第4章 万有引力定律及航天
第1节 天地力的综合：万有引力定律
1.下列说法正确的是（ ）
A.两个微观粒子之间也存在万有引力
B.月—地检验的结果证明了引力与重力是两种不同性质的力
C.牛顿发现了万有引力定律并测定了引力常量
D.由公式F＝G可知，当r→0时，引力F→∞
2.二十四节气中的春分与秋分均为太阳直射赤道，春分为太阳从南回归线回到赤道，秋分则为太阳从北回归线回到赤道。2022年3月20日为春分，9月23日为秋分，可以推算从春分到秋分为187天，而从秋分到春分为179天。设以上两个时间段内地球公转的轨迹长度相等，如图所示，关于上述自然现象，下列说法正确的是（ ）
A.地球绕太阳公转的速度大小不变
B.从春分到秋分地球离太阳比从秋分到春分远
C.夏天地球离太阳较近
D.从春分到夏至地球公转的速度变大
3.太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，其中火星轨道半径为1.524天文单位（地球到太阳的平均距离为一个天文单位，1天文单位约等于1.496亿千米），则火星公转一周约为（ ）
A.0.8年 B.2年
C.3年 D.4年
4.1665年，牛顿研究“是什么力量使得行星围绕太阳运转”的问题。若把质量为m的行星运动近似看作匀速圆周运动，运用开普勒第三定律T2＝，则可推得（ ）
A.行星受太阳的引力为F＝k
B.行星受太阳的引力都相同
C.行星受太阳的引力F＝
D.质量越大的行星受太阳的引力一定越大
5.如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径分别为R1、R2，则两球间的万有引力大小为（ ）
A.G B.G
C.G D.G
6.火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为（ ）
A.0.2 B.0.4
C.2.0 D.2.5
7.在“金星凌日”的精彩天象中，观察到太阳表面上有颗小黑点缓慢走过，持续时间达六个半小时，那便是金星，如图所示。下面说法正确的是（ ）
A.金星轨道半长轴的三次方与公转周期的平方之比小于地球轨道半长轴的三次方与公转周期的平方之比
B.金星绕太阳运行轨道的半长轴大于地球绕太阳运行轨道的半长轴
C.金星绕太阳公转一周时间小于365天
D.相同时间内，金星与太阳连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫过的面积
8.如图所示，甲、乙两个质量均为M的球分别位于半圆环和圆环的圆心，半圆环和圆环分别是由相同的圆环截去和所得，环的粗细忽略不计，若图甲中环对球的万有引力为F，则图乙中环对球的万有引力大小为（ ）
A.F B.F
C.F D.F
9.地球、火星运行到太阳的两侧且三者近乎处于一条直线，这种现象称作“日凌”。2022年2月下旬至3月中旬，火星探测器“天问一号”处在“日凌”阶段，“天问一号”与地球的通信受到太阳电磁辐射干扰，出现不稳定甚至中断。3月中旬“日凌”结束时，火星的位置可能是（ ）
A.A处 B.B处
C.C处 D.D处
10.著名科学家钱学森同志是我国发展“两弹一星”的元勋功臣。1980年10月14日，中国科学院紫金山天文台发现了一颗绕太阳运行的小行星，2001年12月21日，经国际小行星中心和国际小行星命名委员会批准，这颗小行星被命名为“钱学森星”，以表彰这位“两弹一星”的功臣对我国科技事业做出的卓越贡献。若将地球和“钱学森星”绕太阳的运动都看成匀速圆周运动，它们的运行轨道如图所示。已知“钱学森星”绕太阳运行一周的时间约为3.4年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则“钱学森星”绕太阳运行的轨道半径约为（ ）
A.R B.R
C.R D.R
11.如图所示，地球质量M1约为月球质量M2的81倍，地球半径R1约为月球半径R2的4倍，一飞行器在近地圆轨道1上，经一系列变轨后在近月圆轨道2上运行，已知地球中心到月球中心的距离为r。求：
（1）飞行器在近地圆轨道1上受到地球的引力F1与在近月圆轨道2上受到月球的引力F2的比值；
（2）O为地月连线上一点，飞行器在该点受到地球和月球的引力的合力为零，求O点到地心的距离r1。
第1节 天地力的综合：万有引力定律
1.A 万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体之间的相互作用，具有普遍性，故A正确；月—地检验证明了地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同种性质的力，故B错误；牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许测定了引力常量，故C错误；当两个物体间距趋近于零时，两个物体不能视为质点，万有引力定律不再适用，故D错误。
2.B 由题图可知，地球到太阳的距离时刻改变。根据开普勒第二定律可知，地球的公转速度大小时刻改变，A错误；由题图可知，从春分到秋分地球离太阳比从秋分到春分远，B正确；由题图可知，夏天地球离太阳较远，C错误；由题图可知，从春分到夏至地球到太阳的距离越来越远，根据开普勒第二定律可知，从春分到夏至地球公转的速度变小，D错误。
3.B 由开普勒第三定律得＝，解得T火≈2年，故A、C、D错误，B正确。
4.C 行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供向心力，可得F＝mr，结合开普勒第三定律T2＝可得F＝，故A错误，C正确；由F＝可知引力F与距离r和行星的质量m有关，行星受太阳的引力不都相同，m大，F不一定大，所以质量越大的行星受太阳的引力不一定越大，故B、D错误。
5.D 对两质量分布均匀的球体，F＝G中的r为两球心之间的距离，则所求两球间的万有引力F＝G，故D正确。
6.B 由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面上时，受到的万有引力大小F地＝；质量为m的物体在火星表面上时，受到的万有引力大小F火＝。二者的比值＝＝0.4，B正确，A、C、D错误。
7.C 由开普勒第三定律可知，金星和地球都是围绕太阳公转，所以金星轨道半长轴的三次方与公转周期的平方之比等于地球轨道半长轴的三次方与公转周期的平方之比，故A错误；“金星凌日”现象的成因是光的直线传播，当金星转到太阳与地球中间且三者在一条直线上时，金星挡住了沿直线传播的太阳光，人们看到太阳上的黑点实际上是金星，由此可知发生“金星凌日”现象时，金星位于地球和太阳之间，故B错误；根据开普勒第三定律＝k可得＝，由题意知T地＝365天，由B选项的解析知R金＜R地，可得T金＜365天，故C正确；根据开普勒第二定律可知在同一轨道相同时间内，行星与太阳连线扫过的面积相等，但是不能说金星与太阳连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫过的面积，故D错误。
8.B 题图甲中半圆环对球的万有引力为F，可知圆环对球的引力大小为F，将题图乙中的圆环分成三个圆环，关于圆心对称的两个圆环对球的万有引力的合力为零，则题图乙中圆环对球的万有引力大小等于F，故B正确。
9.A 根据开普勒第三定律＝k，火星的运动半径大于地球，则周期更大，角速度更小，火星和地球均逆时针运动，相同时间内地球运动到3月中旬位置时，火星运动轨迹对应的弧度小于地球运动轨迹对应的弧度，只可能在A处。故选A。
10.C 根据开普勒第三定律，有＝，解得R钱＝R＝R，故C正确。
11.（1） （2）r
解析：（1）由万有引力定律得，飞行器在近地圆轨道1上受到地球的引力为F1＝G，在近月圆轨道2上受到月球的引力为F2＝G，则＝。
（2）设O点到月心的距离为r2，
由万有引力定律得G＝G，r1＋r2＝r，
由以上两式解得r1＝r。
3 / 3第4章 万有引力定律及航天
第1节 天地力的综合：万有引力定律
核心素养目标 物理观念 1.知道开普勒行星运动定律的内涵及科学价值。 2.了解开普勒第三定律中k值的大小只与中心天体有关。 3.知道万有引力是一种存在于所有物体之间的吸引力，知道万有引力定律的适用范围。
科学思维 1.会用万有引力定律解决简单的引力计算问题，知道万有引力定律公式中r的物理意义，了解引力常量G的测定在科学历史上的重大意义。 2.了解万有引力定律发现的意义，体会在科学规律发现过程中猜想与求证的重要性。
知识点一 行星运动的规律
内容 示意图
开普勒第 一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的 上
开普勒第 二定律 任何一个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的
开普勒第 三定律 行星绕太阳运行轨道半长轴a的立方与其公转周期T的平方成正比。数学表达式：
知识点二 万有引力定律
1.万有引力定律
内容 自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积m1m2成 ，与这两个物体间的距离r的 成反比
公式 F＝G，G＝ ，r指两个质点间的距离，对于匀质球体，就是两 的距离
条件 适用于两质点间的相互作用
2.“月—地”检验
证明了地球对地面物体的引力和天体之间的引力具有 ，遵循 。
知识点三 引力常量的测定
1.测定：1798年，英国物理学家 利用 实验，较精确地测出了引力常量数值。
2.意义
（1）使万有引力定律能进行定量运算，显示出其真正的实用价值。
（2）知道G的值后，利用万有引力定律可以计算出天体的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。
【情景思辨】
如图所示为太阳系中八大行星绕太阳的运动示意图。请判断下列说法的正误。
（1）太阳是行星运行轨道的中心，各行星绕太阳做匀速圆周运动。（ ）
（2）开普勒第三定律公式＝k中的k值，对于所有行星（或卫星）都相等。（ ）
（3）开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律。（ ）
（4）开普勒总结出了行星运动的规律并找出了行星按照这些规律运动的原因。（ ）
要点一 开普勒定律的理解和应用
【探究】
地球绕太阳运动的示意图及春分、夏至、秋分、冬至时地球所在的位置如图所示。请思考下列问题：
（1）太阳是否在轨道平面的中心？夏至、冬至时地球到太阳的距离是否相同？
（2）一年之内秋、冬两季比春、夏两季为什么要少几天？
【归纳】
定律 描述角度 理解
开普勒第 一定律 轨迹空间 （1）行星绕太阳运动的轨道严格来说不是圆而是椭圆，不同行星的轨道是不同的。 （2）太阳不在椭圆的中心，而是在其中的一个焦点上，太阳在所有行星轨道的一个共同焦点上
开普勒第 二定律 速度大小 （1）行星离太阳越近时速度越大，在近日点速度最大；行星靠近太阳时速度增大。 （2）行星离太阳越远时速度越小，在远日点速度最小；行星远离太阳时速度减小
开普勒第 三定律 周期长短 （1）公式：＝k，k是一个对所有行星都相同的物理量，即k是与行星无关的常量。 （2）椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长
特别提醒
开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动。为了便于研究问题，人们通常认为行星绕太阳做匀速圆周运动。
【典例1】 飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T。如果飞船要返回地面，可在轨道上某点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示，如果地球半径为R0，求飞船由A点运动到B点所需要的时间。
尝试解答
1. 如图所示，火星和地球都在围绕着太阳旋转，运行轨道都是椭圆。根据开普勒行星运动定律可知（ ）
A.太阳位于地球运行轨道的中心
B.地球靠近太阳的过程中，运行速率减小
C.火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
D.火星绕太阳运行一周的时间比地球的长
2.如图所示，某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运转半径的，设月球绕地球运动的周期为27天，则此卫星的运转周期大约是（ ）
A.天 B.天
C.1天 D.9天
要点二 万有引力定律的理解和简单应用
【探究】
如图所示，图甲为两个靠近的人，图乙为行星围绕太阳运行，图丙为我国的第一颗人造卫星“东方红一号”围绕地球运行。他们都是有质量的。请思考下列问题：
（1）任意两个物体之间都存在万有引力吗？
（2）为什么通常两个人之间感受不到万有引力？而太阳对行星（地球对人造卫星）的引力可以使行星（人造卫星）围绕太阳（地球）运转？
（3）地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？
【归纳】
1.公式F＝G的适用条件
（1）严格地说，公式适用于两质点间的相互作用。
（2）两个质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用公式来计算，其中r是两个球体球心间的距离。
（3）一个均匀球体与球外一个质点间的相互作用，公式也适用，其中r为球心到质点的距离。
（4）两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体间的距离。
2.万有引力的“四性”
特点 内容
普遍性 万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量的物体（大到天体，小到微观粒子）间的相互吸引力，它是自然界中物体间的基本相互作用之一
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，符合牛顿第三定律
宏观性 通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计
特殊性 两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量、它们之间的距离有关，和所在空间的性质无关，也和周围有无其他物体的存在无关
【典例2】 （多选）如图所示，三颗质量均为m的地球卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M、半径为R。下列说法正确的是（ ）
A.地球对一颗卫星的引力大小为
B.一颗卫星对地球的引力大小为
C.两颗卫星之间的引力大小为
D.三颗卫星对地球引力的合力大小为
尝试解答
【典例3】 如图所示，一质量为m1的球形物体，密度均匀，半径为R，在距球心为2R处有一质量为m的质点，若将球体挖去一个半径为的小球（两球心和质点在同一直线上，且挖去的球的球心在原来球心和质点连线之间，两球表面相切），则剩余部分对质点的万有引力的大小是多少？
尝试解答
方法技巧
“填补法”计算物体间的万有引力
计算质量分布均匀的不完整的球形物体间的万有引力时，常采用“填补法”。所谓“填补法”，即对本来是非对称的物体，通过“填补”后构成对称物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解的方法。
1.关于万有引力定律，下列说法中正确的是（ ）
A.牛顿最早测出引力常量G，使万有引力定律有了真正的实用价值
B.牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受地球引力都遵从同样的规律
C.由F＝G可知，距离r趋于零时，万有引力无限大
D.引力常量G的大小与中心天体选择有关
2.某实心匀质球的半径为R，质量为M，在球外离球面h高处有一质量为m的质点，则其受到实心匀质球的万有引力大小为（ ）
A.G B.G
C.G D.G
要点回眸
1.英国物理学家卡文迪许根据放大原理利用扭秤测出了万有引力常量。下述观点正确的是（ ）
A.万有引力常量G没有单位
B.卡文迪许用实验的方法证明了万有引力的存在
C.两个质量是1 kg的质点相距1 m时，万有引力的大小为6 367 N
D.在土星和地球上万有引力常量G的数值是不同的
2.太阳系有八大行星，八大行星离太阳的远近不同，绕太阳运转的周期也不相同。下列反映周期与轨道半径关系的图像中正确的是（ ）
3.对于太阳与行星间的引力表达式F＝G，下列说法错误的是（ ）
A.m1、m2彼此受到的引力是一对作用力与反作用力
B.m1、m2彼此受到的引力是一对平衡力，合力等于0，m1和m2都处于平衡状态
C.m1、m2彼此受到的引力总是大小相等
D.公式中的G为比例系数，与太阳、行星均无关
4.将地球看成质量分布均匀的球体，已知均匀球体对球外物体的万有引力相当于将球体的质量集中于球心的质点对物体的万有引力。假设在紧贴地球表面处挖去一半径为的球（R为地球半径），如图所示，在图中A点放置一质量为m的质点，则该质点在挖空前后受到的万有引力的比值为（ ）
A. B. C. D.
第1节 天地力的综合：万有引力定律
【基础知识·准落实】
知识点一
一个焦点 面积相等 ＝k
知识点二
1.正比 平方 6.67×10－11 N·m2/kg2 球心
2.相同性质 同样的规律
知识点三
1.卡文迪许 扭秤
情景思辨
（1）× （2）× （3）√ （4）×
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】 提示：（1）太阳不在轨道平面中心，夏至、冬至时地球到太阳的距离不同，夏至时地球到太阳的距离比冬至时远。
（2）根据开普勒第二定律，地球在秋、冬两季比在春、夏两季离太阳距离近，线速度大，所以秋、冬两季比春、夏两季要少几天。
【典例1】
解析：飞船沿椭圆轨道返回地面，由题图可知，飞船由A点到B点所需要的时间刚好是沿图中整个椭圆运动周期的一半，椭圆轨道的半长轴为，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T'
根据开普勒第三定律有＝
解得T'＝T＝
所以飞船由A点到B点所需要的时间为
t＝＝ 。
素养训练
1.D 根据开普勒第一定律可知，太阳位于地球运行轨道的一个焦点处，选项A错误；根据开普勒第二定律可知，地球靠近太阳的过程中，运行速率增大，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积不变，选项C错误；根据开普勒第三定律可知，火星绕太阳运行的半长轴大于地球绕太阳运行的半长轴，可知火星绕太阳运行一周的时间比地球的长，选项D正确。
2.C 由于r卫＝r月，T月＝27天，由开普勒第三定律得＝，可得T卫＝1天，故选项C正确。
要点二
知识精研
【探究】 提示：（1）任意两个物体间都存在万有引力。
（2）由于人的质量很小，两个人之间的万有引力很小，一般感受不到；但天体质量很大，天体间的引力很大，对天体的运动起决定作用。
（3）相等。它们是一对相互作用力。
【典例2】 AC
根据万有引力定律可知卫星与地球之间的引力大小为，r应为卫星到地球球心间的距离，也就是卫星运行轨道半径r，故A正确，B错误；做出卫星之间的位置关系图，如图所示，根据几何关系可知，两卫星间的距离d＝r，故两卫星间的引力大小为F＝G＝，故C正确；卫星对地球的引力均沿卫星地球间的连线向外，由于三颗卫星质量大小相等，对地球的引力大小相等，又因为三颗卫星等间隔分布，根据几何关系可知，地球受到三个卫星的引力大小相等、方向成120°角，所以合力为0，故D错误。
【典例3】
解析：小球未被挖去时，大球对质点的万有引力F1＝G＝G；由体积公式知，大球的质量m1＝πR3ρ，被挖去的小球的质量m2＝πρ，则有m2＝；小球在被挖去前对质点的万有引力F2＝G＝G。因此，小球被挖去后，剩余部分对质点的万有引力F＝F1－F2＝。
素养训练
1.B 最早测出引力常量G的物理学家是卡文迪许，不是牛顿，故A错误；牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受地球引力都遵从同样的规律，故B正确；公式F＝G 适用于质点之间的万有引力，当距离r趋于零时，万有引力公式不再适用，故C错误；引力常量G是一个定值，大小与中心天体选择无关，故D错误。
2.B 万有引力定律中r表示两个质点间的距离，因为匀质球可看成质量集中于球心上，所以r＝R＋h，选项B正确。
【教学效果·勤检测】
1.B 根据万有引力定律公式F＝G可知引力常量G有单位，为N·m2/kg2，故A错误；卡文迪许用实验的方法证明了万有引力的存在，并测出了万有引力常量，故B正确；两个质量是1 kg的质点相距1 m时，根据万有引力定律公式F＝G求得它们之间的万有引力的大小为6.67×10－11 N，故C错误；万有引力常量G的数值对所有物体都是一样的，故D错误。
2.D 由开普勒第三定律知＝k，所以R3＝kT2，故D正确。
3.B 太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是一对作用力与反作用力，不是平衡力，二者大小相等，故A、C正确，B错误；公式中的G为万有引力常量，与太阳、行星均无关，故D正确。
4.A 未挖前，在A处的质点受到的万有引力为F1＝G，挖去部分对A处质点的万有引力为F2＝G·＝G，故A处质点在挖空前后受到的万有引力的比值为＝，故选A。
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第1节 天地力的综合：万有引力定律
核心
素养
目标 物理观念 1.知道开普勒行星运动定律的内涵及科学价值。
2.了解开普勒第三定律中k值的大小只与中心天体
有关。
3.知道万有引力是一种存在于所有物体之间的吸引
力，知道万有引力定律的适用范围。
科学思维 1.会用万有引力定律解决简单的引力计算问题，知
道万有引力定律公式中r的物理意义，了解引力常量
G的测定在科学历史上的重大意义。
2.了解万有引力定律发现的意义，体会在科学规律
发现过程中猜想与求证的重要性。
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一 行星运动的规律
内容 示意图
开普勒第 一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都
是椭圆，太阳位于椭圆的
上
开普勒第 二定律 任何一个行星与太阳的连线在
相等的时间内扫过的
开普勒第 三定律 行星绕太阳运行轨道半长轴a
的立方与其公转周期T的平方
成正比。数学表达式：
一
个焦点
面积相等
＝k
知识点二 万有引力定律
1. 万有引力定律
内
容 自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体
的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积m1m2成
，与这两个物体间的距离r的 成反比
公
式
条
件 适用于两质点间的相互作用
正
比
平方
6.67×10－11 N·m2/kg2
球心
2. “月—地”检验
证明了地球对地面物体的引力和天体之间的引力具有
，遵循 。
相同性
质
同样的规律
知识点三 引力常量的测定
1. 测定：1798年，英国物理学家 利用 实验，较
精确地测出了引力常量数值。
2. 意义
（1）使万有引力定律能进行定量运算，显示出其真正的实用价
值。
（2）知道G的值后，利用万有引力定律可以计算出天体的质量，
卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。
卡文迪许
扭秤
【情景思辨】
如图所示为太阳系中八大行星绕太阳的运动示意图。请判断下列说
法的正误。
（1）太阳是行星运行轨道的中心，各行星绕太阳做匀速圆周运动。
（ × ）
×
（2）开普勒第三定律公式＝k中的k值，对于所有行星（或卫星）都
相等。 （ × ）
（3）开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律。
（ √ ）
（4）开普勒总结出了行星运动的规律并找出了行星按照这些规律运
动的原因。 （ × ）
×
√
×
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一 开普勒定律的理解和应用
【探究】
地球绕太阳运动的示意图及春分、夏至、秋分、冬至时地球所在的位置如图所示。请思考下列问题：
（1）太阳是否在轨道平面的中心？夏至、冬至时地球到太阳的距离
是否相同？
提示： 太阳不在轨道平面中心，夏至、冬至时地球到太阳
的距离不同，夏至时地球到太阳的距离比冬至时远。
（2）一年之内秋、冬两季比春、夏两季为什么要少几天？
提示： 根据开普勒第二定律，地球在秋、冬两季比在春、
夏两季离太阳距离近，线速度大，所以秋、冬两季比春、夏两
季要少几天。
【归纳】
定律 描述角度 理解
开普勒
第一定律 轨迹空间 （1）行星绕太阳运动的轨道严格来说不是圆而
是椭圆，不同行星的轨道是不同的。
（2）太阳不在椭圆的中心，而是在其中的一个
焦点上，太阳在所有行星轨道的一个共同焦点
上
开普勒
第二定律 速度大小 （1）行星离太阳越近时速度越大，在近日点速
度最大；行星靠近太阳时速度增大。
（2）行星离太阳越远时速度越小，在远日点速
度最小；行星远离太阳时速度减小
定律 描述角度 理解
开普勒
第 三定律 周期长短
特别提醒
开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕
行星的运动。为了便于研究问题，人们通常认为行星绕太阳做匀
速圆周运动。
【典例1】 飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T。如果飞
船要返回地面，可在轨道上某点A处，将速率降低到适当数值，从而
使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相
切，如图所示，如果地球半径为R0，求飞船由A点运动到B点所需要的
时间。
答案：
解析：飞船沿椭圆轨道返回地面，由题图可知，飞船由A点到B点所需
要的时间刚好是沿图中整个椭圆运动周期的一半，椭圆轨道的半长轴
为，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T'，根据开普勒第三定律有
＝，解得T'＝T＝ ，所以飞船
由A点到B点所需要的时间为t＝＝ 。
1. 如图所示，火星和地球都在围绕着太阳旋转，运行轨道都是椭圆。
根据开普勒行星运动定律可知（ ）
A. 太阳位于地球运行轨道的中心
B. 地球靠近太阳的过程中，运行速率减小
C. 火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等
时间内扫过的面积逐渐增大
D. 火星绕太阳运行一周的时间比地球的长
解析： 根据开普勒第一定律可知，太阳位于地球运行轨道的一
个焦点处，选项A错误；根据开普勒第二定律可知，地球靠近太阳
的过程中，运行速率增大，选项B错误；根据开普勒第二定律可
知，火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的
面积不变，选项C错误；根据开普勒第三定律可知，火星绕太阳运
行的半长轴大于地球绕太阳运行的半长轴，可知火星绕太阳运行一
周的时间比地球的长，选项D正确。
2. 如图所示，某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为
月球绕地球运转半径的，设月球绕地球运动的周期为27天，则此
卫星的运转周期大约是（ ）
C. 1天 D. 9天
解析： 由于r卫＝r月，T月＝27天，由开普勒第三定律得＝
，可得T卫＝1天，故选项C正确。
要点二 万有引力定律的理解和简单应用
【探究】
如图所示，图甲为两个靠近的人，图乙为行星围绕太阳运行，图丙
为我国的第一颗人造卫星“东方红一号”围绕地球运行。他们都是有
质量的。请思考下列问题：
（1）任意两个物体之间都存在万有引力吗？
提示： 任意两个物体间都存在万有引力。
（2）为什么通常两个人之间感受不到万有引力？而太阳对行星（地
球对人造卫星）的引力可以使行星（人造卫星）围绕太阳（地
球）运转？
提示： 由于人的质量很小，两个人之间的万有引力很小，
一般感受不到；但天体质量很大，天体间的引力很大，对天体
的运动起决定作用。
（3）地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？
提示： 相等。它们是一对相互作用力。
【归纳】
1. 公式F＝G的适用条件
（1）严格地说，公式适用于两质点间的相互作用。
（2）两个质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用公式来计
算，其中r是两个球体球心间的距离。
（3）一个均匀球体与球外一个质点间的相互作用，公式也适用，
其中r为球心到质点的距离。
（4）两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，公式也近似适
用，其中r为两物体间的距离。
2. 万有引力的“四性”
特点 内容
普遍性 万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量的物体（大到天
体，小到微观粒子）间的相互吸引力，它是自然界中物体
间的基本相互作用之一
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力与反作用
力，符合牛顿第三定律
特点 内容
宏观性 通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间
或天体与物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观
世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽
略不计
特殊性 两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量、它们之间
的距离有关，和所在空间的性质无关，也和周围有无其他
物体的存在无关
【典例2】 （多选）如图所示，三颗质量均为m的地球卫星等间隔分
布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M、半径为R。下列说法正确
的是（ ）
解析：根据万有引力定律可知卫星与地球之间的引力
大小为，r应为卫星到地球球心间的距离，也就是
卫星运行轨道半径r，故A正确，B错误；做出卫星之
间的位置关系图，如图所示，根据几何关系可知，两
卫星间的距离d＝r，故两卫星间的引力大小为F＝G＝，故C正确；卫星对地球的引力均沿卫星地球间的连线向外，由于三颗卫星质量大小相等，对地球的引力大小相等，又因为三颗卫星等间隔分布，根据几何关系可知，地球受到三个卫星的引力大小相等、方向成120°角，所以合力为0，故D错误。
【典例3】 如图所示，一质量为m1的球形物体，密度均匀，半径为
R，在距球心为2R处有一质量为m的质点，若将球体挖去一个半径为
的小球（两球心和质点在同一直线上，且挖去的球的球心在原来球心
和质点连线之间，两球表面相切），则剩余部分对质点的万有引力的
大小是多少？
答案：
解析：小球未被挖去时，大球对质点的万有引力F1＝G＝
G；由体积公式知，大球的质量m1＝πR3ρ，被挖去的小球的质量
m2＝πρ，则有m2＝；小球在被挖去前对质点的万有引力F2＝
G＝G。因此，小球被挖去后，剩余部分对质点的万有引力
F＝F1－F2＝。
方法技巧
“填补法”计算物体间的万有引力
计算质量分布均匀的不完整的球形物体间的万有引力时，常采用
“填补法”。所谓“填补法”，即对本来是非对称的物体，通过“填
补”后构成对称物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求
解的方法。
1. 关于万有引力定律，下列说法中正确的是（ ）
A. 牛顿最早测出引力常量G，使万有引力定律有了真正的实用价值
B. 牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受地球引力都遵
从同样的规律
D. 引力常量G的大小与中心天体选择有关
解析： 最早测出引力常量G的物理学家是卡文迪许，不是牛
顿，故A错误；牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受
地球引力都遵从同样的规律，故B正确；公式F＝G适用于质
点之间的万有引力，当距离r趋于零时，万有引力公式不再适用，
故C错误；引力常量G是一个定值，大小与中心天体选择无关，故
D错误。
2. 某实心匀质球的半径为R，质量为M，在球外离球面h高处有一质量
为m的质点，则其受到实心匀质球的万有引力大小为（ ）
解析： 万有引力定律中r表示两个质点间的距离，因为匀质球
可看成质量集中于球心上，所以r＝R＋h，选项B正确。
要点回眸
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. 英国物理学家卡文迪许根据放大原理利用扭秤测出了万有引力常
量。下述观点正确的是（ ）
A. 万有引力常量G没有单位
B. 卡文迪许用实验的方法证明了万有引力的存在
C. 两个质量是1 kg的质点相距1 m时，万有引力的大小为6 367 N
D. 在土星和地球上万有引力常量G的数值是不同的
解析： 根据万有引力定律公式F＝G可知引力常量G有单
位，为N·m2/kg2，故A错误；卡文迪许用实验的方法证明了万有引
力的存在，并测出了万有引力常量，故B正确；两个质量是1 kg的
质点相距1 m时，根据万有引力定律公式F＝G求得它们之间的
万有引力的大小为6.67×10－11 N，故C错误；万有引力常量G的数
值对所有物体都是一样的，故D错误。
2. 太阳系有八大行星，八大行星离太阳的远近不同，绕太阳运转的周
期也不相同。下列反映周期与轨道半径关系的图像中正确的是
（ ）
解析： 由开普勒第三定律知＝k，所以R3＝kT2，故D正确。
3. 对于太阳与行星间的引力表达式F＝G，下列说法错误的是
（ ）
A. m1、m2彼此受到的引力是一对作用力与反作用力
B. m1、m2彼此受到的引力是一对平衡力，合力等于0，m1和m2都处于
平衡状态
C. m1、m2彼此受到的引力总是大小相等
D. 公式中的G为比例系数，与太阳、行星均无关
解析： 太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是一对作用力与
反作用力，不是平衡力，二者大小相等，故A、C正确，B错误；
公式中的G为万有引力常量，与太阳、行星均无关，故D正确。
4. 将地球看成质量分布均匀的球体，已知均匀球体对球外物体的万有
引力相当于将球体的质量集中于球心的质点对物体的万有引力。假
设在紧贴地球表面处挖去一半径为的球（R为地球半径），如图
所示，在图中A点放置一质量为m的质点，则该质点在挖空前后受
到的万有引力的比值为（ ）
解析： 未挖前，在A处的质点受到的万有引力为F1＝G，
挖去部分对A处质点的万有引力为F2＝G·＝G，故A处质
点在挖空前后受到的万有引力的比值为＝，故选A。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 两个微观粒子之间也存在万有引力
B. 月—地检验的结果证明了引力与重力是两种不同性质的力
C. 牛顿发现了万有引力定律并测定了引力常量
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解析： 万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体
之间的相互作用，具有普遍性，故A正确；月—地检验证明了地面
物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同种性质的力，故B
错误；牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许测定了引力常量，故C
错误；当两个物体间距趋近于零时，两个物体不能视为质点，万有
引力定律不再适用，故D错误。
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2. 二十四节气中的春分与秋分均为太阳直射赤道，春分为太阳从南回
归线回到赤道，秋分则为太阳从北回归线回到赤道。2022年3月20
日为春分，9月23日为秋分，可以推算从春分到秋分为187天，而从
秋分到春分为179天。设以上两个时间段内地球公转的轨迹长度相
等，如图所示，关于上述自然现象，下列说法正确的是（ ）
A. 地球绕太阳公转的速度大小不变
B. 从春分到秋分地球离太阳比从秋分到春分远
C. 夏天地球离太阳较近
D. 从春分到夏至地球公转的速度变大
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解析： 由题图可知，地球到太阳的距离时刻改变。根据开普勒
第二定律可知，地球的公转速度大小时刻改变，A错误；由题图可
知，从春分到秋分地球离太阳比从秋分到春分远，B正确；由题图
可知，夏天地球离太阳较远，C错误；由题图可知，从春分到夏至
地球到太阳的距离越来越远，根据开普勒第二定律可知，从春分到
夏至地球公转的速度变小，D错误。
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3. 太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，其
中火星轨道半径为1.524天文单位（地球到太阳的平均距离为一个
天文单位，1天文单位约等于1.496亿千米），则火星公转一周约为
（ ）
A. 0.8年 B. 2年
C. 3年 D. 4年
解析： 由开普勒第三定律得＝，
解得T火≈2年，故A、C、D错误，B正确。
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4. 1665年，牛顿研究“是什么力量使得行星围绕太阳运转”的问题。
若把质量为m的行星运动近似看作匀速圆周运动，运用开普勒第三
定律T2＝，则可推得（ ）
B. 行星受太阳的引力都相同
D. 质量越大的行星受太阳的引力一定越大
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解析： 行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供向
心力，可得F＝mr，结合开普勒第三定律T2＝可得F＝，
故A错误，C正确；由F＝可知引力F与距离r和行星的质量m
有关，行星受太阳的引力不都相同，m大，F不一定大，所以质量
越大的行星受太阳的引力不一定越大，故B、D错误。
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5. 如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分
别为m1、m2，半径分别为R1、R2，则两球间的万有引力大小为
（ ）
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解析： 对两质量分布均匀的球体，F＝G中的r为两球
心之间的距离，则所求两球间的万有引力F＝
G，故D正确。
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6. 火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物
体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为（ ）
A. 0.2 B. 0.4 C. 2.0 D. 2.5
解析： 由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面上
时，受到的万有引力大小F地＝；质量为m的物体在火星表面
上时，受到的万有引力大小F火＝。二者的比值＝＝
0.4，B正确，A、C、D错误。
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7. 在“金星凌日”的精彩天象中，观察到太阳表面上有颗小黑点缓慢走过，持续时间达六个半小时，那便是金星，如图所示。下面说法正确的是（ ）
A. 金星轨道半长轴的三次方与公转周期的平方
之比小于地球轨道半长轴的三次方与公转周期的平方之比
B. 金星绕太阳运行轨道的半长轴大于地球绕太阳运行轨道的半长轴
C. 金星绕太阳公转一周时间小于365天
D. 相同时间内，金星与太阳连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫
过的面积
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解析： 由开普勒第三定律可知，金星和地球都是围绕太阳公
转，所以金星轨道半长轴的三次方与公转周期的平方之比等于地球
轨道半长轴的三次方与公转周期的平方之比，故A错误；“金星凌
日”现象的成因是光的直线传播，当金星转到太阳与地球中间且三
者在一条直线上时，金星挡住了沿直线传播的太阳光，人们看到太
阳上的黑点实际上是金星，由此可知发生“金星凌日”现象时，金
星位于地球和太阳之间，故B错误；根据开普勒第三定律＝k可得＝，由题意知T地＝365天，由B选项的解析知R金＜R地，可得T金＜365天，故C正确；根据开普勒第二定律可知在同一轨道相同时间内，行星与太阳连线扫过的面积相等，但是不能说金星与太阳连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫过的面积，故D错误。
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8. 如图所示，甲、乙两个质量均为M的球分别位于半圆环和圆环的
圆心，半圆环和圆环分别是由相同的圆环截去和所得，环的粗
细忽略不计，若图甲中环对球的万有引力为F，则图乙中环对球的
万有引力大小为（ ）
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解析： 题图甲中半圆环对球的万有引力为F，可知圆环对球的
引力大小为F，将题图乙中的圆环分成三个圆环，关于圆心对
称的两个圆环对球的万有引力的合力为零，则题图乙中圆环对球
的万有引力大小等于F，故B正确。
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9. 地球、火星运行到太阳的两侧且三者近乎处于一条直线，这种现象
称作“日凌”。2022年2月下旬至3月中旬，火星探测器“天问一
号”处在“日凌”阶段，“天问一号”与地球的通信受到太阳电磁
辐射干扰，出现不稳定甚至中断。3月中旬“日凌”结束时，火星
的位置可能是（ ）
A. A处 B. B处
C. C处 D. D处
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解析： 根据开普勒第三定律＝k，火星的运动半径大于地球，
则周期更大，角速度更小，火星和地球均逆时针运动，相同时间内
地球运动到3月中旬位置时，火星运动轨迹对应的弧度小于地球运
动轨迹对应的弧度，只可能在A处。故选A。
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10. 著名科学家钱学森同志是我国发展“两弹一星”的元勋功臣。
1980年10月14日，中国科学院紫金山天文台发现了一颗绕太阳运
行的小行星，2001年12月21日，经国际小行星中心和国际小行星
命名委员会批准，这颗小行星被命名为“钱学森星”，以表彰这
位“两弹一星”的功臣对我国科技事业做出的卓越贡献。若将地
球和“钱学森星”绕太阳的运动都看成匀速圆周运动，它们的运
行轨道如图所示。已知“钱学森星”绕太阳运行一周的时间约为
3.4年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则“钱学森星”绕太
阳运行的轨道半径约为（ ）
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解析： 根据开普勒第三定律，有＝，解得R钱＝R＝
R，故C正确。
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11. 如图所示，地球质量M1约为月球质量M2的81倍，地球半径R1
约为月球半径R2的4倍，一飞行器在近地圆轨道1上，经一系列
变轨后在近月圆轨道2上运行，已知地球中心到月球中心的距
离为r。求：
（1）飞行器在近地圆轨道1上受到地球的引力F1与在近月圆轨道2
上受到月球的引力F2的比值；
答案：
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解析： 由万有引力定律得，飞行器在近地圆轨道1上受
到地球的引力为F1＝G，在近月圆轨道2上受到月球的引
力为F2＝G，则＝。
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（2）O为地月连线上一点，飞行器在该点受到地球和月球的引力
的合力为零，求O点到地心的距离r1。
答案： r
解析：设O点到月心的距离为r2，
由万有引力定律得G＝G，r1＋r2＝r，
由以上两式解得r1＝r。
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谢谢观看!
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