
恒成立，
，，故，
设，，
，
设，则恒成立，
故在上单调递减，，
当时，，函数单调递减，；
当时，存在，使得，
时，，函数单调递减；时，，函数单调递增；
故，不成立；
综上所述：．
有三个不等的实数根，
当时，，故，解得，不符合；
当时，，故，即，
令，则在上恒成立，故在上单调递增，故，
故当时，在有个“笃志点”；
当时，，故，
则，由于至多有两个根，
结合前面分析的取值范围为的子集，
令，其中，
，当时，，
的图象的对称轴为，
故在上有两个不相等的实数根，
综上所述：
函数有且只有 个“笃志点”，则实数的取值范围为；
定义在上的函数满足：
存在唯一实数，对任意的实数，使得恒成立，
故，，
因为，所以，
即，
比较与的大小关系，
若存在，使得，即，
则有成立，
故对于有序实数对，函数“笃志点”个数为奇数个，
同理，对于定义在上的函数满足：
存在唯一实数，对任意的实数，使得恒成立，
故，，
因为，所以，
即，可得到同样的结论；综上所述：若存在，使得，
则函数“笃志点”个数为奇数个，
否则，函数“笃志点”个数为偶数个．
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一、单选题
1.设是上的可导函数，且满足，则在点处的切线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.已知对任意恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是
A. 在上为减函数 B. 在处取得最大值
C. 在上为减函数 D. 在处取得最小值
4.函数在区间上有最大值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知函数的一个极值点为，则在上的最小值为( )
A. B. C. D.
6.函数，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
7.将直径为的圆木锯成长方体横梁，其断面为矩形，如图，横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比强度系数为，，则要将直径为的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽应为( )
A. B. C. D.
8.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
9.已知函数，则曲线在处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
10.若函数在上为增函数，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
11.已知有两个不同极值点，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
12.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
二、多选题
13.下列关于函数的判断正确的是( )
A. 的单减区间是 B. 是极小值，是极大值
C. 没有最小值，也没有最大值 D. 有最大值，没有最小值
14.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的( )
A. 为函数的单调递增区间
B. 为函数的单调递减区间
C. 函数在处取得极小值
D. 函数在处取得极大值
15.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点
C. 的极小值点为 D.
16.设，都是单调函数，其导函数分别为，，，下列命题中，正确的是( )
A. 若，，则递增
B. 若，，则递增
C. 若，，则递减
D. 若，，则递减
三、填空题
17.已知函数在上的最大值为，则函数在处的切线方程为________________．
18.不等式对任意的恒成立，则的取值范围为
19.函数在点处的切线方程为 ．
20.已知定义在上的函数的导函数为，满足，，，则不等式的解集为 ．
四、解答题21.已知函数在处取得极值．
求的单调区间；
求在上的最小值和最大值．
22.已知函数．
若函数在点处切线的斜率为，求的值；
在第问的前提下，求函数的单调区间及最值．
23.已知函数，．
Ⅰ若，求的值；
Ⅱ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅲ若在时取得极值，求的值．
24.已知函数，，其中为自然对数的底数，设函数，
若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围；
当时，、分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
对于函数，若实数满足，其中、为非零实数，则称为函数的“笃志点”．
已知函数，且函数有且只有个“笃志点”，求实数的取值范围；
定义在上的函数满足：存在唯一实数，对任意的实数，使得恒成立或恒成立对于有序实数对，讨论函数“笃志点”个数的奇偶性，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
，
在点处的切线的斜率为
故选A．
2.【答案】
【解析】
令，则，
当时，，当时，，
可得函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以函数在上的最大值为，
所以，
故的最小值为．
故选C．
3.【答案】
【解析】
当或时，，故函数在，上单调递减，
当或时，，故函数在上单调递增，
故A错误，C正确，
当或时函数取得极大值，当时函数取得极小值，
但函数的最值与端点值的大小有关，故未必是最大值，未必是最小值，
故BD错误．
故选C．
4.【答案】
【解析】
因为，
所以，
所以当或时，，当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
因为在上有最大值，
所以极大值点，
又，
当时，即，
解得或，
所以，
则的取值范围是．
故选D．
5.【答案】
【解析】因为，所以，得，
因为，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
因为，，
所以在上的最小值为．
故选D．
6.【答案】
【解析】
函数，
故在上单调递增，而，
故即，解得：，
故选：．
7.【答案】
【解析】
设断面高为，横梁的强度函数为，则，
．
令，解得或舍去．
当时，，单调递增
当时，，单调递减．
所以函数在定义域内只有一个极大值点，
所以当时，有最大值，故选C．
8.【答案】
【解析】的定义域为．
，
令，解得，
所以函数的单调减区间是
9.【答案】
【解析】
依题意，，令，则，解得，
所以，，，
故选D．
10.【答案】
【解析】由题意可知，
即对恒成立，
所以．
故选A．
11.【答案】
【解析】有两个不同极值点，
则有两解，
即方程有两解，
设，则，
当或时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
故当时，函数有极小值为，
在同一坐标系下作出的图象，
由函数图象可得当时，与有两个交点，
即方程有两解，有两个不同极值点，
故的取值范围为．
故选B．
12.【答案】
【解析】，
，
，，，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，
函数的图象为．
故选C．
13.【答案】
【解析】对于，由，得，
当时，，
是的单调递增区间，故A错误
对于，由知，在，上是减函数，在上是增函数，
是的极小值，是的极大值，故B正确
对于，，当时，恒成立，
且在单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值，又当时，，
无最小值，故C错误，D正确．
故选BD．
14.【答案】
【解析】由函数的导函数的图象可得，，，单调递增，故A正确；
由函数的导函数的图象可得，，，单调递减，故B正确；
因为，且的左边导数为负，右边导数为正，故函数在处取得极小值，故C正确；
因为，所以不是函数的极值点，故D错误．
故选ABC．
15.【答案】
【解析】 函数的导数，，
令得，则当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
则当时，函数取得极大值，极大值为，故A正确，C错误，
当，，，，
则的图象如图：由得得，即函数只有一个零点，故B错误，
，在递增，，故D正确；
故选：．
16.【答案】
【解析】对于，都是单调函数，其导函数分别为，，
，所以，
当，时，，
故，所以函数为单调递增函数，故B正确
当，时，，
故，所以函数为单调递减函数，故C正确
对于和，由于，，和，，
不能判定的正负，则的单调性不能确定，故A和D错误．
故选BC．
17.【答案】
【解析】依题意，，
所以时，，即在上递增，
得，所以，
，
所以函数在处的切线方程为，
即．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】因为不等式对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
记函数，，
可得，由可得，
可得在单调递增，在单调递减，
故当时，
可得的取值范围为．
故答案为．
19.【答案】
【解析】
因为，
所以， ，
所以函数的图象在点处的切线方程为：
，
即．
故答案为：．
20.【答案】
【解析】因为，
故图像关于对称，
又因为，
当时，，当时，，
故在上单调递减，上单调递增，
不等式可化为或
因为，由的单调性，解得，
故不等式的解集为．
故答案为．
21.【答案】解：，
因为在处取得极值，
所以，
解得．在处取得极小值，满足条件．
所以，
令，解得或，
令，解得，
所以的增区间为，，减区间为
令，解得或，
由得，单调递增，，单调递减，，单调递增，
又，
，
，
，
所以，．
22.【解析，
函数在点处切线的斜率为，
，
解得：
由得：，
，
令，解得：，令，解得：，
在递减，在递增，
最小值为，无最大值．
23.【解析Ⅰ，定义域为，
．
，．
解得．
Ⅱ当时，，，
．
．
因此曲线在点处的切线方程为．
Ⅲ在时取得极值，
，即，
解得．
当时，．
令，即，解得；令，即，解得．
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
在时取得极大值，符合题意．
因此．
24.【答案】解：，
，
当时，，，
所以，函数在上单调递增，
当时，，，
所以，函数在上单调递减，
当时，，，
所以，函数在上单调递增，
综上所述：函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
，，画出函数图象，如图所示：
根据图象知．
，
，
取，得到或，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故是极大值点，是极小值点，
恒成立，
，，故，
设，，
，
设，则恒成立，
故在上单调递减，，
当时，，函数单调递减，；
当时，存在，使得，
时，，函数单调递减；时，，函数单调递增；
故，不成立；
综上所述：．
有三个不等的实数根，
当时，，故，解得，不符合；
当时，，故，即，
令，则在上恒成立，故在上单调递增，故，
故当时，在有个“笃志点”；
当时，，故，
则，由于至多有两个根，
结合前面分析的取值范围为的子集，
令，其中，
，当时，，
的图象的对称轴为，
故在上有两个不相等的实数根，
综上所述：
函数有且只有 个“笃志点”，则实数的取值范围为；
定义在上的函数满足：
存在唯一实数，对任意的实数，使得恒成立，
故，，
因为，所以，
即，
比较与的大小关系，
若存在，使得，即，
则有成立，
故对于有序实数对，函数“笃志点”个数为奇数个，
同理，对于定义在上的函数满足：
存在唯一实数，对任意的实数，使得恒成立，
故，，
因为，所以，
即，可得到同样的结论；综上所述：若存在，使得，
则函数“笃志点”个数为奇数个，
否则，函数“笃志点”个数为偶数个．
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