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资源详情
高中数学
人教A版(2019)
必修 第一册
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
2.3 第2课时 一元二次方程和一元二次不等式的应用(课件 讲义)高中数学 人教A版(2019)必修 第一册
文档属性
名称
2.3 第2课时 一元二次方程和一元二次不等式的应用(课件 讲义)高中数学 人教A版(2019)必修 第一册
格式
zip
文件大小
1.4MB
资源类型
教案
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2025-10-13 14:01:42
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文档简介
第2课时 一元二次方程和一元二次不等式的应用
学习 目标 1. 了解从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的实际意义. 2. 能够构建一元二次函数模型,解决实际问题,会解简单的分式不等式.
典例精讲能力初成
探究1 分式不等式和高次不等式的解法
例1-1 解下列不等式:
(1) <0;
(2) ≤1.
简单分式不等式的解法:
变式 (2025·新高考Ⅱ卷)不等式≥2的解集是( )
A. {x|-2≤x≤1} B. {x|x≤-2}
C. {x|-2≤x<1} D. {x|x>1}
例1-2 (1) 不等式(x-3)(x+1)(x+2)>0的解集为 .
(2) 不等式(x+3)(x-1)2(x-2)3≥0的解集为 .
(1) 先将x的最高次项的系数变为正数;
(2) 将相应方程的根逐一标在数轴上;
(3) 从右往左、从上到下依次穿线,穿线时“奇过偶不过”;
(4) “>0”取x轴上方的图象所对应的区域,“<0”取x轴下方的图象所对应的区域.
探究2 一元二次不等式恒成立问题
例2 (1) 若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为( )
A. {k|-3
C. {k|-3
(2) 当-2≤x≤2时,不等式x2-mx+1>0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A. {m|-2
C. {m|-2≤m≤2} D. {m|m>2}
(1) 不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立 或
(2) 不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立 或
(3) 分离参数,将不等式恒成立问题转化为求最值问题.
变式 “不等式x2-2x+a>0在x∈R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. a>1 B. a>0
C. a<1 D. a<0
探究3 一元二次不等式的实际应用
例3 (课本P53例4)一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(单位:辆)与创造的价值y(单位:元)之间有如下的关系:y=-20x2+ 2 200x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上,则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?
一元二次不等式实际应用问题的解题方法
(1) 根据题意列出相应的一元二次函数;
(2) 由题意列出相应的一元二次不等式;
(3) 求出解集;
(4) 结合实际情况写出最终结果.
变式 某旅店有200张床位,若每张床位一晚上的租金为50元,则可全部租出;若将出租收费标准每晚提高10x元(x为正整数),则租出的床位会相应减少10x张.若要使该旅店某晚的收入超过12 600元,则每张床位的出租价格可定在什么范围内?
随堂内化及时评价
1. 不等式≥2的解集为 .
2. 若命题“ x∈R,使得ax2+ax-4≥0”是假命题,则实数a的取值范围为 .
3. 若关于x的不等式mx2-mx-2≤0恒成立,则实数m的取值范围是 .
4. 某商品在最近30天内的价格y1(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系是y1=t+10(0<t≤30,t∈N);销售量y2(单位:件)与时间t(单位:天)的函数关系是y2=-t+35(0<t≤30,t∈N),则使这种商品日销售金额不小于500元的t的取值范围是 .
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是( )
A. {a|-4≤a≤4} B. {a|-4
C. {a|a≤-4或a≥4} D. {a|a<-4或a>4}
2. (2025·唐山期末)已知x∈R,若p:≥2,q:|1-x|≤x,则p是q的( )
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3. 某公园内有一块长为800 m,宽为600 m的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪.若要求草坪的面积不小于总面积的一半,则花卉带宽度x的取值范围是( )
A. {x|0
C. {x|100≤x≤600} D. {x|600≤x≤800}
4. (2025·益阳期末)若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|-1
A. 有最小值 B. 有最小值
C. 有最小值3 D. 无最小值
二、 多项选择题
5. 某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示),则下列说法正确的是( )
(第5题)
A. 二次函数的表达式为y=-x2+12x-25
B. 营运的年平均最大利润为20万元
C. 营运的年平均最大利润为2万元
D. 若要使其营运的年平均利润最大,则每辆客车需营运5年
6. 汽车在行驶中由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,这段距离称为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要指标.在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m,又知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位:m)与车速x(单位:km/h)分别有如下关系式:s1=0.1v+0.01v2,s2=0.05v+0.005v2.则下列判断正确的是( )
A. 甲车超速 B. 乙车超速
C. 甲车不超速 D. 乙车不超速
三、 填空题
7. 若关于x的不等式>0的解集为{x|x<-1或x>4},则实数a= .
8. 在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则图中矩形花园的其中一边的边长x(单位:m)的取值范围是 .
(第8题)
四、 解答题
9. (1) 解不等式>1;
(2) 若不等式x2-2x-1>a的解集为R,求实数a的取值范围.
10. 某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为 1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0
(1) 写出本年度预计的年利润y与每辆车投入成本增加的比例x的关系式;
(2) 为使本年度的利润比上年度有所增加,问:每辆车投入成本增加的比例x应在什么范围内?
11. (2025·广东大湾区期末)已知二次函数y=(ax-1)(x-a).甲同学:y>0的解集为x
};乙同学:y<0的解集为x
};丙同学:y=(ax-1)(x-a)的对称轴在y轴右侧.在这三个同学的论述中,只有一个假命题,则实数a的取值范围为( )
A. {a|a<-1} B. {a|-1
C. {a|0
1}
12. 已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+2m-1=0的两个不相等的实数根,且满足x+x=18,则实数m的值是( )
A. -3 B. 5
C. -5或3 D. 5或-3
13. (多选)为配制一种药液,进行了两次稀释,先在体积为V的桶中盛满纯药液,第一次将桶中药液倒出5升后用水补满,搅拌均匀,第二次倒出3升后用水补满,若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75%,则V的可能取值为( )
A. 4 B. 40
C. 8 D. 28
14. 已知命题A:x1,x2是方程x2-ax-2=0的两个实根,不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数-1≤a≤1恒成立;命题B:不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解.若A和B均为真命题,则实数m的取值范围为 .第2课时 一元二次方程和一元二次不等式的应用
学习 目标 1. 了解从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的实际意义. 2. 能够构建一元二次函数模型,解决实际问题,会解简单的分式不等式.
典例精讲能力初成
探究1 分式不等式和高次不等式的解法
例1-1 解下列不等式:
(1) <0;
【解答】<0 (2x-5)(x+4)<0 -4
(2) ≤1.
【解答】因为≤1,所以-1≤0,所以≤0,即≥0,此不等式等价于(x-4)·≥0且x-≠0,解得x<或x≥4,所以原不等式的解集为.
简单分式不等式的解法:
变式 (2025·新高考Ⅱ卷)不等式≥2的解集是( C )
A. {x|-2≤x≤1} B. {x|x≤-2}
C. {x|-2≤x<1} D. {x|x>1}
【解析】≥2,即为≤0,即解得-2≤x<1,故不等式的解集为[-2,1).
例1-2 (1) 不等式(x-3)(x+1)(x+2)>0的解集为__{x|-2
3}__.
【解析】令每个括号为0得到三个零点-2,-1,3,如图,利用数轴穿根法画出图象解得-2
3.
(例1-2(1)答)
(2) 不等式(x+3)(x-1)2(x-2)3≥0的解集为__{x|x≤-3或x=1或x≥2}__.
【解析】如图,使用数轴穿根法得不等式的解集为{x|x≤-3或x=1或x≥2}.
(例1-2(2)答)
(1) 先将x的最高次项的系数变为正数;
(2) 将相应方程的根逐一标在数轴上;
(3) 从右往左、从上到下依次穿线,穿线时“奇过偶不过”;
(4) “>0”取x轴上方的图象所对应的区域,“<0”取x轴下方的图象所对应的区域.
探究2 一元二次不等式恒成立问题
例2 (1) 若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为( A )
A. {k|-3
C. {k|-3
【解析】因为一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,所以解得-3
(2) 当-2≤x≤2时,不等式x2-mx+1>0恒成立,则实数m的取值范围是( A )
A. {m|-2
C. {m|-2≤m≤2} D. {m|m>2}
【解析】设y=x2-mx+1,其中-2≤x≤2.①当≤-2,即m≤-4时,ymin=2m+5>0,解得m>-,此时m不存在;②当-2<<2,即-4
(1) 不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立 或
(2) 不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立 或
(3) 分离参数,将不等式恒成立问题转化为求最值问题.
变式 “不等式x2-2x+a>0在x∈R上恒成立”的一个必要不充分条件是( B )
A. a>1 B. a>0
C. a<1 D. a<0
【解析】因为不等式x2-2x+a>0在x∈R上恒成立,所以Δ=4-4a<0,即a>1.而a>1可以推出a>0,a>0不能推出a>1,所以“不等式x2-2x+a>0在x∈R上恒成立”的一个必要不充分条件是a>0.
探究3 一元二次不等式的实际应用
(课本P53例4)一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(单位:辆)与创造的价值y(单位:元)之间有如下的关系:y=-20x2+
2 200x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上,则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?
【解答】设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车,根据题意,得-20x2+2 200x>60 000,整理得x2-110x+3 000<0.对于方程x2-110x+3 000=0,Δ=100>0,方程有两个实数根x1=50,x2=60.画出二次函数y=x2-110x+3 000的图象如图所示,结合图象得不等式x2-110x+3 000<0的解集为{x|50
(例3答)
一元二次不等式实际应用问题的解题方法
(1) 根据题意列出相应的一元二次函数;
(2) 由题意列出相应的一元二次不等式;
(3) 求出解集;
(4) 结合实际情况写出最终结果.
变式 某旅店有200张床位,若每张床位一晚上的租金为50元,则可全部租出;若将出租收费标准每晚提高10x元(x为正整数),则租出的床位会相应减少10x张.若要使该旅店某晚的收入超过12 600元,则每张床位的出租价格可定在什么范围内?
【解答】设该旅店某晚的收入为y元,则y=(50+10x)(200-10x),x∈N*.当y>12 600时,(50+10x)(200-10x)>12 600,即10 000+1 500x-100x2>12 600,即x2-15x+26<0,解得2
随堂内化及时评价
1. 不等式≥2的解集为__{x|x<-3或x≥8}__.
2. 若命题“ x∈R,使得ax2+ax-4≥0”是假命题,则实数a的取值范围为__{a|-16<
a≤0}__.
【解析】因为命题“ x∈R,使得ax2+ax-4≥0”是假命题,所以“ x∈R,ax2+ax-4<0”是真命题.当a=0时,有-4<0,符合;当a≠0时,则有解得-16
若关于x的不等式mx2-mx-2≤0恒成立,则实数m的取值范围是__{m|-8≤m≤
0}__.
【解析】关于x的不等式mx2-mx-2≤0恒成立,①当m=0时,不等式为-2≤0,恒成立,符合题意;②当m≠0时,解得-8≤m<0.综上所述,实数m的取值范围为{m|-8≤m≤0}.
4. 某商品在最近30天内的价格y1(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系是y1=t+10(0<t≤30,t∈N);销售量y2(单位:件)与时间t(单位:天)的函数关系是y2=-t+35(0<t≤30,t∈N),则使这种商品日销售金额不小于500元的t的取值范围是__{t|10≤t≤15,t∈N}__.
【解析】依题意有(t+10)(-t+35)≥500,解得10≤t≤15,t∈N,故t的取值范围为{t|10≤t≤15,t∈N}.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是( A )
A. {a|-4≤a≤4} B. {a|-4
C. {a|a≤-4或a≥4} D. {a|a<-4或a>4}
【解析】由题意知Δ=a2-16≤0,所以-4≤a≤4.
2. (2025·唐山期末)已知x∈R,若p:≥2,q:|1-x|≤x,则p是q的( B )
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
【解析】由≥2得≥0,解得
3. 某公园内有一块长为800 m,宽为600 m的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪.若要求草坪的面积不小于总面积的一半,则花卉带宽度x的取值范围是( A )
A. {x|0
C. {x|100≤x≤600} D. {x|600≤x≤800}
4. (2025·益阳期末)若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|-1
A. 有最小值 B. 有最小值
C. 有最小值3 D. 无最小值
【解析】因为关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|-1
0,所以b=-a,c=-2a,则==+≥2=,当且仅当=,即a=时等号成立.
二、 多项选择题
5. 某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示),则下列说法正确的是( ABD )
(第5题)
A. 二次函数的表达式为y=-x2+12x-25
B. 营运的年平均最大利润为20万元
C. 营运的年平均最大利润为2万元
D. 若要使其营运的年平均利润最大,则每辆客车需营运5年
【解析】设二次函数为y=a(x-6)2+11.因为图象过点(4,7),代入得7=a(4-6)2+11,解得a=-1,所以y=-x2+12x-25.由-x2+12x-25=0,解得x=6±,所以y=-x2+12x-25(6-≤x≤6+,x∈N*),故A正确;设年平均利润为m,则m==-x-+12≤2,因为总利润y的单位为10万元,所以营运的年平均最大利润为20万元,故B正确,C错误;m==-x-+12≤2,当且仅当x=,即x=5时取等号,故D正确.
6. 汽车在行驶中由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,这段距离称为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要指标.在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m,又知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位:m)与车速x(单位:km/h)分别有如下关系式:s1=0.1v+0.01v2,s2=0.05v+0.005v2.则下列判断正确的是( BC )
A. 甲车超速 B. 乙车超速
C. 甲车不超速 D. 乙车不超速
【解析】由题意可得s1=0.1v+0.01v2>12 v2+10v-1 200>0 v>30或v<-40(舍去),即v>30.当v=40时,s1=0.1×40+0.01×1 600=20>12,显然甲车没有超速现象.因为s2=0.05v+0.005v2>10 v2+10v-2 000>0 v>40或v<-50(舍去),即v>40,因此乙车有超速现象.
三、 填空题
7. 若关于x的不等式>0的解集为{x|x<-1或x>4},则实数a=__4__.
8. 在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则图中矩形花园的其中一边的边长x(单位:m)的取值范围是__{x|10≤x≤30}__.
(第8题)
【解析】如图,过点A作AH⊥BC于H,交DE于F,易知=,即=,则AF=x,FH=40-x,所以矩形花园的面积S=x(40-x)≥300,解得10≤x≤30.
(第8题答)
四、 解答题
9. (1) 解不等式>1;
【解答】>1即为>0,即(x-2)·(2x-3)<0,解得
(2) 若不等式x2-2x-1>a的解集为R,求实数a的取值范围.
【解答】因为不等式x2-2x-1>a的解集为R,所以x2-2x-1-a>0的解集为R,故Δ=4+4+4a<0,解得a<-2,故实数a的取值范围是{a|a<-2}.
10. 某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为 1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0
(1) 写出本年度预计的年利润y与每辆车投入成本增加的比例x的关系式;
【解答】由题意得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1 000×(1+0.6x)(0
(2) 为使本年度的利润比上年度有所增加,问:每辆车投入成本增加的比例x应在什么范围内?
【解答】要使本年度的利润比上年度有所增加,则即解得0
11. (2025·广东大湾区期末)已知二次函数y=(ax-1)(x-a).甲同学:y>0的解集为x
};乙同学:y<0的解集为x
};丙同学:y=(ax-1)(x-a)的对称轴在y轴右侧.在这三个同学的论述中,只有一个假命题,则实数a的取值范围为( C )
A. {a|a<-1} B. {a|-1
C. {a|0
1}
【解析】若y>0的解集为x
},则解得0
},则解得a≤-1;若y=(ax-1)(x-a)的对称轴在y轴右侧,则>0,即a+=>0,解得a>0.又这三个同学的论述中,只有一个假命题,故乙同学的论述为假命题.综上,0
12. 已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+2m-1=0的两个不相等的实数根,且满足x+x=18,则实数m的值是( A )
A. -3 B. 5
C. -5或3 D. 5或-3
【解析】因为x1,x2是关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+2m-1=0的两个不相等的实数根,所以x1+x2=m+1,x1x2=2m-1,所以x+x=(x1+x2)2-2x1x2=(m+1)2-2(2m-1)=m2-2m+3=18,解得m=5或m=-3.当m=5时,方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根,不满足题意,故舍去;当m=-3时,满足题意.
13. (多选)为配制一种药液,进行了两次稀释,先在体积为V的桶中盛满纯药液,第一次将桶中药液倒出5升后用水补满,搅拌均匀,第二次倒出3升后用水补满,若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75%,则V的可能取值为( CD )
A. 4 B. 40
C. 8 D. 28
【解析】第一次稀释后,药液浓度为,第二次稀释后,药液浓度为=,依题意得≤75%,即V2-32V+60≤0,解得2≤V≤30.又V-5≥0,即V≥5,所以5≤V≤30.
14. 已知命题A:x1,x2是方程x2-ax-2=0的两个实根,不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数-1≤a≤1恒成立;命题B:不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解.若A和B均为真命题,则实数m的取值范围为____.
【解析】因为x1,x2是方程x2-ax-2=0的两个实根,所以x1+x2=a,x1x2=-2,所以|x1-x2|==.因为-1≤a≤1,所以2≤|x1-x2|≤3.因为不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数-1<a≤1恒成立,所以|m2-5m-3|≥3,所以m2-5m-3≥3或m2-5m-3≤-3,即m2-5m-6≥0或m2-5m≤0,解得m≤-1或m≥6或0≤m≤5,所以命题A:m≤-1或m≥6或0≤m≤5.令y=|x-2m|-|x|(m>0),则y=|x-2m|-|x|=结合函数的性质可知,该函数的最大值为2m.由不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解,可得2m>1,解得m>,所以命题B:m>.因为A和B均为真命题,所以所以<m≤5或m≥6.(共44张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第2课时 一元二次方程和一元二次不等式的应用
学习 目标 1. 了解从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的实际意义.
2. 能够构建一元二次函数模型,解决实际问题,会解简单的分式不等式.
典例精讲 能力初成
探究
解下列不等式:
1
分式不等式和高次不等式的解法
1-1
简单分式不等式的解法:
变式
C
(1) 不等式(x-3)(x+1)(x+2)>0的解集为_______________________.
【解析】令每个括号为0得到三个零点-2,-1,3,如图,利用数轴穿根法画出图象解得-2
3.
1-2
{x|-2
3}
【解析】如图,使用数轴穿根法得不等式的解集为{x|x≤-3或x=1或x≥2}.
(2) 不等式(x+3)(x-1)2(x-2)3≥0的解集为_________________________.
{x|x≤-3或x=1或x≥2}
(1) 先将x的最高次项的系数变为正数;
(2) 将相应方程的根逐一标在数轴上;
(3) 从右往左、从上到下依次穿线,穿线时“奇过偶不过”;
(4) “>0”取x轴上方的图象所对应的区域,“<0”取x轴下方的图象所对应的区域.
探究
2
一元二次不等式恒成立问题
2
A
(2) 当-2≤x≤2时,不等式x2-mx+1>0恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A. {m|-2
C. {m|-2≤m≤2} D. {m|m>2}
A
【解析】因为不等式x2-2x+a>0在x∈R上恒成立,所以Δ=4-4a<0,即a>1.而a>1可以推出a>0,a>0不能推出a>1,所以“不等式x2-2x+a>0在x∈R上恒成立”的一个必要不充分条件是a>0.
变式
B
“不等式x2-2x+a>0在x∈R上恒成立”的一个必要不充分条件是
( )
A. a>1 B. a>0
C. a<1 D. a<0
探究
(课本P53例4)一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(单位:辆)与创造的价值y(单位:元)之间有如下的关系:
y=-20x2+2 200x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上,则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?
3
一元二次不等式的实际应用
3
【解答】设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车,根据题意,得-20x2+2 200x>60 000,整理得x2-110x+3 000<0.对于方程x2-110x+
3 000=0,Δ=100>0,方程有两个实数根x1=50,x2=60.
画出二次函数y=x2-110x+3 000的图象如图所示,结合图象得不等式x2-110x+
3 000<0的解集为{x|50
一元二次不等式实际应用问题的解题方法
(1) 根据题意列出相应的一元二次函数;
(2) 由题意列出相应的一元二次不等式;
(3) 求出解集;
(4) 结合实际情况写出最终结果.
【解答】设该旅店某晚的收入为y元,则y=(50+10x)(200-10x),x∈N*.当y>12 600时,(50+10x)(200-10x)>12 600,即10 000+1 500x-100x2>12 600,即x2-15x+26<0,解得2
(不包括70元和180元).
某旅店有200张床位,若每张床位一晚上的租金为50元,则可全部租出;若将出租收费标准每晚提高10x元(x为正整数),则租出的床位会相应减少10x张.若要使该旅店某晚的收入超过12 600元,则每张床位的出租价格可定在什么范围内?
变式
随堂内化 及时评价
{x|x<-3或x≥8}
2. 若命题“ x∈R,使得ax2+ax-4≥0”是假命题,则实数a的取值范围为______________.
{a|-16
3. 若关于x的不等式mx2-mx-2≤0恒成立,则实数m的取值范围是______________.
{m|-8≤m≤0}
4. 某商品在最近30天内的价格y1(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系是y1=t+10(0<t≤30,t∈N);销售量y2(单位:件)与时间t(单位:天)的函数关系是y2=-t+35(0<t≤30,t∈N),则使这种商品日销售金额不小于500元的t的取值范围是___________________.
【解析】依题意有(t+10)(-t+35)≥500,解得10≤t≤15,t∈N,故t的取值范围为{t|10≤t≤15,t∈N}.
{t|10≤t≤15,t∈N}
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是 ( )
A. {a|-4≤a≤4} B. {a|-4
C. {a|a≤-4或a≥4} D. {a|a<-4或a>4}
A
【解析】由题意知Δ=a2-16≤0,所以-4≤a≤4.
B
3. 某公园内有一块长为800 m,宽为600 m的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪.若要求草坪的面积不小于总面积的一半,则花卉带宽度x的取值范围是 ( )
A. {x|0
C. {x|100≤x≤600} D. {x|600≤x≤800}
A
B
二、 多项选择题
5. 某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示),则下列说法正确的是 ( )
A. 二次函数的表达式为y=-x2+12x-25
B. 营运的年平均最大利润为20万元
C. 营运的年平均最大利润为2万元
D. 若要使其营运的年平均利润最大,则每辆客车需营运5年
【答案】ABD
6. 汽车在行驶中由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,这段距离称为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要指标.在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m,又知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位:m)与车速x(单位:km/h)分别有如下关系式:s1=0.1v+0.01v2,s2=0.05v+0.005v2.则下列判断正确的是 ( )
A. 甲车超速 B. 乙车超速
C. 甲车不超速 D. 乙车不超速
【解析】由题意可得s1=0.1v+0.01v2>12 v2+10v-1 200>0 v>30或v<-40(舍去),即v>30.当v=40时,s1=0.1×40+0.01×1 600=20>12,显然甲车没有超速现象.因为s2=0.05v+0.005v2>10 v2+10v-2 000>0 v>40或v<-50(舍去),即v>40,因此乙车有超速现象.
【答案】BC
4
8. 在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则图中矩形花园的其中一边的边长x(单位:m)的取值范围是___________________.
{x|10≤x≤30}
(2) 若不等式x2-2x-1>a的解集为R,求实数a的取值范围.
【解答】因为不等式x2-2x-1>a的解集为R,所以x2-2x-1-a>0的解集为R,故Δ=4+4+4a<0,解得a<-2,故实数a的取值范围是{a|a<-2}.
10. 某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为 1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0
(1) 写出本年度预计的年利润y与每辆车投入成本增加的比例x的关系式;
【解答】由题意得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1 000×(1+0.6x)(0
10. 某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为 1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0
(2) 为使本年度的利润比上年度有所增加,问:每辆车投入成本增加的比例x应在什么范围内?
【答案】C
12. 已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+2m-1=0的两个不相等的实数根,且满足x+x=18,则实数m的值是 ( )
A. -3 B. 5
C. -5或3 D. 5或-3
A
13. (多选)为配制一种药液,进行了两次稀释,先在体积为V的桶中盛满纯药液,第一次将桶中药液倒出5升后用水补满,搅拌均匀,第二次倒出3升后用水补满,若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75%,则V的可能取值为 ( )
A. 4 B. 40 C. 8 D. 28
CD
14. 已知命题A:x1,x2是方程x2-ax-2=0的两个实根,不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数-1≤a≤1恒成立;命题B:不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解.若A和B均为真命题,则实数m的取值范围为_____.
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同课章节目录
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.2 集合间的基本关系
1.3 集合的基本运算
1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词与存在量词
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
2.2 基本不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第三章 函数概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
3.3 幂函数
3.4 函数的应用(一)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.2 指数函数
4.3 对数
4.4 对数函数
4.5 函数的应用(二)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.2 三角函数的概念
5.3 诱导公式
5.4 三角函数的图象与性质
5.5 三角恒等变换
5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)
5.7 三角函数的应用
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