课件14张PPT。第二十五章 专题训练A A B B 4．有三张卡片(形状、大小、质地都相同)，正面分别写上整式x＋1，x，3.将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张，将第一次抽取的卡片上的整式作为分子，第二次抽取的卡片上的整式作为分母．
(1)请写出抽取两张卡片的所有等可能结果；(用树状图或列表法求解)
(2)试求抽取的两张卡片结果能组成分式的概率．6．(2014·日照)在某班“讲故事”比赛中有一个抽奖活动，活动规则是：只有进入最后决赛的甲、乙、丙三位同学，每人才能获得一次抽奖机会．在如图所示的翻奖牌正面的4个数字中选一个数字，选中后就可以得到该数字后面的相应奖品，前面的人选中的数字，后面的人就不能再选择数字了．D D 12．如图，A信封中装有两张卡片，卡片上分别写着7 cm，3 cm；B信封中装有三张卡片，卡片上分别写着2 cm，4 cm，6 cm；信封外有一张写着5 cm的卡片．所有卡片的形状、大小都完全相同．现随机从两个信封中各取出一张卡片，与信封外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作三条线段的长度．
(1)求这三条线段能组成三角形的概率；(画出树状图)
(2)求这三条线段组成直角三角形的概率；13．(2014·攀枝花)在一个不透明的口袋里装有分别标有数字－3，－1，0，2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀．
(1)从中任取一球，求抽取的数字为正数的概率；
(2)从中任取一球，将球上的数字记为a，求关于x的一元二次方程ax2－2ax＋a＋3＝0有实数根的概率；
(3)从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为x(不放回)；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，试用画树状图(或列表法)表示出点(x，y)所有可能出现的结果，并求点(x，y)落在第二象限内的概率．第二十五章 概率初步
25．1 随机事件与概率
25．1.1 随机事件
1．了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点．
2．能根据随机事件的特点，辨别哪些事件是随机事件．
3．有对随机事件发生的可能性大小作定性分析的能力，了解影响随机事件发生的可能性大小的因素．
重点：对生活中的随机事件作出准确判断，对随机事件发生的可能性大小作定性分析．
难点：对生活中的随机事件作出准确判断，理解大量重复试验的必要性．
一、自学指导．(10分钟)
自学：阅读教材P127～129.
归纳：在一定条件下必然发生的事件，叫做__必然事件__；在一定条件下不可能发生的事件，叫做__不可能事件__；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做__随机事件__．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
1．下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？
(1)太阳从西边落下；
(2)某人的体温是100℃；
(3)a2＋b2＝－1(其中a，b都是实数)；
(4)自然条件下，水往低处流；
(5)三个人性别各不相同；
(6)一元二次方程x2＋2x＋3＝0无实数解．
解：(1)(4)(6)是必然发生的；(2)(3)(5)是不可能发生的．
2．在一个不透明的箱子里放有除颜色外，其余都相同的4个小球，其中红球3个、白球1个．搅匀后，从中随机摸出1个小球，请你写出这个摸球活动中的一个随机事件：__摸出红球__．
3．一副去掉大小王的扑克牌(共52张)，洗匀后，摸到红桃的可能性__>__摸到J，Q，K的可能性．(填“＞”“＜”或“＝”)
4．从一副扑克牌中任意抽出一张，则下列事件中可能性最大的是( D )
A．抽出一张红桃 B．抽出一张红桃K
C．抽出一张梅花J D．抽出一张不是Q的牌
5．某学校的七年级(1)班，有男生23人，女生23人．其中男生有18人住宿，女生有20人住宿．现随机抽一名学生，则：a.抽到一名住宿女生；b.抽到一名住宿男生；c.抽到一名男生．其中可能性由大到小排列正确的是( A )
A．cab B．acb C．bca D．cba
点拨精讲：一般的，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
1．小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数．请考虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面：
(1)出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？
(2)出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？
(3)出现的点数是4，可能吗？这是什么事件？
(4)你能列举与事件(3)相似的事件吗？
点拨精讲：必然事件和不可能事件统称为确定事件．事先不能确定发生与否的事件为随机事件．
2．袋中装有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球．我们把“摸到白球”记为事件A，把“摸到黑球”记为事件B.
(1)事件A和事件B是随机事件吗？哪个事件发生的可能性大？
(2)20个小组进行“10次摸球”的试验中，事件A发生的可能性大约有几组？“20次摸球”的试验中呢？你认为哪种试验更能获得较正确结论呢？
(3)如果把刚才各小组的20次“摸球”合并在一起是否等同于400次“摸球”？这样做会不会影响试验的正确性？
(4)通过上述试验，你认为，要判断同一试验中哪个事件发生的可能性较大、必须怎么做？
点拨精讲：(4)进行大量的、重复的试验．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．下列事件中是必然事件的是( A )
A．早晨的太阳一定从东方升起
B．中秋节晚上一定能看到月亮
C．打开电视机正在播少儿节目
D．小红今年14岁了，她一定是初中生
2．一个鸡蛋在没有任何防护的情况下，从六层楼的阳台上掉下来砸在水泥地面上没摔破( B )
A．可能性很小 B．绝对不可能
C．有可能 D．不太可能
3．下列说法正确的是( C )
A．可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生
B．可能性很小的事件在一次试验中一定发生
C．可能性很小的事件在一次试验中有可能发生
D．不可能事件在一次试验中也可能发生
4．20张卡片分别写着1，2，3，…，20，从中任意抽出一张，号码是2的倍数与号码是3的倍数的可能性哪个大？
解：号码是2的倍数的可能性大．
5．指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．
(1)两直线平行，内错角相等；
(2)刘翔再次打破110米跨栏的世界纪录；
(3)打靶命中靶心；
(4)掷一次骰子，向上一面是3点；
(5)13个人中，至少有两个人出生的月份相同；
(6)经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；
(7)在装有3个球的布袋里摸出4个球；
(8)物体在重力的作用下自由下落；
(9)抛掷一千枚硬币，全部正面朝上．
解：必然事件：(1)(5)；随机事件：(2)(3)(4)(6)(8)(9)；不可能事件：(7)．
6．已知地球表面陆地面积与海洋面积的比值为3∶7.如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？
解：“落在海洋里”可能性更大．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1．必然事件、随机事件、不可能事件的特点．
2．对随机事件发生的可能性大小进行定性分析．
3．理解大量重复试验的必要性．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
25．1.2 概率(1)
1．了解从数量上刻画一个事件发生的可能性的大小．
2．理解P(A)＝(在一次试验中有 n 种可能的结果，其中 A 包含 m 种)的意义．
重点：对概率意义的正确理解．
难点：对P(A)＝(在一次试验中有 n 种可能的结果，其中 A 包含 m 种)的正确理解．
一、自学指导．(10分钟)
自学：阅读教材第130至132页．
归纳：
1．当A是必然事件时，P(A)＝__1__；当A是不可能事件时，P(A)＝__0__；任一事件A的概率P(A)的范围是__0≤P(A)≤1__．
2．事件发生的可能性越大，则它的概率越接近__1__；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近__0__．
3．一般地，在一次试验中，如果事件A发生的可能性大小为____，那么这个常数就叫做事件A的概率，记作__P(A)__．
4．在上面的定义中，m，n各代表什么含义？的范围如何？为什么？
点拨精讲：(1)刻画事件A发生的可能性大小的数值称为事件A的概率．
(2)__必然__事件的概率为1，__不可能__事件的概率为0，如果A为__随机__事件，那么0＜P(A)＜1.
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
1．在抛掷一枚普通正六面体骰子的过程中，出现点数为2的概率是____．
2．十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯恰是黄灯亮的概率为____．
3．袋中有5个黑球，3个白球和2个红球，它们除颜色外，其余都相同．摸出后再放回，在连续摸9次且9次摸出的都是黑球的情况下，第10次摸出红球的概率为____．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)
1．掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
(1)点数为2；(2)点数为奇数；
(3)点数大于2小于5.
解：(1)；(2)；(3).
2．一个桶里有60个弹珠，其中一些是红色的，一些是蓝色的，一些是白色的．拿出红色弹珠的概率是35%，拿出蓝色弹珠的概率是25%.桶里每种颜色的弹珠各有多少？
解：红：21；蓝：15；白：24.
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(12分钟)
1．袋子中装有24个和黑球2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋中摸出一个球，摸到黑球的概率大，还是摸到白球的概率大一些呢？说明理由，并说明你能得到什么结论？
解：摸到黑球的概率大．摸到黑球的可能性为，摸到白球的可能性为，>，故摸到黑球的概率大．(结论略)
点拨精讲：要判断哪一个概率大，只要看哪一个可能性大．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)＝____且 __0__≤P(A)≤__1__．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
25．1.2 概率(2)
1. 进一步在具体情境中了解概率的意义；能够运用列举法计算简单事件发生的概率，并阐明理由．
2．运用P(A)＝解决一些实际问题．
重点：运用P(A)＝解决实际问题．
难点：运用列举法计算简单事件发生的概率．
一、自学指导．(10分钟)
自学：阅读教材P133.
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
1．从分别标有1，2，3，4，5号的5根纸签中随机地抽取一根．抽出的号码有多少种？抽到1的概率为多少？
解：5种；.
2．掷一个骰子，向上一面的点数有多少种可能？向上一面的点数是1的概率是多少？
解：6种；.
3．如图所示，有一个转盘，转盘分成4个相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．指针恰好指向其中的某个扇形(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，求下列事件的概率．
(1)指针指向绿色；(2)指针指向红色或黄色；(3)指针不指向红色．
解：(1)；(2)；(3).
点拨精讲：转一次转盘，它的可能结果有4种——有限个，并且各种结果发生的可能性相等．因此，它可以运用“P(A)＝”，即“列举法”求概率．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
1．如图是计算机中“扫雷”游戏的画面，在一个有9×9个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着3颗地雷，每个小方格内最多只能埋藏1颗地雷．小王在游戏开始时随机地踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域(划线部分)，A区域外的部分记为B区域，数字3表示在A区域中有3颗地雷，每个小方格中最多只能藏一颗．那么，第二步应该踩在A区域还是B区域？
思考：如果小王在游戏开始时踩中的第一个方格上出现了标号1，则下一步踩在哪个区域比较安全？
2．(1)掷一枚质地均匀的硬币的试验有几种可能的结果？它们的可能性相等吗？由此怎样确定“正面朝上”的概率？
(2)掷两枚硬币，求下列事件的概率：
A．两枚硬币全部正面朝上；
B．两枚硬币全部反面朝上；
C．一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上．
思考：“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？
点拨精讲：“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，两种试验的所有可能结果一样．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．中国象棋红方棋子按兵种不同分布如下：1个帅，5个兵，“士、象、马、车、炮”各2个，将所有棋子
反面朝上放在棋盘中，任取一个不是兵和帅的概率是( D )
A. B. C. D.
2．冰柜中装有4瓶饮料、5瓶特种可乐、12瓶普通可乐、9瓶桔子水、6瓶啤酒，其中可乐是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜中随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是( D )
A. B. C. D.
3．从，，，中随机抽取一个，与是同类二次根式的概率为____．
4．小李手里有红桃1，2，3，4，5，6，从中任抽取一张牌，观察其牌上的数字．求下列事件的概率：(1)牌上的数字为3；(2)牌上的数字为奇数；(3)牌上的数字大于3且小于6.
解：(1)；(2)；(3).
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏的列出所有可能的结果，通常采用列举法．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
25．2 用列举法求概率
1. 会用列表法求出简单事件的概率．
2. 会用树状图法求出一次试验中涉及3个或更多个因素时，不重不漏地求出所有可能的结果，从而正确地计算问题的概率．
重点：运用列表法或树状图法计算简单事件的概率．
难点：用树状图法求出所有可能的结果．
一、自学指导．(10分钟)
自学：阅读教材P136～139.
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
1．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出1个球，共有几种可能的结果？
解：两种结果：白球、黄球．
2．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出2个球，这样共有几种可能的结果？
解：三种结果：两白球、一白一黄两球、两黄球．
3．一个盒子里有4个除颜色外其余都相同的玻璃球，一个红色，一个绿色，两个白色，现随机从盒子里一次取出两个球，则这两个球都是白球的概率是____．
4．同时抛掷两枚正方体骰子，所得点数之和为7的概率是____．
点拨精讲：这里2，3，4题均为两次试验(或一次两项)，可直接采用树状图法或列表法．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
1．同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
(1)两个骰子的点数相同；
(2)两个骰子点数的和是9；
(3)至少有一个骰子的点数为2.
讨论：(1)上述问题中一次试验涉及到几个因素？你是用什么方法不重不漏地列出了所有可能的结果，从而解决了上述问题？
(2)能找到一种将所有可能的结果不重不漏地列举出来的方法吗？(介绍列表法求概率，让学生重新利用此法做上题)．
(3)如果把上例中的“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次”，所得到的结果有变化吗？
点拨精讲：当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏的列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是将两个步骤分别列在表头中，所有可能性写在表格中，再把组合情况填在表内各空格中．
2．甲口袋中装有2个相同的小球，他们分别写有A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，分别写有C，D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，他们分别写有H和I.从3个口袋中各随机取出1个小球．
(1)取出的3个小球上恰好有1个、2个、3个元音字母的概率分别是多少？
(2)取出3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
点拨：A，E，I是元音字母；B，C，D，H是辅音字母．
分析：弄清题意后，先让学生思考从3个口袋中每次各随机地取出一个球，共3个球，这就是说每一次试验涉及到3个因素，这样的取法共有多少种呢？打算用什么方法求得？
点拨精讲：第一步可能产生的结果会是什么？——(A和B)，两者出现的可能性相同吗？分不分先后？写在第一行．
第二步可能产生的结果是什么？——(C，D和E)，三者出现的可能性相同吗？分不分先后？从A和B分别画出三个分支，在分支下的第二行分别写上C，D和E.
第三步可能产生的结果有几个？——是什么？——(H和I)，两者出现的可能性相同吗？分不分先后？从C，D和E分别画出两个分支，在分支下的第三行分别写上H和I.
(如果有更多的步骤可依上继续)第四步按竖向把各种可能的结果竖着写在下面，就得到了所有可能的结果的总数．再找出符合要求的种数，就可计算概率了．
合作完成树状图．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．将一个转盘分成6等份，分别是红、黄、蓝、绿、白、黑，转动转盘两次，两次能配成“紫色”(提示：只有红色和蓝色可配成紫色)的概率是____．
2．抛掷两枚普通的骰子，出现数字之积为奇数的概率是____，出现数字之积为偶数的概率是____．
3．第一盒乒乓球中有4个白球2个黄球，第二盒乒乓球中有3个白球3个黄球，分别从每个盒中随机的取出一个球，求下列事件的概率：
(1)取出的两个球都是黄球；
(2)取出的两个球中有一个白球一个黄球．
解：；.
4．在六张卡片上分别写有1～6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机的抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？
解：.
点拨精讲：这里第4题中如果抽取一张后不放回，则第二次的结果不再是6，而是5.
5．小明和小刚用如图的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明得2分；当所转到的数字之积为偶数时，小刚得1分．这个游戏对双方公平吗？若公平，说明理由；若不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？
解：P(积为奇数)＝，P(积为偶数)＝.
1
2
3
1
1
2
3
2
2
4
6
×2＝1×.∴这个游戏对双方公平．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1. 一次试验中可能出现的结果是有限多个，各种结果发生的可能性是相等的．通常可用列表法和树状图法求得各种可能的结果．
2．注意第二次放回与不放回的区别．
3．一次试验中涉及3个或更多个因素时，不重不漏地求出所有可能的结果，通常采用树状图法．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
25．3 用频率估计概率
1. 理解当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．
2. 了解用频率估计概率的方法与列举法求概率的区别，并能够通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率．
重点：了解用频率估计概率的必要性和合理性．
难点：大量重复试验得到频率稳定值的分析，对频率与概率之间关系的理解．
一、自学指导．(20分钟)
自学：阅读教材P142～146.
归纳：对于一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．
当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，因此，可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(2分钟)
1．小强连续投篮75次，共投进45个球，则小强进球的频率是__0.6__．
2．抛掷两枚硬币，当抛掷次数很多以后，出现“一正一反”这个不确定事件的频率值将稳定在__0.5左右．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)
红星养猪场400头猪的质量(质量均为整数：千克)频率分布如下，其中数据不在分点上.
组别
频数
频率
46 ～ 50
40
0.1
51 ～ 55
80
0.2
56 ～ 60
160
0.4
61 ～ 65
80
0.2
66 ～ 70
30
0.075
71～ 75
10
0.025
从中任选一头猪，质量在65 kg以上的概率是__0.1 .
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(6分钟)
某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：
(1) 计算并完成表格：
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”的次数m
68
111
136
345
546
701
落在“铅笔”的频率
0.68
0.74
0.68
0.69
0.6825
0.701
(2)请估计，当次数很大时，频率将会接近多少？
(3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？
(4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到1°)
【答案】：(2)0.69；(3)0.69；(4)0.69×360°≈248°.
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
尽管随机事件在每次试验中发生与否具有不确定性，但只要保持试验条件不变，那么这一事件出现的频率就会随着试验次数的增大而趋于稳定，这个稳定值就可以作为该事件发生概率的估计值．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
第二十五章 概率初步
25．1 随机事件与概率
25．1.1 随机事件
了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点．
了解随机事件发生的可能性是有大有小的，不同的随机事件发生的可能性的大小不同．
重点
随机事件的特点．
难点
判断现实生活中哪些事件是随机事件．
一、情境引入
分析说明下列事件能否一定发生：
①今天不上课；②煮熟的鸭子飞了；③明天地球还在转动；④木材燃烧会放出热量；⑤掷一枚硬币，出现正面朝上．
二、自主探究
1．提出问题
教师事先准备的三个袋子中分别装有10个白色的乒乓球；5个白色的乒乓球和5个黄色的乒乓球；10个黄色的乒乓球，分组讨论从这三个袋子里摸出黄色乒乓球的情况．
学生积极参加，通过操作和观察，归纳猜测出在第1个袋子中摸出黄色球是不可能的，在第2个袋子中能否摸出黄色球是不确定的，在第3个袋子中摸出黄色球是必然的．
2．概念得出
从上面的事件可看出，对于任何事件发生的可能性有三种情况：
(1)必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；
(2)不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；
(3)随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．
3．随机事件发生的可能性有大小
袋子中有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的情况下，随机地从袋子中摸出一个球．
(1)是白球还是黑球？
(2)经过多次试验，摸出的黑球和白球哪个次数多？说明了什么问题？
结论：一般地，随机事件发生的可能性有大小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．
三、巩固练习
教材第128页 练习
四、课堂小结
(学生归纳，老师点评)
本节课应掌握：
(1)必然事件，不可能事件，随机事件的概念．
(2)一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．
五、作业布置
教材第129页 练习1，2.
25．1.2 概 率
1．在具体情境中了解概率的意义，体会事件发生的可能性大小与概率的值的关系．
2．理解概率的定义及计算公式P(A)＝，明确概率的取值范围，能求简单的等可能性事件的概率．
重点
在具体情境中了解概率的意义，理解概率定义及计算公式P(A)＝.
难点
了解概率的定义，理解概率计算的两个前提条件．
活动1 创设情境
(1)事件可以分为哪几类？什么是随机事件？随机事件发生的可能性一样吗？
(2)在同样的条件下，某一随机事件可能发生也可能不发生，那么它发生的可能性究竟有多大？能否用数值进行刻画呢？
这节课我们就来研究这个问题．
活动2 试验活动
试验1：每位学生拿出课前准备好的分别标有1，2，3，4，5号的5根纸签，从中随机地抽取一根，观察上面的数字，看看有几种可能．(如此多次重复)
试验2：教师随意抛掷一枚质地均匀的骰子，请学生观察骰子向上一面的点数，看看有几种不同的可能．(如此可重复多次)
(1)试验1中共出现了几种可能的结果？你认为这些结果出现的可能性大小相等吗？如果相等，你认为它们的可能性各为多少？
(2)试验2中共出现了几种可能的结果？你认为这些结果出现的可能性大小相等吗？如果相等，你认为它们的可能性各为多少？
活动3 引出概率
1．从数量上刻画一个随机事件A发生的可能性的大小，我们把它叫做这个随机事件A的概率，记为P(A)．
2．概率计算必须满足的两个前提条件：
(1)每一次试验中，可能出现的结果只有有限个；
(2)每一次试验中，各种结果出现的可能性相等．
3．一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝________.
4．随机事件A发生的概率的取值范围是________，如果A是必然发生的事件，那么P(A)＝________，如果A是不可能发生的事件，那么P(A)＝________.
活动4 精讲例题
例1 下列事件中哪些是等可能性事件，哪些不是？
(1)运动员射击一次中靶心与不中靶心；
(2)随意抛掷一枚硬币反面向上与正面向上；
(3)随意抛掷一只可乐纸杯杯口朝上，或杯底朝上，或横卧；
(4)分别从写有1，3，5，7，9中一个数的五张卡片中任抽1张结果是1，或3，或5，或7，或9.
答案：(1)不是等可能事件；(2)是等可能事件；(3)不是等可能事件；(4)是等可能事件．
例2 学生自己阅读教材第131页～132页例1及解答过程．
例3 教师引导学生分析讲解教材第132页例2.想一想：把此题(1)和(3)两问及答案联系起来，你有什么发现？
例4 教师引导学生分析讲解教材第133页例3.
活动5 过关练习
教材第133页 练习第1～3题．
补充：1.袋子中装有5个红球3个绿球，这些球除了颜色外都相同．从袋子中随机地摸出一个球，它是红色与它是绿色的可能性相等吗？两者的概率分别是多少？
2．一个质地均匀的小正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，2，3，4，4，掷骰子后，观察向上一面的数字．
(1)出现数字1的概率是多少？
(2)出现的数字是偶数的概率是多少？
(3)哪两个数字出现的概率相等？分别是多少？
答案：1.摸到红色球与摸到绿色球的可能性不相等，P(摸到红球)＝，P(摸到绿球)＝；2.(1)；(2)；(3)数字1和3出现的概率相同，都是，数字2和4出现的概率相同，都是.
活动6 课堂小结与作业布置
课堂小结
1．随机事件概率的意义，等可能性事件的概率计算公式P(A)＝.
2．概率计算的两个前提条件：可能出现的结果只有有限个；各种结果出现的可能性相同．
作业布置
教材第134页～135页 习题第3～6题.25.2 用列举法求概率(2课时)
第1课时 用列举法和列表法求概率
1．会用列举法和列表法求简单事件的概率．
2．能利用概率知识解决计算涉及两个因素的一个事件概率的简单实际问题．
重点
正确理解和区分一次试验中涉及两个因素与所包含的两步试验．
难点
当可能出现的结果很多时，会用列表法列出所有可能的结果．
活动1 创设情境
我们在日常生活中经常会做一些游戏，游戏规则制定是否公平，对游戏者来说非常重要，其实这就是一个游戏双方获胜概率大小的问题．
下面我们来做一个小游戏，规则如下：
老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，你们赢．请问：你们觉得这个游戏公平吗？
学生思考计算后回答问题：把其所能产生的结果全部列出来，应该是正正、正反、反正、反反，共有四种可能，并且每种结果出现的可能性相同．
(1)记满足两枚硬币一正一反的事件为A，则P(A)＝＝；
(2)记满足两枚硬币两面一样的事件为B，则P(B)＝＝.
由此可知，双方获胜的概率一样，所以游戏是公平的．
当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目比较少时，我们看到结果很容易被全部列出来；若出现结果的数目较多时，要想不重不漏地列出所有可能的结果，还有什么更好的方法呢？我们来看下面的这个问题．
活动2 探索交流
例1 为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A，B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是1，6，8，转盘B上的数字分别是4，5，7(两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同)．每次选择2名同学分别拨动A，B两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目(若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次)．作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由．
在这个环节里，首先可以让学生自己用列举法列出所有的情况，很多学生会发现列出所有的情况会有困难，会漏掉一些情况．这个时候可以要求学生分组讨论，探索交流，然后引导学生将实际问题转化为数学问题，即“停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢？”
由于事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的大小．此时，首先引导学生观看转盘动画，同学们会发现这个游戏涉及A，B两个转盘，即涉及两个因素，与上节课所讲授单转盘概率问题相比，可能产生的结果数目增多了，变复杂了，列举时很容易造成重复或遗漏．怎样避免这个问题呢？
实际上，可以将这个游戏分两步进行，教师指导学生构造下列表格：
B
A
4
5
7
1
6
8
分析：首先考虑转动A盘：指针可能指向1，6，8三个数字中的任意一个，可能出现的结果就会有3个；接着考虑转动B盘：当A盘指针指向1时，B盘指针可能指向4，5，7三个数字中的任意一个．当A盘指针指向6或8时，B盘指针同样可能指向4，5，7三个数字中的任意一个，这样一共会产生9种不同的结果．
学生独立填写表格，通过观察与计算，得出结论(即列表法)．
B
A
4
5
7
1
(1，4)
(1，5)
(1，7)
6
(6，4)
(6，5)
(6，7)
8
(8，4)
(8，5)
(8，7)
从表中可以发现：A盘数字大于B盘数字的结果共有5种，而B盘数字大于A盘数字的结果共有4种．
∴P(A数较大)＝，P(B数较大)＝，∴P(A数较大)＞P(B数较大)，∴选择A装置的获胜可能性较大．
在学生填写表格过程中，注意向学生强调数对的有序性．
由于游戏是分两步进行的，我们也可用其他的方法来列举．即先转动B盘，可能出现4，5，7三种结果；第二步考虑转动A盘，可能出现1，6，8三种情况．
活动3 例题精讲
通过上面例1的分析，学生对用列表法求概率有了初步的了解，为了帮助学生熟练掌握这种方法，教师引导学生分析解决教材第136页例2.然后引导学生进行题后小结：
当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法．运用列表法求概率的步骤如下：
(1)列表；
(2)通过表格计数，确定公式P(A)＝中的m和n的值；
(3)利用公式P(A)＝计算事件发生的概率．
活动4 过关练习
教材第138页 练习第1～2题．
活动5 课堂小结与作业布置
课堂小结
引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获，要求每个学生在组内交流，派小组代表发言．
作业布置
教材第139页～140页 习题第1～3题和第5题．第2课时 用树状图求概率
1．理解并掌握用树状图求概率的方法，并利用它们解决问题．
2．正确认识在什么条件下使用列表法，在什么条件下使用树状图法．
重点
理解树状图的应用方法及条件，用画树状图的方法求概率．
难点
用树状图列举各种可能的结果，求实际问题中的概率．
一、复习引入
用列举法求概率的方法．
(1)总共有几种可能，即求出n；
(2)每个事件中有几种可能的结果，即求出m，从而求出概率．
什么时候用列表法？
列举所有可能的结果的方法有哪些？
二、探索新知
画树状图求概率
例1 甲口袋中装有2个相同的球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中3个相同的球，它们分别写有字母C，D和E；丙口袋中2个相同的球，它们分别写有字母H和I.从三个口袋中各随机地取出1个球．
(1)取出的三个球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别为多少？
(2)取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少？
例1与上节课的例题比较，有所不同：要从三个袋子里摸球，即涉及到三个因素．此时同学们会发现用列表法就不太方便，可以尝试树状图法．
本游戏可分三步进行．分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键．
从图形上可以看出所有可能出现的结果共有12个，即：
A A A A A A B B B B B B
C C D D E E C C D D E E
H I H I H I H I H I H I
(幻灯片上用颜色区分)
这些结果出现的可能性相等．
(1)只有一个元音字母的结果(黄色)有5个，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以P(1个元音)＝；
有两个元音的结果(白色)有4个，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以P(2个元音)＝＝；
全部为元音字母的结果(绿色)只有1个，即AEI，所以P(3个元音)＝.
(2)全是辅音字母的结果(红色)共有2个，即BCH，BDH，所以P(3个辅音)＝＝.
通过例1的解答，很容易得出题后小结：
当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用“画树形图”．
运用树状图法求概率的步骤如下：(幻灯片)
①画树状图；
②列出结果，确定公式P(A)＝中m和n的值；
③利用公式P(A)＝计算．
三、巩固练习
教材第139页 练习
四、课堂小结
本节课应掌握：
1．利用树状图法求概率．
2．什么时候用列表法，什么时候用树状图法，各自的应用特点：有两个元素且情况较多时用列表法，当有三个或三个以上元素时用树状图法．
五、作业布置
教材第140页 习题6，9.25.3 用频率估计概率
1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．
2．会设计模拟试验，能应用模拟试验求概率．
重点
对利用频率估计概率的理解和应用．
难点
对利用频率估计概率的理解．
一、情境引入
某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数n
8
10
12
9
16
10
进球次数m
6
8
9
7
12
7
进球频率
(1)计算表中各次比赛进球的频率；
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？
解答：(1)0.75，0.8，0.75，0.78，0.75，0.7；
(2)0.75.
二、自主探究
利用频率估计概率
1．试验要求：
(1)把全班分成10或12组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学做记录，其余同学观察试验，计算结果，各组必须在同样条件下进行．
(2)明确任务，每组掷币50次，认真统计“正面朝上”的频数，算出“正面朝上”的频率，整理试验的数据，并记录下来．
2．各组汇报试验结果：
把各组试验数据汇报给教师，教师积累后填入表格，板书，学生计算出累加后的频率．(由于试验次数较小，有可能有些组的最后结果和自己的猜想有出入)
3．根据列表填在教材第142页图中，观察频率变化情况，小组交流后阐述所得结论．
4．思考：教材第143页“思考”．
5．问题1：教材第144页问题1.
分析：幼树的成活率是实际问题中的概率，在这个实验过程中，移植总数无限，每一棵小苗成活的可能性不相等，所以不能用列举法求概率，只能用频率估计概率．
解：教师引导学生完成
方法总结：(1)先计算出每次试验的频率；
(2)观察频率活动情况，选择最接近且围绕波动的频率数作为概率．
用频率估计概率的应用
教材第145页问题2
分析：学生阅读表25－6提供的信息：
(1)估测出损坏率．(实质也是概率问题)
(2)算出完好柑橘的质量．
(3)计算出实际成本，再确定定价．
三、巩固练习
教材第147页 练习．
四、课堂小结
(1)利用频率估计概率，建立在大量重复试验的基础上．
(2)利用频率估计概率，得到的概率是近似值．
五、作业布置
教材第147～148页 习题1，2，5.
第二十五章检测题
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2014·呼伦贝尔)下列事件是随机事件的是(B)
A．通常情况温度降到0 ℃以下，纯净的水结冰 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
C．度量三角形的内角和，结果是360° D．测量某天的最低气温，结果为－180 ℃
2．(2014·台州)某品牌电插座抽样检查的合格率为99%，则下列说法中正确的是(D)
A．购买100个该品牌的电插座，一定有99个合格
B．购买1000个该品牌的电插座，一定有10个不合格
C．购买20个该品牌的电插座，一定都合格
D．即使购买一个该品牌的电插座，也可能不合格
3．(2014·义乌)一个布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是红球的概率是(D)
A. B. C. D.
4．(2014·陕西)小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是(A)
A. B. C. D.
5．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球(A)
A．12个 B．16个 C．20个 D．30个
6．从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从2、3、4中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是(B)
A. B. C. D.
7．(2014·黄石)学校团委在“五四青年节”举行“感动校园十大人物”颁奖活动，九(4)班决定从甲、乙、丙、丁四人中随机派两名代表参加此活动，则甲、乙两人恰有一人参加此活动的概率是(A)
A. B. C. D.
8．在某校组织的演讲比赛中，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛，那么前两名都是九年级同学的概率是(B)
A. B. C. D.
9．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字－1、1、2.随机摸出一个小球(不放回)其数字记为p ，再随机摸出另一个小球其数字记为q ，则满足关于x的方程x2＋px＋q＝0有实数根的概率是(A)
A. B. C. D.
10.
甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A，B平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘，则甲获胜的概率是(A)
A. B. C. D.
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．(2014·庆阳)在6瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从这6瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率为.
12.(2014·西宁)如图，小红随意在地板上踢毽子，则毽子恰好落在黑色方砖上的概率为.
第12题图
第15题图
第16题图
13.一只不透明的布袋中有三种小球(除颜色以外没有任何区别)，分别是2个红球，3个白球和5个黑球，每次只摸出一个小球，观察后均放回搅匀．在连续9次摸出的都是黑球的情况下，第10次摸出红球的概率是.
14．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外，形状、大小、质地完全相同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别稳定在20%和40%，则布袋中白色球的个数很可能是20个．
15．如图，在某十字路口，汽车可直行、可左转、可右转．若这三种可能性相同，则两辆汽车经过该路口都向右转的概率为.
16．(2014·聊城)如图，有四张卡片(形状、大小和质地都相同)，正面分别写有字母A，B，C，D和一个不同的算式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取两张卡片，这两张卡片上的算式只有一个正确的概率是.
17．从－1，2，－3，4，－5这5个数中随机取出3个数，其中三个数的和为正数的概率为.
18．(2014·重庆)从－1，1，2这三个数字中随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的一次函数y＝2x＋a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为，且使关于x的不等式组有解的概率为.
三、解答题(共66分)
19．(8分)投掷一枚普通的正方体骰子24次．
(1)你认为下列四种说法哪几种是正确的？
①出现1点的概率等于出现3点的概率；
②投掷24次，2点一定会出现4次；
③投掷前默念几次“出现4点”，投掷结果出现4点的可能性就会加大；
④连续投掷6次，出现的点数之和不可能等于 37.
(2)求出现5点的概率；
(3)出现6点大约有多少次？
解：(1)①④正确；(2)出现5点的概率不受抛掷次数的影响，始终是；(3)出现6点大约有24×＝4(次)．
20．(7分)(2014·长春)在一个不透明的袋子里装有3个乒乓球，分别标有数字1，2，3，这些乒乓球除所标数字不同外其余均相同．先从袋子里随机摸出1个乒乓球，记下标号后放回，再从袋子里随机摸出1个乒乓球记下标号，请用画树状图(或列表)的方法，求两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的概率．
解：画树状图略，通过画树状图可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的有5种情况，故两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的概率为.
21．(7分)甲、乙两队进行拔河比赛，裁判员让两队队长用“石头、剪子、布”的手势方式选择场地位置．规则是：石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头，手势相同再决胜负．请你说明裁判员的这种做法对甲、乙双方是否公平，为什么？(用树状图或列表法解答)
解：裁判员的这种做法对甲、乙双方是公平的．理由如下：用列表法得出所有可能的结果如下：
甲
乙
石头
剪子
布
石头
(石头，石头)
(石头，剪子)
(石头，布)
剪子
(剪子，石头)
(剪子，剪子)
(剪子，布)
布
(布，石头)
(布，剪子)
(布，布)
根据表格得，P(甲获胜)＝＝，P(乙获胜)＝＝.∵P(甲获胜)＝P(乙获胜)，∴裁判员的这种做法对甲、乙双方是公平的．
22．(9分)(2014·黔南州)如图的方格地面上，标有编号A，B，C的3个小方格地面是空地，另外6个小方格地面是草坪，除此以外小方格地面完全相同．
(1)一只自由飞行的鸟，将随意地落在图中的方格地面上，问小鸟落在草坪上的概率是多少？
(2)现从3个小方格空地中任意选取2个种植草坪，则刚好选取A和B的2个小方格空地种植草坪的概率是多少？(用树状图或列表法求解)
解：(1)P(小鸟落在草坪上)＝＝；(2)由树状图(列表)可知，共有6种等可能结果，编号为A，B的2个小方格空地种植草坪的有2种，所以P(编号为A，B的2个小方格空地种植草坪)＝＝.
23．(8分)(2014·达州)四张背面完全相同的纸牌(如图，用①、②、③、④表示)，正面分别写有四个不同的条件．小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后，先随机抽出一张(不放回)，再随机抽出一张．
(1)写出两次摸牌出现的所有可能的结果；(用①、②、③、④表示)
(2)以两次摸出的牌面上的结果为条件，求能判断四边形ABCD为平行四边形的概率．
解：(1)两次摸牌出现的所有可能的结果为①②，①③，①④，②①，②③，②④，③①，③②，③④，④①，④②，④③；
(2)共有12种等可能的结果，其中能判断四边形ABCD为平行四边形的有6种：①③、①④、②③、③①、③②、④①，所以能判断的四边形ABCD为平行四边形的概率P＝＝.
24．(8分)小明为了检验两枚六个面分别刻有点数1、2、3、4、5、6的正六面体骰子的质量是否都合格，在相同的条件下，同时抛两枚骰子20 000次，结果发现两个朝上面的点数和是7的次数为20次．你认为这两枚骰子质量是否都合格？并说明理由．(合格标准为：在相同条件下抛骰子时，骰子各个面朝上的机会相等．)
解：两枚骰子质量不都合格．∵抛两枚骰子两个朝上的面点数和有36种情况，出现两个朝上的面点数和为7有6种情况，∴出现两个朝上的面点数和为7的概率为＝≈0.167.而试验20 000次出现两个朝上的面点数和为7的频率为＝0.001.因为多数次试验的频率应接近概率，而0.001和0.167相差很大，所以两枚骰子质量不都合格．
25．(9分)(2014·常德)小美周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有A，B，C，D，E五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定：①玩家只能将小兔从A，B两个出入口放入；②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开，则可获得一只价值5元的小兔玩具，否则应付费3元．
(1)问小美得到小兔玩具的机会有多大？
(2)假设有100人玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元？
解：(1)根据题意得，小美得到小兔玩具的机会是；(2)根据题意得，一个人玩此游戏，游戏设计者可赚的钱为－×5＋×3＝(元)，故100人玩此游戏，游戏设计者大约可赚100×＝140(元)．
26．(10分)一个不透明的布袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色外其余都相同)，其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为.
(1)求口袋中黄球的个数；
(2)甲同学先随机摸出一个小球(不放回)，再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”求两次摸出都是红球的概率；
(3)现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得2分(每次摸后放回)，乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球，第二次又随机摸到一个蓝球，若随机再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率．
解：(1)设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得：＝，解得：x＝1，经检验：x＝1是原分式方程的解，∴口袋中黄球的个数为1个；
(2)画树状图略，通过画树状图可知，共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况，∴两次摸出都是红球的概率为＝；
(3)∵摸到红球得5分，摸到篮球得2分，摸到黄球得3分，而乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球，第二次又随机摸到一个蓝球，∴乙同学已经得了7分，∴若随机再摸一次，乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4种等可能的结果，∴若随机再摸一次，乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率为.
课件15张PPT。 25.3 用频率估计概率 D D D B 5．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
则绿豆发芽的概率估计值是( )
A．0.960 B．0.950 C．0.940 D．0.900B6．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是( )
A．6 B．10
C．18 D．20
7．(2014·贵阳)“六·一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共1 000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；……多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是____个．D2008．一个口袋里有25个球，其中红球、黑球、黄球若干个，从口袋中随机摸出一个球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有____个．
9．小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子(质地均匀的正方体)实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：1510．(2014·德阳)下列说法中正确的个数是( )
①不可能事件发生的概率为0；
②一个对象在实验中出现的次数越多，频率就越大；
③在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值；
④收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒里，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球( )
A．28个 B．30个
C．36个 D．42个CA12．(2014·河北)某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是( )
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4D13．一个不透明的袋内只装有红球4个和黑球若干个，每次从袋内摸出一球，记录下颜色并放回袋内搅匀，小强试验了200次，黑球出现了119次．请你估计一下袋内黑球有____个；大量试验下，红球出现的频率会越来越接近于____．(填数值)
14．为估计某水库鲢鱼的数量，养鱼户李老板先捞上150条鲢鱼并在鲢鱼身上做红色的记号，然后立即将这150条鲢鱼放回水库中，一周后，李老板又捞取200条鲢鱼，数一数带红色记号的鱼有三条，据此可估计出该水库中鲢鱼约有 条．60.41000015．某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
(1)这种树苗成活的频率稳定在________，成活的概率估计值为________；
(2)该地区已经移植这种树苗5万棵．
①估计这种树苗成活________万棵；
②如果该地区计划成活18万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约多少万棵？解：(1)这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9；
(2)①估计这种树苗成活在5×0.9＝4.5万棵；②18÷0.9－5＝15，故该地区还需移植这种树苗约15万棵．16．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，4，5，x.甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表课件12张PPT。25．1 随机事件与概率25．1.1 随机事件
D D 3．(2015·东西湖区模拟)事件A：某人上班乘车，刚到车站车就到了；事件B：掷一枚骰子，向上一面的点数不大于6.则正确的说法是( )
A．只有事件A是随机事件
B．只有事件B是随机事件
C．都是随机事件
D．都不是随机事件
4．在5张卡片上各写0，2，4，6，8中的一个数，从中抽出一张．
(1)为偶数是____事件；
(2)为奇数是 事件；
(3)为4的倍数是 事件．A必然不可能随机5．下列事件属于确定性事件的是 ．(填序号)
①若a是实数，则|a|≥0；②抛出的篮球会下落；③小敏所在的班级中有位同学的身高是5 m；④用直角三角板在纸上画出一个三角形，它的内角和等于180°；⑤守株待兔．
6．指出下列事件中，哪些是随机事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件．
(1)地球在不停地转动；
(2)随意翻一下日历，翻到的号数是奇数；
(3)太阳从西方升起；
(4)从一副扑克牌中抽到红桃A；
(5)任意踢出的足球会射进球门内；
(6)367人中必有2人的生日相同．
解：(1)必然事件；(2)随机事件；(3)不可能事件；(4)随机事件；(5)随机事件；(6)必然事件．①②④7．一只不透明的袋子中装有3个白球，4个黄球，6个红球，每个球除颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，下列说法正确的是( )
A．摸到红球的可能性最大
B．摸到黄球的可能性最大
C．摸到白球的可能性最大
D．摸到三种颜色的球的可能性一样大
8．从一副扑克牌中任意抽出一张，以下四种牌中抽到可能性较大的是( )
A．大王
B．红色图案
C．梅花
D．老KAB乙 解：指向红色的可能性最大，
指向蓝色的可能性最小，指向黄色和白色的可能性相同．11．袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是( )
A．3个
B．不足3个
C．4个
D．5个或5个以上
12．(2014·黔东南州)掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是( )
A．可能有5次正面朝上
B．必有5次正面朝上
C．掷2次必有1次正面朝上
D．不可能有10次正面朝上DA13．(2014·桂林)一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是( )
A．摸出的四个球中至少有一个是白球
B．摸出的四个球中至少有一个球是黑球
C．摸出的四个球中至少有两个球是黑球
D．摸出的四个球中至少有两个球是白球
14．甲、乙两人轮流做下面的游戏：掷一枚均匀的小正方体，正方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.任意掷出小正方体后，如果朝上的数字是4的倍数，那么甲获胜；如果朝上的数字是3的倍数，那么乙获胜．你认为这个游戏获胜的可能性大的是____．
15．如图，把图中自由转动的转盘的序号按转出黑色(阴影)的可能性按从小到大的顺序排列起来是 ．B乙⑤③②④①16．现有4个黄球，2个白球和一个口袋，每个球除颜色外其余全部相同．请你按要求在一个口袋中放球．
(1)任意摸出一个球是黄球是不可能事件；
(2)任意摸出两球，一个是黄球，一个是白球是必然事件；
(3)任意摸出两球都是黄球是随机事件．
解：(1)袋子中只放白球；
(2)袋子中只放一个黄球，一个白球；
(3)袋子中放4个黄球，2个白球．17．口袋中有15个球，其中白球有x个，绿球有2x个，其余为黑球；小红从中任意摸出一个球，若为绿色则小红获胜；小红摸出的球放回袋中，小文从中摸出一个球，若为黑色则小文获胜．问x为何值时，小红和小文两人获胜的可能性一样大？
解：若要小红和小文两人获胜的可能性一样大，
则黑球和绿球一样多，即黑球有2x个，
则得到x＋2x＋2x＝15，解得x＝3，
故x为3时，小红和小文两人获胜的可能性一样大．
18．一个布袋装有7个红球，2个黑球，1个白球，从中任意摸出一个球，比较A，B，C，D，E五个事件发生的可能性大小，并按可能性从小到大的顺序把它们排列起来．(用“必然”“很可能”“不大可能”“不可能”来描述这些事件发生的可能性大小)
A．摸出一个球，是红球，或白球，或黑球；
B．摸出一个球，是红球；
C．摸出一个球，是黑球；
D．摸出一个球，是绿球；
E．摸出一个球，是白球．
解：按可能性从小到大的顺序排列为：D＜E＜C＜B＜A.
A：摸出一个球，是红球，或白球，或黑球，是必然事件发生的；
B：摸出一个球，是红球，是很可能发生的事件；
C：摸出一个球，是黑球，是不大可能发生的事件；
D：摸出一个球，是绿球，是不可能发生的事件；
E：摸出一个球，是白球，是不大可能发生的事件．
课件14张PPT。25．1 随机事件与概率25．1.2 概率
1．(2015·武汉模拟)商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”．下列说法正确的是( )
A．抽10次奖必有一次抽到一等奖
B．抽一次不可能抽到一等奖
C．抽10次也可能抽不到一等奖
D．抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
2．(2014·乌鲁木齐)下列说法正确的是( )
A．“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨
B．“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上
C．“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定会中奖
D．抛一枚正方体骰子朝上面的数为奇数的概率是0.5表示如果这个骰子抛很多很多次，那么平均每2次就有1次出现朝上面的数为奇数CD带 B C B D 15 B D A D 20．(2014·青岛)某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘(如图，转盘被均匀分为20份)，并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．
(1)求转动一次转盘获得购物券的概率；
(2)转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更划算？课件12张PPT。滚动练习 25.1～25.2A B B C C BB C A 课件14张PPT。 25.2 用列举法求概率第1课时 用列表法求概率
C B D D C 10. (2014·钦州)甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值－1，1，5；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值－4，2，3.现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为x，再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为y.设点A的坐标为(x，y)，请用列表法，求点A落在第一象限的概率．解：列表得：C A D 18. (2014·武汉)袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球．
(1)先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球．
①求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；
②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率；
(2)先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果．课件13张PPT。 25.2 用列举法求概率第2课时 用树状图法求概率
A C D C 5．(2014·北海)经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同，现在两辆汽车经过这个十字路口．
(1)请用“树状图”列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；
(2)求这两辆汽车都向左转的概率．
解：(1)这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，“树状图”略；
(2)两辆汽车都向左转的概率是.C A B C C 课件8张PPT。25．1 随机事件与概率25．1.1 随机事件教学目标了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点．
了解随机事件发生的可能性是有大有小的，不同的随机事件发生的可能性的大小不同．重点难点重点
随机事件的特点．
难点
判断现实生活中哪些事件是随机事件．教学设计一、情境引入
分析说明下列事件能否一定发生：
①今天不上课；②煮熟的鸭子飞了；③明天地球还在转动；④木材燃烧会放出热量；⑤掷一枚硬币，出现正面朝上．教学设计二、自主探究
1．提出问题
教师事先准备的三个袋子中分别装有10个白色的乒乓球；5个白色的乒乓球和5个黄色的乒乓球；10个黄色的乒乓球，分组讨论从这三个袋子里摸出黄色乒乓球的情况．
学生积极参加，通过操作和观察，归纳猜测出在第1个袋子中摸出黄色球是不可能的，在第2个袋子中能否摸出黄色球是不确定的，在第3个袋子中摸出黄色球是必然的．教学设计2．概念得出
从上面的事件可看出，对于任何事件发生的可能性有三种情况：
(1)必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；
(2)不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；
(3)随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．教学设计3．随机事件发生的可能性有大小
袋子中有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的情况下，随机地从袋子中摸出一个球．
(1)是白球还是黑球？
(2)经过多次试验，摸出的黑球和白球哪个次数多？说明了什么问题？
结论：一般地，随机事件发生的可能性有大小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．教学设计三、巩固练习
教材第128页 练习
四、课堂小结
(学生归纳，老师点评)
本节课应掌握：
(1)必然事件，不可能事件，随机事件的概念．
(2)一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．
五、作业布置
教材第129页 练习1，2.课件11张PPT。25．1 随机事件与概率25．1.2 概 率教学目标重点难点难点
了解概率的定义，理解概率计算的两个前提条件．教学设计活动1 创设情境
(1)事件可以分为哪几类？什么是随机事件？随机事件发生的可能性一样吗？
(2)在同样的条件下，某一随机事件可能发生也可能不发生，那么它发生的可能性究竟有多大？能否用数值进行刻画呢？
这节课我们就来研究这个问题．教学设计活动2 试验活动
试验1：每位学生拿出课前准备好的分别标有1，2，3，4，5号的5根纸签，从中随机地抽取一根，观察上面的数字，看看有几种可能．(如此多次重复)
试验2：教师随意抛掷一枚质地均匀的骰子，请学生观察骰子向上一面的点数，看看有几种不同的可能．(如此可重复多次)
(1)试验1中共出现了几种可能的结果？你认为这些结果出现的可能性大小相等吗？如果相等，你认为它们的可能性各为多少？
(2)试验2中共出现了几种可能的结果？你认为这些结果出现的可能性大小相等吗？如果相等，你认为它们的可能性各为多少？教学设计活动3 引出概率
1．从数量上刻画一个随机事件A发生的可能性的大小，我们把它叫做这个随机事件A的概率，记为P(A)．
2．概率计算必须满足的两个前提条件：
(1)每一次试验中，可能出现的结果只有有限个；
(2)每一次试验中，各种结果出现的可能性相等．
3．一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝________.
4．随机事件A发生的概率的取值范围是________，如果A是必然发生的事件，那么P(A)＝________，如果A是不可能发生的事件，那么P(A)＝________.教学设计活动4 精讲例题
例1 下列事件中哪些是等可能性事件，哪些不是？
(1)运动员射击一次中靶心与不中靶心；
(2)随意抛掷一枚硬币反面向上与正面向上；
(3)随意抛掷一只可乐纸杯杯口朝上，或杯底朝上，或横卧；
(4)分别从写有1，3，5，7，9中一个数的五张卡片中任抽1张结果是1，或3，或5，或7，或9.
答案：(1)不是等可能事件；(2)是等可能事件；(3)不是等可能事件；(4)是等可能事件．教学设计例2 学生自己阅读教材第131页～132页例1及解答过程．
例3 教师引导学生分析讲解教材第132页例2.想一想：把此题(1)和(3)两问及答案联系起来，你有什么发现？
例4 教师引导学生分析讲解教材第133页例3.教学设计活动5 过关练习
教材第133页 练习第1～3题．
补充：1.袋子中装有5个红球3个绿球，这些球除了颜色外都相同．从袋子中随机地摸出一个球，它是红色与它是绿色的可能性相等吗？两者的概率分别是多少？
2．一个质地均匀的小正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，2，3，4，4，掷骰子后，观察向上一面的数字．
(1)出现数字1的概率是多少？
(2)出现的数字是偶数的概率是多少？
(3)哪两个数字出现的概率相等？分别是多少？教学设计教学设计活动6 课堂小结与作业布置
课堂小结
1．随机事件概率的意义，等可能性事件的概率计算公式P(A)＝.
2．概率计算的两个前提条件：可能出现的结果只有有限个；各种结果出现的可能性相同．
作业布置
教材第134页～135页 习题第3～6题. 课件13张PPT。25.2 用列举法求概率第1课时 用列举法和列表法求概率教学目标1．会用列举法和列表法求简单事件的概率．
2．能利用概率知识解决计算涉及两个因素的一个事件概率的简单实际问题．重点难点重点
正确理解和区分一次试验中涉及两个因素与所包含的两步试验．
难点
当可能出现的结果很多时，会用列表法列出所有可能的结果．教学设计活动1 创设情境
我们在日常生活中经常会做一些游戏，游戏规则制定是否公平，对游戏者来说非常重要，其实这就是一个游戏双方获胜概率大小的问题．
下面我们来做一个小游戏，规则如下：
老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，你们赢．请问：你们觉得这个游戏公平吗？
学生思考计算后回答问题：把其所能产生的结果全部列出来，应该是正正、正反、反正、反反，共有四种可能，并且每种结果出现的可能性相同．教学设计教学设计活动2 探索交流
例1 为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A，B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是1，6，8，转盘B上的数字分别是4，5，7(两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同)．每次选择2名同学分别拨动A，B两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目(若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次)．作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由．教学设计在这个环节里，首先可以让学生自己用列举法列出所有的情况，很多学生会发现列出所有的情况会有困难，会漏掉一些情况．这个时候可以要求学生分组讨论，探索交流，然后引导学生将实际问题转化为数学问题，即“停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢？”
由于事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的大小．此时，首先引导学生观看转盘动画，同学们会发现这个游戏涉及A，B两个转盘，即涉及两个因素，与上节课所讲授单转盘概率问题相比，可能产生的结果数目增多了，变复杂了，列举时很容易造成重复或遗漏．怎样避免这个问题呢？教学设计实际上，可以将这个游戏分两步进行，教师指导学生构造下列表格：教学设计 分析：首先考虑转动A盘：指针可能指向1，6，8三个数字中的任意一个，可能出现的结果就会有3个；接着考虑转动B盘：当A盘指针指向1时，B盘指针可能指向4，5，7三个数字中的任意一个．当A盘指针指向6或8时，B盘指针同样可能指向4，5，7三个数字中的任意一个，这样一共会产生9种不同的结果．教学设计学生独立填写表格，通过观察与计算，得出结论(即列表法)．教学设计教学设计教学设计教材第138页 练习第1～2题．
活动5 课堂小结与作业布置
课堂小结
引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获，要求每个学生在组内交流，派小组代表发言．
作业布置
教材第139页～140页 习题第1～3题和第5题． 课件11张PPT。25.2 用列举法求概率第2课时 用树状图求概率教学目标1．理解并掌握用树状图求概率的方法，并利用它们解决问题．
2．正确认识在什么条件下使用列表法，在什么条件下使用树状图法．重点难点重点
理解树状图的应用方法及条件，用画树状图的方法求概率．
难点
用树状图列举各种可能的结果，求实际问题中的概率．教学设计一、复习引入
用列举法求概率的方法．
(1)总共有几种可能，即求出n；
(2)每个事件中有几种可能的结果，即求出m，从而求出概率．
什么时候用列表法？
列举所有可能的结果的方法有哪些？教学设计二、探索新知
画树状图求概率
例1 甲口袋中装有2个相同的球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中3个相同的球，它们分别写有字母C，D和E；丙口袋中2个相同的球，它们分别写有字母H和I.从三个口袋中各随机地取出1个球．
(1)取出的三个球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别为多少？
(2)取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少？教学设计例1与上节课的例题比较，有所不同：要从三个袋子里摸球，即涉及到三个因素．此时同学们会发现用列表法就不太方便，可以尝试树状图法．
本游戏可分三步进行．分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键．教学设计从图形上可以看出所有可能出现的结果共有12个，即：
A A A A A A B B B B B B
C C D D E E C C D D E E
H I H I H I H I H I H I
(幻灯片上用颜色区分)
这些结果出现的可能性相等．教学设计教学设计教学设计教学设计三、巩固练习
教材第139页 练习
四、课堂小结
本节课应掌握：
1．利用树状图法求概率．
2．什么时候用列表法，什么时候用树状图法，各自的应用特点：有两个元素且情况较多时用列表法，当有三个或三个以上元素时用树状图法．
五、作业布置
教材第140页 习题6，9. 课件11张PPT。25.3 用频率估计概率教学目标1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．
2．会设计模拟试验，能应用模拟试验求概率．重点难点重点
对利用频率估计概率的理解和应用．
难点
对利用频率估计概率的理解．教学设计一、情境引入
某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：
(1)计算表中各次比赛进球的频率；
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？
解答：(1)0.75，0.8，0.75，0.78，0.75，0.7；
(2)0.75.教学设计二、自主探究
利用频率估计概率
1．试验要求：
(1)把全班分成10或12组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学做记录，其余同学观察试验，计算结果，各组必须在同样条件下进行．
(2)明确任务，每组掷币50次，认真统计“正面朝上”的频数，算出“正面朝上”的频率，整理试验的数据，并记录下来．教学设计2．各组汇报试验结果：
把各组试验数据汇报给教师，教师积累后填入表格，板书，学生计算出累加后的频率．(由于试验次数较小，有可能有些组的最后结果和自己的猜想有出入)
3．根据列表填在教材第142页图中，观察频率变化情况，小组交流后阐述所得结论．
4．思考：教材第143页“思考”．教学设计5．问题1：教材第144页问题1.
分析：幼树的成活率是实际问题中的概率，在这个实验过程中，移植总数无限，每一棵小苗成活的可能性不相等，所以不能用列举法求概率，只能用频率估计概率．
解：教师引导学生完成
方法总结：(1)先计算出每次试验的频率；
(2)观察频率活动情况，选择最接近且围绕波动的频率数作为概率．
用频率估计概率的应用
教材第145页问题2
分析：学生阅读表25－6提供的信息：
(1)估测出损坏率．(实质也是概率问题)
(2)算出完好柑橘的质量．
(3)计算出实际成本，再确定定价．教学设计三、巩固练习
教材第147页 练习．
四、课堂小结
(1)利用频率估计概率，建立在大量重复试验的基础上．
(2)利用频率估计概率，得到的概率是近似值．
五、作业布置
教材第147～148页 习题1，2，5.教学设计教学设计教学设计三、巩固练习
教材第139页 练习
四、课堂小结
本节课应掌握：
1．利用树状图法求概率．
2．什么时候用列表法，什么时候用树状图法，各自的应用特点：有两个元素且情况较多时用列表法，当有三个或三个以上元素时用树状图法．
五、作业布置
教材第140页 习题6，9.
