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资源详情
高中数学
人教A版(2019)
必修 第一册
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
2.3 第1课时 一元二次方程和一元二次不等式(课件 讲义)高中数学 人教A版(2019)必修 第一册
文档属性
名称
2.3 第1课时 一元二次方程和一元二次不等式(课件 讲义)高中数学 人教A版(2019)必修 第一册
格式
zip
文件大小
1.9MB
资源类型
教案
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2025-10-13 14:01:29
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文档简介
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 一元二次方程和一元二次不等式
学习 目标 1. 会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 2. 借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
新知初探基础落实
问题:园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m,围成的矩形区域的面积要大于20 m2,则这个矩形的边长为多少?
设这个矩形的一条边长为x m,则另一条边长为(12-x) m.由题意,得(12-x)x>20,其中x∈{x|0
求不等式①的解集,就得到了问题的答案.
一、 生成概念
如图,在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-12x+20的图象,图象与x轴有两个交点.我们知道,这两个交点的横坐标就是方程x2-12x+20=0的两个实数根x1=2,x2=10,因此二次函数y=x2-12x+20与x轴的两个交点是(2,0)和(10,0).
一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.于是二次函数y=x2-12x+20的两个零点是x1=2,x2=10.
从图中可以看出,二次函数y=x2-12x+20的两个零点x1=2,x2=10将x轴分成三段.相应地,当x<2或x>10时,函数图象位于x轴上方,此时y>0,即x2-12x+20>0;当2
因为{x|2
请同学阅读课本P50—P53,完成下列填空.
二、 概念表述
1. 一元二次不等式
(1) 一般地,我们把只含有__一个__未知数,并且未知数的最高次数是__2__的不等式,称为一元二次不等式.
(2) 一元二次不等式的一般形式是__ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0__,其中a,b,c均为常数,a≠0.
(3) 一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的__实数x__叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
2. 二次函数与一元二次不等式(方程)的关系
Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
ax2+bx+c= 0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1
ax2+bx+c> 0(a>0)的解集 __{x|x
x2}__ __ -\f(b,2a)))__ R
ax2+bx+c< 0(a>0)的解集 __{x|x1
典例精讲能力初成
探究1 一元二次不等式的解法
视角1 一元二次不等式(不含参)的求解
例1-1 (1) (课本P52例1)求不等式x2-5x+6>0的解集.
【解答】对于方程x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3.画出二次函数y=x2-5x+6的图象如图所示,结合图象得不等式x2-5x+6>0的解集为{x|x<2或x>3}.
(例1-1(1)答)
(2) (课本P52例3)求不等式-x2+2x-3>0的解集.
【解答】原不等式可化为x2-2x+3<0.因为Δ=-8<0,所以方程x2-2x+3=0无实数根.画出二次函数y=x2-2x+3的图象如图所示.结合图象得不等式x2-2x+3<0的解集为 .因此,原不等式的解集为 .
(例1-1(2)答)
一元二次不等式的求解方法:
(1) 一化:将原不等式化成一般式,即ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)的形式,其中二次项系数a>0.
(2) 二解:判断Δ=b2-4ac的符号,并利用配方法、公式法、因式分解法求出一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根.
(3) 三作图:根据二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的位置关系确定一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集.
(4) 四答:通常要将不等式的解集用数集表示.
变式 解下列一元二次不等式:
(1) 2x2-2x+1≥0;
【解答】方程2x2-2x+1=0有两个相等的实数根,x1=x2=,因为二次函数y=2x2-2x+1的图象开口向上,所以不等式2x2-2x+1≥0的解集为R.
(2) x2+x-1<0;
【解答】方程x2+x-1=0有两个根,x1=,x2=,因为二次函数y=x2+x-1的图象开口向上,所以不等式x2+x-1<0的解集为.
(3) -3x2+5x-4≥0;
【解答】不等式-3x2+5x-4≥0可化为3x2-5x+4≤0,因为二次函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以由Δ=(-5)2-4×3×4=-23<0可知,方程3x2-5x+4=0无实数根,则不等式3x2-5x+4≤0的解集为 ,故不等式-3x2+5x-4≥0的解集为 .
(4) (2x-1)2<4.
【解答】不等式(2x-1)2<4可化为4x2-4x-3<0,二次方程4x2-4x-3=0有两个根,x1=-,x2=.因为二次函数y=4x2-4x-3的图象开口向上,所以不等式4x2-4x-3<0的解集为,故不等式(2x-1)2<4的解集为.
视角2 一元二次不等式(含参)的求解
例1-2 已知k∈R,解关于x的不等式kx2-2kx>x-2.
【解答】原不等式可变形为(kx-1)(x-2)>0.当k<0时,化简为(x-2)<0,解得
0时,化简为(x-2)>0.①当=2,即k=时,原不等式的解集为{x|x≠2};②当>2,即0
时,原不等式的解集为.
综上,当k<0时,原不等式的解集为;当k=0时,原不等式的解集为{x|x<2};当0
时,原不等式的解集为.
解含参数的一元二次不等式的步骤
变式 已知a∈R,解关于x的不等式>x.
【解答】对a∈R,由关于x的不等式>x,即-x>0,可得>0.当a<0时,不等式即x(ax-1)>0,解得
0时,不等式即x(ax-1)>0,解得x>或x<0,解集为{x|x>或x<0}.当a=0时,不等式即0-x>0,解得x<0,解集为{x|x<0}.综上,当a<0时,所求解集为{x|
0时,所求解集为{x|x<0或x>};当a=0时,所求解集为{x|x<0}.
探究2 三个“二次”间的关系及应用
例2 (1) 若不等式ax2+bx+1>0的解集为,则a,b的值分别是( B )
A. -3,-6 B. -6,-1
C. 6,3 D. 3,6
【解析】不等式ax2+bx+1>0的解集为,则-,为ax2+bx+1=0的两个实数根,所以-+=-,×=,解得a=-6,b=-1.
(2) 已知一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<2或x>3},则不等式bx2+ax+c>0的解集为__{x|x<-1或x>}__.
【解析】因为一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<2或x>3},所以所以不等式bx2+ax+c>0为x2+x+<0,即5x2-x-6>0,即(5x-6)(x+1)>0,解得x<-1或x>,所以不等式bx2+ax+c>0的解集是.
三个“二次”之间的关系:
变式 (多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为
A. a>0
B. c<0
C. a+b>0
D. 关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为{x|-3
【解析】由题意得a<0,且和1是方程ax2+bx+c=0的两个根,则解得a=3c,b=-4c,则c<0,故A错误,B正确;a+b=-c>0,故C正确;不等式cx2+bx+a>0即cx2-4cx+3c>0,即x2-4x+3<0,解得1
随堂内化及时评价
1. 在下列不等式中,解集为 的是( D )
A. 2x2-3x+2>0 B. x2+4x+4≤0
C. 4-4x-x2<0 D. 3x-2x2>2
2. 若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=ax2-x-c的图象为( B )
A B
C D
【解析】因为不等式的解集为{x|-2<x<1},所以a<0,排除C,D,又与坐标轴交点的横坐标为-2,1,排除A.
3. 不等式3x2-x-2≥0的解集是____.
【解析】由3x2-x-2=(3x+2)(x-1)≥0,解得x≤-或x≥1.
4. 不等式ax2-(a+2)x+2≥0(a<0)的解集为____.
【解析】原不等式可以转化为(x-1)(ax-2)≥0.当a<0时,可知(x-1)≤0,对应的方程的两根为1,,根据一元二次不等式的解集的特点,可知原不等式的解集为.
5. (课本P53 练习2)当自变量x在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0
(1) y=3x2-6x+2;
【解答】二次函数y=3x2-6x+2,令3x2-6x+2=0,解得x=,即x1=,x2=.结合二次函数的图象与性质可知,开口向上,与x轴有两个交点,所以当x∈时,函数值等于0;当x∈时,函数值大于0;当x∈
(2) y=25-x2;
【解答】二次函数y=25-x2,令25-x2=0,解得x1=-5,x2=5.结合二次函数的图象与性质可知,当x∈{-5,5}时,函数值等于0;当x∈{x|x<-5或x>5}时,函数值小于0;当x∈{x|-5
(3) y=x2+6x+10;
【解答】二次函数y=x2+6x+10=(x+3)2+1,结合二次函数的图象与性质可知,当x∈ 时,函数值小于或等于0;当x∈R时,函数值大于0.
(4) y=-3x2+12x-12.
【解答】二次函数y=-3x2+12x-12=-3(x-2)2,结合二次函数的图象与性质可知,开口向下,与x轴有一个交点,所以当x∈{2}时,函数值等于0;当x∈{x|x≠2}时,函数值小于0;当x∈ 时,函数值大于0.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c>0的解集是( A )
(第1题)
A. {x|-2
1}
C. {x|-2≤x≤1} D. {x|x≤-2或x≥1}
2. 不等式(3x+2)(x+2)>4的解集是( B )
A. B.
C. D.
3. 如果二次方程ax2+bx+c=0的两根为-2,3,且a<0,那么ax2+bx+c>0的解集为( C )
A. {x|x>3或x<-2}
B. {x|x>2或x<-3}
C. {x|-2
D. {x|-3
【解析】由题意知-2+3=-,-2×3=,所以b=-a,c=-6a,所以不等式ax2+bx+c>0可化为ax2-ax-6a>0.因为a<0,所以x2-x-6<0,所以(x-3)(x+2)<0,所以-2
4. 关于x的一元二次不等式(x-2)[(a-1)x+(2-a)]>0,当0
A. B.
C. D.
【解析】由0
2,故原不等式的解集为2
二、 多项选择题
5. 下列四个不等式中,解集为 的是( BCD )
A. -x2+x+1≤0
B. 2x2-3x+4<0
C. x2+3x+10≤0
D. -x2+4x->0(a>0)
6. 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3},则( AB )
A. a>0
B. 不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}
C. a+b+c>0
D. 不等式cx2-bx+a<0的解集为
【解析】因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3},所以x=-2,3是方程ax2+bx+c=0的两个根,且a>0,故A正确;对于B,因为-=-2+3=1,=-2×3=-6,所以b=-a,c=-6a,所以bx+c=-ax-6a=-a(x+6)>0,所以不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6},故B正确;对于C,因为b=-a,c=-6a,a>0,可得a+b+c=a-a-6a=-6a<0,故C错误;对于D,因为cx2-bx+a=-6ax2+ax+a=-a(6x2-x-1)<0,即6x2-x-1>0,解得x<-或x>,故D错误.
三、 填空题
7. 不等式-x2+5x+6<0的解集为__{x|x<-1或x>6}__.
8. 二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表所示:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是__{x|x<-2或x>3}__.
【解析】根据表格可以画出二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)图象的草图,如图.由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2或x>3}.
(第8题答)
四、 解答题
9. (课本P53练习1)求下列不等式的解集:
(1) (x+2)(x-3)>0;
【解答】解(x+2)(x-3)>0,得x>3或x<-2,所以原不等式的解集是{x|x>3或x<-2}.
(2) 3x2-7x≤10;
【解答】由3x2-7x≤10,得3x2-7x-10≤0,即(3x-10)(x+1)≤0,解得-1≤x≤,所以原不等式的解集为-1≤x≤}.
(3) -x2+4x-4<0;
【解答】由-x2+4x-4<0,得x2-4x+4>0,即(x-2)2>0,解得x≠2,所以原不等式的解集为{x|x≠2}.
(4) x2-x+<0;
【解答】不等式x2-x+<0,即为<0,所以原不等式的解集为 .
(5) -2x2+x≤-3;
【解答】不等式-2x2+x≤-3即为2x2-x-3≥0,则(2x-3)·(x+1)≥0,解得x≤-1或x≥,所以原不等式的解集为x≤-1或x≥}.
(6) x2-3x+4>0.
【解答】x2-3x+4>0,其相应方程x2-3x+4=0的判别式为Δ=(-3)2-4×4=-7<0,所以不等式x2-3x+4>0的解集为R.
10. 已知函数y=x2-ax+b.
(1) 若x=-1时y=2,且a>0,b>0,求+的最小值;
【解答】由题意得1+a+b=2,得a+b=1.又a>0,b>0,所以+=(a+b)=2++≥4,当且仅当=,即a=b=时取等号,所以+的最小值为4.
(2) 若b=a,解关于x的不等式y-x≤0.
【解答】当b=a时,不等式y-x≤0,即x2-(a+1)x+a≤0,即(x-a)(x-1)≤0.由(x-a)(x-1)=0,得x=a或x=1.当a=1时,不等式即为(x-1)2≤0,解得x=1;当a>1时,由(x-a)(x-1)≤0,可得1≤x≤a;当a<1时,由(x-a)·(x-1)≤0,可得a≤x≤1.综上,当a=1时,不等式的解集为{1};当a>1时,不等式的解集为{x|1≤x≤a};当a<1时,不等式的解集为{x|a≤x≤1}.
11. (多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1
A. 函数y=ax2+bx+c有最大值
B. 5a+b+c>0
C. 6b=-5c
D. bx2+a|x|-c>0的解集为
【解析】因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1
0,故B正确;又-1,3是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,则所以b=-2a,c=-3a,则3b=2c,故C错误;不等式bx2+a|x|-c>0即为-2ax2+a|x|+3a>0,即2x2-|x|-3>0,解得|x|<-1或|x|>,所以x∈x<-或x>},故D正确.
12. 对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么使不等式4[x]2-36[x]+45<0成立的x的取值范围是__{x|2≤x<8}__.
【解析】因为4[x]2-36[x]+45<0,所以<[x]<,所以2≤x<8.
13. (2025·淄博期末)已知函数y=ax2-2x+3,x∈R.
(1) 若关于x的不等式y<0的解集为{x|m
【解答】由关于x的不等式y<0的解集为{x|m
0,Δ=4-4×3a>0.所以m+n=>0,mn=>0,因此m>0,n>0,且=+=,所以4m+n=(4m+n)=≥=,当且仅当=,即m=,n=时等号成立,此时a=满足题意,所以4m+n的最小值为.
(2) 解关于x的不等式y+(a+1)x>4.
【解答】整理不等式y+(a+1)x>4可得ax2+(a-1)x-1>0,即(ax-1)(x+1)>0.当a=0时,不等式为-x-1>0,其解集为{x|x<-1};当a=-1时,不等式为-(x+1)2>0,其解集为 ;当a<-1时,不等式(ax-1)(x+1)>0的解集为-1
0的解集为
0时,不等式(ax-1)(x+1)>0的解集为x<-1或x>}.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 一元二次方程和一元二次不等式
学习 目标 1. 会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 2. 借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
新知初探基础落实
请同学阅读课本P50—P53,完成下列填空.
1. 一元二次不等式
(1) 一般地,我们把只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 的不等式,称为一元二次不等式.
(2) 一元二次不等式的一般形式是 ,其中a,b,c均为常数,a≠0.
(3) 一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的 叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
2. 二次函数与一元二次不等式(方程)的关系
Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
ax2+bx+c= 0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1
ax2+bx+c> 0(a>0)的解集 R
ax2+bx+c< 0(a>0)的解集
典例精讲能力初成
探究1 一元二次不等式的解法
视角1 一元二次不等式(不含参)的求解
例1-1 (1) (课本P52例1)求不等式x2-5x+6>0的解集.
(2) (课本P52例3)求不等式-x2+2x-3>0的解集.
一元二次不等式的求解方法:
(1) 一化:将原不等式化成一般式,即ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)的形式,其中二次项系数a>0.
(2) 二解:判断Δ=b2-4ac的符号,并利用配方法、公式法、因式分解法求出一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根.
(3) 三作图:根据二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的位置关系确定一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集.
(4) 四答:通常要将不等式的解集用数集表示.
变式 解下列一元二次不等式:
(1) 2x2-2x+1≥0;
(2) x2+x-1<0;
(3) -3x2+5x-4≥0;
(4) (2x-1)2<4.
视角2 一元二次不等式(含参)的求解
例1-2 已知k∈R,解关于x的不等式kx2-2kx>x-2.
解含参数的一元二次不等式的步骤
变式 已知a∈R,解关于x的不等式>x.
探究2 三个“二次”间的关系及应用
例2 (1) 若不等式ax2+bx+1>0的解集为,则a,b的值分别是( )
A. -3,-6 B. -6,-1
C. 6,3 D. 3,6
(2) 已知一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<2或x>3},则不等式bx2+ax+c>0的解集为 .
三个“二次”之间的关系:
变式 (多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为
A. a>0
B. c<0
C. a+b>0
D. 关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为{x|-3
随堂内化及时评价
1. 在下列不等式中,解集为 的是( )
A. 2x2-3x+2>0 B. x2+4x+4≤0
C. 4-4x-x2<0 D. 3x-2x2>2
2. 若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=ax2-x-c的图象为( )
A B
C D
3. 不等式3x2-x-2≥0的解集是 .
4. 不等式ax2-(a+2)x+2≥0(a<0)的解集为 .
5. (课本P53 练习2)当自变量x在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0
(1) y=3x2-6x+2;
(2) y=25-x2;
(3) y=x2+6x+10;
(4) y=-3x2+12x-12.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c>0的解集是( )
(第1题)
A. {x|-2
1}
C. {x|-2≤x≤1} D. {x|x≤-2或x≥1}
2. 不等式(3x+2)(x+2)>4的解集是( )
A. B.
C. D.
3. 如果二次方程ax2+bx+c=0的两根为-2,3,且a<0,那么ax2+bx+c>0的解集为( )
A. {x|x>3或x<-2}
B. {x|x>2或x<-3}
C. {x|-2
D. {x|-3
4. 关于x的一元二次不等式(x-2)[(a-1)x+(2-a)]>0,当0
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
5. 下列四个不等式中,解集为 的是( )
A. -x2+x+1≤0
B. 2x2-3x+4<0
C. x2+3x+10≤0
D. -x2+4x->0(a>0)
6. 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3},则( )
A. a>0
B. 不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}
C. a+b+c>0
D. 不等式cx2-bx+a<0的解集为
三、 填空题
7. 不等式-x2+5x+6<0的解集为 .
8. 二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表所示:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是 .
四、 解答题
9. (课本P53练习1)求下列不等式的解集:
(1) (x+2)(x-3)>0;
(2) 3x2-7x≤10;
(3) -x2+4x-4<0;
(4) x2-x+<0;
(5) -2x2+x≤-3;
(6) x2-3x+4>0.
10. 已知函数y=x2-ax+b.
(1) 若x=-1时y=2,且a>0,b>0,求+的最小值;
(2) 若b=a,解关于x的不等式y-x≤0.
11. (多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1
A. 函数y=ax2+bx+c有最大值
B. 5a+b+c>0
C. 6b=-5c
D. bx2+a|x|-c>0的解集为
12. 对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么使不等式4[x]2-36[x]+45<0成立的x的取值范围是 .
13. (2025·淄博期末)已知函数y=ax2-2x+3,x∈R.
(1) 若关于x的不等式y<0的解集为{x|m
(2) 解关于x的不等式y+(a+1)x>4.(共50张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 一元二次方程和一元二次不等式
学习 目标 1. 会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.
2. 借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
新知初探 基础落实
问题:园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是
24 m,围成的矩形区域的面积要大于20 m2,则这个矩形的边长为多少?
设这个矩形的一条边长为x m,则另一条边长为(12-x) m.由题意,得(12-x)x>20,其中x∈{x|0
求不等式①的解集,就得到了问题的答案.
一、 生成概念
如图,在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-12x+20的图象,图象与x轴有两个交点.我们知道,这两个交点的横坐标就是方程x2-12x+20=0的两个实数根x1=2,x2=10,因此二次函数y=x2-12x+20与x轴的两个交点是(2,0)和(10,0).
一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.于是二次函数y=x2-12x+20的两个零点是x1=2,x2=10.
从图中可以看出,二次函数y=x2-12x+20的两个零点x1=2,x2=10将x轴分成三段.相应地,当x<2或x>10时,函数图象位于x轴上方,此时y>0,即x2-12x+20>0;当2
因为{x|2
请同学阅读课本P50—P53,完成下列填空.
二、 概念表述
1. 一元二次不等式
(1) 一般地,我们把只含有_______未知数,并且未知数的最高次数是____的不等式,称为一元二次不等式.
(2) 一元二次不等式的一般形式是_______________________________,其中a,b,c均为常数,a≠0.
(3) 一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的________叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
一个
2
ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0
实数x
2. 二次函数与一元二次不等式(方程)的关系
{x|x
x2}
{x|x1
典例精讲 能力初成
探究
视角1 一元二次不等式(不含参)的求解
(1) (课本P52例1)求不等式x2-5x+6>0的解集.
1
一元二次不等式的解法
【解答】对于方程x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3.画出二次函数y=x2-5x+6的图象如图所示,结合图象得不等式x2-5x+6>0的解集为{x|x<2或x>3}.
1-1
(2) (课本P52例3)求不等式-x2+2x-3>0的解集.
【解答】原不等式可化为x2-2x+3<0.因为Δ=-8<0,所以方程
x2-2x+3=0无实数根.画出二次函数y=x2-2x+3的图象如图
所示.结合图象得不等式x2-2x+3<0的解集为 .因此,原不等式
的解集为 .
一元二次不等式的求解方法:
(1) 一化:将原不等式化成一般式,即ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)的形式,其中二次项系数a>0.
(3) 三作图:根据二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的位置关系确定一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集.
(4) 四答:通常要将不等式的解集用数集表示.
变式
解下列一元二次不等式:
(2) x2+x-1<0;
【解答】不等式-3x2+5x-4≥0可化为3x2-5x+4≤0,因为二次函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以由Δ=(-5)2-4×3×4=-23<0可知,方程3x2-5x+4=0无实数根,则不等式3x2-5x+4≤0的解集为 ,故不等式-3x2+5x-4≥0的解集为 .
解下列一元二次不等式:
(3) -3x2+5x-4≥0;
(4) (2x-1)2<4.
视角2 一元二次不等式(含参)的求解
已知k∈R,解关于x的不等式kx2-2kx>x-2.
1-2
解含参数的一元二次不等式的步骤
变式
探究
2
三个“二次”间的关系及应用
2
B
(2) 已知一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<2或x>3},则不等式bx2+ax+c>0
的解集为_______________________.
三个“二次”之间的关系:
变式
BC
随堂内化 及时评价
1. 在下列不等式中,解集为 的是 ( )
A. 2x2-3x+2>0 B. x2+4x+4≤0
C. 4-4x-x2<0 D. 3x-2x2>2
D
2. 若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=ax2-x-c的图象为
( )
B
【解析】因为不等式的解集为{x|-2<x<1},所以a<0,排除C,D,又与坐标轴交点的横坐标为-2,1,排除A.
3. 不等式3x2-x-2≥0的解集是_________________.
4. 不等式ax2-(a+2)x+2≥0(a<0)的解集为_______________.
5. (课本P53 练习2)当自变量x在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0
(1) y=3x2-6x+2;
5. (课本P53 练习2)当自变量x在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0
(2) y=25-x2;
【解答】二次函数y=25-x2,令25-x2=0,解得x1=-5,x2=5.结合二次函数的图象与性质可知,当x∈{-5,5}时,函数值等于0;当x∈{x|x<-5或x>5}时,函数值小于0;当x∈{x|-5
5. (课本P53 练习2)当自变量x在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0
(3) y=x2+6x+10;
【解答】二次函数y=x2+6x+10=(x+3)2+1,结合二次函数的图象与性质可知,当x∈ 时,函数值小于或等于0;当x∈R时,函数值大于0.
(4) y=-3x2+12x-12.
【解答】二次函数y=-3x2+12x-12=-3(x-2)2,结合二次函数的图象与性质可知,开口向下,与x轴有一个交点,所以当x∈{2}时,函数值等于0;当x∈{x|x≠2}时,函数值小于0;当x∈ 时,函数值大于0.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c>0的解集是
( )
A. {x|-2
B. {x|x<-2或x>1}
C. {x|-2≤x≤1}
D. {x|x≤-2或x≥1}
A
2. 不等式(3x+2)(x+2)>4的解集是 ( )
B
3. 如果二次方程ax2+bx+c=0的两根为-2,3,且a<0,那么ax2+bx+c>0的解集为 ( )
A. {x|x>3或x<-2} B. {x|x>2或x<-3}
C. {x|-2
C
4. 关于x的一元二次不等式(x-2)[(a-1)x+(2-a)]>0,当0
B
二、 多项选择题
5. 下列四个不等式中,解集为 的是 ( )
A. -x2+x+1≤0
B. 2x2-3x+4<0
C. x2+3x+10≤0
BCD
6. 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3},则 ( )
A. a>0
B. 不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}
C. a+b+c>0
【答案】AB
三、 填空题
7. 不等式-x2+5x+6<0的解集为______________________.
{x|x<-1或x>6}
8. 二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表所示:
【解析】根据表格可以画出二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)图象的草图,
如图.由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2或x>3}.
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是______________________.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
{x|x<-2或x>3}
四、 解答题
9. (课本P53练习1)求下列不等式的解集:
(1) (x+2)(x-3)>0;
【解答】解(x+2)(x-3)>0,得x>3或x<-2,所以原不等式的解集是{x|x>3或x<-2}.
(2) 3x2-7x≤10;
9. (课本P53练习1)求下列不等式的解集:
(3) -x2+4x-4<0;
【解答】由-x2+4x-4<0,得x2-4x+4>0,即(x-2)2>0,解得x≠2,所以原不等式的解集为{x|x≠2}.
9. (课本P53练习1)求下列不等式的解集:
(5) -2x2+x≤-3;
(6) x2-3x+4>0.
【解答】x2-3x+4>0,其相应方程x2-3x+4=0的判别式为Δ=(-3)2-4×4=-7<
0,所以不等式x2-3x+4>0的解集为R.
10. 已知函数y=x2-ax+b.
10. 已知函数y=x2-ax+b.
(2) 若b=a,解关于x的不等式y-x≤0.
【解答】当b=a时,不等式y-x≤0,即x2-(a+1)x+a≤0,即(x-a)(x-1)≤0.由(x-a)(x-1)=0,得x=a或x=1.当a=1时,不等式即为(x-1)2≤0,解得x=1;当a>1时,由(x-a)(x-1)≤0,可得1≤x≤a;当a<1时,由(x-a)·(x-1)≤0,可得a≤x≤1.综上,当a=1时,不等式的解集为{1};当a>1时,不等式的解集为{x|1≤x≤a};当a<1时,不等式的解集为{x|a≤x≤1}.
【解析】因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1
【答案】ABD
12. 对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么使不等式4[x]2-36[x]+45<0成立的x的取值范围是_________________.
{x|2≤x<8}
13. (2025·淄博期末)已知函数y=ax2-2x+3,x∈R.
(1) 若关于x的不等式y<0的解集为{x|m
13. (2025·淄博期末)已知函数y=ax2-2x+3,x∈R.
(2) 解关于x的不等式y+(a+1)x>4.
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同课章节目录
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.2 集合间的基本关系
1.3 集合的基本运算
1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词与存在量词
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
2.2 基本不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第三章 函数概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
3.3 幂函数
3.4 函数的应用(一)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.2 指数函数
4.3 对数
4.4 对数函数
4.5 函数的应用(二)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.2 三角函数的概念
5.3 诱导公式
5.4 三角函数的图象与性质
5.5 三角恒等变换
5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)
5.7 三角函数的应用
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