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资源详情
高中数学
人教A版(2019)
必修 第一册
第二章 一元二次函数、方程和不等式
本章复习与测试
第二章 微专题1 恒成立与存在性问题(课件 讲义)高中数学 人教A版(2019)必修 第一册
文档属性
名称
第二章 微专题1 恒成立与存在性问题(课件 讲义)高中数学 人教A版(2019)必修 第一册
格式
zip
文件大小
1.3MB
资源类型
教案
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2025-10-13 14:01:59
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文档简介
微专题1 恒成立与存在性问题
典例剖析素养初现
拓展1 恒成立问题
视角1 一元二次不等式在R上恒成立
例1-1 (1) 若 x∈R,不等式(m2-4)x2-(m-2)x+>0恒成立,则实数m的取值范围为 .
(2) 若关于x的不等式mx2+2(m+1)x+9m+4<0的解集为R,则实数m的取值范围是 .
视角2 一元二次不等式在指定范围内恒成立
例1-2 若不等式x2-ax+1≥0在0<x≤2时恒成立,则实数a的最大值为( )
A. 0 B. 2
C. D. 3
变式 已知当x>0时,不等式x2-mx+16>0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A. {m|m≤8} B. {m|m<8}
C. {m|m≥6} D. {m|m>6}
视角3 给定参数范围的恒成立
例1-3 若不等式x2+px>4x+p-3在0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是 .
(1) 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.
(2) 对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方;恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.
变式 设函数y=mx2-mx-1.
(1) 若对于-1≤x≤1,y<-m+5恒成立,求m的取值范围;
(2) 若对于-2≤m≤2,y<-m+5恒成立,求x的取值范围.
拓展2 存在性问题
视角1 一元二次不等式在R上有解
例2-1 若存在实数x,使得mx2-(m-2)x+m<0成立,则m的取值范围为 .
视角2 一元二次不等式在某区间上有解
例2-2 若存在0
A. a<} B. 0≤a≤}
C. a>} D. a>}
转化为函数(式子)的最值解决能成立问题:
(1) a>M能成立 a>Mmin;
(2) a
随堂内化及时评价
1. (多选)下列不等式恒成立的是( )
A. x2+2x+5>0 B. x2+6x+10>0
C. -x2+x-2<0 D. 2x2-3x-3<0
2. 当1≤x≤3时,关于x的不等式ax2+x-1<0恒成立,则a的取值范围是( )
A. {a|a<0} B. a<-}
C. a>-} D. a>-}
3. 若 x∈{x|x>1},不等式2x+m+>0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A. {m|m<-8} B. {m|m>-8}
C. {m|m<-6} D. {m|m>-6}
4. 若存在0≤x≤3,使得不等式x2-4x-a≥0成立,则实数a的取值范围为( )
A. {a|a≤-3} B. {a|a≤0}
C. {a|-3≤a≤0} D. {a|0≤a≤3}
5. 在R上定义运算⊙:x⊙y=x(2-y),若不等式(x+m)⊙2x<1对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围是 .
配套新练案
一、 单项选择题
1. 不等式x2-x+m>0在R上恒成立的充要条件是( )
A. m> B. m<
C. m<1 D. m>1
2. 已知关于x的不等式ax2-2x+4a<0在0
A. B.
C. {a|a<2} D. {a|a>2}
3. 若不等式x2-tx+1<0对一切1
A. {t|t<2} B. t>}
C. {t|t≥1} D. t≥}
4. (2025·郑州期末)设正数a,b满足+=1,若不等式a+2b≥-x2+4x+9-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是( )
A. {m|m≤4} B. {m|m≥4}
C. {m|m≤6} D. {m|m≥2}
二、 多项选择题
5. 若对于任意的x∈{x|0≤x≤2},不等式x2-2x+a>0恒成立,则a的取值可以为( )
A. -1 B. 0
C. 2 D. 3
6. 若正实数x,y满足x+y=1,且不等式+
A. -3 B. 3
C. 4 D. 5
三、 填空题
7. 已知命题“ x>0,λx2-λx+2<0”为真命题,则实数λ的取值范围为 .
8. 若对任意的x∈{x|1≤x≤3},x2-ax+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是 .
四、 解答题
9. 设函数y=ax2-(2a+3)x+6,a∈R.
(1) 若y+2>0恒成立,求实数a的取值范围;
(2) 当a=1时, t>-2,关于x的不等式y≤-3x+3+m在-2≤x≤t范围内有解,求实数m的取值范围.
10. 已知不等式x2+px>4x+p-4.
(1) 若不等式在2≤x≤4时有解,求实数p的取值范围;
(2) 若不等式在0≤p≤6时恒成立,求实数x的取值范围.
11. 若<0(m≠0)对一切x≥4恒成立,则实数m的取值范围是( )
A. {m|m<3} B. m<-}
C. {m|m>2} D. {m|-2
12. 若不等式<3对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是 .微专题1 恒成立与存在性问题
典例剖析素养初现
拓展1 恒成立问题
视角1 一元二次不等式在R上恒成立
例1-1 (1) 若 x∈R,不等式(m2-4)x2-(m-2)x+>0恒成立,则实数m的取值范围为__{m|2≤m<6}__.
【解析】当m2-4=0,即m=2(m=-2舍去)时,不等式为>0,恒成立;当m2-4>0,即m>2或m<-2时,Δ=[-(m-2)]2-4×(m2-4)×<0,解得2<m<6.综上,实数m的取值范围为{m|2≤m<6}.
(2) 若关于x的不等式mx2+2(m+1)x+9m+4<0的解集为R,则实数m的取值范围是____.
【解析】当m=0时,显然不符合题意;当m≠0时,则解得m<-.综上,实数m的取值范围为.
视角2 一元二次不等式在指定范围内恒成立
例1-2 若不等式x2-ax+1≥0在0<x≤2时恒成立,则实数a的最大值为( B )
A. 0 B. 2
C. D. 3
【解析】不等式x2-ax+1≥0在0<x≤2时恒成立,即a≤恒成立.因为=x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时取等号,所以a≤2,则实数a的最大值为2.
变式 已知当x>0时,不等式x2-mx+16>0恒成立,则实数m的取值范围是( B )
A. {m|m≤8} B. {m|m<8}
C. {m|m≥6} D. {m|m>6}
【解析】当x>0时,不等式x2-mx+16>0恒成立,即当x>0时,不等式m
视角3 给定参数范围的恒成立
例1-3 若不等式x2+px>4x+p-3在0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是__{x|x<
-1或x>3}__.
【解析】不等式可化为(x-1)p+x2-4x+3>0,当0≤p≤4时恒成立,则即解得x<-1或x>3.
(1) 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.
(2) 对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方;恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.
变式 设函数y=mx2-mx-1.
(1) 若对于-1≤x≤1,y<-m+5恒成立,求m的取值范围;
【解答】由题意得,y<-m+5在-1≤x≤1时恒成立,即m(x2-x+1)<6在-1≤x≤1时恒成立.因为x2-x+1=+≥对一切实数恒成立,所以m<在-1≤x≤1时恒成立.由函数y=x2-x+1的图象知ymax=1+1+1=3,所以在-1≤x≤1时的最小值为2,所以m<2,故m的取值范围为{m|m<2}.
(2) 若对于-2≤m≤2,y<-m+5恒成立,求x的取值范围.
【解答】因为mx2-mx-1<-m+5对于-2≤m≤2恒成立,所以m(x2-x+1)-6<0对于-2≤m≤2恒成立,所以解得-1
-1
拓展2 存在性问题
视角1 一元二次不等式在R上有解
例2-1 若存在实数x,使得mx2-(m-2)x+m<0成立,则m的取值范围为__m<}__.
【解析】当m=0时,不等式化为2x<0,解得x<0,符合题意;当m>0时,y=mx2-(m-2)x+m为开口向上的二次函数,只需Δ=(m-2)2-4m2=-3m2-4m+4>0,解得0
视角2 一元二次不等式在某区间上有解
例2-2 若存在0
A. a<} B. 0≤a≤}
C. a>} D. a>}
【解析】当0
转化为函数(式子)的最值解决能成立问题:
(1) a>M能成立 a>Mmin;
(2) a
随堂内化及时评价
1. (多选)下列不等式恒成立的是( BC )
A. x2+2x+5>0 B. x2+6x+10>0
C. -x2+x-2<0 D. 2x2-3x-3<0
2. 当1≤x≤3时,关于x的不等式ax2+x-1<0恒成立,则a的取值范围是( B )
A. {a|a<0} B. a<-}
C. a>-} D. a>-}
【解析】由题意可得a<-对x∈{x|1≤x≤3}恒成立.令y=-=-,则当x=2时,ymin=-,所以a<-.
3. 若 x∈{x|x>1},不等式2x+m+>0恒成立,则实数m的取值范围是( D )
A. {m|m<-8} B. {m|m>-8}
C. {m|m<-6} D. {m|m>-6}
【解析】由题知m>-2x在x>1时恒成立,又y=-2x=+2-2x-2=
-2,x-1>0,所以由基本不等式可得x-1++1≥2+1=3,当且仅当x=2时等号成立,所以y=-2≤-6,故m>-6.
4. 若存在0≤x≤3,使得不等式x2-4x-a≥0成立,则实数a的取值范围为( B )
A. {a|a≤-3} B. {a|a≤0}
C. {a|-3≤a≤0} D. {a|0≤a≤3}
【解析】存在0≤x≤3,使得不等式x2-4x-a≥0成立,等价于a≤(x2-4x)max.令y=x2-4x,0≤x≤3,当x=0时,ymax=0,所以a≤0.
5. 在R上定义运算⊙:x⊙y=x(2-y),若不等式(x+m)⊙2x<1对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围是__{m|--1<m<-1}__.
【解析】由题意可得(x+m)⊙2x=(x+m)(2-2x)<1,变形整理得2x2+2(m-1)x+(1-2m)>0.因为对任意的实数x不等式恒成立,所以其对应的一元二次方程2x2+2(m-1)x+(1-2m)=0的根的判别式Δ=4(m-1)2-8(1-2m)<0,解得--1<m<-1.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 不等式x2-x+m>0在R上恒成立的充要条件是( A )
A. m> B. m<
C. m<1 D. m>1
2. 已知关于x的不等式ax2-2x+4a<0在0
A. B.
C. {a|a<2} D. {a|a>2}
3. 若不等式x2-tx+1<0对一切1
A. {t|t<2} B. t>}
C. {t|t≥1} D. t≥}
【解析】因为不等式x2-tx+1<0对一切1
=x+对一切1
4. (2025·郑州期末)设正数a,b满足+=1,若不等式a+2b≥-x2+4x+9-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是( B )
A. {m|m≤4} B. {m|m≥4}
C. {m|m≤6} D. {m|m≥2}
【解析】因为+=1,故a+2b=(a+2b)=5++≥9,当且仅当a=b=3时等号成立,所以a+2b的最小值为9,故-x2+4x+9-m≤9在R上恒成立,即x2-4x+m≥0在R上恒成立,所以Δ=16-4m≤0,即m≥4.
二、 多项选择题
5. 若对于任意的x∈{x|0≤x≤2},不等式x2-2x+a>0恒成立,则a的取值可以为( CD )
A. -1 B. 0
C. 2 D. 3
【解析】不等式x2-2x+a>0转化为a>-x2+2x,设y=-x2+2x=-(x-1)2+1,0≤x≤2,当x=1时,y取得最大值为ymax=1,所以a>1.
6. 若正实数x,y满足x+y=1,且不等式+
A. -3 B. 3
C. 4 D. 5
【解析】因为正实数x,y满足x+y=1,则(x+1)+y=2,即[(x+1)+y]=1,所以+=[(x+1)+y]·=≥=,当且仅当即时等号成立,即+的最小值为.因为不等式+<m2+m有解,则m2+m>,即2m2+3m-9>0,即(2m-3)(m+3)>0,解得m<-3或m>.
三、 填空题
7. 已知命题“ x>0,λx2-λx+2<0”为真命题,则实数λ的取值范围为__{λ|λ<0或λ>8}__.
【解析】由题意得,当λ=0时,2>0,不符合题意;当λ>0时,y=λx2-λx+2的对称轴为x=,所以只需Δ=λ2-8λ>0,解得λ>8;当λ<0时,显然满足题意.综上,实数λ的取值范围为{λ|λ<0或λ>8}.
8. 若对任意的x∈{x|1≤x≤3},x2-ax+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是__{a|a≤2}__.
【解析】令y=x2-ax+1,当≤1,即a≤2时,y=x2-ax+1在x∈{x|1≤x≤3}上单调递增,ymin=2-a≥0,解得a≤2.当1<<3,即2<a<6时,ymin=1-≥0,解得-2≤a≤2,故无解.当≥3,即a≥6时,y=x2-ax+1在x∈{x|1≤x≤3}上单调递减,ymin=10-3a≥0,解得a≤,故无解.综上,a≤2.
四、 解答题
9. 设函数y=ax2-(2a+3)x+6,a∈R.
(1) 若y+2>0恒成立,求实数a的取值范围;
【解答】y+2>0恒成立,即ax2-(2a+3)x+8>0恒成立.当a=0时,-3x+8>0,解得x<,舍去;当a≠0时,解得
(2) 当a=1时, t>-2,关于x的不等式y≤-3x+3+m在-2≤x≤t范围内有解,求实数m的取值范围.
【解答】当a=1时, t>-2,关于x的不等式y≤-3x+3+m在-2≤x≤t范围内有解,则-2是x2-2x+3-m≤0的解,因为抛物线y=x2-2x+3开口向上,对称轴为x=1,所以11-m≤0,解得m≥11,所以m的取值范围为{m|m≥11}.
10. 已知不等式x2+px>4x+p-4.
(1) 若不等式在2≤x≤4时有解,求实数p的取值范围;
【解答】不等式x2+px>4x+p-4可化为x2+(p-4)·x+4-p>0 ①,设y=x2+(p-4)x+4-p,当不等式①在2≤x≤4时有解时,即存在2≤x≤4,使得y>0,所以当x=2时,y>0或当x=4时,y>0成立,即4+2(p-4)+4-p>0或16+4(p-4)+4-p>0,解得p>0或p>-,所以实数p的取值范围是p>-}.
(2) 若不等式在0≤p≤6时恒成立,求实数x的取值范围.
【解答】不等式x2+px>4x+p-4化为p(x-1)+(x2-4x+4)>0 ②,设g=p(x-1)+(x2-4x+4),因为当0≤p≤6时不等式②恒成立,即当p=0时,g>0且当p=6时,g>0,所以x2-4x+4>0且6(x-1)+(x2-4x+4)>0,解得x<-1-或-1+
2.所以实数x的取值范围是{x|x<-1-或-1+
2}.
11. 若<0(m≠0)对一切x≥4恒成立,则实数m的取值范围是( B )
A. {m|m<3} B. m<-}
C. {m|m>2} D. {m|-2
【解析】因为不等式<0等价于(m2x-1)(mx+1)<0(m≠0),令(m2x-1)(mx+1)=0,解得x=或x=-(m≠0).①当m>0时,-<,所以不等式(m2x-1)(mx+1)<0的解集为-
0不符合题意;②当m≤-1时,≤-,所以不等式(m2x-1)(mx+1)<0的解集为x<或x>-},又因为原不等式对一切x≥4恒成立,所以解得m≤-1;③当-1
-,所以不等式(m2x-1)(mx+1)<0的解集为x<-或x>},又因为原不等式对一切x≥4恒成立,所以解得-1
12. 若不等式<3对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是__{a|3-2
【解析】x2-x+1=+>0,所以<3恒成立等价于2-ax+x2<3(1-x+x2)恒成立,即不等式2x2+(a-3)x+1>0恒成立,所以Δ=(a-3)2-4×2×1<0,解得3-2
第二章 一元二次函数、方程和不等式
微专题1 恒成立与存在性问题
典例剖析 素养初现
恒成立问题
拓展
1
1-1
{m|2≤m<6}
(2) 若关于x的不等式mx2+2(m+1)x+9m+4<0的解集为R,则实数m的取值范围是
____________.
视角2 一元二次不等式在指定范围内恒成立
若不等式x2-ax+1≥0在0<x≤2时恒成立,则实数a的最大值为
( )
B
1-2
变式
B
已知当x>0时,不等式x2-mx+16>0恒成立,则实数m的取值范围是
( )
A. {m|m≤8} B. {m|m<8}
C. {m|m≥6} D. {m|m>6}
视角3 给定参数范围的恒成立
若不等式x2+px>4x+p-3在0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是______________________.
1-3
{x|x<-1或x>3}
(1) 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.
(2) 对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方;恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.
变式
设函数y=mx2-mx-1.
(1) 若对于-1≤x≤1,y<-m+5恒成立,求m的取值范围;
设函数y=mx2-mx-1.
(2) 若对于-2≤m≤2,y<-m+5恒成立,求x的取值范围.
视角1 一元二次不等式在R上有解
若存在实数x,使得mx2-(m-2)x+m<0成立,则m的取值范围为____________.
存在性问题
拓展
2
2-1
视角2 一元二次不等式在某区间上有解
若存在0
( )
A
2-2
转化为函数(式子)的最值解决能成立问题:
(1) a>M能成立 a>Mmin;
(2) a
随堂内化 及时评价
BC
2. 当1≤x≤3时,关于x的不等式ax2+x-1<0恒成立,则a的取值范围是
( )
B
D
4. 若存在0≤x≤3,使得不等式x2-4x-a≥0成立,则实数a的取值范围为( )
A. {a|a≤-3} B. {a|a≤0}
C. {a|-3≤a≤0} D. {a|0≤a≤3}
B
【解析】存在0≤x≤3,使得不等式x2-4x-a≥0成立,等价于a≤(x2-4x)max.令y=x2-4x,0≤x≤3,当x=0时,ymax=0,所以a≤0.
5. 在R上定义运算⊙:x⊙y=x(2-y),若不等式(x+m)⊙2x<1对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围是___________________________.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 不等式x2-x+m>0在R上恒成立的充要条件是 ( )
A
2. 已知关于x的不等式ax2-2x+4a<0在0
( )
A
3. 若不等式x2-tx+1<0对一切1
D
B
二、 多项选择题
5. 若对于任意的x∈{x|0≤x≤2},不等式x2-2x+a>0恒成立,则a的取值可以为
( )
A. -1 B. 0
C. 2 D. 3
CD
【解析】不等式x2-2x+a>0转化为a>-x2+2x,设y=-x2+2x=-(x-1)2+1,0≤x≤2,当x=1时,y取得最大值为ymax=1,所以a>1.
【答案】BCD
三、 填空题
7. 已知命题“ x>0,λx2-λx+2<0”为真命题,则实数λ的取值范围为______________.
{λ|λ<0或λ>8}
8. 若对任意的x∈{x|1≤x≤3},x2-ax+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是______________.
{a|a≤2}
四、 解答题
9. 设函数y=ax2-(2a+3)x+6,a∈R.
(1) 若y+2>0恒成立,求实数a的取值范围;
9. 设函数y=ax2-(2a+3)x+6,a∈R.
(2) 当a=1时, t>-2,关于x的不等式y≤-3x+3+m在-2≤x≤t范围内有解,求实数m的取值范围.
【解答】当a=1时, t>-2,关于x的不等式y≤-3x+3+m在-2≤x≤t范围内有解,则-2是x2-2x+3-m≤0的解,因为抛物线y=x2-2x+3开口向上,对称轴为x=1,所以11-m≤0,解得m≥11,所以m的取值范围为{m|m≥11}.
10. 已知不等式x2+px>4x+p-4.
(1) 若不等式在2≤x≤4时有解,求实数p的取值范围;
10. 已知不等式x2+px>4x+p-4.
(2) 若不等式在0≤p≤6时恒成立,求实数x的取值范围.
【答案】B
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同课章节目录
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.2 集合间的基本关系
1.3 集合的基本运算
1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词与存在量词
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
2.2 基本不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第三章 函数概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
3.3 幂函数
3.4 函数的应用(一)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.2 指数函数
4.3 对数
4.4 对数函数
4.5 函数的应用(二)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.2 三角函数的概念
5.3 诱导公式
5.4 三角函数的图象与性质
5.5 三角恒等变换
5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)
5.7 三角函数的应用
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