2.3 第1课时 一元二次方程和一元二次不等式(课件 讲义)高中数学 人教A版(2019)必修 第一册

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名称 2.3 第1课时 一元二次方程和一元二次不等式(课件 讲义)高中数学 人教A版(2019)必修 第一册
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-10-13 14:01:29

文档简介

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 一元二次方程和一元二次不等式
学习 目标 1. 会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 2. 借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
新知初探基础落实
问题:园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m,围成的矩形区域的面积要大于20 m2,则这个矩形的边长为多少?
设这个矩形的一条边长为x m,则另一条边长为(12-x) m.由题意,得(12-x)x>20,其中x∈{x|0求不等式①的解集,就得到了问题的答案.
一、 生成概念
如图,在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-12x+20的图象,图象与x轴有两个交点.我们知道,这两个交点的横坐标就是方程x2-12x+20=0的两个实数根x1=2,x2=10,因此二次函数y=x2-12x+20与x轴的两个交点是(2,0)和(10,0).
一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.于是二次函数y=x2-12x+20的两个零点是x1=2,x2=10.
从图中可以看出,二次函数y=x2-12x+20的两个零点x1=2,x2=10将x轴分成三段.相应地,当x<2或x>10时,函数图象位于x轴上方,此时y>0,即x2-12x+20>0;当2因为{x|2请同学阅读课本P50—P53,完成下列填空.
二、 概念表述
1. 一元二次不等式
(1) 一般地,我们把只含有__一个__未知数,并且未知数的最高次数是__2__的不等式,称为一元二次不等式.
(2) 一元二次不等式的一般形式是__ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0__,其中a,b,c均为常数,a≠0.
(3) 一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的__实数x__叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
2. 二次函数与一元二次不等式(方程)的关系
Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
ax2+bx+c= 0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+c> 0(a>0)的解集 __{x|xx2}__ __ -\f(b,2a)))__ R
ax2+bx+c< 0(a>0)的解集 __{x|x1典例精讲能力初成
探究1 一元二次不等式的解法
视角1 一元二次不等式(不含参)的求解
例1-1 (1) (课本P52例1)求不等式x2-5x+6>0的解集.
【解答】对于方程x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3.画出二次函数y=x2-5x+6的图象如图所示,结合图象得不等式x2-5x+6>0的解集为{x|x<2或x>3}.
(例1-1(1)答)
(2) (课本P52例3)求不等式-x2+2x-3>0的解集.
【解答】原不等式可化为x2-2x+3<0.因为Δ=-8<0,所以方程x2-2x+3=0无实数根.画出二次函数y=x2-2x+3的图象如图所示.结合图象得不等式x2-2x+3<0的解集为 .因此,原不等式的解集为 .
(例1-1(2)答)
一元二次不等式的求解方法:
(1) 一化:将原不等式化成一般式,即ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)的形式,其中二次项系数a>0.
(2) 二解:判断Δ=b2-4ac的符号,并利用配方法、公式法、因式分解法求出一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根.
(3) 三作图:根据二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的位置关系确定一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集.
(4) 四答:通常要将不等式的解集用数集表示.
变式 解下列一元二次不等式:
(1) 2x2-2x+1≥0;
【解答】方程2x2-2x+1=0有两个相等的实数根,x1=x2=,因为二次函数y=2x2-2x+1的图象开口向上,所以不等式2x2-2x+1≥0的解集为R.
(2) x2+x-1<0;
【解答】方程x2+x-1=0有两个根,x1=,x2=,因为二次函数y=x2+x-1的图象开口向上,所以不等式x2+x-1<0的解集为.
(3) -3x2+5x-4≥0;
【解答】不等式-3x2+5x-4≥0可化为3x2-5x+4≤0,因为二次函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以由Δ=(-5)2-4×3×4=-23<0可知,方程3x2-5x+4=0无实数根,则不等式3x2-5x+4≤0的解集为 ,故不等式-3x2+5x-4≥0的解集为 .
(4) (2x-1)2<4.
【解答】不等式(2x-1)2<4可化为4x2-4x-3<0,二次方程4x2-4x-3=0有两个根,x1=-,x2=.因为二次函数y=4x2-4x-3的图象开口向上,所以不等式4x2-4x-3<0的解集为,故不等式(2x-1)2<4的解集为.
视角2 一元二次不等式(含参)的求解
例1-2 已知k∈R,解关于x的不等式kx2-2kx>x-2.
【解答】原不等式可变形为(kx-1)(x-2)>0.当k<0时,化简为(x-2)<0,解得0时,化简为(x-2)>0.①当=2,即k=时,原不等式的解集为{x|x≠2};②当>2,即0时,原不等式的解集为.
综上,当k<0时,原不等式的解集为;当k=0时,原不等式的解集为{x|x<2};当0时,原不等式的解集为.
解含参数的一元二次不等式的步骤
变式 已知a∈R,解关于x的不等式>x.
【解答】对a∈R,由关于x的不等式>x,即-x>0,可得>0.当a<0时,不等式即x(ax-1)>0,解得0时,不等式即x(ax-1)>0,解得x>或x<0,解集为{x|x>或x<0}.当a=0时,不等式即0-x>0,解得x<0,解集为{x|x<0}.综上,当a<0时,所求解集为{x|0时,所求解集为{x|x<0或x>};当a=0时,所求解集为{x|x<0}.
探究2 三个“二次”间的关系及应用
例2 (1) 若不等式ax2+bx+1>0的解集为,则a,b的值分别是( B )
A. -3,-6  B. -6,-1    
C. 6,3  D. 3,6
【解析】不等式ax2+bx+1>0的解集为,则-,为ax2+bx+1=0的两个实数根,所以-+=-,×=,解得a=-6,b=-1.
(2) 已知一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<2或x>3},则不等式bx2+ax+c>0的解集为__{x|x<-1或x>}__.
【解析】因为一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<2或x>3},所以所以不等式bx2+ax+c>0为x2+x+<0,即5x2-x-6>0,即(5x-6)(x+1)>0,解得x<-1或x>,所以不等式bx2+ax+c>0的解集是.
三个“二次”之间的关系:
变式 (多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为A. a>0
B. c<0
C. a+b>0
D. 关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为{x|-3【解析】由题意得a<0,且和1是方程ax2+bx+c=0的两个根,则解得a=3c,b=-4c,则c<0,故A错误,B正确;a+b=-c>0,故C正确;不等式cx2+bx+a>0即cx2-4cx+3c>0,即x2-4x+3<0,解得1随堂内化及时评价
1. 在下列不等式中,解集为 的是( D )
A. 2x2-3x+2>0       B. x2+4x+4≤0
C. 4-4x-x2<0       D. 3x-2x2>2
2. 若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=ax2-x-c的图象为( B )
A B
C D
【解析】因为不等式的解集为{x|-2<x<1},所以a<0,排除C,D,又与坐标轴交点的横坐标为-2,1,排除A.
3. 不等式3x2-x-2≥0的解集是____.
【解析】由3x2-x-2=(3x+2)(x-1)≥0,解得x≤-或x≥1.
4. 不等式ax2-(a+2)x+2≥0(a<0)的解集为____.
【解析】原不等式可以转化为(x-1)(ax-2)≥0.当a<0时,可知(x-1)≤0,对应的方程的两根为1,,根据一元二次不等式的解集的特点,可知原不等式的解集为.
5. (课本P53 练习2)当自变量x在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0
(1) y=3x2-6x+2;
【解答】二次函数y=3x2-6x+2,令3x2-6x+2=0,解得x=,即x1=,x2=.结合二次函数的图象与性质可知,开口向上,与x轴有两个交点,所以当x∈时,函数值等于0;当x∈时,函数值大于0;当x∈(2) y=25-x2;
【解答】二次函数y=25-x2,令25-x2=0,解得x1=-5,x2=5.结合二次函数的图象与性质可知,当x∈{-5,5}时,函数值等于0;当x∈{x|x<-5或x>5}时,函数值小于0;当x∈{x|-5(3) y=x2+6x+10;
【解答】二次函数y=x2+6x+10=(x+3)2+1,结合二次函数的图象与性质可知,当x∈ 时,函数值小于或等于0;当x∈R时,函数值大于0.
(4) y=-3x2+12x-12.
【解答】二次函数y=-3x2+12x-12=-3(x-2)2,结合二次函数的图象与性质可知,开口向下,与x轴有一个交点,所以当x∈{2}时,函数值等于0;当x∈{x|x≠2}时,函数值小于0;当x∈ 时,函数值大于0.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c>0的解集是( A )
(第1题)
A. {x|-21}
C. {x|-2≤x≤1} D. {x|x≤-2或x≥1}
2. 不等式(3x+2)(x+2)>4的解集是( B )
A.      B.
C.      D.
3. 如果二次方程ax2+bx+c=0的两根为-2,3,且a<0,那么ax2+bx+c>0的解集为( C )
A. {x|x>3或x<-2}
B. {x|x>2或x<-3}
C. {x|-2D. {x|-3【解析】由题意知-2+3=-,-2×3=,所以b=-a,c=-6a,所以不等式ax2+bx+c>0可化为ax2-ax-6a>0.因为a<0,所以x2-x-6<0,所以(x-3)(x+2)<0,所以-24. 关于x的一元二次不等式(x-2)[(a-1)x+(2-a)]>0,当0A. B.
C. D.
【解析】由02,故原不等式的解集为2二、 多项选择题
5. 下列四个不等式中,解集为 的是( BCD )
A. -x2+x+1≤0
B. 2x2-3x+4<0
C. x2+3x+10≤0
D. -x2+4x->0(a>0)
6. 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3},则( AB )
A. a>0
B. 不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}
C. a+b+c>0
D. 不等式cx2-bx+a<0的解集为
【解析】因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3},所以x=-2,3是方程ax2+bx+c=0的两个根,且a>0,故A正确;对于B,因为-=-2+3=1,=-2×3=-6,所以b=-a,c=-6a,所以bx+c=-ax-6a=-a(x+6)>0,所以不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6},故B正确;对于C,因为b=-a,c=-6a,a>0,可得a+b+c=a-a-6a=-6a<0,故C错误;对于D,因为cx2-bx+a=-6ax2+ax+a=-a(6x2-x-1)<0,即6x2-x-1>0,解得x<-或x>,故D错误.
三、 填空题
7. 不等式-x2+5x+6<0的解集为__{x|x<-1或x>6}__.
8. 二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表所示:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是__{x|x<-2或x>3}__.
【解析】根据表格可以画出二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)图象的草图,如图.由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2或x>3}.
(第8题答)
四、 解答题
9. (课本P53练习1)求下列不等式的解集:
(1) (x+2)(x-3)>0;
【解答】解(x+2)(x-3)>0,得x>3或x<-2,所以原不等式的解集是{x|x>3或x<-2}.
(2) 3x2-7x≤10;
【解答】由3x2-7x≤10,得3x2-7x-10≤0,即(3x-10)(x+1)≤0,解得-1≤x≤,所以原不等式的解集为-1≤x≤}.
(3) -x2+4x-4<0;
【解答】由-x2+4x-4<0,得x2-4x+4>0,即(x-2)2>0,解得x≠2,所以原不等式的解集为{x|x≠2}.
(4) x2-x+<0;
【解答】不等式x2-x+<0,即为<0,所以原不等式的解集为 .
(5) -2x2+x≤-3;
【解答】不等式-2x2+x≤-3即为2x2-x-3≥0,则(2x-3)·(x+1)≥0,解得x≤-1或x≥,所以原不等式的解集为x≤-1或x≥}.
(6) x2-3x+4>0.
【解答】x2-3x+4>0,其相应方程x2-3x+4=0的判别式为Δ=(-3)2-4×4=-7<0,所以不等式x2-3x+4>0的解集为R.
10. 已知函数y=x2-ax+b.
(1) 若x=-1时y=2,且a>0,b>0,求+的最小值;
【解答】由题意得1+a+b=2,得a+b=1.又a>0,b>0,所以+=(a+b)=2++≥4,当且仅当=,即a=b=时取等号,所以+的最小值为4.
(2) 若b=a,解关于x的不等式y-x≤0.
【解答】当b=a时,不等式y-x≤0,即x2-(a+1)x+a≤0,即(x-a)(x-1)≤0.由(x-a)(x-1)=0,得x=a或x=1.当a=1时,不等式即为(x-1)2≤0,解得x=1;当a>1时,由(x-a)(x-1)≤0,可得1≤x≤a;当a<1时,由(x-a)·(x-1)≤0,可得a≤x≤1.综上,当a=1时,不等式的解集为{1};当a>1时,不等式的解集为{x|1≤x≤a};当a<1时,不等式的解集为{x|a≤x≤1}.
11. (多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1A. 函数y=ax2+bx+c有最大值
B. 5a+b+c>0
C. 6b=-5c
D. bx2+a|x|-c>0的解集为
【解析】因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-10,故B正确;又-1,3是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,则所以b=-2a,c=-3a,则3b=2c,故C错误;不等式bx2+a|x|-c>0即为-2ax2+a|x|+3a>0,即2x2-|x|-3>0,解得|x|<-1或|x|>,所以x∈x<-或x>},故D正确.
12. 对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么使不等式4[x]2-36[x]+45<0成立的x的取值范围是__{x|2≤x<8}__.
【解析】因为4[x]2-36[x]+45<0,所以<[x]<,所以2≤x<8.
13. (2025·淄博期末)已知函数y=ax2-2x+3,x∈R.
(1) 若关于x的不等式y<0的解集为{x|m【解答】由关于x的不等式y<0的解集为{x|m0,Δ=4-4×3a>0.所以m+n=>0,mn=>0,因此m>0,n>0,且=+=,所以4m+n=(4m+n)=≥=,当且仅当=,即m=,n=时等号成立,此时a=满足题意,所以4m+n的最小值为.
(2) 解关于x的不等式y+(a+1)x>4.
【解答】整理不等式y+(a+1)x>4可得ax2+(a-1)x-1>0,即(ax-1)(x+1)>0.当a=0时,不等式为-x-1>0,其解集为{x|x<-1};当a=-1时,不等式为-(x+1)2>0,其解集为 ;当a<-1时,不等式(ax-1)(x+1)>0的解集为-10的解集为0时,不等式(ax-1)(x+1)>0的解集为x<-1或x>}.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 一元二次方程和一元二次不等式
学习 目标 1. 会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 2. 借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
新知初探基础落实
请同学阅读课本P50—P53,完成下列填空.
1. 一元二次不等式
(1) 一般地,我们把只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 的不等式,称为一元二次不等式.
(2) 一元二次不等式的一般形式是 ,其中a,b,c均为常数,a≠0.
(3) 一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的 叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
2. 二次函数与一元二次不等式(方程)的关系
Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
ax2+bx+c= 0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+c> 0(a>0)的解集 R
ax2+bx+c< 0(a>0)的解集
典例精讲能力初成
探究1 一元二次不等式的解法
视角1 一元二次不等式(不含参)的求解
例1-1 (1) (课本P52例1)求不等式x2-5x+6>0的解集.
(2) (课本P52例3)求不等式-x2+2x-3>0的解集.
一元二次不等式的求解方法:
(1) 一化:将原不等式化成一般式,即ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)的形式,其中二次项系数a>0.
(2) 二解:判断Δ=b2-4ac的符号,并利用配方法、公式法、因式分解法求出一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根.
(3) 三作图:根据二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的位置关系确定一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集.
(4) 四答:通常要将不等式的解集用数集表示.
变式 解下列一元二次不等式:
(1) 2x2-2x+1≥0;
(2) x2+x-1<0;
(3) -3x2+5x-4≥0;
(4) (2x-1)2<4.
视角2 一元二次不等式(含参)的求解
例1-2 已知k∈R,解关于x的不等式kx2-2kx>x-2.
解含参数的一元二次不等式的步骤
变式 已知a∈R,解关于x的不等式>x.
探究2 三个“二次”间的关系及应用
例2 (1) 若不等式ax2+bx+1>0的解集为,则a,b的值分别是(   )
A. -3,-6  B. -6,-1    
C. 6,3  D. 3,6
(2) 已知一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<2或x>3},则不等式bx2+ax+c>0的解集为 .
三个“二次”之间的关系:
变式 (多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为A. a>0
B. c<0
C. a+b>0
D. 关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为{x|-3随堂内化及时评价
1. 在下列不等式中,解集为 的是(   )
A. 2x2-3x+2>0       B. x2+4x+4≤0
C. 4-4x-x2<0       D. 3x-2x2>2
2. 若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=ax2-x-c的图象为(   )
A B
C D
3. 不等式3x2-x-2≥0的解集是 .
4. 不等式ax2-(a+2)x+2≥0(a<0)的解集为 .
5. (课本P53 练习2)当自变量x在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0
(1) y=3x2-6x+2;
(2) y=25-x2;
(3) y=x2+6x+10;
(4) y=-3x2+12x-12.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c>0的解集是(   )
(第1题)
A. {x|-21}
C. {x|-2≤x≤1} D. {x|x≤-2或x≥1}
2. 不等式(3x+2)(x+2)>4的解集是(   )
A.      B.
C.      D.
3. 如果二次方程ax2+bx+c=0的两根为-2,3,且a<0,那么ax2+bx+c>0的解集为(   )
A. {x|x>3或x<-2}
B. {x|x>2或x<-3}
C. {x|-2D. {x|-34. 关于x的一元二次不等式(x-2)[(a-1)x+(2-a)]>0,当0A. B.
C. D.
二、 多项选择题
5. 下列四个不等式中,解集为 的是(   )
A. -x2+x+1≤0
B. 2x2-3x+4<0
C. x2+3x+10≤0
D. -x2+4x->0(a>0)
6. 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3},则(   )
A. a>0
B. 不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}
C. a+b+c>0
D. 不等式cx2-bx+a<0的解集为
三、 填空题
7. 不等式-x2+5x+6<0的解集为 .
8. 二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表所示:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是 .
四、 解答题
9. (课本P53练习1)求下列不等式的解集:
(1) (x+2)(x-3)>0;
(2) 3x2-7x≤10;
(3) -x2+4x-4<0;
(4) x2-x+<0;
(5) -2x2+x≤-3;
(6) x2-3x+4>0.
10. 已知函数y=x2-ax+b.
(1) 若x=-1时y=2,且a>0,b>0,求+的最小值;
(2) 若b=a,解关于x的不等式y-x≤0.
11. (多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1A. 函数y=ax2+bx+c有最大值
B. 5a+b+c>0
C. 6b=-5c
D. bx2+a|x|-c>0的解集为
12. 对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么使不等式4[x]2-36[x]+45<0成立的x的取值范围是 .
13. (2025·淄博期末)已知函数y=ax2-2x+3,x∈R.
(1) 若关于x的不等式y<0的解集为{x|m(2) 解关于x的不等式y+(a+1)x>4.(共50张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 一元二次方程和一元二次不等式
学习 目标 1. 会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.
2. 借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
新知初探 基础落实
问题:园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是
24 m,围成的矩形区域的面积要大于20 m2,则这个矩形的边长为多少?
设这个矩形的一条边长为x m,则另一条边长为(12-x) m.由题意,得(12-x)x>20,其中x∈{x|0求不等式①的解集,就得到了问题的答案.
一、 生成概念
如图,在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-12x+20的图象,图象与x轴有两个交点.我们知道,这两个交点的横坐标就是方程x2-12x+20=0的两个实数根x1=2,x2=10,因此二次函数y=x2-12x+20与x轴的两个交点是(2,0)和(10,0).
一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.于是二次函数y=x2-12x+20的两个零点是x1=2,x2=10.
从图中可以看出,二次函数y=x2-12x+20的两个零点x1=2,x2=10将x轴分成三段.相应地,当x<2或x>10时,函数图象位于x轴上方,此时y>0,即x2-12x+20>0;当2因为{x|2请同学阅读课本P50—P53,完成下列填空.
二、 概念表述
1. 一元二次不等式
(1) 一般地,我们把只含有_______未知数,并且未知数的最高次数是____的不等式,称为一元二次不等式.
(2) 一元二次不等式的一般形式是_______________________________,其中a,b,c均为常数,a≠0.
(3) 一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的________叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
一个
2
ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0
实数x
2. 二次函数与一元二次不等式(方程)的关系
{x|xx2}
{x|x1
典例精讲 能力初成
探究
视角1 一元二次不等式(不含参)的求解
     (1) (课本P52例1)求不等式x2-5x+6>0的解集.
1
一元二次不等式的解法
【解答】对于方程x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3.画出二次函数y=x2-5x+6的图象如图所示,结合图象得不等式x2-5x+6>0的解集为{x|x<2或x>3}.
1-1
(2) (课本P52例3)求不等式-x2+2x-3>0的解集.
【解答】原不等式可化为x2-2x+3<0.因为Δ=-8<0,所以方程
x2-2x+3=0无实数根.画出二次函数y=x2-2x+3的图象如图
所示.结合图象得不等式x2-2x+3<0的解集为 .因此,原不等式
的解集为 .
一元二次不等式的求解方法:
(1) 一化:将原不等式化成一般式,即ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)的形式,其中二次项系数a>0.
(3) 三作图:根据二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的位置关系确定一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集.
(4) 四答:通常要将不等式的解集用数集表示.
变式 
    解下列一元二次不等式:
(2) x2+x-1<0;
【解答】不等式-3x2+5x-4≥0可化为3x2-5x+4≤0,因为二次函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以由Δ=(-5)2-4×3×4=-23<0可知,方程3x2-5x+4=0无实数根,则不等式3x2-5x+4≤0的解集为 ,故不等式-3x2+5x-4≥0的解集为 .
解下列一元二次不等式:
(3) -3x2+5x-4≥0;
(4) (2x-1)2<4.
视角2 一元二次不等式(含参)的求解
     已知k∈R,解关于x的不等式kx2-2kx>x-2.
1-2
解含参数的一元二次不等式的步骤
变式 
探究
2
三个“二次”间的关系及应用
2
B
(2) 已知一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<2或x>3},则不等式bx2+ax+c>0
的解集为_______________________.
三个“二次”之间的关系:
变式 
BC
随堂内化 及时评价
1. 在下列不等式中,解集为 的是 (  )
A. 2x2-3x+2>0       B. x2+4x+4≤0
C. 4-4x-x2<0       D. 3x-2x2>2
D
2. 若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=ax2-x-c的图象为
(  )
B
【解析】因为不等式的解集为{x|-2<x<1},所以a<0,排除C,D,又与坐标轴交点的横坐标为-2,1,排除A.
3. 不等式3x2-x-2≥0的解集是_________________.
4. 不等式ax2-(a+2)x+2≥0(a<0)的解集为_______________.
5. (课本P53 练习2)当自变量x在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0
(1) y=3x2-6x+2;
5. (课本P53 练习2)当自变量x在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0
(2) y=25-x2;
【解答】二次函数y=25-x2,令25-x2=0,解得x1=-5,x2=5.结合二次函数的图象与性质可知,当x∈{-5,5}时,函数值等于0;当x∈{x|x<-5或x>5}时,函数值小于0;当x∈{x|-55. (课本P53 练习2)当自变量x在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0
(3) y=x2+6x+10;
【解答】二次函数y=x2+6x+10=(x+3)2+1,结合二次函数的图象与性质可知,当x∈ 时,函数值小于或等于0;当x∈R时,函数值大于0.
(4) y=-3x2+12x-12.
【解答】二次函数y=-3x2+12x-12=-3(x-2)2,结合二次函数的图象与性质可知,开口向下,与x轴有一个交点,所以当x∈{2}时,函数值等于0;当x∈{x|x≠2}时,函数值小于0;当x∈ 时,函数值大于0.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c>0的解集是
(  )
A. {x|-2B. {x|x<-2或x>1}
C. {x|-2≤x≤1}
D. {x|x≤-2或x≥1}
A
2. 不等式(3x+2)(x+2)>4的解集是 (  )
B
3. 如果二次方程ax2+bx+c=0的两根为-2,3,且a<0,那么ax2+bx+c>0的解集为 (  )
A. {x|x>3或x<-2} B. {x|x>2或x<-3}
C. {x|-2C
4. 关于x的一元二次不等式(x-2)[(a-1)x+(2-a)]>0,当0B
二、 多项选择题
5. 下列四个不等式中,解集为 的是 (   )
A. -x2+x+1≤0
B. 2x2-3x+4<0
C. x2+3x+10≤0
BCD
6. 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3},则 (  )
A. a>0
B. 不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}
C. a+b+c>0
【答案】AB
三、 填空题
7. 不等式-x2+5x+6<0的解集为______________________.
{x|x<-1或x>6}
8. 二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表所示:
【解析】根据表格可以画出二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)图象的草图,
如图.由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2或x>3}.
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是______________________.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
{x|x<-2或x>3}
四、 解答题
9. (课本P53练习1)求下列不等式的解集:
(1) (x+2)(x-3)>0;
【解答】解(x+2)(x-3)>0,得x>3或x<-2,所以原不等式的解集是{x|x>3或x<-2}.
(2) 3x2-7x≤10;
9. (课本P53练习1)求下列不等式的解集:
(3) -x2+4x-4<0;
【解答】由-x2+4x-4<0,得x2-4x+4>0,即(x-2)2>0,解得x≠2,所以原不等式的解集为{x|x≠2}.
9. (课本P53练习1)求下列不等式的解集:
(5) -2x2+x≤-3;
(6) x2-3x+4>0.
【解答】x2-3x+4>0,其相应方程x2-3x+4=0的判别式为Δ=(-3)2-4×4=-7<
0,所以不等式x2-3x+4>0的解集为R.
10. 已知函数y=x2-ax+b.
10. 已知函数y=x2-ax+b.
(2) 若b=a,解关于x的不等式y-x≤0.
【解答】当b=a时,不等式y-x≤0,即x2-(a+1)x+a≤0,即(x-a)(x-1)≤0.由(x-a)(x-1)=0,得x=a或x=1.当a=1时,不等式即为(x-1)2≤0,解得x=1;当a>1时,由(x-a)(x-1)≤0,可得1≤x≤a;当a<1时,由(x-a)·(x-1)≤0,可得a≤x≤1.综上,当a=1时,不等式的解集为{1};当a>1时,不等式的解集为{x|1≤x≤a};当a<1时,不等式的解集为{x|a≤x≤1}.
【解析】因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1【答案】ABD
12. 对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么使不等式4[x]2-36[x]+45<0成立的x的取值范围是_________________.
{x|2≤x<8}
13. (2025·淄博期末)已知函数y=ax2-2x+3,x∈R.
(1) 若关于x的不等式y<0的解集为{x|m13. (2025·淄博期末)已知函数y=ax2-2x+3,x∈R.
(2) 解关于x的不等式y+(a+1)x>4.