第二章 微专题1 恒成立与存在性问题(课件 讲义)高中数学 人教A版(2019)必修 第一册

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名称 第二章 微专题1 恒成立与存在性问题(课件 讲义)高中数学 人教A版(2019)必修 第一册
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-10-13 14:01:59

文档简介

微专题1 恒成立与存在性问题
典例剖析素养初现
拓展1 恒成立问题
视角1 一元二次不等式在R上恒成立
例1-1 (1) 若 x∈R,不等式(m2-4)x2-(m-2)x+>0恒成立,则实数m的取值范围为 .
(2) 若关于x的不等式mx2+2(m+1)x+9m+4<0的解集为R,则实数m的取值范围是 .
视角2 一元二次不等式在指定范围内恒成立
例1-2 若不等式x2-ax+1≥0在0<x≤2时恒成立,则实数a的最大值为(   )
A. 0  B. 2
C.   D. 3
变式 已知当x>0时,不等式x2-mx+16>0恒成立,则实数m的取值范围是(   )
A. {m|m≤8}  B. {m|m<8}
C. {m|m≥6}  D. {m|m>6}
视角3 给定参数范围的恒成立
例1-3 若不等式x2+px>4x+p-3在0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是 .
(1) 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.
(2) 对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方;恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.
变式 设函数y=mx2-mx-1.
(1) 若对于-1≤x≤1,y<-m+5恒成立,求m的取值范围;
(2) 若对于-2≤m≤2,y<-m+5恒成立,求x的取值范围.
拓展2 存在性问题
视角1 一元二次不等式在R上有解
例2-1 若存在实数x,使得mx2-(m-2)x+m<0成立,则m的取值范围为 .
视角2 一元二次不等式在某区间上有解
例2-2 若存在0A. a<}  B. 0≤a≤}
C. a>}  D. a>}
转化为函数(式子)的最值解决能成立问题:
(1) a>M能成立 a>Mmin;
(2) a随堂内化及时评价
1. (多选)下列不等式恒成立的是(   )
A. x2+2x+5>0  B. x2+6x+10>0
C. -x2+x-2<0  D. 2x2-3x-3<0
2. 当1≤x≤3时,关于x的不等式ax2+x-1<0恒成立,则a的取值范围是(   )
A. {a|a<0}  B. a<-}
C. a>-}  D. a>-}
3. 若 x∈{x|x>1},不等式2x+m+>0恒成立,则实数m的取值范围是(   )
A. {m|m<-8}  B. {m|m>-8}
C. {m|m<-6}  D. {m|m>-6}
4. 若存在0≤x≤3,使得不等式x2-4x-a≥0成立,则实数a的取值范围为(   )
A. {a|a≤-3}  B. {a|a≤0}
C. {a|-3≤a≤0}  D. {a|0≤a≤3}
5. 在R上定义运算⊙:x⊙y=x(2-y),若不等式(x+m)⊙2x<1对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围是 .
配套新练案
一、 单项选择题
1. 不等式x2-x+m>0在R上恒成立的充要条件是(   )
A. m>  B. m<
C. m<1  D. m>1
2. 已知关于x的不等式ax2-2x+4a<0在0A.   B.
C. {a|a<2}  D. {a|a>2}
3. 若不等式x2-tx+1<0对一切1A. {t|t<2}  B. t>}
C. {t|t≥1}  D. t≥}
4. (2025·郑州期末)设正数a,b满足+=1,若不等式a+2b≥-x2+4x+9-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是(   )
A. {m|m≤4}  B. {m|m≥4}
C. {m|m≤6}  D. {m|m≥2}
二、 多项选择题
5. 若对于任意的x∈{x|0≤x≤2},不等式x2-2x+a>0恒成立,则a的取值可以为(  )
A. -1  B. 0
C. 2  D. 3
6. 若正实数x,y满足x+y=1,且不等式+A. -3  B. 3
C. 4  D. 5
三、 填空题
7. 已知命题“ x>0,λx2-λx+2<0”为真命题,则实数λ的取值范围为 .
8. 若对任意的x∈{x|1≤x≤3},x2-ax+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是 .
四、 解答题
9. 设函数y=ax2-(2a+3)x+6,a∈R.
(1) 若y+2>0恒成立,求实数a的取值范围;
(2) 当a=1时, t>-2,关于x的不等式y≤-3x+3+m在-2≤x≤t范围内有解,求实数m的取值范围.
10. 已知不等式x2+px>4x+p-4.
(1) 若不等式在2≤x≤4时有解,求实数p的取值范围;
(2) 若不等式在0≤p≤6时恒成立,求实数x的取值范围.
11. 若<0(m≠0)对一切x≥4恒成立,则实数m的取值范围是(   )
A. {m|m<3}  B. m<-}
C. {m|m>2}  D. {m|-212. 若不等式<3对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是 .微专题1 恒成立与存在性问题
典例剖析素养初现
拓展1 恒成立问题
视角1 一元二次不等式在R上恒成立
例1-1 (1) 若 x∈R,不等式(m2-4)x2-(m-2)x+>0恒成立,则实数m的取值范围为__{m|2≤m<6}__.
【解析】当m2-4=0,即m=2(m=-2舍去)时,不等式为>0,恒成立;当m2-4>0,即m>2或m<-2时,Δ=[-(m-2)]2-4×(m2-4)×<0,解得2<m<6.综上,实数m的取值范围为{m|2≤m<6}.
(2) 若关于x的不等式mx2+2(m+1)x+9m+4<0的解集为R,则实数m的取值范围是____.
【解析】当m=0时,显然不符合题意;当m≠0时,则解得m<-.综上,实数m的取值范围为.
视角2 一元二次不等式在指定范围内恒成立
例1-2 若不等式x2-ax+1≥0在0<x≤2时恒成立,则实数a的最大值为( B )
A. 0  B. 2
C.   D. 3
【解析】不等式x2-ax+1≥0在0<x≤2时恒成立,即a≤恒成立.因为=x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时取等号,所以a≤2,则实数a的最大值为2.
变式 已知当x>0时,不等式x2-mx+16>0恒成立,则实数m的取值范围是( B )
A. {m|m≤8}  B. {m|m<8}
C. {m|m≥6}  D. {m|m>6}
【解析】当x>0时,不等式x2-mx+16>0恒成立,即当x>0时,不等式m视角3 给定参数范围的恒成立
例1-3 若不等式x2+px>4x+p-3在0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是__{x|x<
-1或x>3}__.
【解析】不等式可化为(x-1)p+x2-4x+3>0,当0≤p≤4时恒成立,则即解得x<-1或x>3.
(1) 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.
(2) 对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方;恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.
变式 设函数y=mx2-mx-1.
(1) 若对于-1≤x≤1,y<-m+5恒成立,求m的取值范围;
【解答】由题意得,y<-m+5在-1≤x≤1时恒成立,即m(x2-x+1)<6在-1≤x≤1时恒成立.因为x2-x+1=+≥对一切实数恒成立,所以m<在-1≤x≤1时恒成立.由函数y=x2-x+1的图象知ymax=1+1+1=3,所以在-1≤x≤1时的最小值为2,所以m<2,故m的取值范围为{m|m<2}.
(2) 若对于-2≤m≤2,y<-m+5恒成立,求x的取值范围.
【解答】因为mx2-mx-1<-m+5对于-2≤m≤2恒成立,所以m(x2-x+1)-6<0对于-2≤m≤2恒成立,所以解得-1-1拓展2 存在性问题
视角1 一元二次不等式在R上有解
例2-1 若存在实数x,使得mx2-(m-2)x+m<0成立,则m的取值范围为__m<}__.
【解析】当m=0时,不等式化为2x<0,解得x<0,符合题意;当m>0时,y=mx2-(m-2)x+m为开口向上的二次函数,只需Δ=(m-2)2-4m2=-3m2-4m+4>0,解得0视角2 一元二次不等式在某区间上有解
例2-2 若存在0A. a<}  B. 0≤a≤}
C. a>}  D. a>}
【解析】当0转化为函数(式子)的最值解决能成立问题:
(1) a>M能成立 a>Mmin;
(2) a随堂内化及时评价
1. (多选)下列不等式恒成立的是( BC )
A. x2+2x+5>0  B. x2+6x+10>0
C. -x2+x-2<0  D. 2x2-3x-3<0
2. 当1≤x≤3时,关于x的不等式ax2+x-1<0恒成立,则a的取值范围是( B )
A. {a|a<0}  B. a<-}
C. a>-}  D. a>-}
【解析】由题意可得a<-对x∈{x|1≤x≤3}恒成立.令y=-=-,则当x=2时,ymin=-,所以a<-.
3. 若 x∈{x|x>1},不等式2x+m+>0恒成立,则实数m的取值范围是( D )
A. {m|m<-8}  B. {m|m>-8}
C. {m|m<-6}  D. {m|m>-6}
【解析】由题知m>-2x在x>1时恒成立,又y=-2x=+2-2x-2=
-2,x-1>0,所以由基本不等式可得x-1++1≥2+1=3,当且仅当x=2时等号成立,所以y=-2≤-6,故m>-6.
4. 若存在0≤x≤3,使得不等式x2-4x-a≥0成立,则实数a的取值范围为( B )
A. {a|a≤-3}  B. {a|a≤0}
C. {a|-3≤a≤0}  D. {a|0≤a≤3}
【解析】存在0≤x≤3,使得不等式x2-4x-a≥0成立,等价于a≤(x2-4x)max.令y=x2-4x,0≤x≤3,当x=0时,ymax=0,所以a≤0.
5. 在R上定义运算⊙:x⊙y=x(2-y),若不等式(x+m)⊙2x<1对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围是__{m|--1<m<-1}__.
【解析】由题意可得(x+m)⊙2x=(x+m)(2-2x)<1,变形整理得2x2+2(m-1)x+(1-2m)>0.因为对任意的实数x不等式恒成立,所以其对应的一元二次方程2x2+2(m-1)x+(1-2m)=0的根的判别式Δ=4(m-1)2-8(1-2m)<0,解得--1<m<-1.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 不等式x2-x+m>0在R上恒成立的充要条件是( A )
A. m>  B. m<
C. m<1  D. m>1
2. 已知关于x的不等式ax2-2x+4a<0在0A.   B.
C. {a|a<2}  D. {a|a>2}
3. 若不等式x2-tx+1<0对一切1A. {t|t<2}  B. t>}
C. {t|t≥1}  D. t≥}
【解析】因为不等式x2-tx+1<0对一切1=x+对一切14. (2025·郑州期末)设正数a,b满足+=1,若不等式a+2b≥-x2+4x+9-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是( B )
A. {m|m≤4}  B. {m|m≥4}
C. {m|m≤6}  D. {m|m≥2}
【解析】因为+=1,故a+2b=(a+2b)=5++≥9,当且仅当a=b=3时等号成立,所以a+2b的最小值为9,故-x2+4x+9-m≤9在R上恒成立,即x2-4x+m≥0在R上恒成立,所以Δ=16-4m≤0,即m≥4.
二、 多项选择题
5. 若对于任意的x∈{x|0≤x≤2},不等式x2-2x+a>0恒成立,则a的取值可以为( CD )
A. -1  B. 0
C. 2  D. 3
【解析】不等式x2-2x+a>0转化为a>-x2+2x,设y=-x2+2x=-(x-1)2+1,0≤x≤2,当x=1时,y取得最大值为ymax=1,所以a>1.
6. 若正实数x,y满足x+y=1,且不等式+A. -3  B. 3
C. 4  D. 5
【解析】因为正实数x,y满足x+y=1,则(x+1)+y=2,即[(x+1)+y]=1,所以+=[(x+1)+y]·=≥=,当且仅当即时等号成立,即+的最小值为.因为不等式+<m2+m有解,则m2+m>,即2m2+3m-9>0,即(2m-3)(m+3)>0,解得m<-3或m>.
三、 填空题
7. 已知命题“ x>0,λx2-λx+2<0”为真命题,则实数λ的取值范围为__{λ|λ<0或λ>8}__.
【解析】由题意得,当λ=0时,2>0,不符合题意;当λ>0时,y=λx2-λx+2的对称轴为x=,所以只需Δ=λ2-8λ>0,解得λ>8;当λ<0时,显然满足题意.综上,实数λ的取值范围为{λ|λ<0或λ>8}.
8. 若对任意的x∈{x|1≤x≤3},x2-ax+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是__{a|a≤2}__.
【解析】令y=x2-ax+1,当≤1,即a≤2时,y=x2-ax+1在x∈{x|1≤x≤3}上单调递增,ymin=2-a≥0,解得a≤2.当1<<3,即2<a<6时,ymin=1-≥0,解得-2≤a≤2,故无解.当≥3,即a≥6时,y=x2-ax+1在x∈{x|1≤x≤3}上单调递减,ymin=10-3a≥0,解得a≤,故无解.综上,a≤2.
四、 解答题
9. 设函数y=ax2-(2a+3)x+6,a∈R.
(1) 若y+2>0恒成立,求实数a的取值范围;
【解答】y+2>0恒成立,即ax2-(2a+3)x+8>0恒成立.当a=0时,-3x+8>0,解得x<,舍去;当a≠0时,解得(2) 当a=1时, t>-2,关于x的不等式y≤-3x+3+m在-2≤x≤t范围内有解,求实数m的取值范围.
【解答】当a=1时, t>-2,关于x的不等式y≤-3x+3+m在-2≤x≤t范围内有解,则-2是x2-2x+3-m≤0的解,因为抛物线y=x2-2x+3开口向上,对称轴为x=1,所以11-m≤0,解得m≥11,所以m的取值范围为{m|m≥11}.
10. 已知不等式x2+px>4x+p-4.
(1) 若不等式在2≤x≤4时有解,求实数p的取值范围;
【解答】不等式x2+px>4x+p-4可化为x2+(p-4)·x+4-p>0 ①,设y=x2+(p-4)x+4-p,当不等式①在2≤x≤4时有解时,即存在2≤x≤4,使得y>0,所以当x=2时,y>0或当x=4时,y>0成立,即4+2(p-4)+4-p>0或16+4(p-4)+4-p>0,解得p>0或p>-,所以实数p的取值范围是p>-}.
(2) 若不等式在0≤p≤6时恒成立,求实数x的取值范围.
【解答】不等式x2+px>4x+p-4化为p(x-1)+(x2-4x+4)>0 ②,设g=p(x-1)+(x2-4x+4),因为当0≤p≤6时不等式②恒成立,即当p=0时,g>0且当p=6时,g>0,所以x2-4x+4>0且6(x-1)+(x2-4x+4)>0,解得x<-1-或-1+2.所以实数x的取值范围是{x|x<-1-或-1+2}.
11. 若<0(m≠0)对一切x≥4恒成立,则实数m的取值范围是( B )
A. {m|m<3}  B. m<-}
C. {m|m>2}  D. {m|-2【解析】因为不等式<0等价于(m2x-1)(mx+1)<0(m≠0),令(m2x-1)(mx+1)=0,解得x=或x=-(m≠0).①当m>0时,-<,所以不等式(m2x-1)(mx+1)<0的解集为-0不符合题意;②当m≤-1时,≤-,所以不等式(m2x-1)(mx+1)<0的解集为x<或x>-},又因为原不等式对一切x≥4恒成立,所以解得m≤-1;③当-1-,所以不等式(m2x-1)(mx+1)<0的解集为x<-或x>},又因为原不等式对一切x≥4恒成立,所以解得-112. 若不等式<3对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是__{a|3-2【解析】x2-x+1=+>0,所以<3恒成立等价于2-ax+x2<3(1-x+x2)恒成立,即不等式2x2+(a-3)x+1>0恒成立,所以Δ=(a-3)2-4×2×1<0,解得3-2第二章 一元二次函数、方程和不等式
微专题1 恒成立与存在性问题
典例剖析 素养初现
恒成立问题
拓展
1
1-1
{m|2≤m<6}
(2) 若关于x的不等式mx2+2(m+1)x+9m+4<0的解集为R,则实数m的取值范围是
____________.
视角2 一元二次不等式在指定范围内恒成立
     若不等式x2-ax+1≥0在0<x≤2时恒成立,则实数a的最大值为
(  )
B
1-2
变式 
B
    已知当x>0时,不等式x2-mx+16>0恒成立,则实数m的取值范围是
(  )
A. {m|m≤8}  B. {m|m<8}
C. {m|m≥6}  D. {m|m>6}
视角3 给定参数范围的恒成立
     若不等式x2+px>4x+p-3在0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是______________________.
1-3
{x|x<-1或x>3}
(1) 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.
(2) 对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方;恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.
变式 
    设函数y=mx2-mx-1.
(1) 若对于-1≤x≤1,y<-m+5恒成立,求m的取值范围;
设函数y=mx2-mx-1.
(2) 若对于-2≤m≤2,y<-m+5恒成立,求x的取值范围.
视角1 一元二次不等式在R上有解
     若存在实数x,使得mx2-(m-2)x+m<0成立,则m的取值范围为____________.
存在性问题
拓展
2
2-1
视角2 一元二次不等式在某区间上有解
     若存在0(  )
A
2-2
转化为函数(式子)的最值解决能成立问题:
(1) a>M能成立 a>Mmin;
(2) a随堂内化 及时评价
BC
2. 当1≤x≤3时,关于x的不等式ax2+x-1<0恒成立,则a的取值范围是
(  )
B
D
4. 若存在0≤x≤3,使得不等式x2-4x-a≥0成立,则实数a的取值范围为(  )
A. {a|a≤-3}  B. {a|a≤0}
C. {a|-3≤a≤0}  D. {a|0≤a≤3}
B
【解析】存在0≤x≤3,使得不等式x2-4x-a≥0成立,等价于a≤(x2-4x)max.令y=x2-4x,0≤x≤3,当x=0时,ymax=0,所以a≤0.
5. 在R上定义运算⊙:x⊙y=x(2-y),若不等式(x+m)⊙2x<1对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围是___________________________.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 不等式x2-x+m>0在R上恒成立的充要条件是 (  )
A
2. 已知关于x的不等式ax2-2x+4a<0在0(  )
A
3. 若不等式x2-tx+1<0对一切1D
B
二、 多项选择题
5. 若对于任意的x∈{x|0≤x≤2},不等式x2-2x+a>0恒成立,则a的取值可以为
(  )
A. -1  B. 0
C. 2  D. 3
CD
【解析】不等式x2-2x+a>0转化为a>-x2+2x,设y=-x2+2x=-(x-1)2+1,0≤x≤2,当x=1时,y取得最大值为ymax=1,所以a>1.
【答案】BCD
三、 填空题
7. 已知命题“ x>0,λx2-λx+2<0”为真命题,则实数λ的取值范围为______________.
{λ|λ<0或λ>8}
8. 若对任意的x∈{x|1≤x≤3},x2-ax+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是______________.
{a|a≤2}
四、 解答题
9. 设函数y=ax2-(2a+3)x+6,a∈R.
(1) 若y+2>0恒成立,求实数a的取值范围;
9. 设函数y=ax2-(2a+3)x+6,a∈R.
(2) 当a=1时, t>-2,关于x的不等式y≤-3x+3+m在-2≤x≤t范围内有解,求实数m的取值范围.
【解答】当a=1时, t>-2,关于x的不等式y≤-3x+3+m在-2≤x≤t范围内有解,则-2是x2-2x+3-m≤0的解,因为抛物线y=x2-2x+3开口向上,对称轴为x=1,所以11-m≤0,解得m≥11,所以m的取值范围为{m|m≥11}.
10. 已知不等式x2+px>4x+p-4.
(1) 若不等式在2≤x≤4时有解,求实数p的取值范围;
10. 已知不等式x2+px>4x+p-4.
(2) 若不等式在0≤p≤6时恒成立,求实数x的取值范围.
【答案】B