习题课6 竖直面内的圆周运动
1.游客乘坐过山车，在圆弧轨道上做匀速圆周运动，且在最低点处获得的向心加速度为10 m/s2，g取10 m/s2，那么运动到此位置时座椅对游客的作用力相当于游客重力的（ ）
A.1倍 B.2倍
C.3倍 D.4倍
2.某飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直面内以速度v做半径为R的匀速圆周运动，飞行员对座椅的压力在最低点比最高点大（设飞行员始终垂直于座椅的表面）（ ）
A.mg B.2mg
C.mg＋ D.2
3.（多选）一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A.小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B.小球过最高点的最小速度是
C.若小球过最高点的速度v＞时，杆对球的作用力竖直向下
D.若小球过最高点的速度v＜时，速度v越小，杆对球的作用力越大
4.（多选）如图所示，在粗糙水平板上放一个物体，使水平板和物体一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则（ ）
A.物块始终受到三个力作用
B.只有在a、b、c、d四点，物块受到合外力才指向圆心
C.从a到b，物体所受的摩擦力先减小后增大
D.从b到a，物块处于超重状态
5.如图所示，质量为1.6 kg，半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B的直径略小于细圆管的内径。它们的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为零，则B球的速度大小vB为（取g＝10 m/s2）（ ）
A.2 m/s B.4 m/s
C.6 m/s D.8 m/s
6.（多选）如图所示，一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为ω＝的匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A.小球运动到最高点C时与杆作用力为零
B.小球运动到最高点C时球对杆的作用力大小为mg
C.小球运动到水平位置A时杆对球的作用力大小为2mg
D.小球运动到水平位置A时杆对球的作用力大小为mg
7.如图所示，质量为m的小明（可视为质点）坐摩天轮。小明乘坐的座舱与摩天轮的转轴间的距离为r，摩天轮以大小为k（常数k＜1，g为重力加速度）的角速度做匀速圆周运动。若小明坐在座舱水平座垫上且双脚不接触底板，则下列说法正确的是（ ）
A.小明通过最高点时不受重力
B.小明做匀速圆周运动的周期为
C.小明通过最高点时处于完全失重状态
D.小明通过最低点时对座舱座垫的压力大小为k2mg
8.一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构简化图如图所示。质量为M、半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转。陀螺的磁芯质量为m，其余部分质量不计。陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向，大小恒为6mg。不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。
（1）若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为，求此时轨道对陀螺的弹力大小。
（2）要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，求陀螺通过最低点时的最大速度。
9.如图所示，质量m＝1 kg的小球在长为L＝0.5 m 的细绳作用下，恰能在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力Tmax＝42 N，转轴离地高度h＝5.5 m，不计阻力，g＝10 m/s2。
（1）小球经过最高点的速度是多少？
（2）若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求此时小球的速度大小；
（3）细绳被拉断后小球运动的水平位移。
习题课6 竖直面内的圆周运动
1.B 根据牛顿第二定律得N－mg＝ma，解得N＝mg＋ma＝2mg，B正确。
2.B 在最高点有N1＋mg＝m，解得N1＝m－mg；在最低点有N2－mg＝m，解得N2＝mg＋m。由牛顿第三定律可知N2'－N1'＝N2－N1＝2mg，B正确。
3.ACD 当小球过最高点时速度v＝，重力恰好提供向心力，杆所受到的弹力等于零，故A正确；因为杆可以对小球提供向上的支持力，所以小球过最高点时最小速度为0，故B错误；若小球过最高点时速度v＞，重力比所需要的向心力小，杆对球的作用力竖直向下，故C正确；若小球过最高点的速度v＜时，杆对球的作用力竖直向上，此时有mg－N＝，v越小，杆对球的作用力N越大，故D正确。
4.CD 在c、d两点处，只受重力和支持力，在其他位置处物体受到重力、支持力、静摩擦力三个作用，选项A错误；物体做匀速圆周运动，合外力提供向心力，所以合外力始终指向圆心，选项B错误；从a运动到b，物体的加速度的方向始终指向圆心，水平方向的加速度先减小后反向增大，根据牛顿第二定律可得，物体所受木板的摩擦力先减小后增大，选项C正确；从b运动到a，向心加速度有向上的分量，所以物块处于超重状态，选项D正确。
5.B 对A球，合外力提供向心力，设环对A的支持力为NA，由牛顿第二定律有NA－mAg＝mA，代入数据解得NA＝28 N，由牛顿第三定律可得，A球对环的压力NA'＝NA＝28 N，方向竖直向下，由环的受力平衡得NB'＋NA'＋m环g＝0，解得NB'＝－44 N，负号表示方向竖直向上，由牛顿第三定律可得，环对B球的压力NB＝44 N，方向竖直向下，对B球由牛顿第二定律有NB＋mBg＝mB，解得vB＝4 m/s，故选B。
6.AD 小球运动到最高点C时有N＋mg＝mω2l，解得N＝0，A正确，B错误；小球运动到水平位置A时小球受到的向心力F＝mω2l＝mg，杆对球的作用力大小为N＝＝mg，C错误，D正确。
7.B 当小明通过最高点时，小明依然受到重力作用，A错误；小明做匀速圆周运动的周期T＝＝，B正确；小明做圆周运动所需的向心力大小为F向＝mω2r＝k2mg＜mg，故小明通过最高点时处于失重状态，但并非处于完全失重状态，C错误；当小明通过最低点时，由牛顿第二定律有F－mg＝mω2r，解得F＝（1＋k2）mg，根据牛顿第三定律可知，此时小明对座舱座垫的压力大小为（1＋k2）mg，D错误。
8.（1）10mg （2）
解析：（1）当陀螺在轨道内侧最高点时，设轨道对小球的吸引力为F1，轨道对陀螺的支持力为N1，小球所受的重力为mg，最高点的速度为v1，由受力分析可知
mg＋N1－F1＝m，解得N1＝10mg。
（2）设陀螺在轨道外侧运动到最低点时，轨道对小球的吸引力为F2，轨道对陀螺的支持力为N2，小球所受的重力为mg，通过最低点时的速度为v2，由受力分析可知
F2－N2－mg＝m
由题意可知，当N2＝0时，陀螺通过最低点时的速度最大，最大速度为v2＝。
9.（1） m/s （2）4 m/s （3）4 m
解析：（1）依题意，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，在最高点，根据牛顿第二定律有mg＝m
代入数据可得小球经过最高点的速度大小为v＝＝ m/s。
（2）小球运动到最低点时细绳恰好被拉断，则绳的拉力大小恰好为Tmax＝42 N
设此时小球的速度大小为v1，小球在最低点时，由牛顿第二定律有Tmax－mg＝m
解得v1＝4 m/s。
（3）细绳被拉断后小球做平抛运动，设运动时间为t，则对小球，在竖直方向上有h－L＝gt2
代入数据解得t＝1 s
在水平方向上的位移为s＝v1t＝4 m。
3 / 3习题课6 竖直面内的圆周运动
核心素养目标 科学思维 1.掌握竖直平面内圆周运动两类模型的分析方法。 2.知道竖直平面内圆周运动两类模型的临界条件。
科学态度 与责任 会利用临界条件解决实际生活中竖直平面内圆周运动问题。
要点一 竖直面内圆周运动的轻绳（过山车）模型
如图所示，甲图中小球受绳的拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例。
（1）在最低点根据牛顿第二定律和向心力公式得T1－mg＝m
所以T1＝mg＋m。
（2）在最高点根据牛顿第二定律和向心力公式得T2＋mg＝m
所以T2＝m－mg。
（3）最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由T2＋mg＝可知，当T2＝0时，v2最小，最小速度为v2min＝。
讨论：当v2＝时，拉力或压力为零。
当v2＞时，小球受向下的拉力或压力。
当v2＜时，小球不能到达最高点。
【典例1】 如图所示，长度为L＝0.4 m 的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求：
（1）小球刚好通过最高点时的速度大小；
（2）小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小；
（3）若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球运动过程中速度的最大值。
尝试解答
1.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是（g取10 m/s2）（ ）
A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
2.一小球以一定的初速度从图示位置进入竖直光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过A处时对轨道的压力为（ ）
A.2mg B.3mg
C.4mg D.5mg
要点二 竖直面内圆周运动的轻杆（管）模型
如图所示，细杆上固定的小球和光滑管形轨道内运动的小球在重力和杆（管道）的弹力作用下做圆周运动。
（1）最高点的最小速度
由于杆和管在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力N＝mg。
（2）小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况
①v＞时，杆对球产生向下的拉力，管的外侧对球产生向下的弹力，mg＋N＝m，所以N＝m－mg，N随v增大而增大；
②v＝时，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，N＝0，mg＝m；
③0＜v＜时，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，mg－N＝m，所以N＝mg－m，N随v的增大而减小。
【典例2】 如图甲所示，长为R的轻杆一端固定一个小球，小球在竖直平面内绕轻杆的另一端O做圆周运动，小球到达最高点时受到杆的弹力N与速度平方v2的关系如图乙所示，则（ ）
A.小球到达最高点的速度不可能为0
B.当地的重力加速度大小为
C.v2＜b时，小球受到的弹力方向竖直向下
D.v2＝c时，小球受到的弹力方向竖直向下
尝试解答
1.如图所示，长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端有固定转轴O。现使小球在竖直平面内做圆周运动，P为圆周轨道的最高点，若小球通过圆周轨道最低点时的速度大小为，则以下判断中正确的是（ ）
A.小球不能到达P点
B.小球到达P点时的速度大于
C.小球能到达P点，且在P点受到轻杆向上的弹力
D.小球能到达P点，且在P点受到轻杆向下的弹力
2.
如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，重力加速度为g。下列有关说法中正确的是（ ）
A.小球在圆心上方管道内运动时，对外壁一定有作用力
B.小球能够到达最高点时的最小速度为
C.小球达到最高点的速度是时，球受到的合外力为零
D.若小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道外壁的作用力大小为3mg
1.模拟过山车的实验装置如图所示，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧。若竖直圆轨道的半径为R，重力加速度为g，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为（ ）
A. B.2
C. D.
2.如图所示，内部为竖直光滑圆轨道的铁块静置在粗糙的水平地面上，其质量为M，有一质量为m的小球以水平速度v0从圆轨道最低点A开始向左运动，小球沿圆轨道运动且始终不脱离圆轨道，在此过程中，铁块始终保持静止，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A.地面受到的压力始终大于Mg
B.小球在圆轨道左侧运动的过程中，地面受到的摩擦力可能向右
C.小球经过最低点A时地面受到的压力可能等于Mg＋mg
D.小球在圆轨道最高点C时，地面受到的压力可能为0
3.不可伸长的轻绳一端系有一小球，另一端固定在光滑的转轴O上，现给球一初速度，使球和轻绳一起绕轴在竖直面内转动，不计空气阻力。关于球过最高点时轻绳对小球的作用力，说法正确的是（ ）
A.可能是拉力，也可能是推力
B.一定是拉力
C.一定等于0
D.可能是拉力，也可能等于0
4.如图所示，一光滑的半径为r的半圆形轨道固定在竖直平面内，一个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，然后小球从轨道口B处飞出，最后落在水平面上，已知小球落地点C
距B处的距离为3r。求小球经过B处对轨道口的压力为多大？
习题课6 竖直面内的圆周运动
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】 （1）2 m/s （2）15 N （3）4 m/s
解析：（1）小球刚好能够通过最高点时，恰好只由重力提供向心力，故有mg＝m，解得v1＝＝2 m/s。
（2）小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，则有T＋mg＝m，解得T＝15 N。
（3）分析可知小球通过最低点时绳张力最大，速度最大，在最低点由牛顿第二定律得T'－mg＝，将T'＝45 N代入解得v3＝4 m/s，即小球的速度的最大值为4 m/s。
素养训练
1.B “水流星”在最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此知绳的拉力恰好为零，此时整体的加速度为a＝g，所以水对桶底压力为零，且水恰好不流出，故A、D错误，B正确；“水流星”通过最高点时，仅受重力，重力恰好完全提供向心力，“水流星”处于完全失重状态，故C错误。
2.C 小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有mg＝，小球在轨道1上经过A处时，有F＋mg＝，根据机械能守恒定律，有1.6mgR＋m＝m，联立解得F＝4mg，故C正确。
要点二
知识精研
【典例2】 D 因杆既能提供支持力，又能提供拉力，则杆球模型的最高点临界条件是v＝0，则有a＝mg，即小球到达最高点的最小速度为0，故A错误；由N-v2图像可知，在0≤v2＜b时，以较小速度通过最高点，杆提供支持力，方向竖直向上，由牛顿第二定律有mg－N＝m，可得N＝mg－m，随着通过最高点速度增大，杆的支持力逐渐减小，当v2＝b时，有N＝0，即mg＝m，解得g＝，故B、C错误；由以上分析可知，在b＜v2时，以较大速度通过最高点，杆提供拉力，由牛顿第二定律有mg＋N＝m，可得N＝m－mg，大小随着速度增大而增大，而v2＝c＞b，则小球受到的弹力方向一定竖直向下，故D正确。
素养训练
1.C 由机械能守恒得m＝mg·2L＋m，解得vP＝ ，由轻杆模型规律可得，当0＜vP＜时，轻杆对小球有竖直向上的弹力，故C正确。
2.D 圆形管道内能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0，此时小球对外壁没有作用力，故A、B错误；小球做圆周运动，合外力不为零，故C错误；设在最高点管道外壁对小球的弹力大小为N，方向竖直向下，由牛顿第二定律得mg＋N＝，解得N＝3mg＞0，方向竖直向下，故D正确。
【教学效果·勤检测】
1.C 小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为仅重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，选项C正确。
2.D 因小球始终不脱离圆轨道，则若小球能在圆轨道上半部分运动，则此时小球对铁块的作用力在竖直方向有向上的分力，地面受到的压力小于Mg，A错误；小球在圆轨道左侧运动的过程中，对轨道的作用力有向左的分力，轨道有向左运动的趋势，所以地面受到的摩擦力方向向左，B错误；经过最低点A时，小球的合力方向向上，加速度方向向上，小球处于超重状态，则小球对铁块的压力大于mg，则地面受到的压力大于Mg＋mg，C错误；当小球在最高点时有N＋mg＝m，若小球对铁块的压力竖直向上且等于Mg，即N＝Mg时，地面受到的压力为0，D正确。
3.D 球过最高点时轻绳对小球的作用力可能是拉力，不可能是推力；当满足mg＝m即v＝时，绳子的拉力为零；当v＞时，绳子的拉力不为零，故选D。
4.mg
解析：小球做平抛运动的水平位移
x＝ ＝r，
竖直方向上有2r＝gt2
解得小球经过B点时的速度v＝＝＝
在B点，根据牛顿第二定律得N＋mg＝m
解得N＝mg
根据牛顿第三定律知，小球对轨道口B处的压力
N'＝N＝mg。
4 / 4(共52张PPT)
习题课6 竖直面内的圆周运动
核心素 养目标 科学思维 1.掌握竖直平面内圆周运动两类模型的分析
方法。
2.知道竖直平面内圆周运动两类模型的临界
条件。
科学态度 与责任 会利用临界条件解决实际生活中竖直平面内
圆周运动问题。
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一 竖直面内圆周运动的轻绳（过山车）模型
如图所示，甲图中小球受绳的拉力和重力作用，乙图中小球受轨道
的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例。
（1）在最低点根据牛顿第二定律和向心力公式得
T1－mg＝m
所以T1＝mg＋m。
（2）在最高点根据牛顿第二定律和向心力公式得
T2＋mg＝m
所以T2＝m－mg。
（3）最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能
产生向下的拉力，由T2＋mg＝可知，当T2＝0时，v2最小，
最小速度为v2min＝。
讨论：当v2＝时，拉力或压力为零。
当v2＞时，小球受向下的拉力或压力。
当v2＜时，小球不能到达最高点。
【典例1】 如图所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平
面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10
m/s2，求：
（1）小球刚好通过最高点时的速度大小；
答案： 2 m/s
解析： 小球刚好能够通过最高点时，恰好只由重力提供向
心力，故有mg＝m，解得v1＝＝2 m/s。
（2）小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小；
答案： 15 N
解析：小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，拉力和重力
的合力提供向心力，则有T＋mg＝m，解得T＝15 N。
（3）若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球运动过程中速度的最
大值。
答案： 4 m/s
解析： 分析可知小球通过最低点时绳张力最大，速度最大，
在最低点由牛顿第二定律得T'－mg＝，将T'＝45 N代入解得
v3＝4 m/s，即小球的速度的最大值为4 m/s。
1. 杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与
水的总质量为m＝0.5 kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为
圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最
高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是（g取10 m/s2）（ ）
A. “水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B. “水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的
压力均为零
C. “水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力
的作用
D. “水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
解析： “水流星”在最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此
知绳的拉力恰好为零，此时整体的加速度为a＝g，所以水对桶底压
力为零，且水恰好不流出，故A、D错误，B正确；“水流星”通
过最高点时，仅受重力，重力恰好完全提供向心力，“水流星”处于完全失重状态，故C错误。
2. 一小球以一定的初速度从图示位置进入竖直光滑的轨道，小球先进
入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，轨道2的半径是
轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高
点B，则小球在轨道1上经过A处时对轨道的压力为（ ）
A. 2mg B. 3mg
C. 4mg D. 5mg
解析： 小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有mg＝，小球
在轨道1上经过A处时，有F＋mg＝，根据机械能守恒定律，有
1.6mgR＋m＝m，联立解得F＝4mg，故C正确。
要点二 竖直面内圆周运动的轻杆（管）模型
如图所示，细杆上固定的小球和光滑管形轨道内运动的小球在重力
和杆（管道）的弹力作用下做圆周运动。
（1）最高点的最小速度
由于杆和管在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球恰
能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力N＝
mg。
（2）小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况
①v＞时，杆对球产生向下的拉力，管的外侧对球产生向下
的弹力，mg＋N＝m，所以N＝m－mg，N随v增大而增大；
②v＝时，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，N
＝0，mg＝m；
③0＜v＜时，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，mg－N＝
m，所以N＝mg－m，N随v的增大而减小。
【典例2】 如图甲所示，长为R的轻杆一端固定一个小球，小球在竖
直平面内绕轻杆的另一端O做圆周运动，小球到达最高点时受到杆的
弹力N与速度平方v2的关系如图乙所示，则（ ）
A. 小球到达最高点的速度不可能为0
B. 当地的重力加速度大小为
C. v2＜b时，小球受到的弹力方向竖直向下
D. v2＝c时，小球受到的弹力方向竖直向下
解析：因杆既能提供支持力，又能提供拉力，则杆球模型的最高点临
界条件是v＝0，则有a＝mg，即小球到达最高点的最小速度为0，故A
错误；由N-v2图像可知，在0≤v2＜b 时，以较小速度通过最高点，杆
提供支持力，方向竖直向上，由牛顿第二定律有mg－N＝m，可得N
＝mg－m，随着通过最高点速度增大，杆的支持力逐渐减小，当v2
＝b时，有N＝0，即mg＝m，解得g＝，故B、C错误；由以上分析可知，在b＜v2时，以较大速度通过最高点，杆提供拉力，由牛顿第二定律有mg＋N＝m，可得N＝m－mg，大小随着速度增大而增大，而v2＝c＞b，则小球受到的弹力方向一定竖直向下，故D正确。
1. 图所示，长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端有固定转
轴O。现使小球在竖直平面内做圆周运动，P为圆周轨道的最高
点，若小球通过圆周轨道最低点时的速度大小为，则以下判
断中正确的是（ ）
A. 小球不能到达P点
B. 小球到达P点时的速度大于
C. 小球能到达P点，且在P点受到轻杆向上的弹力
D. 小球能到达P点，且在P点受到轻杆向下的弹力
解析： 由机械能守恒得m＝mg·2L＋m，解得vP
＝ ，由轻杆模型规律可得，当0＜vP＜时，轻杆对小球有
竖直向上的弹力，故C正确。
2. 如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放
置的光滑圆形管道内做圆周运动，重力加速度为g。下列有关说法
中正确的是（ ）
A. 小球在圆心上方管道内运动时，对外壁一定有作用力
B. 小球能够到达最高点时的最小速度为
C. 小球达到最高点的速度是时，球受到的合外力为零
D. 若小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对
管道外壁的作用力大小为3mg
解析： 圆形管道内能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小
速度为0，此时小球对外壁没有作用力，故A、B错误；小球做圆周
运动，合外力不为零，故C错误；设在最高点管道外壁对小球的弹
力大小为N，方向竖直向下，由牛顿第二定律得mg＋N＝，解
得N＝3mg＞0，方向竖直向下，故D正确。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. 模拟过山车的实验装置如图所示，小球从左侧的最高点释放后能够
通过竖直圆轨道而到达右侧。若竖直圆轨道的半径为R，重力加速
度为g，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道
的最高点时的角速度最小为（ ）
A. B. 2
C. D.
解析： 小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为仅重力提
供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，选项C正确。
2. 如图所示，内部为竖直光滑圆轨道的铁块静置在粗糙的水平地面
上，其质量为M，有一质量为m的小球以水平速度v0从圆轨道最低
点A开始向左运动，小球沿圆轨道运动且始终不脱离圆轨道，在此
过程中，铁块始终保持静止，重力加速度为g，则下列说法正确的
是（ ）
A. 地面受到的压力始终大于Mg
B. 小球在圆轨道左侧运动的过程中，地面受到的
摩擦力可能向右
C. 小球经过最低点A时地面受到的压力可能等于Mg＋mg
D. 小球在圆轨道最高点C时，地面受到的压力可能为0
解析： 因小球始终不脱离圆轨道，则若小球能在圆轨道上半部
分运动，则此时小球对铁块的作用力在竖直方向有向上的分力，地
面受到的压力小于Mg，A错误；小球在圆轨道左侧运动的过程
中，对轨道的作用力有向左的分力，轨道有向左运动的趋势，所以
地面受到的摩擦力方向向左，B错误；经过最低点A时，小球的合
力方向向上，加速度方向向上，小球处于超重状态，则小球对铁块
的压力大于mg，则地面受到的压力大于Mg＋mg，C错误；当小球
在最高点时有N＋mg＝m，若小球对铁块的压力竖直向上且等于
Mg，即N＝Mg时，地面受到的压力为0，D正确。
3. 不可伸长的轻绳一端系有一小球，另一端固定在光滑的转轴O上，
现给球一初速度，使球和轻绳一起绕轴在竖直面内转动，不计空气
阻力。关于球过最高点时轻绳对小球的作用力，说法正确的是
（ ）
A. 可能是拉力，也可能是推力
B. 一定是拉力
C. 一定等于0
D. 可能是拉力，也可能等于0
解析： 球过最高点时轻绳对小球的作用力可能是拉力，不可能
是推力；当满足mg＝m即v＝时，绳子的拉力为零；当v＞
时，绳子的拉力不为零，故选D。
4. 如图所示，一光滑的半径为r的半圆形轨道固定在竖直平面内，一
个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，然后小球从轨道口B处飞
出，最后落在水平面上，已知小球落地点C距B处的距离为3r。求
小球经过B处对轨道口的压力为多大？
答案：mg
解析：小球做平抛运动的水平位移
x＝ ＝r，
竖直方向上有2r＝gt2
解得小球经过B点时的速度v＝＝＝
在B点，根据牛顿第二定律得N＋mg＝m
解得N＝mg
根据牛顿第三定律知，小球对轨道口B处的压力
N'＝N＝mg。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. 游客乘坐过山车，在圆弧轨道上做匀速圆周运动，且在最低点处获
得的向心加速度为10 m/s2，g取10 m/s2，那么运动到此位置时座椅
对游客的作用力相当于游客重力的（ ）
A. 1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍
解析： 根据牛顿第二定律得N－mg＝ma，解得N＝mg＋ma＝
2mg，B正确。
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2. 某飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直面内以速度v做半径为R的匀
速圆周运动，飞行员对座椅的压力在最低点比最高点大（设飞行员
始终垂直于座椅的表面）（ ）
A. mg B. 2mg
C. mg＋ D. 2
解析： 在最高点有N1＋mg＝m，解得N1＝m－mg；在最低
点有N2－mg＝m，解得N2＝mg＋m。由牛顿第三定律可知N2'－
N1'＝N2－N1＝2mg，B正确。
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3. （多选）一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使
小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，重力加速度为
g，则下列说法正确的是（ ）
A. 小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B. 小球过最高点的最小速度是
C. 若小球过最高点的速度v＞时，杆对球的作用力竖直
向下
D. 若小球过最高点的速度v＜时，速度v越小，杆对球的
作用力越大
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解析： 当小球过最高点时速度v＝，重力恰好提供向心
力，杆所受到的弹力等于零，故A正确；因为杆可以对小球提供向
上的支持力，所以小球过最高点时最小速度为0，故B错误；若小
球过最高点时速度v＞，重力比所需要的向心力小，杆对球的
作用力竖直向下，故C正确；若小球过最高点的速度v＜时，
杆对球的作用力竖直向上，此时有mg－N＝，v越小，杆对球的
作用力N越大，故D正确。
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4. （多选）如图所示，在粗糙水平板上放一个物体，使水平板和物体
一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，
cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始
终静止，则（ ）
A. 物块始终受到三个力作用
B. 只有在a、b、c、d四点，物块受到合外力才指向圆
心
C. 从a到b，物体所受的摩擦力先减小后增大
D. 从b到a，物块处于超重状态
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解析： 在c、d两点处，只受重力和支持力，在其他位置处物
体受到重力、支持力、静摩擦力三个作用，选项A错误；物体做匀
速圆周运动，合外力提供向心力，所以合外力始终指向圆心，选项
B错误；从a运动到b，物体的加速度的方向始终指向圆心，水平方
向的加速度先减小后反向增大，根据牛顿第二定律可得，物体所受
木板的摩擦力先减小后增大，选项C正确；从b运动到a，向心加速
度有向上的分量，所以物块处于超重状态，选项D正确。
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5. 如图所示，质量为1.6 kg，半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定
在竖直平面内，小球A和B的直径略小于细圆管的内径。它们的质
量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最
低点和最高点，且A的速度大小为vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力
为零，则B球的速度大小vB为（取g＝10 m/s2）（ ）
A. 2 m/s B. 4 m/s
C. 6 m/s D. 8 m/s
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解析： 对A球，合外力提供向心力，设环对A的支持力为NA，由
牛顿第二定律有NA－mAg＝mA，代入数据解得NA＝28 N，由牛
顿第三定律可得，A球对环的压力NA'＝NA＝28 N，方向竖直向下，
由环的受力平衡得NB'＋NA'＋m环g＝0，解得NB'＝－44 N，负号表
示方向竖直向上，由牛顿第三定律可得，环对B球的压力NB＝44
N，方向竖直向下，对B球由牛顿第二定律有NB＋mBg＝mB，解
得vB＝4 m/s，故选B。
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6. （多选）如图所示，一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另
一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为
ω＝的匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A. 小球运动到最高点C时与杆作用力为零
B. 小球运动到最高点C时球对杆的作用力大小为mg
C. 小球运动到水平位置A时杆对球的作用力大小为2mg
D. 小球运动到水平位置A时杆对球的作用力大小为mg
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解析： 小球运动到最高点C时有N＋mg＝mω2l，解得N＝0，A
正确，B错误；小球运动到水平位置A时小球受到的向心力F＝mω2l
＝mg，杆对球的作用力大小为N＝＝mg，
C错误，D正确。
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7. 如图所示，质量为m的小明（可视为质点）坐摩天轮。小明乘坐的
座舱与摩天轮的转轴间的距离为r，摩天轮以大小为k（常数k＜
1，g为重力加速度）的角速度做匀速圆周运动。若小明坐在座舱水
平座垫上且双脚不接触底板，则下列说法正确的是（ ）
A. 小明通过最高点时不受重力
B. 小明做匀速圆周运动的周期为
C. 小明通过最高点时处于完全失重状态
D. 小明通过最低点时对座舱座垫的压力大小为k2mg
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解析： 当小明通过最高点时，小明依然受到重力作用，A错
误；小明做匀速圆周运动的周期T＝＝，B正确；小明做圆
周运动所需的向心力大小为F向＝mω2r＝k2mg＜mg，故小明通过最
高点时处于失重状态，但并非处于完全失重状态，C错误；当小明
通过最低点时，由牛顿第二定律有F－mg＝mω2r，解得F＝（1＋
k2）mg，根据牛顿第三定律可知，此时小明对座舱座垫的压力大小
为（1＋k2）mg，D错误。
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8. 一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构简化图如图所示。质量为M、
半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、
外两侧均可以旋转。陀螺的磁芯质量为m，其余部分质量不计。陀
螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向，大小恒为6mg。不
计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。
（1）若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为，求此时
轨道对陀螺的弹力大小。
答案： 10mg
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解析： 当陀螺在轨道内侧最高点时，设轨道
对小球的吸引力为F1，轨道对陀螺的支持力为N1，
小球所受的重力为mg，最高点的速度为v1，由受力
分析可知mg＋N1－F1＝m，解得N1＝10mg。
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（2）要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，求陀螺通
过最低点时的最大速度。
答案：
解析：设陀螺在轨道外侧运动到最低点时，轨道对小
球的吸引力为F2，轨道对陀螺的支持力为N2，小球
所受的重力为mg，通过最低点时的速度为v2，由受
力分析可知F2－N2－mg＝m
由题意可知，当N2＝0时，陀螺通过最低点时的速度
最大，最大速度为v2＝。
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9. 如图所示，质量m＝1 kg的小球在长为L＝0.5 m的细绳作用下，恰
能在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力Tmax＝42 N，
转轴离地高度h＝5.5 m，不计阻力，g＝10 m/s2。
（1）小球经过最高点的速度是多少？
答案： m/s
解析： 依题意，小球恰能在竖直平面内做圆
周运动，在最高点，根据牛顿第二定律有mg＝m
代入数据可得小球经过最高点的速度大小为v＝＝
m/s。
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（2）若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求此时小球
的速度大小；
答案： 4 m/s
解析：小球运动到最低点时细绳恰好被拉断，则绳的拉力大小
恰好为Tmax＝42 N
设此时小球的速度大小为v1，小球在最低点时，由牛顿第二
定律有Tmax－mg＝m
解得v1＝4 m/s。
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（3）细绳被拉断后小球运动的水平位移。
答案： 4 m
解析：细绳被拉断后小球做平抛运动，设运动时间为t，则对
小球，在竖直方向上有h－L＝gt2
代入数据解得t＝1 s
在水平方向上的位移为s＝v1t＝4 m。
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谢谢观看!
