第2课时 基本不等式的应用
学习 目标 1. 理解基本不等式的本质，掌握常数代换的技巧． 2. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
基本不等式链：
若a>0，b>0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时等号成立．
本质：调和平均数≤几何平均数≤算数平均数≤平方平均数．
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 对于任意的正数a，b，且a＋b＝1，都有＋≤.( )
(2) 若a>0，b>0，则(a＋b)2≤2(a2＋b2).( )
(3) 若a>0，b>0，则(a＋b)≥4.( )
(4) 对于函数y＝x＋(x>1)，因为x与的积不是常数，所以不能用基本不等式求最小值．( )
典例精讲能力初成
探究1 利用基本不等式的变形求最值
视角1 利用配凑法求最值
例1-1 函数y＝x＋(x>1)的最小值是 ；取到最小值时，x＝ ．
如果题目中基本不等式不能满足“和为定值”或“积为定值”，就不能直接用基本不等式求最值，需要通过变形，构造定值，常见方法有：配项法、配系数法、分离常数法等．
变式 当x>－1时，y＝的最小值是 ．
视角2 利用常数代换法求最值
例1-2 (课本P45例2补充)(1) 已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
(2) 已知ab>0，a＋b＝1，则＋的最小值为( )
A. 0.5 B. 1
C. 2 D. 4
使用“1的代换”解题的结构特征：
(1) 都可转化为条件求最值问题，且已知是“和式”，所求也是“和式”，同时要求两和式是一整式，一分式(或化为分式)；
(2) 已知“和式”可变为常数“1”；
(3) 两个“和式”都是齐次式或可变为齐次式．
变式 (1) 设x，y都是正数，且＋＝3，则2x＋y的最小值为 ．
(2) 已知x>0，y>0，2x＋5y＝1，则＋的最小值是( )
A. 2 B. 8
C. 4 D. 6
(3) 已知x>0，y>0，且＋＝1，则2x＋y＋的最小值为( )
A. 9 B. 10
C. 12 D. 13
视角3 消元法求最值
例1-3 已知a>0，且a2－b＋4＝0，则有( )
A. 最大值 B. 最小值
C. 最大值 D. 最小值
视角4 条件等式求最值
例1-4 已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝16，那么xy的最大值为 ．
变式 若a，b均为正实数，且ab＝3，则的最小值是 ．
探究2 利用基本不等式解决实际应用问题
例2-1 (课本P46例3)(1) 用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
(2) 用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
例2-2 (课本P47例4)某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
(例2-2)
应用不等式求解实际问题的最值时注意：
(1) 找到定值条件；
(2) 列出要求的表达式；
(3) 结合基本不等式，找到彼此关系求解．
变式 运货卡车以x km/h的速度匀速行驶300 km，按交通法规限制50≤x≤100(单位：km/h)，假设卡车每小时耗油费用为元，司机的工资是每小时46元(不考虑其他因素所产生的费用)．
(1) 求这次行车总费用y(单位：元)关于x(单位：km/h)的表达式；
(2) 当x为何值时，这次行车总费用y最低？求出最低总费用．
随堂内化及时评价
1. 已知0
A. B.
C. D.
2. 已知x>0，y>0，且x＋y＝4，则＋的最小值是( )
A. B. 2
C. D. 4
3. 已知a>1，则的最小值为 ．
4. 为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L-1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过 h后池水中该药品的浓度达到最大．
5. (2025·铜陵期末)现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)的函数关系近似为y1＝；每月库存货物费y2(单位：万元)与x的函数关系近似为y2＝x.这家公司应该把仓库建在距离车站 km处，才能使两项费用之和最少．
配套新练案
练习1
一、 单项选择题
1. 若0A. B. a2＋b2
C. 2ab D. a
2. 已知x>0，y>0，2x＋y＝xy，则2x＋y的最小值为( )
A. 8 B. 4
C. 8 D. 4
3. 已知a>0，b>0，且a＋＝2，则＋4b的最小值是( )
A. 2 B. 4
C. D. 9
4. 已知a＋2b＝1，且a>0，b>0，则＋的最小值为( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
二、 多项选择题
5. 设正实数m，n满足m＋n＝2，则下列说法正确的是( )
A. ＋的最小值为
B. 的最大值为
C. ＋的最小值为2
D. m2＋n2的最小值为2
6. 已知x>0，y>0，设M＝2x＋y，N＝xy，则下列结论正确的是( )
A. 若N＝1，则M有最小值
B. 若M＋N＝6，则N有最大值2
C. 若M＝1，则0D. 若M＝N，则M有最大值8
三、 填空题
7. 设a>0，则2a＋的最小值为 ．
8. 已知x>0，y>0，x＋8y＝xy，则x＋2y的最小值是 ．
四、 解答题
9. 已知a>1，b>0.
(1) 求a＋的最小值；
(2) 若a＋b＝9，求＋的最小值．
10. 已知a>0，b>0，a＋b＝3.
(1) 求＋的最小值；
(2) 求证：＋≥.
11. 已知m>0，n>0，m＋2n＝1，则的最小值为 ．
12. 已知x，y∈R且2x2＋2y2＝1＋xy，则x2＋y2的最大值为 ，最小值为 ．
13. 手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在(0，1)之间．设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化( )
A. “屏占比”不变 B. “屏占比”变小
C. “屏占比”变大 D. 变化不确定
14. 已知正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最大值是( )
A. B.
C. 1 D.
练习2
一、 单项选择题
1. 已知正实数a，b满足a＋＝1，则＋b的最小值为( )
A. 4 B. 6
C. 9 D. 10
2. 已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周花费100元购买该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1，a2，则( )
A. a1＝a2
B. a1C. a1>a2
D. a1，a2的大小无法确定
3. 某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高．当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低．设住第n层楼时，环境不满意程度为，则要有一个最佳满意度，此人应选的楼层是( )
A. 2楼 B. 3楼
C. 7楼 D. 8楼
4. 若正实数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是( )
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
二、 多项选择题
5. 设x，y为正实数，且满足＋＝1，则下列说法错误的是 ( )
A. x＋y的最大值为
B. xy的最小值为2
C. x＋y的最小值为4
D. xy的最大值为
6. 已知实数a>0，b>0，＋＝1，则a＋4b的值可能是( )
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
三、 填空题
7. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为 m.
(第7题)
8. 某公司生产某种仪器的固定成本为300万元，每生产x台仪器需增加投入C万元，且C＝每台仪器的售价为200万元．通过市场分析，该公司生产的仪器能全部售完，则该公司在这一仪器的生产中所获利润的最大值为 万元．
四、 解答题
9. (2025·湛江期末)
(1) 已知x<，求4x－2＋的最大值；
(2) 若正数x，y满足x2＋xy－2＝0，求3x＋y的最小值．
10. 某地政府准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q(单位：万件)(生产量与销售量相等)与推广促销费x(单位：万元)之间的函数关系为Q＝(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为元．那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费)
11. 海伦公式亦叫海伦——秦九韶公式．相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式．它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为S＝，其中a，b，c分别是三角形的三边长，p＝.已知一根长为8的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为 ．
12. (2025·广东大湾区期末)若a，b都是正数，且ab＝3，则＋＋的最小值为( )
A. 4 B. 6
C. 2 D. 4第2课时 基本不等式的应用
学习 目标 1. 理解基本不等式的本质，掌握常数代换的技巧． 2. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
基本不等式链：
若a>0，b>0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时等号成立．
本质：调和平均数≤几何平均数≤算数平均数≤平方平均数．
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 对于任意的正数a，b，且a＋b＝1，都有＋≤.( √ )
(2) 若a>0，b>0，则(a＋b)2≤2(a2＋b2).( √ )
(3) 若a>0，b>0，则(a＋b)≥4.( √ )
(4) 对于函数y＝x＋(x>1)，因为x与的积不是常数，所以不能用基本不等式求最小值．( × )
典例精讲能力初成
探究1 利用基本不等式的变形求最值
视角1 利用配凑法求最值
例1-1 函数y＝x＋(x>1)的最小值是__2＋1__；取到最小值时，x＝__1＋__．
【解析】因为x>1，所以x－1>0，由基本不等式可得y＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，函数取得最小值2＋1.
如果题目中基本不等式不能满足“和为定值”或“积为定值”，就不能直接用基本不等式求最值，需要通过变形，构造定值，常见方法有：配项法、配系数法、分离常数法等．
变式 当x>－1时，y＝的最小值是__4__．
【解析】由x>－1得x＋1>0，所以y＝＝＝x＋1＋≥2＝4，当且仅当x＋1＝，即x＝1时取等号，此时函数取得最小值4.
视角2 利用常数代换法求最值
例1-2 (课本P45例2补充)(1) 已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
【解答】因为＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.因为x＞0，y＞0，所以＋≥2＝6，当且仅当＝，即y＝3x时取等号．因为＋＝1，所以x＝4，y＝12，所以当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.
(2) 已知ab>0，a＋b＝1，则＋的最小值为( D )
A. 0.5 B. 1
C. 2 D. 4
【解析】因为ab>0，a＋b＝1，所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，故＋的最小值为4.
使用“1的代换”解题的结构特征：
(1) 都可转化为条件求最值问题，且已知是“和式”，所求也是“和式”，同时要求两和式是一整式，一分式(或化为分式)；
(2) 已知“和式”可变为常数“1”；
(3) 两个“和式”都是齐次式或可变为齐次式．
变式 (1) 设x，y都是正数，且＋＝3，则2x＋y的最小值为____．
【解析】因为＋＝3，所以＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×＝≥＝，当且仅当＝，即y＝2x时取等号．又因为＋＝3，所以x＝，y＝时，2x＋y取得最小值.
(2) 已知x>0，y>0，2x＋5y＝1，则＋的最小值是( C )
A. 2 B. 8
C. 4 D. 6
【解析】由2x＋5y＝1得＋＝·(2x＋5y)＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，所以＋的最小值是4.
(3) 已知x>0，y>0，且＋＝1，则2x＋y＋的最小值为( D )
A. 9 B. 10
C. 12 D. 13
【解析】2x＋y＋＝(2x＋y)＋＝6＋1＋＋＋＝7＋＋≥7＋2＝13，当且仅当＝，即x＝y＝4时等号成立．
视角3 消元法求最值
例1-3 已知a>0，且a2－b＋4＝0，则有( A )
A. 最大值 B. 最小值
C. 最大值 D. 最小值
【解析】因为a>0，且a2－b＋4＝0，所以＝＝≤＝，当且仅当a＝2时取等号，所以有最大值，为.
视角4 条件等式求最值
例1-4 已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝16，那么xy的最大值为__8__．
【解析】由于正实数x，y满足xy＋2x＋y＝16，故16＝xy＋2x＋y≥xy＋2，即(＋)2≤18，所以0<＋≤3，则≤2，所以xy≤8，当且仅当2x＝y，即x＝2，y＝4时等号成立，故xy的最大值为8.
变式 若a，b均为正实数，且ab＝3，则的最小值是__8__．
【解析】由题意得＝＝＝a＋b＋≥8，当且仅当a＋b＝4，即a＝1，b＝3或a＝3，b＝1时取等号，故的最小值是8.
探究2 利用基本不等式解决实际应用问题
例2-1 (课本P46例3)(1) 用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
【解答】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为2(x＋y)m.由已知得xy＝100.由≥，可得x＋y≥2＝20，所以2(x＋y)≥40，当且仅当x＝y＝10时等号成立．因此，当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m．
(2) 用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【解答】由已知得2(x＋y)＝36，矩形菜园的面积为xy m2.由≤＝＝9，可得xy≤81，当且仅当x＝y＝9时等号成立．因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2.
例2-2 (课本P47例4)某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
(例2-2)
【解答】设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z元．根据题意，有z＝150×＋120(2×3x＋2×3y)＝240 000＋720(x＋y).由容积为4 800 m3，可得3xy＝4 800，因此xy＝1 600.所以z≥240 000＋720×2＝297 600，当且仅当x＝y＝40时等号成立．所以将贮水池的池底设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元．
应用不等式求解实际问题的最值时注意：
(1) 找到定值条件；
(2) 列出要求的表达式；
(3) 结合基本不等式，找到彼此关系求解．
变式 运货卡车以x km/h的速度匀速行驶300 km，按交通法规限制50≤x≤100(单位：km/h)，假设卡车每小时耗油费用为元，司机的工资是每小时46元(不考虑其他因素所产生的费用)．
(1) 求这次行车总费用y(单位：元)关于x(单位：km/h)的表达式；
【解答】行车所用时间t＝(h)，卡车每小时耗油费用为元，司机的工资是每小时46元，所以行车总费用为y＝×＋46×＝＋(50≤x≤100).
(2) 当x为何值时，这次行车总费用y最低？求出最低总费用．
【解答】因为y＝＋≥2＝600，当且仅当＝，即x＝70时等号成立，所以当x＝70时，这次行车总费用y最低，最低总费用为600元．
随堂内化及时评价
1. 已知0A. B.
C. D.
【解析】因为00，所以x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤×＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立，因此函数y＝x(1－2x)的最大值为.
2. 已知x>0，y>0，且x＋y＝4，则＋的最小值是( A )
A. B. 2
C. D. 4
【解析】由x＋y＝4，得＋＝(x＋y)＝≥×＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，所以＋的最小值为.
3. 已知a>1，则的最小值为__5__．
【解析】令t＝a－1(t>0)，则a＝t＋1，所以＝＝＝t＋－1≥2－1＝5，当且仅当t＝，即t＝3时取等号，所以的最小值为5.
4. 为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L-1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过__2__h后池水中该药品的浓度达到最大．
【解析】C＝＝，因为t＞0，所以t＋≥2＝4，当且仅当t＝，即t＝2时等号成立，所以C≤＝5，当且仅当t＝，即t＝2时，C取得最大值．
5. (2025·铜陵期末)现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)的函数关系近似为y1＝；每月库存货物费y2(单位：万元)与x的函数关系近似为y2＝x.这家公司应该把仓库建在距离车站__4__km处，才能使两项费用之和最少．
【解析】因为y1＝，y2＝x，所以总费用为y1＋y2＝＋x＝＋(x＋1)－≥2－＝，当且仅当＝(x＋1)，即x＝4时等号成立．
配套新练案
练习1
一、 单项选择题
1. 若0A. B. a2＋b2
C. 2ab D. a
2. 已知x>0，y>0，2x＋y＝xy，则2x＋y的最小值为( A )
A. 8 B. 4
C. 8 D. 4
3. 已知a>0，b>0，且a＋＝2，则＋4b的最小值是( C )
A. 2 B. 4
C. D. 9
【解析】由a＞0，b＞0，a＋＝2，得＝1，所以＋4b＝＝≥＝，当且仅当4ab＝，即a＝，b＝时等号成立，所以＋4b的最小值为.
4. 已知a＋2b＝1，且a>0，b>0，则＋的最小值为( C )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
【解析】因为a＋2b＝1，所以＋＝＋＝＋－4＝(a＋2b)－4＝1＋＋＋4－4≥2＋1＝5，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以＋的最小值为5.
二、 多项选择题
5. 设正实数m，n满足m＋n＝2，则下列说法正确的是( ABD )
A. ＋的最小值为
B. 的最大值为
C. ＋的最小值为2
D. m2＋n2的最小值为2
【解析】＋＝(m＋n)＝≥＝，当且仅当＝时等号成立，故A正确．由≤＝1，当且仅当m＝n＝1时等号成立，则≤，故B正确．由()2＋()2＝2，知(＋)2≤2[()2＋()2]＝4，则＋≤2，故C错误．m2＋n2≥＝2，故D正确.
6. 已知x>0，y>0，设M＝2x＋y，N＝xy，则下列结论正确的是( BC )
A. 若N＝1，则M有最小值
B. 若M＋N＝6，则N有最大值2
C. 若M＝1，则0D. 若M＝N，则M有最大值8
【解析】由题意知x>0，y>0，M＝2x＋y，N＝xy.对于A，当N＝xy＝1时，M＝2x＋y≥2＝2，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时等号成立，所以M的最小值为2，故A错误；对于B，当M＋N＝2x＋y＋xy＝6 时，6＝2x＋y＋xy≥2＋xy，当且仅当2x＝y时等号成立，令t＝，则t>0，且t2＋2t－6≤0，解得0三、 填空题
7. 设a>0，则2a＋的最小值为__5__．
【解析】因为a＞0，所以2a＋＝2a＋＋1≥ 2＋1＝5，当且仅当2a＝，即a＝1时取等号．
8. 已知x>0，y>0，x＋8y＝xy，则x＋2y的最小值是__18__．
【解析】因为x>0，y>0，由x＋8y＝xy，两边同时除以xy，可得＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当即时等号成立，所以x＋2y的最小值为18.
四、 解答题
9. 已知a>1，b>0.
(1) 求a＋的最小值；
【解答】因为a>1，b>0，所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a－1＝，即a＝2时取等号．故a＋的最小值为3.
(2) 若a＋b＝9，求＋的最小值．
【解答】因为a>1，b>0且a＋b＝9，所以＋＝[(a－1)＋(b＋1)]＝≥＝1，当且仅当即时取等号，故＋的最小值为1.
10. 已知a>0，b>0，a＋b＝3.
(1) 求＋的最小值；
【解答】因为a＋b＝3，所以＝1，且a＋2＞0，b＞0，所以＋＝(a＋2＋b)＝≥＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，所以＋的最小值为.
(2) 求证：＋≥.
【解答】因为a＞0，b＞0，所以要证＋≥，只需证a2＋b2≥.因为a2＋b2≥＝，所以＋≥，当且仅当a＝b＝时等号成立．
11. 已知m>0，n>0，m＋2n＝1，则的最小值为__8＋4__．
【解析】因为m＋2n＝1，所以＝＝＝8＋＋，因为m>0，n>0，所以＋≥2＝4，当且仅当＝，即n＝2－，m＝2－3时取等号，所以的最小值为8＋4.
12. 已知x，y∈R且2x2＋2y2＝1＋xy，则x2＋y2的最大值为____，最小值为____．
【解析】由x，y∈R，2x2＋2y2＝1＋xy≤1＋可得x2＋y2≤，当且仅当即x＝y＝±时取等号，故x2＋y2的最大值为；2x2＋2y2＝1－(－x)y≥1－，可得x2＋y2≥，当且仅当即x＝，y＝－或x＝－，y＝时取等号，故x2＋y2的最小值为.
13. 手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在(0，1)之间．设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化( C )
A. “屏占比”不变 B. “屏占比”变小
C. “屏占比”变大 D. 变化不确定
【解析】设原来手机屏幕面积为b，整机面积为a，则“屏占比”为(a＞b>0).设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量m(m>0)，则升级后的“屏占比”为.因为a＞b>0，所以－＝＝＞0，即该手机“屏占比”和升级前比变大．
14. 已知正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最大值是( B )
A. B.
C. 1 D.
【解析】＋＝1－＋4－＝5－，因为a＋b＝2，所以a＋1＋b＋1＝4，＋＝(a＋1＋b＋1)＝.因为＋≥2＝4，所以≥×9，即＋≥，故＋＝5－≤.
练习2
一、 单项选择题
1. 已知正实数a，b满足a＋＝1，则＋b的最小值为( C )
A. 4 B. 6
C. 9 D. 10
2. 已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周花费100元购买该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1，a2，则( B )
A. a1＝a2
B. a1C. a1>a2
D. a1，a2的大小无法确定
【解析】由题意得a1＝＝，a2＝＝，因为m>0，n>0，m≠n，故>，<＝，即a13. 某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高．当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低．设住第n层楼时，环境不满意程度为，则要有一个最佳满意度，此人应选的楼层是( B )
A. 2楼 B. 3楼
C. 7楼 D. 8楼
【解析】设此人应选第n层楼，此时的不满意程度为y.由题意知y＝n＋.因为n＋≥2＝4，当且仅当n＝，即n＝2时取等号．但考虑到n∈N*，所以n≈2×1.414＝2.828≈3，即此人应选3楼，不满意度最低．
4. 若正实数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是( D )
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
【解析】因为正实数x，y满足x＋y＝1，所以＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝4＋4＝8，当且仅当＝，即y＝2x，即x＝，y＝时等号成立，故＋的最小值是8.
二、 多项选择题
5. 设x，y为正实数，且满足＋＝1，则下列说法错误的是 ( ACD )
A. x＋y的最大值为
B. xy的最小值为2
C. x＋y的最小值为4
D. xy的最大值为
【解析】因为＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)·＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝且＋＝1，即x＝，y＝时，x＋y取得最小值，所以A，C错误．因为xy有最小值，没有最大值，所以D错误．因为＋＝1，所以2y＋x＝2xy，即xy＝y＋≥2，所以≥，所以xy≥2，故B正确．
6. 已知实数a>0，b>0，＋＝1，则a＋4b的值可能是( BCD )
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
【解析】因为a>0，b>0，＋＝1，所以a＋4b＝(a＋1)＋4b－1＝[(a＋1)＋4b]·－1＝1＋4＋＋－1≥4＋2＝8，当且仅当即时取等号，所以a＋4b≥8，结合选项知可能的值为8，9，10.
三、 填空题
7. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为__20__m.
(第7题)
【解析】设矩形花园的宽为y m，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)≤＝400，当且仅当x＝20时取等号，即当x＝20 m时，面积最大．
8. 某公司生产某种仪器的固定成本为300万元，每生产x台仪器需增加投入C万元，且C＝每台仪器的售价为200万元．通过市场分析，该公司生产的仪器能全部售完，则该公司在这一仪器的生产中所获利润的最大值为__1 680__万元．
【解析】由题意可得，当040时，W＝200x－－300＝－＋1 800，故W＝若040，则W＝－＋1 800≤－2＋1 800＝－120＋1 800＝1 680，当且仅当x＝，即x＝60时，Wmax＝1 680万元．所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1 680万元．
四、 解答题
9. (2025·湛江期末)
(1) 已知x<，求4x－2＋的最大值；
【解答】因为x<，所以4x－5<0，所以4x－2＋＝4x－5＋＋3＝
－＋3≤－2＋3＝1，当且仅当－(4x－5)＝，即4x－5＝－1，x＝1时等号成立，所以4x－2＋的最大值为1.
(2) 若正数x，y满足x2＋xy－2＝0，求3x＋y的最小值．
【解答】依题意，正数x，y满足x2＋xy－2＝0，所以y＝＝－x＋，所以3x＋y＝3x－x＋＝2x＋≥2＝4，当且仅当2x＝，即x＝1时等号成立，所以3x＋y的最小值为4.
10. 某地政府准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q(单位：万件)(生产量与销售量相等)与推广促销费x(单位：万元)之间的函数关系为Q＝(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为元．那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费)
【解答】设该批产品的利润为y，由题意知y＝Q－2－x＝2Q＋20－2Q－－x＝20－－x＝20－－x＝21－，0≤x≤3.因为21－≤21－2＝17，当且仅当x＝1时，上式取等号，所以当x＝1时，ymax＝17.故当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元．
11. 海伦公式亦叫海伦——秦九韶公式．相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式．它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为S＝，其中a，b，c分别是三角形的三边长，p＝.已知一根长为8的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为__2__．
【解析】由海伦公式可知p＝＝4，不妨设a＝2，则b＋c＝6，则S＝≤2×＝2，当且仅当4－b＝4－c，即b＝c＝3时等号成立．
12. (2025·广东大湾区期末)若a，b都是正数，且ab＝3，则＋＋的最小值为( C )
A. 4 B. 6
C. 2 D. 4
【解析】因为＋＋＝＋，又a，b都是正数，且ab＝3，所以＋＋＝＋≥2＝2，当且仅当＝且ab＝3时等号成立．(共63张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
第2课时 基本不等式的应用
学习 目标 1. 理解基本不等式的本质，掌握常数代换的技巧．
2. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
新知初探 基础落实
√
√
√
×
典例精讲 能力初成
探究
1
利用基本不等式的变形求最值
1－1
如果题目中基本不等式不能满足“和为定值”或“积为定值”，就不能直接用基本不等式求最值，需要通过变形，构造定值，常见方法有：配项法、配系数法、分离常数法等．
变式
4
1－2
D
使用“1的代换”解题的结构特征：
(1) 都可转化为条件求最值问题，且已知是“和式”，所求也是“和式”，同时要求两和式是一整式，一分式(或化为分式)；
(2) 已知“和式”可变为常数“1”；
(3) 两个“和式”都是齐次式或可变为齐次式．
变式
C
D
1－3
A
视角4 条件等式求最值
已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝16，那么xy的最大值为____．
1－4
8
变式
8
探究
(课本P46例3)(1) 用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
2
利用基本不等式解决实际应用问题
2－1
(2) 用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
(课本P47例4)某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
2－2
应用不等式求解实际问题的最值时注意：
(1) 找到定值条件；
(2) 列出要求的表达式；
(3) 结合基本不等式，找到彼此关系求解．
变式
(1) 求这次行车总费用y(单位：元)关于x(单位：km/h)的表达式；
(2) 当x为何值时，这次行车总费用y最低？求出最低总费用．
随堂内化 及时评价
C
A
5
2
4
配套新练案
练习1
B
A
C
C
ABD
【答案】BC
5
8. 已知x>0，y>0，x＋8y＝xy，则x＋2y的最小值是_____．
18
9. 已知a>1，b>0.
10. 已知a>0，b>0，a＋b＝3.
10. 已知a>0，b>0，a＋b＝3.
12. 已知x，y∈R且2x2＋2y2＝1＋xy，则x2＋y2的最大值为_____，最小值为_____．
13. 手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在(0，1)之间．设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化 ( )
A. “屏占比”不变 B. “屏占比”变小 C. “屏占比”变大 D. 变化不确定
C
B
练习2
C
2. 已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周花费100元购买该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1，a2，则 ( )
A. a1＝a2 B. a1C. a1>a2 D. a1，a2的大小无法确定
B
B
D
ACD
BCD
三、 填空题
7. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_____m.
20
【答案】1 680
四、 解答题
9. (2025·湛江期末)
(2) 若正数x，y满足x2＋xy－2＝0，求3x＋y的最小值．
C