习题课7 水平面内圆周运动的临界问题
1.有一种大型游戏器械，它是一个圆筒形大容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动，转速加快到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，此后有关游客的下列判断正确的是（ ）
A.游客受三个力，分别是重力、摩擦力、离心力
B.转速增大，游客受到的弹力必增大
C.转速增大，游客受到的摩擦力也增大
D.随着转速的增大，由离心现象可知，游客有沿壁向上滑动的趋势
2.（多选）如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A.A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势
B.B运动所需的向心力等于A运动所需的向心力
C.圆盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D.若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于圆盘与B间的动摩擦因数μB
3.一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m（M＞m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的μ倍，两物体用一根长为L（L＜R）的轻绳连在一起，如图所示。若将甲物体放在转轴的位置，甲、乙之间的轻绳刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘不发生相对滑动，则圆盘旋转的角速度最大不得超过（两物体均可看作质点，重力加速度为g）（ ）
A. B.
C. D.
4.（多选）餐桌上的转盘示意图如图所示，两个相同的盘子甲、乙分别放置在转盘上随转盘一起转动时，下列说法正确的是（ ）
A.甲、乙两个盘子的线速度相同
B.甲、乙两个盘子的角速度相同
C.甲、乙两个盘子的向心加速度大小相等
D.当转盘转速逐渐加快，甲盘将先滑动
5.（2024·河北石家庄期末）如图所示，一半径为R的圆环处于竖直平面内，A是与圆心等高点，圆环上套着一个可视为质点的、质量为m的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O的连线与竖直方向的夹角为θ，转速不同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度ω匀速转动且小球与圆环相对静止时（ ）
A.若圆环光滑，则角速度ω＝
B.若圆环光滑，则角速度ω＝
C.若小球与圆环间的动摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等于
D.若小球与圆环间的动摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等于
6.一转动轴垂直于一光滑水平面，交点O的上方h处固定一细绳的一端，细绳的另一端固定一质量为m的小球B（体积可忽略），细绳长AB＝l＞h，小球可随转动轴转动，并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图所示，要使小球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是（重力加速度为g）（ ）
A. B.π
C. D.2π
7.（多选）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用水平细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，质量均为m，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与圆盘间的动摩擦因数μ相同，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是（ ）
A.此时细线张力为T＝3μmg
B.此时圆盘的角速度为ω＝
C.此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外
D.若此时烧断细线，A仍相对盘静止，B将做离心运动
8.（多选）如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2 kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力fmax＝6.0 N，绳的一端系着木块，通过转台的中心孔O（孔光滑），另一端悬挂一个质量m＝1.0 kg的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是（g取10 m/s2，木块和物体均可看成质点）（ ）
A.0.04 m B.0.08 m
C.0.16 m D.0.32 m
9.如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T。（g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示）
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω'为多大？
10.如图所示，有一水平放置的圆盘，上面放有一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧的一端固定于圆心O点，另一端拴一质量为m的物体，物体与盘面间的最大静摩擦力为其重力的μ倍，开始时弹簧处于自然长度，长为R。
（1）物体开始滑动时圆盘的转速n0为多大？
（2）当转速达到2n0时，弹簧的伸长量Δx是多少？（结果用μ、m、R、k、g表示）
习题课7 水平面内圆周运动的临界问题
1.B 游客受三个力，分别是重力、静摩擦力和弹力，选项A错误；弹力提供向心力，转速增大，所需要的向心力增大，则游客受到的弹力增大，选项B正确；游客受到的静摩擦力与重力平衡，虽然转速增大，但静摩擦力不变，选项C错误；转速增大，弹力增大，但静摩擦力不变，游客没有向上滑动的趋势，选项D错误。
2.BC 把A、B当成一个整体，在水平方向上只受摩擦力作用，所以摩擦力即物块所受合力，提供向心力，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A错误；物块做匀速圆周运动，向心力F＝m，A、B质量相同，一起做匀速圆周运动的角速度、半径也相等，所以两者运动所需的向心力相等，故B正确；由受力分析可知B对A的摩擦力等于f，圆盘对B的摩擦力等于2f，故C正确；若B相对圆盘先滑动，则2μBmg－μAmg＜μAmg，即μB＜μA，故D错误。
3.D 当乙物体以最大角速度转动时，设轻绳拉力为T，以甲物体为研究对象，有T＝μMg，以乙物体为研究对象，有T＋μmg＝mLω2，可得ω＝，D正确，A、B、C错误。
4.BD 在同一转盘上无相对运动，因此盘子甲、乙的角速度相等，则由v＝ωr可知，因半径不同，则线速度不同，故A错误，B正确；向心加速度大小为a＝ω2r，由于盘子甲、乙的角速度相等，盘子甲的转动半径较大，所以盘子甲的向心加速度也较大，故C错误；甲的转动半径大，所需向心力也大，当所需向心力大于最大静摩擦力时，盘子会发生滑动，相同的盘子、相同的桌面，最大静摩擦力也相同，所以甲盘将先滑动，故D正确。
5.D 小球在图示位置时的受力分析如图所示，则小球所受合外力提供向心力，即F合＝mgtan θ＝mω2r，r＝Rsin θ，联立以上两式，解得ω＝，故A、B错误；若小球在A点时，则圆环对小球的支持力提供向心力，圆环对小球的静摩擦力与重力等大反向，即N＝mω2R，μN≥mg，联立解得ω≥，故C错误，D正确。
6.A 如图所示，设细绳与转动轴夹角为θ，以小球为研究对象，小球受三个力的作用；重力mg、水平面支持力N、细绳拉力T，在竖直方向合力为零，则有Tcos θ＋N＝mg，在水平方向上由牛顿第二定律有Tsin θ＝m（2πn）2R＝m（2πn）2htan θ，则n＝，当小球即将离开水平面时N＝0，T有最大值，转速n有最大值，则有nmax＝，故A正确，B、C、D错误。
7.ABC A和B随着圆盘转动时，合力提供向心力，则F＝mω2R，B的运动半径比A的半径大，所以B所需向心力大，细线拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向沿半径指向圆心，A的最大静摩擦力方向沿半径指向圆外，对物体A、B，根据牛顿第二定律分别得T－μmg＝mω2r，T＋μmg＝mω2·2r，解得T＝3μmg，ω＝，此时A的向心力大小为FA＝mω2r＝2μmg，B的向心力大小为FB＝mω2·2r＝4μmg，若此时烧断绳子，A、B的最大静摩擦力均不足以提供物体所需向心力，则A、B均做离心运动，故A、B、C正确，D错误。
8.BCD 木块所受的摩擦力和绳子对木块的拉力的合力提供木块做匀速圆周运动的向心力，根据向心力公式得mg＋f＝Mω2r，解得r＝；当f＝fmax＝6.0 N时，r最大，rmax＝ m＝0.32 m，当f＝－6.0 N时，r最小，则rmin＝ m＝0.08 m，故B、C、D正确，A错误。
9.（1） rad/s （2）2 rad/s
解析：（1）若小球刚好要离开锥面，则小球只受重力和细线的拉力，受力分析如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力方向水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得
mgtan θ＝mlsin θ
解得ω0＝＝ rad/s。
（2）当细线与竖直方向成60°角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtan α＝mω'2lsin α
解得ω'＝＝2 rad/s。
10.（1） （2）
解析：（1）当圆盘开始转动时，物体随圆盘一起转动，当未滑动时，由静摩擦力提供向心力，设最大静摩擦力对应的角速度为ω0，则μmg＝mR
又ω0＝2πn0
所以物体开始滑动时的转速n0＝。
（2）转速增大到2n0时，由最大静摩擦力和弹簧弹力的合力提供向心力，由牛顿第二定律有μmg＋kΔx＝mω2r
此时r＝R＋Δx，ω＝4πn0
联立以上各式解得Δx＝。
2 / 3习题课7 水平面内圆周运动的临界问题
核心素 养目标 科学思维 掌握水平面内圆周运动的临界条件。
科学态度与责任 会利用水平面内圆周运动的临界条件分析实际生活问题。
要点 水平面内圆周运动的临界问题
物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力（如拉力、支持力、摩擦力）发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。
水平面内圆周运动常见的临界问题有
（1）物体恰好（没有）发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。
（2）物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。
（3）绳子即将断裂，绳子的张力达到最大承受值。
（4）绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。
【典例1】 如图甲所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。
（1）当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚好不发生相对滑动，求ω1的值；
（2）如图乙所示，将物块和转轴用水平细绳相连，当转盘的角速度ω2＝时，求细绳的拉力T2的大小；
（3）将物块和转轴用水平细绳相连，当转盘的角速度ω3＝ 时，求细绳的拉力T3的大小。
尝试解答
【典例2】 （多选）如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，当轻杆绕轴OO'以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平面成θ角，b绳平行于水平面且长为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A.a绳一定受拉力作用
B.a绳所受拉力随角速度的增大而增大
C.当角速度ω＞ 时，b绳将出现弹力
D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
尝试解答
1.如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三个物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是（ ）
A.A的向心加速度最大
B.B和C所受摩擦力大小相等
C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动
D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
2.如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r。一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方r处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。当水平转盘以角速度ω匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω的值。
1.如图所示，在匀速转动的水平圆盘上离转轴某一距离处放一小木块，该木块恰能跟随圆盘做匀速圆周运动而不发生相对滑动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则在改变下列哪种条件时，物体仍能与圆盘保持相对静止（ ）
A.增大圆盘转动的角速度
B.增大木块到转轴的距离
C.增大木块的质量
D.改变上述的任一条件都不能使木块与圆盘继续保持相对静止
2.（多选）如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO'的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）
A.b一定比a先开始滑动
B.a、b所受的摩擦力始终相等
C.ω＝是b开始滑动的临界角速度
D.当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
3.如图所示为半球形容器，物块A静止在容器内，此时物块与球心的连线与竖直方向的夹角为α。让半球形容器绕过球心的竖直轴匀速转动，物块相对容器始终保持静止，则（ ）
A.在匀速转动过程中，物块受到的合力总是指向球心
B.随着转动的角速度增大，物块对容器的压力不变
C.随着转动的角速度增大，物块与容器间的摩擦力增大
D.在匀速转动过程中，物块A可能只受两个力
4.如图所示，竖直杆AB在A、B两点通过光滑铰链连接两等长轻杆AC和BC，AC和BC与竖直方向的夹角均为θ，轻杆长均为L，在C处固定一质量为m的小球，重力加速度为g，在装置绕竖直杆AB转动的角速度ω从0开始逐渐增大的过程中，下列说法正确的是（ ）
A.当ω＝0时，AC杆和BC杆对球的作用力都表现为拉力
B.AC杆对球的作用力先增大后减小
C.一定时间后，AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定
D.当ω＝ 时，BC杆对球的作用力为0
习题课7 水平面内圆周运动的临界问题
【核心要点·快突破】
要点
知识精研
【典例1】 （1） （2）0 （3）μmg
解析：（1）当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚好不发生相对滑动，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则μmg＝mr
解得ω1＝。
（2）由于ω2＜ω1，物块受到的最大静摩擦力大于所需向心力，此时绳对物块没有拉力，故T2＝0。
（3）由于ω3＞ω1，物块受到的最大静摩擦力不足以提供所需的向心力，此时绳对物块有拉力，则μmg＋T3＝mr，可得此时绳子对物块拉力的大小为T3＝μmg。
【典例2】 AC 对小球受力分析可得a绳的弹力在竖直方向的分力平衡了小球的重力，解得Ta＝，为定值，A正确，B错误；当Tacos θ＝mω2l，即ω＝时，b绳的弹力为零，若角速度大于该值，则b绳将出现弹力，C正确；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，D错误。
素养训练
1.C 因A、B、C三物体角速度相同，由a＝ω2r知物体C的向心加速度最大，选项A错误；摩擦力提供向心力，fB＝mω2R，fC＝mω2·（2R），物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，选项B错误；物体恰好滑动时有kmg＝mω2r，解得ω＝，则滑动的临界角速度与质量无关，r越大，临界角速度越小，所以物体C先滑动，选项C正确，D错误。
2.
解析：
物块恰好离开转盘，则N＝0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示，
mgtan θ＝mω2r
tan θ＝
联立解得ω＝。
【教学效果·勤检测】
1.C 木块刚要发生相对滑动时，最大静摩擦力提供向心力，此时有μmg＝mω2r，角速度ω增大，所需要的向心力F＝mω2r增大，mω2r将大于最大静摩擦力μmg而发生相对滑动，故A错误；木块到转轴的距离越大，需要的向心力F＝mω2r越大，则会发生滑动，故B错误；木块在圆盘上发生相对滑动的临界状态是μmg＝mω2r，由此可知与质量无关，所以增大木块的质量仍能保持相对静止，故C正确，D错误。
2.AC 小木块a、b做匀速圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R。当角速度增大时，静摩擦力增大，增大到最大静摩擦力时，开始发生相对滑动，对木块a：fa＝ml，当fa＝kmg时，kmg＝ml，可得ωa＝；对木块b：fb＝m·2l，当fb＝kmg时，kmg＝m·2l，可得ωb＝，所以b先达到最大静摩擦力，即b先开始滑动，选项A、C正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fa＜fb，选项B错误；ω＝＜ωa（临界角速度），a没有滑动，则fa＝mω2l＝kmg，选项D错误。
3.D 匀速转动时，物块做的是水平面内的匀速圆周运动，合力沿水平方向指向转轴，A错误；在转速增大过程中，物块开始受到圆弧对它沿圆弧切线向上的摩擦力减小，后变为沿圆弧切线向下的摩擦力增大，竖直方向合力始终为零，根据竖直方向力的平衡可知，随着转动的角速度增大，物块对容器的压力增大，B、C错误；当摩擦力为零时mgtan α＝mRω2sin α，即ω＝，此时物块只受两个力，D正确。
4.C 当ω＝0时，小球在水平方向受力平衡，因此AC杆对小球的作用力表现为拉力，BC杆对小球的作用力表现为支持力，且大小相等，A错误；当ω逐渐增大时，AC杆对小球的拉力逐渐增大，BC杆对小球的支持力逐渐减小，当BC杆的作用力为0时，有mgtan θ＝mω2Lsin θ，解得ω＝ ，当ω继续增大时，AC杆对小球的拉力继续增大，BC杆对小球的作用力变为拉力，且逐渐增大，B、D错误；一定时间后，AC杆和BC杆对球的作用力都变为拉力，拉力的竖直分力之差等于小球的重力，即FACcos θ－FBCcos θ＝mg，则FAC－FBC＝，因此AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定，C正确。
2 / 3(共48张PPT)
习题课7 水平面内圆周运动的临界问题
核心素 养目标 科学思维 掌握水平面内圆周运动的临界条件。
科学态度 与责任 会利用水平面内圆周运动的临界条件分
析实际生活问题。
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点 水平面内圆周运动的临界问题
物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引
起某些力（如拉力、支持力、摩擦力）发生变化，进而出现某些物理
量或运动状态的突变，即出现临界状态。
水平面内圆周运动常见的临界问题有
（1）物体恰好（没有）发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。
（2）物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。
（3）绳子即将断裂，绳子的张力达到最大承受值。
（4）绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。
【典例1】 如图甲所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转
轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静
摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。
（1）当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚好不发生相
对滑动，求ω1的值；
答案：
解析： 当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚
好不发生相对滑动，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静
摩擦力提供，则μmg＝mr
解得ω1＝。
（2）如图乙所示，将物块和转轴用水平细绳相连，当转盘的角速度
ω2＝时，求细绳的拉力T2的大小；
答案： 0
解析：由于ω2＜ω1，物块受到的最大静摩擦力大于所需向心力，此时绳对物块没有拉力，故T2＝0。
（3）将物块和转轴用水平细绳相连，当转盘的角速度ω3＝ 时，
求细绳的拉力T3的大小。
答案： μmg
解析：由于ω3＞ω1，物块受到的最大静摩擦力不足以提供所需的
向心力，此时绳对物块有拉力，则μmg＋T3＝mr，可得此时
绳子对物块拉力的大小为T3＝μmg。
【典例2】 （多选）如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于
一轻质细杆的A点和B点，当轻杆绕轴OO'以角速度ω匀速转动时，小
球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平面成θ角，b绳平行于水平
面且长为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A. a绳一定受拉力作用
B. a绳所受拉力随角速度的增大而增大
C. 当角速度ω＞ 时，b绳将出现弹力
D. 若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
解析：对小球受力分析可得a绳的弹力在竖直方向的分力平衡了小球
的重力，解得Ta＝，为定值，A正确，B错误；当Tacos θ＝mω2l，
即ω＝时，b绳的弹力为零，若角速度大于该值，则b绳将出现
弹力，C正确；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力
可能不变，D错误。
1. 如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘
面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三个物体的质量分别为
2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，
若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是（ ）
A. A的向心加速度最大
B. B和C所受摩擦力大小相等
C. 当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动
D. 当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
解析： 因A、B、C三物体角速度相同，由a＝ω2r知物体C的
向心加速度最大，选项A错误；摩擦力提供向心力，fB＝
mω2R，fC＝mω2·（2R），物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，选项B错误；物体恰好滑动时有kmg＝mω2r，解得ω＝，则滑动的临界角速度与质量无关，r越大，临界角速度越小，所以物体C先滑动，选项C正确，D错误。
2. 如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为
r。一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方r处，绳
恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静
摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。当水平转盘以角速
度ω匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω的值。
答案：
解析：物块恰好离开转盘，则N＝0，物块只受重力和绳的
拉力，如图所示，
mgtan θ＝mω2r
tan θ＝
联立解得ω＝。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. 如图所示，在匀速转动的水平圆盘上离转轴某一距离处放一小木
块，该木块恰能跟随圆盘做匀速圆周运动而不发生相对滑动，设最
大静摩擦力等于滑动摩擦力，则在改变下列哪种条件时，物体仍能
与圆盘保持相对静止（ ）
A. 增大圆盘转动的角速度
B. 增大木块到转轴的距离
C. 增大木块的质量
D. 改变上述的任一条件都不能使木块与圆盘继续保持
相对静止
解析： 木块刚要发生相对滑动时，最大静摩擦力提供向心力，
此时有μmg＝mω2r，角速度ω增大，所需要的向心力F＝mω2r增
大，mω2r将大于最大静摩擦力μmg而发生相对滑动，故A错误；木
块到转轴的距离越大，需要的向心力F＝mω2r越大，则会发生滑
动，故B错误；木块在圆盘上发生相对滑动的临界状态是μmg＝
mω2r，由此可知与质量无关，所以增大木块的质量仍能保持相对
静止，故C正确，D错误。
2. （多选）如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）
放在水平圆盘上，a与转轴OO'的距离为l，b与转轴的距离为2l，木
块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小
为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转
动的角速度，下列说法正确的是（ ）
A. b一定比a先开始滑动
B. a、b所受的摩擦力始终相等
C. ω＝是b开始滑动的临界角速度
D. 当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
解析： 小木块a、b做匀速圆周运动时，由静摩擦力提供向心
力，即f＝mω2R。当角速度增大时，静摩擦力增大，增大到最大静
摩擦力时，开始发生相对滑动，对木块a：fa＝ml，当fa＝kmg
时，kmg＝ml，可得ωa＝；对木块b：fb＝m·2l，当fb＝kmg时，kmg＝m·2l，可得ωb＝，所以b先达到最大静摩擦力，即b先开始滑动，选项A、C正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fa＜fb，选项B错误；ω＝＜ωa（临界角速度），a没有滑动，则fa＝mω2l＝kmg，选项D错误。
3. 如图所示为半球形容器，物块A静止在容器内，此时物块与球心的
连线与竖直方向的夹角为α。让半球形容器绕过球心的竖直轴匀速
转动，物块相对容器始终保持静止，则（ ）
A. 在匀速转动过程中，物块受到的合力总是指向球
心
B. 随着转动的角速度增大，物块对容器的压力不变
C. 随着转动的角速度增大，物块与容器间的摩擦力增
大
D. 在匀速转动过程中，物块A可能只受两个力
解析： 匀速转动时，物块做的是水平面内的匀速圆周运动，合
力沿水平方向指向转轴，A错误；在转速增大过程中，物块开始受
到圆弧对它沿圆弧切线向上的摩擦力减小，后变为沿圆弧切线向下
的摩擦力增大，竖直方向合力始终为零，根据竖直方向力的平衡可
知，随着转动的角速度增大，物块对容器的压力增大，B、C错
误；当摩擦力为零时mgtan α＝mRω2sin α，即ω＝，此时物
块只受两个力，D正确。
4. 如图所示，竖直杆AB在A、B两点通过光滑铰链连接两等长轻杆AC
和BC，AC和BC与竖直方向的夹角均为θ，轻杆长均为L，在C处固
定一质量为m的小球，重力加速度为g，在装置绕竖直杆AB转动的
角速度ω从0开始逐渐增大的过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 当ω＝0时，AC杆和BC杆对球的作用力都表现为拉力
B. AC杆对球的作用力先增大后减小
C. 一定时间后，AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定
D. 当ω＝ 时，BC杆对球的作用力为0
解析： 当ω＝0时，小球在水平方向受力平衡，因此AC杆对小
球的作用力表现为拉力，BC杆对小球的作用力表现为支持力，且
大小相等，A错误；当ω逐渐增大时，AC杆对小球的拉力逐渐增
大，BC杆对小球的支持力逐渐减小，当BC杆的作用力为0时，有
mgtan θ＝mω2Lsin θ，解得ω＝ ，当ω继续增大时，AC杆对小
球的拉力继续增大，BC杆对小球的作用力变为拉力，且逐渐增
大，B、D错误；一定时间后，AC杆和BC杆对球的作用力都变为拉力，拉力的竖直分力之差等于小球的重力，即FACcos θ－FBCcos θ＝mg，则FAC－FBC＝，因此AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定，C正确。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
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1. 有一种大型游戏器械，它是一个圆筒形大容器，筒壁竖直，游客进
入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动，转速加快到一定程度时，
突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，此后有关游客的下列判
断正确的是（ ）
A. 游客受三个力，分别是重力、摩擦力、离心力
B. 转速增大，游客受到的弹力必增大
C. 转速增大，游客受到的摩擦力也增大
D. 随着转速的增大，由离心现象可知，游客有沿壁向上滑动的趋势
解析： 游客受三个力，分别是重力、静摩擦力和弹力，选项A
错误；弹力提供向心力，转速增大，所需要的向心力增大，则游客
受到的弹力增大，选项B正确；游客受到的静摩擦力与重力平衡，
虽然转速增大，但静摩擦力不变，选项C错误；转速增大，弹力增
大，但静摩擦力不变，游客没有向上滑动的趋势，选项D错误。
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2. （多选）如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠
放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是
（ ）
A. A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势
B. B运动所需的向心力等于A运动所需的向心力
C. 圆盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D. 若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于
圆盘与B间的动摩擦因数μB
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解析： 把A、B当成一个整体，在水平方向上只受摩擦力作
用，所以摩擦力即物块所受合力，提供向心力，摩擦力方向指向圆
心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A错误；物块做匀速圆周运
动，向心力F＝m，A、B质量相同，一起做匀速圆周运动的角速
度、半径也相等，所以两者运动所需的向心力相等，故B正确；由
受力分析可知B对A的摩擦力等于f，圆盘对B的摩擦力等于2f，故C
正确；若B相对圆盘先滑动，则2μBmg－μAmg＜μAmg，即μB＜μA，
故D错误。
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3. 一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两
物体质量分别为M和m（M＞m），它们与圆盘之间的最大静摩擦
力均为压力的μ倍，两物体用一根长为L（L＜R）的轻绳连在一
起，如图所示。若将甲物体放在转轴的位置，甲、乙之间的轻绳刚
好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘不发生相对滑动，则圆盘
旋转的角速度最大不得超过（两物体均可看作质点，重力加速度为
g）（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 当乙物体以最大角速度转动时，设轻绳拉力为T，以甲
物体为研究对象，有T＝μMg，以乙物体为研究对象，有T＋μmg＝
mLω2，可得ω＝，D正确，A、B、C错误。
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4. （多选）餐桌上的转盘示意图如图所示，两个相同的盘子甲、乙分
别放置在转盘上随转盘一起转动时，下列说法正确的是（ ）
A. 甲、乙两个盘子的线速度相同
B. 甲、乙两个盘子的角速度相同
C. 甲、乙两个盘子的向心加速度大小相等
D. 当转盘转速逐渐加快，甲盘将先滑动
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解析： 在同一转盘上无相对运动，因此盘子甲、乙的角速度
相等，则由v＝ωr可知，因半径不同，则线速度不同，故A错误，B
正确；向心加速度大小为a＝ω2r，由于盘子甲、乙的角速度相等，
盘子甲的转动半径较大，所以盘子甲的向心加速度也较大，故C错
误；甲的转动半径大，所需向心力也大，当所需向心力大于最大静
摩擦力时，盘子会发生滑动，相同的盘子、相同的桌面，最大静摩
擦力也相同，所以甲盘将先滑动，故D正确。
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5. （2024·河北石家庄期末）如图所示，一半径为R的圆环处于竖直平面内，A是与圆心等高点，圆环上套着一个可视为质点的、质量为m的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O的连线与竖直方向的夹角为θ，转速不同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度ω匀速转动且小球与圆环相对静止时（ ）
A. 若圆环光滑，则角速度ω＝
B. 若圆环光滑，则角速度ω＝
C. 若小球与圆环间的动摩擦因数为μ，且小球位于
A点，则角速度ω可能等于
D. 若小球与圆环间的动摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等于
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解析： 小球在图示位置时的受力分析如图
所示，则小球所受合外力提供向心力，即F合
＝mgtan θ＝mω2r，r＝Rsin θ，联立以上两式，
解得ω＝，故A、B错误；若小球在A点
时，则圆环对小球的支持力提供向心力，圆环对小球的静摩擦力与重力等大反向，即N＝mω2R，μN≥mg，联立解得ω≥，故C错
误，D正确。
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6. 一转动轴垂直于一光滑水平面，交点O的上方h处固定一细绳的一
端，细绳的另一端固定一质量为m的小球B（体积可忽略），细绳
长AB＝l＞h，小球可随转动轴转动，并在光滑水平面上做匀速圆周
运动，如图所示，要使小球不离开水平面，转动轴的转速的最大值
是（重力加速度为g）（ ）
A. B. π
C. D. 2π
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解析： 如图所示，设细绳与转动轴夹角为
θ，以小球为研究对象，小球受三个力的作用；
重力mg、水平面支持力N、细绳拉力T，在竖直
方向合力为零，则有Tcos θ＋N＝mg，在水平方
向上由牛顿第二定律有Tsin θ＝m（2πn）2R＝m
（2πn）2htan θ，则n＝，当小球即将离开水平面时N＝0，T有最大值，转速n有最大值，则有nmax＝，故A正确，B、C、D错误。
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7. （多选）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用
水平细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，
质量均为m，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与圆盘间的动摩擦
因数μ相同，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当
圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是
（ ）
A. 此时细线张力为T＝3μmg
B. 此时圆盘的角速度为ω＝
C. 此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外
D. 若此时烧断细线，A仍相对盘静止，B将做离心运动
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解析： A和B随着圆盘转动时，合力提供向心力，则F＝
mω2R，B的运动半径比A的半径大，所以B所需向心力大，细线拉
力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的
静摩擦力方向沿半径指向圆心，A的最大静摩擦力方向沿半径指向
圆外，对物体A、B，根据牛顿第二定律分别得T－μmg＝mω2r，T
＋μmg＝mω2·2r，解得T＝3μmg，ω＝，此时A的向心力大小为
FA＝mω2r＝2μmg，B的向心力大小为FB＝mω2·2r＝4μmg，若此时
烧断绳子，A、B的最大静摩擦力均不足以提供物体所需向心力，
则A、B均做离心运动，故A、B、C正确，D错误。
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8. （多选）如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2 kg的木块，它
与转台间的最大静摩擦力fmax＝6.0 N，绳的一端系着木块，通过转
台的中心孔O（孔光滑），另一端悬挂一个质量m＝1.0 kg的物
体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，
则木块到O点的距离可以是（g取10 m/s2，木块和物体均可看成质
点）（ ）
A. 0.04 m B. 0.08 m
C. 0.16 m D. 0.32 m
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解析： 木块所受的摩擦力和绳子对木块的拉力的合力提供
木块做匀速圆周运动的向心力，根据向心力公式得mg＋f＝Mω2r，
解得r＝；当f＝fmax＝6.0 N时，r最大，rmax＝ m＝0.32
m，当f＝－6.0 N时，r最小，则rmin＝ m＝0.08 m，故B、
C、D正确，A错误。
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9. 如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的
小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直
方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运
动的角速度为ω时，细线的张力为T。（g取10 m/s2，sin 37°＝
0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示）
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度
ω0至少为多大？
答案： rad/s
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解析： 若小球刚好要离开锥面，则小球只受重
力和细线的拉力，受力分析如图所示。小球做匀速圆
周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力方向水平，在
水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得mgtan θ＝
mlsin θ
解得ω0＝＝ rad/s。
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（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω'为多
大？
答案： 2 rad/s
解析：当细线与竖直方向成60°角时，小球已离开锥面，由牛
顿第二定律及向心力公式得mgtan α＝mω'2lsin α
解得ω'＝＝2 rad/s。
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10. 如图所示，有一水平放置的圆盘，上面放有一劲度系数为k的轻质
弹簧，弹簧的一端固定于圆心O点，另一端拴一质量为m的物体，
物体与盘面间的最大静摩擦力为其重力的μ倍，开始时弹簧处于自
然长度，长为R。
（1）物体开始滑动时圆盘的转速n0为多大？
答案：
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解析： 当圆盘开始转动时，物体随圆盘一起转动，当
未滑动时，由静摩擦力提供向心力，设最大静摩擦力对应的
角速度为ω0，则μmg＝mR
又ω0＝2πn0
所以物体开始滑动时的转速n0＝。
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（2）当转速达到2n0时，弹簧的伸长量Δx是多少？（结果用μ、
m、R、k、g表示）
答案：
解析：转速增大到2n0时，由最大静摩擦力和弹簧弹力的合力
提供向心力，由牛顿第二定律有μmg＋kΔx＝mω2r
此时r＝R＋Δx，ω＝4πn0
联立以上各式解得Δx＝。
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谢谢观看!
