第二章 一元二次函数、方程和不等式 章检测(学生版 解析版)高中数学 人教A版(2019)必修 第一册

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名称 第二章 一元二次函数、方程和不等式 章检测(学生版 解析版)高中数学 人教A版(2019)必修 第一册
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-10-13 14:02:41

文档简介

第二章检测试卷
一、 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.
1. 已知不等式x2-x+a<0的解集为{x|-2A. -6  B. -
C. 6  D.
2. 已知正数a,b满足ab=10,则a+2b的最小值是(   )
A. 3  B. 3
C. 4  D. 2
3. 已知aA. x>y  B. xC. x=y  D. 无法确定
4. 若关于x的一元二次方程(k-2)x2-2kx+k=6有实数根,则k的取值范围为(   )
A. {k|k≥0}  B. {k|k≥0且k≠2}
C.   D.
5. 不等式1+5x-6x2>0的解集为(   )
A. x>1或x<-}  B.
C. {x|x>1或x<-3}  D. {x|-36. 下列结论正确的是(   )
A. 若a>b>c>0,则>
B. 若a>b>0,则b2<ab<a2
C. 若a>b>0,则ac2>bc2
D. 若a<b<0,则>
7. 若存在0A. {a|a<}  B. {a|0≤a≤}
C. {a|a>  D. {a|a>}
8. 某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为L,其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,欲使每小时的油耗不超过9 L,则速度x的取值范围是(   )
A. {x|60≤x≤80}  B. {x|60≤x≤100}
C. {x|80≤x≤100}  D. {x|100≤x≤120}
二、 多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.部分选对得部分分,选错得0分.
9. 若不等式ax2+ax-1≥0的解集为 ,则实数a的值可以是(   )
A. 4  B. 0
C. -3  D. -5
10. 下列说法中正确的有(   )
A. 若a>b,则a>>b    
B. 若a>b>0,则a>>b
C. 若>,则a>0,b<0    
D. 若a>b>0,c>0,则>
11. 已知x,y是正实数,则下列说法正确的是(   )
A. 若x+y=2,则+有最小值2
B. 若x+y=3,则x(y+1)有最大值5
C. 若4x+y=1,则2+有最大值
D. ++有最小值
三、 填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 若方程ax2+bx+c=0(a<0)有唯一的实数根3,则不等式ax2+bx+c≥0的解集为 .
13. 设m为实数,y=(m+1)x2-mx+m-1.若不等式y>0的解集为R,则m的取值范围是 .
14. 爬山是一种简单有趣的野外运动,有益于身体健康,但要注意安全,准备好必需物品,控制好速度.现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v1,下山(原路返回)的速度为v2(v1≠v2),乙上、下山的速度都是(v1+v2)(两人途中不停歇),则甲、乙两人上、下山所用时间之比为 ;甲、乙两人上、下山所用时间之和最少的是 (填“甲”或“乙”).
四、 解答题:本题共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)(1) 若a,b,c是正数,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)≥6abc;
(2) 若a,b是正数,求证:a+b+2≥2(+).
16. (15分)已知二次函数y=ax2+bx-a+2.
(1) 若关于x的不等式ax2+bx-a+2>0的解集是{x|-1<x<3},求实数a,b的值;
(2) 若b=2,a>0,解关于x的不等式ax2+bx-a+2>0.
17. (15分)某企业研发一条生产线生产某种产品,据测算,其生产的总成本y(单位:万元)与年产量x(单位:吨)之间的关系式为y=-48x+8 000,已知此生产线年产量最大为220吨.
(1) 求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求此最低平均成本;
(2) 经过评估,企业定价每吨产品的出厂价为40万元,且最大利润不超过1 660万元,则该生产线年产量的最大值应为多少?
18. (17分)已知二次函数y=x2-(a+2)x+4(a∈R).
(1) 解关于x的不等式y≤4-2a;
(2) 若对任意的x∈{x|1≤x≤4},y+a+1≥0恒成立,求实数a的取值范围.
19. (17分)已知关于x的方程3mx2+3px+4q=0(其中m,p,q均为实数)有两个不等实根x1,x2(x1(1) 若p=q=1,求m的取值范围;
(2) 若x1,x2为两个整数根,p为整数,且m=-,q=,求x1,x2的值;
(3) 若x1,x2满足x+x=x1x2+1,且m=1,求p的取值范围.第二章检测试卷
一、 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.
1. 已知不等式x2-x+a<0的解集为{x|-2A. -6  B. -
C. 6  D.
2. 已知正数a,b满足ab=10,则a+2b的最小值是( C )
A. 3  B. 3
C. 4  D. 2
3. 已知aA. x>y  B. xC. x=y  D. 无法确定
【解析】x-y=a3-b-a2b+a=a2(a-b)+(a-b)=(a-b)(a2+1),因为a0,所以x-y=(a-b)(a2+1)<0,故x4. 若关于x的一元二次方程(k-2)x2-2kx+k=6有实数根,则k的取值范围为( D )
A. {k|k≥0}  B. {k|k≥0且k≠2}
C.   D.
5. 不等式1+5x-6x2>0的解集为( B )
A. x>1或x<-}  B.
C. {x|x>1或x<-3}  D. {x|-3【解析】原不等式即为6x2-5x-1<0,即(6x+1)(x-1)<0,解得-6. 下列结论正确的是( B )
A. 若a>b>c>0,则>
B. 若a>b>0,则b2<ab<a2
C. 若a>b>0,则ac2>bc2
D. 若a<b<0,则>
【解析】对于A,当a>b>c>0时,-=<0,因此<,故A不正确;对于B,因为a>b>0,所以a2>ab,ab>b2,所以a2>ab>b2,所以B正确;对于C,若c=0,不等式不成立,所以C不正确;对于D,令a=-8,b=-1,不等式不成立,所以D不正确.
7. 若存在0A. {a|a<}  B. {a|0≤a≤}
C. {a|a>  D. {a|a>}
【解析】当00),即x=时等号成立,所以当08. 某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为L,其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,欲使每小时的油耗不超过9 L,则速度x的取值范围是( B )
A. {x|60≤x≤80}  B. {x|60≤x≤100}
C. {x|80≤x≤100}  D. {x|100≤x≤120}
【解析】由汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,所以=11.5,解得k=100,故每小时油耗为-20(L).由题意得-20≤9,解得45≤x≤100.又60≤x≤120,故60≤x≤100.
二、 多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.部分选对得部分分,选错得0分.
9. 若不等式ax2+ax-1≥0的解集为 ,则实数a的值可以是( BC )
A. 4  B. 0
C. -3  D. -5
【解析】当a=0时,-1≥0,不成立,所以B正确;当a≠0时,由Δ=a2+4a<0
-410. 下列说法中正确的有( ABD )
A. 若a>b,则a>>b    
B. 若a>b>0,则a>>b
C. 若>,则a>0,b<0    
D. 若a>b>0,c>0,则>
【解析】对于A,因为a>b,所以a-=>0,-b=>0,所以a>>b,故A正确;对于B,因为a>b>0,=>1,所以a>,因为=>1,所以>b,即a>>b,故B正确;对于C,令a=1,b=2,满足>,不满足a>0,b<0,故C错误;对于D,因为a>b>0,c>0,所以-==>0,故D正确.
11. 已知x,y是正实数,则下列说法正确的是( AC )
A. 若x+y=2,则+有最小值2
B. 若x+y=3,则x(y+1)有最大值5
C. 若4x+y=1,则2+有最大值
D. ++有最小值
【解析】对于A,因为x>0,y>0,x+y=2,所以+=(x+y)=≥=2,当且仅当即x=y=1时取等号,则+有最小值2,故A正确;对于B,因为x>0,y>0,x+y=3,则x+y+1=4,所以x(y+1)≤=4,当且仅当即x=2,y=1时取等号,则x(y+1)有最大值4,故B错误;对于C,因为x>0,y>0,4x+y=1,所以(2+)2=4x+y+4=1+2×2·≤1+(2)2+()2=1+4x+y=2,所以0<2+≤,当且仅当即x=,y=时取等号,则2+有最大值,故C正确;对于D,当x=2,y=1时,++=++1=2<,故D错误.
三、 填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 若方程ax2+bx+c=0(a<0)有唯一的实数根3,则不等式ax2+bx+c≥0的解集为__{x|x=3}__.
13. 设m为实数,y=(m+1)x2-mx+m-1.若不等式y>0的解集为R,则m的取值范围是____.
【解析】当m+1=0,即m=-1时,由y>0,得x-2>0,所以解集为{x|x>2},不符合题意.当m+1≠0时,由题意有解得m>.综上,m的取值范围是.
14. 爬山是一种简单有趣的野外运动,有益于身体健康,但要注意安全,准备好必需物品,控制好速度.现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v1,下山(原路返回)的速度为v2(v1≠v2),乙上、下山的速度都是(v1+v2)(两人途中不停歇),则甲、乙两人上、下山所用时间之比为____;甲、乙两人上、下山所用时间之和最少的是__乙__(填“甲”或“乙”).
【解析】设上山路程为1,则甲上、下山所用时间为+=,乙上、下山所用时间为2·=,所以甲、乙两人上、下山所用时间之比为=.因为v1≠v2,所以>=,<=,所以>,即乙上、下山所用时间之和最少.
四、 解答题:本题共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)(1) 若a,b,c是正数,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)≥6abc;
【解答】由a,b,c都是正数,利用基本不等式可知,b2+c2≥2bc,当且仅当b=c时等号成立;c2+a2≥2ac,当且仅当a=c时等号成立;a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立.所以a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)≥a·2bc+b·2ca+c·2ab=6abc,当且仅当a=b=c时等号成立.
(2) 若a,b是正数,求证:a+b+2≥2(+).
【解答】因为a,b是正数,所以a+b+2=(a+1)+(b+1)≥2+2=2(+),当且仅当a=b=1时等号成立.
16. (15分)已知二次函数y=ax2+bx-a+2.
(1) 若关于x的不等式ax2+bx-a+2>0的解集是{x|-1<x<3},求实数a,b的值;
【解答】因为不等式ax2+bx-a+2>0的解集为{x|-1(2) 若b=2,a>0,解关于x的不等式ax2+bx-a+2>0.
【解答】当b=2时,y=ax2+2x-a+2=(x+1)(ax-a+2),因为a>0,所以(x+1)(ax-a+2)>0可化为(x+1)>0.若-1=,即a=1时,解集为{x|x≠-1}.若-1>
,即01时,解集为.
综上,当01时,解集为.
17. (15分)某企业研发一条生产线生产某种产品,据测算,其生产的总成本y(单位:万元)与年产量x(单位:吨)之间的关系式为y=-48x+8 000,已知此生产线年产量最大为220吨.
(1) 求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求此最低平均成本;
【解答】设每吨的平均成本为W,则W==+-48≥2-48=32(0(2) 经过评估,企业定价每吨产品的出厂价为40万元,且最大利润不超过1 660万元,则该生产线年产量的最大值应为多少?
【解答】由题意得,40x-y≤1 660 x2-440x+48 300≥0,解得x≥230或x≤210.因为018. (17分)已知二次函数y=x2-(a+2)x+4(a∈R).
(1) 解关于x的不等式y≤4-2a;
【解答】因为y≤-2a+4,即x2-(a+2)x+2a≤0,所以 (x-a)(x-2)≤0.当a<2时,不等式的解集为{x|a≤x≤2};当a=2时,不等式的解集为{x|x=2};当a>2时,不等式的解集为{x|2≤x≤a}.综上所述,当a<2时,不等式的解集为{x|a≤x≤2};当a=2时,不等式的解集为{2};当a>2时,不等式的解集为{x|2≤x≤a}.
(2) 若对任意的x∈{x|1≤x≤4},y+a+1≥0恒成立,求实数a的取值范围.
【解答】对任意的x∈{x|1≤x≤4},y+a+1≥0恒成立,即x2-(a+2)x+5+a≥0恒成立,即对任意的x∈{x|1≤x≤4},a(x-1)≤x2-2x+5恒成立.当x=1时,不等式为0≤4恒成立,此时a∈R;当x∈{x|119. (17分)已知关于x的方程3mx2+3px+4q=0(其中m,p,q均为实数)有两个不等实根x1,x2(x1(1) 若p=q=1,求m的取值范围;
【解答】当p=q=1时,由3mx2+3x+4=0有两个不等的实数根,知解得m<且m≠0,所以m的取值范围是m<且m≠0|.
(2) 若x1,x2为两个整数根,p为整数,且m=-,q=,求x1,x2的值;
【解答】依题意m≠0,且由m=-,q=,得x1+x2=3,x1x2==1-,因为x1,x2,p均为整数,所以x1x2=1-也是整数,所以p=-1或p=1.当p=-1时,x1x2=2,又x1+x2=3且x1(3) 若x1,x2满足x+x=x1x2+1,且m=1,求p的取值范围.
【解答】当m=1时,方程为3x2+3px+4q=0,Δ=9p2-48q>0,则又x+x=x1x2+1,即(x1+x2)2=3x1x2+1,所以(-p)2=3×+1,即4q=p2-1,所以Δ=9p2-48q=9p2-12(p2-1)>0,解得-2