章复习 能力整合与素养提升
要点梳理系统整合
1. 不等式性质与基本不等式
不等式 性质 a>b，b>c a>c； a>b，c>0 ac>bc； a>b，c<0 ac
b，c>d a＋c>b＋d； a>b>0，c>d>0 ac>bd 两个实数的顺序关系： a>b a－b>0， aa>b>0，n∈N*，n>1 an>bn；> ab>0，a>b <
基本 不等式 最值定理 ①由x>0，y>0，x＋y≥2，若积xy＝P(为定值)，则当x＝y时，和x＋y有__最小值2__； ②由x>0，y>0，x＋y≥2，若和x＋y＝S(为定值)，则当x＝y时，积xy有__最大值__
均值不等式 ≤(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取“＝”)
2. 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0) 的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0) 的根 有__两相异__实根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集 __{x|xx2}__ __{x|x≠x0}__ __R__
ax2＋bx＋c<0(a>0) 的解集 __{x|x1与x轴的交点 __(x1，0)，(x2，0)__ __(x0，0)__ 无交点
零点个数 __2__ __1__ __0__
考法聚焦素养养成
考法1 不等式的性质与基本不等式问题
例1 (1) (多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是( BCD )
A. 若ab>0，bc－ad>0，则－<0
B. 若ab>0，－>0，则bc－ad>0
C. 若bc－ad>0，－>0，则ab>0
D. 若a>b>0，c>d>0，则ac>bd
【解析】对于A，因为ab>0，bc－ad>0，所以－＝>0，故A错误．对于B，因为ab>0，－>0，即>0，所以bc－ad>0，故B正确．对于C，因为bc－ad>0，－>0，即>0，所以ab>0，故C正确．对于D，因为a>b>0，c>0，所以ac>bc>0.因为c>d>0，b>0，所以bc>bd>0.综上，ac>bd，故D正确．
(2) (2025·潮州期末)(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则( BCD )
A. ＋的最大值为
B. ＋的最小值为9
C. a2＋4b2的最小值为
D. ab的最大值为
【解析】对于A，(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，当且仅当a＝b＝时取等号，所以＋≤，当且仅当a＝b＝时取等号，故A不正确；对于B，＋＝(a＋b)＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故B正确；对于C，a2＋4b2＝(1－b)2＋4b2＝5b2－2b＋1＝52＋≥，当且仅当b＝，a＝时取等号，故C正确；对于D，ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号，故D正确．
【题组训练】
1. 若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是( A )
A. a－3c>b－3c B. ac>bc(c≠0)
C. |a|>|b| D. >
【解析】对于A，因为a>b，由不等式的基本性质可得a－3c>b－3c，故A正确；对于B，因为a>b，当c<0时，由不等式的基本性质可得ac2. (多选)下列不等式证明过程正确的是( BD )
A. 若a，b∈R，则＋≥2＝2
B. 若x＞1，y＞1，则(x－1)＋≥2
C. 若x<0，则x＋≥－2＝－2
D. 若x∈R，则＋≥2
【解析】A不正确，因为的符号不确定；B正确；C不正确，因为 x和不是正实数，所以不能直接利用基本不等式；D正确，由于＞0，则＋≥2，当且仅当x2＋1＝1，即x＝0时取等号．
3. (2025·无锡期末)已知正数a，b满足a＋2b＝1，则a2＋6ab＋4b2的最大值为( A )
A. B. 1
C. D.
【解析】原式＝(a＋2b)2＋2ab≤1＋＝，当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时等号成立，所以a2＋6ab＋4b2的最大值为.
考法2 含参一元二次不等式的解法
例2 解下列不等式：
(1) ax2＋(a＋2)x＋1>0；
【解答】当a＝0时，不等式即为2x＋1>0，解得x>－，故所求解集为x>－}.当a≠0时，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，解得方程ax2＋(a＋2)x＋1＝0的两根为x1＝，x2＝，故当a>0时，所求解集为x>或x<}；当a<0时，所求解集为(2) x2－x＋1<0(a≠0).
【解答】原不等式可化为(x－a)<0，令a＝，得a＝±1.所以当a<－1或0－11时，a>，可得其解集为【题组训练】
1. 解不等式x2－5ax＋6a2>0(a≠0).
【解答】原不等式可化为(x－2a)(x－3a)>0，对应方程(x－2a)(x－3a)＝0的两根为x1＝2a，x2＝3a.当a>0，即2a<3a时，所求解集为{x|x>3a或x<2a}；当a<0，即2a>3a时，所求解集为{x|x>2a或x<3a}．
2. 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1>0(a>0).
【解答】由不等式得对应方程的Δ＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2，ax2－(a＋1)x＋1>0可化为(x－1)(ax－1)>0.①当a＝1时，Δ＝0，原不等式为x2－2x＋1>0 (x－1)2>0，所以原不等式的解集为{x|x≠1}．②当00，1<，所以原不等式的解集为{x|x<1或x＞}.③当a>1时，Δ>0，<1，所以原不等式的解集为{x|x<或x＞1}.综上，当0考法3 三个二次的关系问题
视角1 一元二次方程与一元二次不等式的关系
例3-1 已知方程x2＋(a－1)x＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
【解答】因为方程x2＋(a－1)x＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝(a－1)2－4(a＋2)>0，即a2－6a－7>0，即(a＋1)(a－7)>0，所以a<－1或a>7.故实数a的取值范围为{a|a<－1或a>7}．
视角2 二次方程根与系数的关系与不等式问题
例3-2 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2【解答】由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，故所求不等式cx2＋bx＋a<0的解集为{x|x＜或x>}.
变式 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<1或x>3}，则不等式bx2＋ax＋c≥0的解集是( B )
A. {x|－1≤x≤}
B. {x|－≤x≤1}
C. {x|x≥1或x≤－}
D. {x|x≥或x≤－1}
【解析】因为关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<1或x>3}，所以1和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，且a>0，则解得所以不等式bx2＋ax＋c≥0等价于－4ax2＋ax＋3a≥0(a>0)，即4x2－x－3≤0，解得－≤x≤1.所以不等式bx2＋ax＋c≥0的解集是{x|－≤x≤1}.
视角3 一元二次方程根的分布与二次函数的图象问题
例3-3 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，其中一根－1【解答】依题意得二次函数y＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在－1(例3-3答)
【题组训练】
1. 若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3【解答】因为ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－32. 若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个大于零的零点，则m的取值范围是__{m|0【解析】由题意得解得03. 已知一元二次方程x2＋(a2－9)x＋a2－5a＋6＝0一个根小于0，另一个根大于2，则a的取值范围是__2【解析】如图，设y＝x2＋(a2－9)x＋a2－5a＋6，则解得所以2(第3题答)
4. 若(a－3)x2＋(a－3)x－1<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( B )
A. {a|－1C. {a|a<－1或a>3} D. {a|a<－1或a≥3}
【解析】当a＝3时，－1<0明显成立；当a≠3时，则即解得－1要点梳理系统整合
1. 不等式性质与基本不等式
不等式 性质 a>b，b>c a>c； a>b，c>0 ac>bc； a>b，c<0 acb，c>d a＋c>b＋d； a>b>0，c>d>0 ac>bd 两个实数的顺序关系： a>b a－b>0， aa>b>0，n∈N*，n>1 an>bn；> ab>0，a>b <
基本 不等式 最值定理 ①由x>0，y>0，x＋y≥2，若积xy＝P(为定值)，则当x＝y时，和x＋y有 ； ②由x>0，y>0，x＋y≥2，若和x＋y＝S(为定值)，则当x＝y时，积xy有
均值不等式 ≤(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取“＝”)
2. 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0) 的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0) 的根 有 实根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集 _ _ _ _ _ _
ax2＋bx＋c<0(a>0) 的解集 _ _ _ _ _ _
与x轴的交点 _ _ _ _ 无交点
零点个数 _ __ __ _ __ __
考法聚焦素养养成
考法1 不等式的性质与基本不等式问题
例1 (1) (多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是( )
A. 若ab>0，bc－ad>0，则－<0
B. 若ab>0，－>0，则bc－ad>0
C. 若bc－ad>0，－>0，则ab>0
D. 若a>b>0，c>d>0，则ac>bd
(2) (2025·潮州期末)(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则( )
A. ＋的最大值为
B. ＋的最小值为9
C. a2＋4b2的最小值为
D. ab的最大值为
【题组训练】
1. 若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是( )
A. a－3c>b－3c B. ac>bc(c≠0)
C. |a|>|b| D. >
2. (多选)下列不等式证明过程正确的是( )
A. 若a，b∈R，则＋≥2＝2
B. 若x＞1，y＞1，则(x－1)＋≥2
C. 若x<0，则x＋≥－2＝－2
D. 若x∈R，则＋≥2
3. (2025·无锡期末)已知正数a，b满足a＋2b＝1，则a2＋6ab＋4b2的最大值为( )
A. B. 1
C. D.
考法2 含参一元二次不等式的解法
例2 解下列不等式：
(1) ax2＋(a＋2)x＋1>0；
(2) x2－x＋1<0(a≠0).
【题组训练】
1. 解不等式x2－5ax＋6a2>0(a≠0).
2. 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1>0(a>0).
考法3 三个二次的关系问题
视角1 一元二次方程与一元二次不等式的关系
例3-1 已知方程x2＋(a－1)x＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
视角2 二次方程根与系数的关系与不等式问题
例3-2 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2变式 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<1或x>3}，则不等式bx2＋ax＋c≥0的解集是( )
A. {x|－1≤x≤}
B. {x|－≤x≤1}
C. {x|x≥1或x≤－}
D. {x|x≥或x≤－1}
视角3 一元二次方程根的分布与二次函数的图象问题
例3-3 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，其中一根－1【题组训练】
1. 若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－32. 若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个大于零的零点，则m的取值范围是 ．
3. 已知一元二次方程x2＋(a2－9)x＋a2－5a＋6＝0一个根小于0，另一个根大于2，则a的取值范围是 ．
4. 若(a－3)x2＋(a－3)x－1<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( )
A. {a|－1C. {a|a<－1或a>3} D. {a|a<－1或a≥3}(共27张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
章复习 能力整合与素养提升
要点梳理 系统整合
1. 不等式性质与基本不等式
2. 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系
两相异
两相等
没有
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集 __________________ _______________ ____
ax2＋bx＋c<0(a>0) 的解集 __________________ _____ _____
与x轴的交点 __________________ __________ 无交点
零点个数 ____ ____ ____
{x|xx2}
{x|x≠x0}
R
{x|x1
(x1，0)，(x2，0)
(x0，0)
2
1
0
考法聚焦 素养养成
1
不等式的性质与基本不等式问题
考法
1
【答案】BCD
【答案】BCD
A
【答案】BD
A
解下列不等式：
(1) ax2＋(a＋2)x＋1>0；
2
含参一元二次不等式的解法
考法
2
解下列不等式：
【题组训练】
1. 解不等式x2－5ax＋6a2>0(a≠0).
【解答】原不等式可化为(x－2a)(x－3a)>0，对应方程(x－2a)(x－3a)＝0的两根为x1＝2a，x2＝3a.当a>0，即2a<3a时，所求解集为{x|x>3a或x<2a}；当a<0，即2a>3a时，所求解集为{x|x>2a或x<3a}．
2. 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1>0(a>0).
视角1 一元二次方程与一元二次不等式的关系
已知方程x2＋(a－1)x＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
三个二次的关系问题
考法
3
【解答】因为方程x2＋(a－1)x＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝(a－1)2－4(a＋2)>0，即a2－6a－7>0，即(a＋1)(a－7)>0，所以a<－1或a>7.故实数a的取值范围为{a|a<－1或a>7}．
3－1
视角2 二次方程根与系数的关系与不等式问题
已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|23－2
变式
B
视角3 一元二次方程根的分布与二次函数的图象问题
已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，其中一根－13－3
【题组训练】
1. 若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－32. 若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个大于零的零点，则m的取值范围是__________．
{m|03. 已知一元二次方程x2＋(a2－9)x＋a2－5a＋6＝0一个根小于0，另一个根大于2，则
a的取值范围是_______________．
B
4. 若(a－3)x2＋(a－3)x－1<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是 ( )
A. {a|－1C. {a|a<－1或a>3} D. {a|a<－1或a≥3}