习题课8 万有引力定律在天体中的综合应用
1.中国空间站“天宫课堂”在2022年3月23日下午3点40分开展第二次太空授课活动。若请你推荐授课实验内容，以下实验可以在空间站完成的是（ ）
A.用天平称量物体的质量
B.研究自由落体运动实验
C.进行平抛运动的研究实验
D.用橡皮筋和弹簧测力计完成力的合成实验
2.2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星表面2.8×102 km、远火点距离火星表面5.9×104 km，则“天问一号”（ ）
A.在近火点的加速度比远火点的小
B.在近火点的运行速度比远火点的小
C.在近火点的机械能比远火点的小
D.在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动
3.空间站在地球外层的稀薄大气中绕行，因气体阻力的影响，轨道高度会发生变化。空间站安装有发动机，可对轨道进行修正。图中给出了国际空间站在2020.02～2020.08期间离地高度随时间变化的曲线，则空间站（ ）
A.绕地运行速度约为2.0 km/s
B.绕地运行速度约为8.0 km/s
C.在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒
D.在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒
4.2021年2月10日，“天问一号”火星探测器被火星捕获，成功实现火星环绕，经过系列变轨后从调相轨道进入停泊轨道，为着陆火星做准备，如图所示。下列说法正确的是（ ）
A.“天问一号”从调相轨道进入停泊轨道时需在P点处加速
B.“天问一号”在停泊轨道上P点的加速度比在N点小
C.“天问一号”在停泊轨道上运动过程中，经过P点时的线速度比N点小
D.“天问一号”在停泊轨道上运行的周期比在调相轨道上的小
5.现对发射地球同步卫星的过程进行分析，如图所示，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，P点是轨道Ⅰ上的近地点，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则（ ）
A.卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
B.该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度11.2 km/s
C.在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
D.在轨道Ⅰ上，卫星在Q点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
6.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不会因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA∶rB＝1∶2，则两颗天体的（ ）
A.质量之比mA∶mB＝2∶1
B.转动方向相反
C.角速度之比ωA∶ωB＝1∶2
D.向心力大小之比FA∶FB＝2∶1
7.2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（ ）
A.6×105 m B.6×106 m
C.6×107 m D.6×108 m
8.（多选）“嫦娥五号”从月球返回地球的过程可以简单分成四步，如图所示，第一步将“嫦娥五号”发射至月球表面附近的环月圆轨道Ⅰ，第二步在环月轨道的A处进行变轨，进入月地转移轨道Ⅱ，第三步当接近地球表面附近时，又一次变轨，从B点进入绕地圆轨道Ⅲ，第四步再次变轨后降落至地面。下列说法正确的是（ ）
A.将“嫦娥五号”发射至轨道Ⅰ时，所需的发射速度为7.9 km/s
B.“嫦娥五号”从环月轨道Ⅰ进入月地转移轨道Ⅱ时需要加速
C.“嫦娥五号”从A点沿月地转移轨道Ⅱ到达B点的过程中其速率先减小后增大
D.“嫦娥五号”在第四步变轨时需要加速
9.天文学发现一个由A、B两颗星球组成的双星系统，观测到双星A、B间的距离为l，A星的运动周期为T，已知引力常量为G，则可求出（ ）
A.B星的质量
B.A、B两星球的总质量
C.A星的轨道半径
D.B星的线速度
10.已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在绕月球的圆形轨道Ⅰ上运动，A点距月球表面的高度为月球半径的3倍，飞船到达轨道Ⅰ的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。已知引力常量G，把月球看作质量分布均匀的球体，求：
（1）第一次点火和第二次点火分别是加速还是减速；
（2）飞船在轨道Ⅰ上的运行速率；
（3）飞船在轨道Ⅲ上绕月运行一周所需的时间。
习题课8 万有引力定律在天体中的综合应用
1.D 由于在空间站中处于完全失重状态，则与重力有关的实验都不能进行，用天平称量物体的质量、研究自由落体运动实验、进行平抛运动的研究都不能进行，但是可以用橡皮筋和弹簧测力计完成力的合成实验，故选D。
2.D 根据万有引力定律和牛顿第二定律，“天问一号”在近火点的加速度比远火点的大，选项A错误；“天问一号”围绕火星沿椭圆轨道运动，动能与引力势能之和保持不变，由此可知，“天问一号” 在近火点的运行速度比远火点的大， “天问一号” 在近火点的机械能与远火点的机械能相等，选项B、C错误；“天问一号”在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动，选项D正确。
3.D 近地卫星的运行速度为7.9 km/s，同步卫星的运行速度为3.1 km/s，此空间站的运行速度v应满足的条件为3.1 km/s＜v＜7.9 km/s，故A、B错误；由图像可以看出，4月份发动机工作对空间站轨道进行修正，而5月份发动机未工作，短时间内可忽略稀薄大气的阻力影响，机械能可视为守恒，故C错误，D正确。
4.D “天问一号”从调相轨道进入停泊轨道，需要做近心运动，因此在P点处应减速，A错误；根据G＝ma可知，“天问一号”在P点的加速度比在N点大，B错误；“天问一号”在停泊轨道上运动过程中，P点是离火星最近的点，N点是离火星最远的点，所以经过P点时的线速度比经过N点时的大，C错误；根据开普勒第三定律知“天问一号”在停泊轨道上运行的周期比在调相轨道上的小，D正确。
5.C 第一宇宙速度是卫星在近地轨道运行的线速度，根据＝m可知v＝，故轨道半径越大，线速度越小，所以同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，A错误；该卫星为地球的卫星，所以发射速度小于第二宇宙速度，B错误；P点为近地圆轨道上的一点，但要从近地圆轨道变轨到Ⅰ轨道，则需要在P点加速，所以在Ⅰ轨道上，卫星在P点的速度大于第一宇宙速度，C正确；在Q点要从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，则需要在Q点加速，即卫星在轨道Ⅱ上经过Q点的速度大于在轨道Ⅰ上经过Q点的速度，而轨道Ⅱ上的速度小于第一宇宙速度，故在轨道Ⅰ上，卫星在Q点的速度小于第一宇宙速度，D错误。
6.A 双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，则两星的角速度和周期相同且转动方向相同，故B、C错误；根据万有引力提供向心力有＝mArA＝mBrB，由此可得mA∶mB＝rB∶rA＝2∶1，故A正确；两天体均由万有引力提供向心力，则向心力大小相等，故D错误。
7.C “天问一号”探测器在椭圆形轨道上运动，则G＝mr，又G＝mg火，联立解得r＝3.3×107 m。由2r＝2R＋2.8×105 m＋h，解得h≈6×107 m，选项C正确。
8.BC 7.9 km/s是地球的第一宇宙速度，也是将卫星从地面发射到近地圆轨道的最小发射速度，而月球的第一宇宙速度比地球的小得多，故将卫星发射到近月轨道Ⅰ上的发射速度比7.9 km/s小得多，故A错误；“嫦娥五号”从环月轨道Ⅰ进入月地转移轨道Ⅱ时做离心运动，因此需要加速，故B正确；“嫦娥五号”从A点沿月地转移轨道Ⅱ到达B点的过程中，开始时受到的月球的引力大于受到的地球的引力，“嫦娥五号”做减速运动，当受到的地球的引力大于受到的月球的引力时，“嫦娥五号”开始做加速运动，故C正确；“嫦娥五号”在第四步变轨时做近心运动，因此需要减速，故D错误。
9.B 双星系统运行过程，两颗星球的运动周期相等、角速度相同，由两颗星球间的万有引力提供向心力，设A、B的轨道半径分别为r1，r2，由向心力公式可得G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，整理可得m1r1＝m2r2，m1＝，m2＝，又ω＝，故A、B两星球的总质量可表示为M＝m1＋m2＝，可以求出A、B两星球的总质量，由题意无法求出两星球的轨道半径，故两星球各自的质量无法求出，A、C错误，B正确；B星的线速度可表示为v＝，由于r2未知，故B星的线速度无法求出，D错误。
10.（1）都是减速 （2） （3）2π
解析：（1）由高轨道到低轨道，应该让卫星所需要的向心力小于万有引力，故要减速才可实现，即第一次点火与第二次点火都是减速。
（2）由题意可知轨道Ⅰ的轨道半径为4R，由万有引力提供向心力，设月球质量为M，飞船的质量为m，运行速率为v，根据牛顿第二定律有
G＝m，mg0＝G，
解得v＝。
（3）由题意可知轨道Ⅲ的轨道半径为R，设运行周期为T，根据牛顿第二定律有G＝mR，mg0＝G，联立解得T＝2π。
3 / 3习题课8 万有引力定律在天体中的综合应用
要点一 卫星相距“最近”“最远”问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示。
当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示.当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星再次相距最近。
【典例1】 （多选）赤道平面内的某颗卫星自西向东绕地球做圆周运动，该卫星离地面的高度小于地球同步静止卫星的高度，赤道上一观测者发现，该卫星连续两次出现在观测者正上方的最小时间间隔为t，已知地球自转周期为T0，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，由此可知该卫星绕地球运动的周期T和离地面的高度H为（ ）
A.T＝
B.T＝
C.H＝－R
D.H＝－R
尝试解答
（多选）2013年4月出现了“火星合日”的天象。“火星合日”是指火星、太阳、地球三者之间形成一条直线时，从地球的方位观察，火星位于太阳的正后方，火星被太阳完全遮蔽的现象，如图所示，已知地球、火星绕太阳运动的方向相同，若把火星和地球绕太阳运动的轨道视为圆，火星绕太阳公转周期约等于地球公转周期的2倍，由此可知（ ）
A.“火星合日”每年都会出现至少一次
B.“火星合日”不是每年都会出现
C.火星的公转半径约为地球公转半径的倍
D.火星的公转半径约为地球公转半径的8倍
要点二 卫星变轨问题分析
1.卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
（2）在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
（3）在B点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2.三个运行物理量的大小比较
（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB，在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。
（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。
（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2（半长轴）、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1＜T2＜T3。
【典例2】 “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道到达月球，在距月球表面 200 km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图所示。之后，卫星在P点经过几次“刹车制动”，最终在距月球表面 200 km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。用 T1、T2、T3 分别表示卫星在椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ和圆形轨道Ⅲ上运动的周期，用 a1、a2、a3分别表示卫星沿三个轨道运动到 P 点的加速度， v1、v2、v3分别表示卫星沿三个轨道运动到P 点的速度，则下面叙述正确的是（ ）
A.“嫦娥一号”在某一椭圆轨道运行时，由近地点向远地点运行时，相等时间内与地球连线扫过的面积逐渐增加
B.v1＜v2＜v3
C.T1＞T2＞T3
D.a1＞ a2＞ a3
尝试解答
规律总结
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
（1）判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。
（2）判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。
（3）判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。
（4）判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝G 进行判断。
（多选）发射同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使卫星沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ）
A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B.卫星的轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C.卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
要点三 航天器的对接问题
如图所示，要想使飞船A与空间站B对接，飞船A首先在比空间站低的轨道上运行，当运行到适当位置时，再加速运行到一个椭圆轨道上。通过控制使飞船跟空间站B恰好同时运行到两轨道的相切点，便可实现对接。
【典例3】 太空被称为是21世纪技术革命的摇篮，摆脱地球引力，在更“纯净”的环境中探求物质的本质，拨开大气层的遮盖，更直接地探索宇宙的奥秘，一直是科学家们梦寐以求的理想。我国最近发射的“神舟十三号”飞船与“天和核心舱”的成功对接极大地鼓舞了我国科学家的信心。要实现如图所示的“神舟十三号”飞船与“天和核心舱”完美对接，对接前飞船所处的轨道与飞船的运动状态应是（ ）
A.从较低轨道上加速
B.从较高轨道上加速
C.从与“天和核心舱”同一高度的轨道上加速
D.无论在什么轨道上，只要加速都行
尝试解答
我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后，与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成“组合体”。对接后的“组合体”仍在“天宫二号”的轨道上运行。“组合体”和“天宫二号”运动的轨道均可视为圆轨道，“组合体”和“天宫二号”相比，“组合体”运行的（ ）
A.周期变小 B.角速度变大
C.线速度大小不变 D.向心加速度变小
要点四 双星或多星问题
1.双星问题
（1）如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。
（2）特点
①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。
②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。
③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，两星轨道半径之比等于两星质量的反比。
（3）处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动所需的向心力，即＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2。
2.多星问题
在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：
（1）各个星体做圆周运动的周期、角速度相同。
（2）某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它万有引力的合力提供的。
【典例4】 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示。已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量为G，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T。
尝试解答
【典例5】 太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式（如图）：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为m，并设两种系统的运动周期相同，则（ ）
A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B.直线三星系统的运动周期T＝4πR
C.三角形三星系统中星体间的距离L＝R
D.三角形三星系统的线速度大小为
尝试解答
宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用而互相绕转，称之为双星系统。设某双星系统中的A、B两星球绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动，如图所示，现测得两星球球心之间的距离为L，运
动周期为T，已知引力常量为G，若AO＞OB，则（ ）
A.两星球的总质量等于
B.星球A的向心力大于星球B的向心力
C.星球A的线速度一定小于星球B的线速度
D.双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期减小
1.某人造地球卫星在距离地面高为h的轨道内做匀速圆周运动，现要变轨进入更高的轨道做匀速圆周运动，卫星需要（ ）
A.一直增大速度直到进入预定轨道做匀速圆周运动
B.一直减小速度直到进入预定轨道做匀速圆周运动
C.先增大速度实现变轨，到达预定轨道后做匀速圆周运动的速度比之前小
D.先减小速度实现变轨，到达预定轨道后做匀速圆周运动的速度比之前大
2.2021年5月，“天问一号”探测器软着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步。火星与地球公转轨道近似为圆，两轨道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。火星与地球每隔约26个月相距最近，地球公转周期为12个月。由以上条件可以近似得出（ ）
A.地球与火星的动能之比
B.地球与火星的自转周期之比
C.地球表面与火星表面重力加速度大小之比
D.地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比
3.宇宙星辰浩瀚璀璨，中国航天风正帆悬。我国首个火星巡视器“祝融”号已成功登陆火星。如图所示为“祝融”号经过多次变轨后登陆火星的轨迹图，轨道Ⅰ为圆形轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，两轨道相切于P点，下列说法正确的是（ ）
A.“祝融”号在轨道Ⅰ运行的周期小于在轨道Ⅱ运行的周期
B.若已知“祝融”号在轨道Ⅰ运行的半径、运行周期和引力常量，可算出火星的密度
C.“祝融”号减速下降登陆火星的过程中处于超重状态
D.“祝融”号在轨道Ⅰ上P点运行的速度一定小于在轨道Ⅱ上P点运行的速度
4.某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互作用的万有引力作用下绕二者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1到S2的距离为r，万有引力常量为G，由此可求出S2的质量为（ ）
A. B.
C. D.
习题课8 万有引力定律在天体中的综合应用
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】 AC 设卫星的周期为T，则有t＝2π，解得T＝，由万有引力提供向心力有G＝m（R＋H），在地表处有g＝，联立解得H＝－R，故选A、C。
素养训练
BC 根据题意有t－t＝2π，T火＝2T地，解得t＝＝2T地，故“火星合日”约每2年出现一次，选项B正确，A错误；根据G＝mr得r＝ ，火星绕太阳公转周期约等于地球公转周期的2倍，则火星的公转半径约为地球公转半径的倍，选项C正确，D错误。
要点二
知识精研
【典例2】 C 根据开普勒第二定律可知，“嫦娥一号”在某一椭圆轨道由近地点向远地点运行时，相等时间内与地球连线扫过的面积相同，故A错误；“嫦娥一号”从椭圆轨道Ⅰ到椭圆轨道Ⅱ最后进入Ⅲ都要在P点点火减速制动，做近心运动，可知v1＞v2＞v3，故B错误；由开普勒第三定律＝k可知，半长轴越大周期越大，所以T1＞T2＞T3，故C正确；根据万有引力定律可知，卫星沿三个轨道运动到P点所受万有引力相同，则卫星沿三个轨道运动到P点的加速度相同，故D错误。
素养训练
BD 卫星绕地球做圆周运动的向心力由地球对卫星的万有引力提供，由G＝m＝mω2r，可得v＝，ω＝，则轨道半径越大，线速度与角速度越小，选项A错误，B正确；根据万有引力定律和牛顿第二定律，可得a＝，此处r为卫星到地心的距离，所以，在轨道1、2上卫星经过Q点时的加速度相等，在轨道2、3上卫星经过P点时的加速度也相等，故选项C错误，D正确。
要点三
知识精研
【典例3】 A “神舟十三号”在较低轨道加速后，线速度变大，需要的向心力增大，故做离心运动，轨道升高，可实现与“天和核心舱”对接；若在较高轨道加速，则神舟十三号做离心运动，升到更高的轨道上，不能对接；若是在同一轨道上加速，则神舟十三号做离心运动，升到更高的轨道上，不能对接，故选A。
素养训练
C 根据万有引力提供向心力得G＝mr，解得T＝，“组合体”与“天宫二号”的轨道半径r相等，则“组合体”的周期不变，故A错误；根据万有引力提供向心力得G＝mω2r，解得ω＝，“组合体”与“天宫二号”的轨道半径r相等，则“组合体”的角速度不变，故B错误；根据万有引力提供向心力得G＝m，解得v＝，“组合体”与“天宫二号”的轨道半径r相等，则“组合体”的线速度大小不变，故C正确；根据万有引力提供向心力得G＝ma，解得a＝G，“组合体”与“天宫二号”的轨道半径r相等，则“组合体”的向心加速度不变，故D错误。
要点四
知识精研
【典例4】 见解析
解析：双星间的万有引力提供了各自做匀速圆周运动的向心力，对质量为m1的星体：＝m1r1ω2
对质量为m2的星体：＝m2r2ω2，且r1＋r2＝L
解得r1＝，r2＝
由G＝m1r1及r1＝得
周期T＝2πL。
【典例5】 B 直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相等，方向相反，选项A错误；对直线三星系统，有G＋G＝mR，解得T＝4πR，选项B正确；对三角形三星系统，根据万有引力定律和牛顿第二定律，得2Gcos 30°＝m·，解得L＝R，选项C错误；三角形三星系统的线速度大小v＝＝，代入解得v＝··，选项D错误。
素养训练
D 由题意可知，双星的角速度相等，根据v＝ωr，且AO＞OB，则vA＞vB，C错误；双星靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律知它们的向心力大小相等，B错误；根据万有引力提供向心力，对A有G＝MARA，对B有G＝MBRB其中L＝RA＋RB，解得T＝，MA＋MB＝，故当双星的质量一定，双星之间的距离减小时，其转动周期减小，D正确，A错误。
【教学效果·勤检测】
1.C 卫星要进入更高的轨道，需要做离心运动，当万有引力不足以提供其做圆周运动的向心力时，卫星做离心运动，则需要加速进入更高的轨道，到达预定轨道后做匀速圆周运动，根据＝m可得v＝可知，半径变大之后，速度v减小，故A、B、D错误，C正确。
2.D 根据题述火星与地球每隔约26个月相距最近，地球公转周期为12个月，可以得出火星公转周期，利用开普勒定律可以得出地球与火星绕太阳运动的公转半径之比，利用万有引力定律和牛顿第二定律可以得出地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比，选项D正确；由于不知地球和火星的质量关系以及半径关系，故不能得出地球与火星的动能之比，不能得出地球表面与火星表面重力加速度大小之比，选项A、C错误；根据题述条件不能得出地球与火星的自转周期之比，选项B错误。
3.C “祝融”号在轨道Ⅰ运行的轨道半径大于在轨道Ⅱ运行的轨道半长轴，根据开普勒第三定律＝k可知，“祝融”号在轨道Ⅰ运行的周期大于在轨道Ⅱ运行的周期，故A错误；由牛顿第二定律和万有引力定律得G＝mr，解得m火＝，若已知“祝融”号在轨道Ⅰ运行的半径、运行周期和引力常量，可以得出火星的质量m火，但由于不知道火星的半径R，不能得出火星的密度，故B错误；“祝融”号减速下降登陆火星的过程中具有向上的加速度，处于超重状态，故C正确；从高轨道变轨到低轨道时，需要点火减速，做近心运动到低轨道，所以在轨道Ⅰ上P点运行的速度大于在轨道Ⅱ上P点运行的速度，故D错误。
4.D 取S1为研究对象，S1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得G＝m1r1，解得m2＝，故选D。
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习题课8 万有引力定律在天体中的综合应用
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一 卫星相距“最近”“最远”问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的
角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。若某时刻两卫星正好同时通过地
面同一点正上方，相距最近，如图甲所示。
当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一
次相距最远，如图乙所示.当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足
ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星再次相距最近。
【典例1】 （多选）赤道平面内的某颗卫星自西向东绕地球做圆周
运动，该卫星离地面的高度小于地球同步静止卫星的高度，赤道上一
观测者发现，该卫星连续两次出现在观测者正上方的最小时间间隔为
t，已知地球自转周期为T0，地球半径为R，地球表面的重力加速度为
g，由此可知该卫星绕地球运动的周期T和离地面的高度H为（ ）
答案：AC
解析：设卫星的周期为T，则有t＝2π，解得T＝，由万
有引力提供向心力有G＝m（R＋H），在地表处有g＝
，联立解得H＝－R，故选A、C。
（多选）2013年4月出现了“火星合日”的天象。“火星合日”是
指火星、太阳、地球三者之间形成一条直线时，从地球的方位观察，
火星位于太阳的正后方，火星被太阳完全遮蔽的现象，如图所示，已
知地球、火星绕太阳运动的方向相同，若把火星和地球绕太阳运动的
轨道视为圆，火星绕太阳公转周期约等于地球公转周期的2倍，由此
可知（ ）
A. “火星合日”每年都会出现至少一次
B. “火星合日”不是每年都会出现
D. 火星的公转半径约为地球公转半径的8倍
解析：BC 根据题意有t－t＝2π，T火＝2T地，解得t＝＝2T
地，故“火星合日”约每2年出现一次，选项B正确，A错误；根据
G＝mr得r＝，火星绕太阳公转周期约等于地球公转周期
的2倍，则火星的公转半径约为地球公转半径的倍，选项C正确，D
错误。
要点二 卫星变轨问题
1. 卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图
所示。
（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨
道Ⅰ上。
（2）在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心
力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
（3）在B点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2. 三个运行物理量的大小比较
（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，
在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB，在A点加速，则vA
＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞
vB。
（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从
轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，
经过B点加速度也相同。
（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为T1、T2、
T3，轨道半径分别为r1、r2（半长轴）、r3，由开普勒第三定
律＝k可知T1＜T2＜T3。
【典例2】 “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道到达月球，在距
月球表面 200 km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入
椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图所示。之后，卫星在P点经过几次“刹车制
动”，最终在距月球表面 200 km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运
动。用 T1、T2、T3 分别表示卫星在椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ和圆形轨道Ⅲ上运动
的周期，用 a1、a2、a3分别表示卫星沿三个轨道运动到 P 点的加速
度， v1、v2、v3分别表示卫星沿三个轨道运动到P 点的速度，则下面
叙述正确的是（ ）
A. “嫦娥一号”在某一椭圆轨道运行时，由近地点向远地点运行
时，相等时间内与地球连线扫过的面积逐渐增加
B. v1＜v2＜v3
C. T1＞T2＞T3
D. a1＞ a2＞ a3
答案：C
解析：根据开普勒第二定律可知，“嫦娥一号”在某一椭圆轨道由近
地点向远地点运行时，相等时间内与地球连线扫过的面积相同，故A
错误；“嫦娥一号”从椭圆轨道Ⅰ到椭圆轨道Ⅱ最后进入Ⅲ都要在P点
点火减速制动，做近心运动，可知v1＞v2＞v3，故B错误；由开普勒第
三定律＝k可知，半长轴越大周期越大，所以T1＞T2＞T3，故C正
确；根据万有引力定律可知，卫星沿三个轨道运动到P点所受万有引
力相同，则卫星沿三个轨道运动到P点的加速度相同，故D错误。
规律总结
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
（1）判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越
慢”的规律判断。
（2）判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普
勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。
（3）判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心
运动或近心运动的条件进行分析。
（4）判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝G进行判断。
（多选）发射同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经
点火，使卫星沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆
轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示，则当
卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ）
A. 卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B. 卫星的轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C. 卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的
加速度
D. 卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的
加速度
解析：BD 卫星绕地球做圆周运动的向心力由地球对卫星的万有引
力提供，由G＝m＝mω2r，可得v＝，ω＝，则轨道半径
越大，线速度与角速度越小，选项A错误，B正确；根据万有引力定
律和牛顿第二定律，可得a＝，此处r为卫星到地心的距离，所以，
在轨道1、2上卫星经过Q点时的加速度相等，在轨道2、3上卫星经过
P点时的加速度也相等，故选项C错误，D正确。
要点三 航天器的对接问题
如图所示，要想使飞船A与空间站B对接，飞船A首先在比空间站低的
轨道上运行，当运行到适当位置时，再加速运行到一个椭圆轨道上。
通过控制使飞船跟空间站B恰好同时运行到两轨道的相切点，便可实
现对接。
【典例3】 太空被称为是21世纪技术革命的摇篮，摆脱地球引力，
在更“纯净”的环境中探求物质的本质，拨开大气层的遮盖，更直接
地探索宇宙的奥秘，一直是科学家们梦寐以求的理想。我国最近发射
的“神舟十三号”飞船与“天和核心舱”的成功对接极大地鼓舞了我
国科学家的信心。要实现如图所示的“神舟十三号”飞船与“天和核
心舱”完美对接，对接前飞船所处的轨道与飞船的运动状态应是
（ ）
A. 从较低轨道上加速
B. 从较高轨道上加速
C. 从与“天和核心舱”同一高度的轨道上加速
D. 无论在什么轨道上，只要加速都行
答案：A
解析：“神舟十三号”在较低轨道加速后，线速度变大，需要的向心
力增大，故做离心运动，轨道升高，可实现与“天和核心舱”对接；
若在较高轨道加速，则神舟十三号做离心运动，升到更高的轨道上，
不能对接；若是在同一轨道上加速，则神舟十三号做离心运动，升到
更高的轨道上，不能对接，故选A。
我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后，与已经在
轨运行的“天宫二号”成功对接形成“组合体”。对接后的“组合
体”仍在“天宫二号”的轨道上运行。“组合体”和“天宫二号”运
动的轨道均可视为圆轨道，“组合体”和“天宫二号”相比，“组合
体”运行的（ ）
A. 周期变小 B. 角速度变大
C. 线速度大小不变 D. 向心加速度变小
解析：C 根据万有引力提供向心力得G＝mr，解得T＝
，“组合体”与“天宫二号”的轨道半径r相等，则“组合体”
的周期不变，故A错误；根据万有引力提供向心力得G＝mω2r，解
得ω＝，“组合体”与“天宫二号”的轨道半径r相等，则“组合
体”的角速度不变，故B错
误；根据万有引力提供向心力得G＝m，解得v＝，“组合体”
与“天宫二号”的轨道半径r相等，则“组合体”的线速度大小不变，
故C正确；根据万有引力提供向心力得G＝ma，解得a＝G，“组
合体”与“天宫二号”的轨道半径r相等，则“组合体”的向心加速
度不变，故D错误。
要点四 双星或多星问题
1. 双星问题
（1）如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，
它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽
略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点
做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球
称为“双星”。
（2）特点
①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星
的运行周期、角速度相同。
②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。
③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，
两星轨道半径之比等于两星质量的反比。
（3）处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动所需的
向心力，即＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2。
2. 多星问题
在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：
（1）各个星体做圆周运动的周期、角速度相同。
（2）某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它万有引力的
合力提供的。
【典例4】 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其
连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，
科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示。已知双星的质量
分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量为G，求双星的运行
轨道半径r1和r2及运行周期T。
答案：见解析
解析：双星间的万有引力提供了各自做匀速圆周运动的向心力，对质
量为m1的星体：＝m1r1ω2
对质量为m2的星体：＝m2r2ω2，且r1＋r2＝L
解得r1＝，r2＝
由G＝m1r1及r1＝得
周期T＝2πL。
【典例5】 太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗
星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测
到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式（如图）：一种是三颗星
位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运
行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于
等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为m，并设两种系
统的运动周期相同，则（ ）
A. 直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
答案：B
解析：直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相等，方向相反，选
项A错误；对直线三星系统，有G＋G＝mR，解得T＝
4πR，选项B正确；对三角形三星系统，根据万有引力定律和牛
顿第二定律，得2Gcos 30°＝m·，解得L＝R，选项C
错误；
三角形三星系统的线速度大小v＝＝，代入解得v＝
··，选项D错误。
宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用而
互相绕转，称之为双星系统。设某双星系统中的A、B两星球绕其连线
上的某固定点
O做匀速圆周运动，如图所示，现测得两星球球心之间的距离为L，运
动周期为T，已知引力常量为G，若AO＞OB，则（ ）
B. 星球A的向心力大于星球B的向心力
C. 星球A的线速度一定小于星球B的线速度
D. 双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期减小
解析：D 由题意可知，双星的角速度相等，根据v＝ωr，且AO＞
OB，则vA＞vB，C错误；双星靠相互间的万有引力提供向心力，根
据牛顿第三定律知它们的向心力大小相等，B错误；根据万有引力
提供向心力，对A有G＝MARA，对B有G＝
MBRB其中L＝RA＋RB，解得T＝，MA＋MB＝
，故当双星的质量一定，双星之间的距离减小时，其转动周
期减小，D正确，A错误。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. 某人造地球卫星在距离地面高为h的轨道内做匀速圆周运动，现要
变轨进入更高的轨道做匀速圆周运动，卫星需要（ ）
A. 一直增大速度直到进入预定轨道做匀速圆周运动
B. 一直减小速度直到进入预定轨道做匀速圆周运动
C. 先增大速度实现变轨，到达预定轨道后做匀速圆周运动的速度比
之前小
D. 先减小速度实现变轨，到达预定轨道后做匀速圆周运动的速度比
之前大
解析：C 卫星要进入更高的轨道，需要做离心运动，当万有引力
不足以提供其做圆周运动的向心力时，卫星做离心运动，则需要加
速进入更高的轨道，到达预定轨道后做匀速圆周运动，根据＝
m可得v＝可知，半径变大之后，速度v减小，故A、B、D错
误，C正确。
2. 2021年5月，“天问一号”探测器软着陆火星取得成功，迈出了我
国星际探测征程的重要一步。火星与地球公转轨道近似为圆，两轨
道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。火星与地球每隔约
26个月相距最近，地球公转周期为12个月。由以上条件可以近似得
出（ ）
A. 地球与火星的动能之比
B. 地球与火星的自转周期之比
C. 地球表面与火星表面重力加速度大小之比
D. 地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比
解析：D 根据题述火星与地球每隔约26个月相距最近，地球公转
周期为12个月，可以得出火星公转周期，利用开普勒定律可以得出
地球与火星绕太阳运动的公转半径之比，利用万有引力定律和牛顿
第二定律可以得出地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比，
选项D正确；由于不知地球和火星的质量关系以及半径关系，故不
能得出地球与火星的动能之比，不能得出地球表面与火星表面重力
加速度大小之比，选项A、C错误；根据题述条件不能得出地球与
火星的自转周期之比，选项B错误。
3. 宇宙星辰浩瀚璀璨，中国航天风正帆悬。我国首个火星巡视器“祝
融”号已成功登陆火星。如图所示为“祝融”号经过多次变轨后登
陆火星的轨迹图，轨道Ⅰ为圆形轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，两轨道相
切于P点，下列说法正确的是（ ）
A. “祝融”号在轨道Ⅰ运行的周期小于在轨道Ⅱ运行的
周期
B. 若已知“祝融”号在轨道Ⅰ运行的半径、运行周期和
引力常量，可算出火星的密度
C. “祝融”号减速下降登陆火星的过程中处于超重状
态
D. “祝融”号在轨道Ⅰ上P点运行的速度一定小于在轨
道Ⅱ上P点运行的速度
解析：C “祝融”号在轨道Ⅰ运行的轨道半径大于在轨道Ⅱ运行的
轨道半长轴，根据开普勒第三定律＝k可知，“祝融”号在轨道Ⅰ
运行的周期大于在轨道Ⅱ运行的周期，故A错误；由牛顿第二定律
和万有引力定律得G＝mr，解得m火＝，若已知“祝
融”号在轨道Ⅰ运行的半径、运行周期和引力常量，可以得出火星
的质量m火，但由于不知道火星的半径R，不能得出火星的密度，故
B错误；“祝融”号减速下降登陆火星的过程中具有向上的加速
度，处于超重状态，故C正确；
从高轨道变轨到低轨道时，需要点火减速，做近心运动到低轨道，所
以在轨道Ⅰ上P点运行的速度大于在轨道Ⅱ上P点运行的速度，故D错误。
4. 某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互作用的万有引力
作用下绕二者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得
其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1到S2的距离为r，万有引力
常量为G，由此可求出S2的质量为（ ）
解析：D 取S1为研究对象，S1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律
得G＝m1r1，解得m2＝，故选D。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. 中国空间站“天宫课堂”在2022年3月23日下午3点40分开展第二次
太空授课活动。若请你推荐授课实验内容，以下实验可以在空间站
完成的是（ ）
A. 用天平称量物体的质量
B. 研究自由落体运动实验
C. 进行平抛运动的研究实验
D. 用橡皮筋和弹簧测力计完成力的合成实验
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解析： 由于在空间站中处于完全失重状态，则与重力有关的实
验都不能进行，用天平称量物体的质量、研究自由落体运动实验、
进行平抛运动的研究都不能进行，但是可以用橡皮筋和弹簧测力计
完成力的合成实验，故选D。
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2. 2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世
界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。
“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星表面
2.8×102 km、远火点距离火星表面5.9×104 km，则“天问一号”
（ ）
A. 在近火点的加速度比远火点的小
B. 在近火点的运行速度比远火点的小
C. 在近火点的机械能比远火点的小
D. 在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动
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解析： 根据万有引力定律和牛顿第二定律，“天问一号”在近
火点的加速度比远火点的大，选项A错误；“天问一号”围绕火星
沿椭圆轨道运动，动能与引力势能之和保持不变，由此可知，“天
问一号” 在近火点的运行速度比远火点的大， “天问一号” 在近
火点的机械能与远火点的机械能相等，选项B、C错误；“天问一
号”在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动，选项D正确。
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3. 空间站在地球外层的稀薄大气中绕行，因气体阻力的影响，轨道高
度会发生变化。空间站安装有发动机，可对轨道进行修正。图中给
出了国际空间站在2020.02～2020.08期间离地高度随时间变化的曲
线，则空间站（ ）
A. 绕地运行速度约为2.0 km/s
B. 绕地运行速度约为8.0 km/s
C. 在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒
D. 在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒
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解析： 近地卫星的运行速度为7.9 km/s，同步卫星的运行速度
为3.1 km/s，此空间站的运行速度v应满足的条件为3.1 km/s＜v＜
7.9 km/s，故A、B错误；由图像可以看出，4月份发动机工作对空
间站轨道进行修正，而5月份发动机未工作，短时间内可忽略稀薄
大气的阻力影响，机械能可视为守恒，故C错误，D正确。
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4. 2021年2月10日，“天问一号”火星探测器被火星捕获，成功实现火星环绕，经过系列变轨后从调相轨道进入停泊轨道，为着陆火星做准备，如图所示。下列说法正确的是（ ）
A. “天问一号”从调相轨道进入停泊轨道时需在P点处加速
B. “天问一号”在停泊轨道上P点的加速度比在N点小
C. “天问一号”在停泊轨道上运动过程中，经过P点时的线速度比N
点小
D. “天问一号”在停泊轨道上运行的周期比在调相轨道上的小
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解析： “天问一号”从调相轨道进入停泊轨道，需要做近心运
动，因此在P点处应减速，A错误；根据G＝ma可知，“天问一
号”在P点的加速度比在N点大，B错误；“天问一号”在停泊轨道
上运动过程中，P点是离火星最近的点，N点是离火星最远的点，
所以经过P点时的线速度比经过N点时的大，C错误；根据开普勒第
三定律知“天问一号”在停泊轨道上运行的周期比在调相轨道上的
小，D正确。
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5. 现对发射地球同步卫星的过程进行分析，如图所示，卫星首先进入
椭圆轨道Ⅰ，P点是轨道Ⅰ上的近地点，然后在Q点通过改变卫星速
度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则（ ）
A. 卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于第一宇宙速度7.9
km/s
B. 该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度11.2 km/s
C. 在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
D. 在轨道Ⅰ上，卫星在Q点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
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解析： 第一宇宙速度是卫星在近地轨道运行的线速度，根据
＝m可知v＝，故轨道半径越大，线速度越小，所以同步
卫星的运行速度小于第一宇宙速度，A错误；该卫星为地球的卫
星，所以发射速度小于第二宇宙速度，B错误；P点为近地圆轨道
上的一点，但要从近地圆轨道变轨到Ⅰ轨道，则需要在P点加速，所
以在Ⅰ轨道上，卫星在P点的速度大于第一宇宙速度，C正确；在Q点要从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，则需要在Q点加速，即卫星在轨道Ⅱ上经过Q点的速度大于在轨道Ⅰ上经过Q点的速度，而轨道Ⅱ上的速度小于第一宇宙速度，故在轨道Ⅰ上，卫星在Q点的速度小于第一宇宙速度，D错误。
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6. 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某
一点为圆心做匀速圆周运动，而不会因为万有引力的作用而吸引到
一起。如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运
动，它们的轨道半径之比rA∶rB＝1∶2，则两颗天体的（ ）
A. 质量之比mA∶mB＝2∶1
B. 转动方向相反
C. 角速度之比ωA∶ωB＝1∶2
D. 向心力大小之比FA∶FB＝2∶1
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解析： 双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，则两
星的角速度和周期相同且转动方向相同，故B、C错误；根据万有
引力提供向心力有＝mArA＝mBrB，由此可得mA∶mB
＝rB∶rA＝2∶1，故A正确；两天体均由万有引力提供向心力，则
向心力大小相等，故D错误。
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7. 2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功
实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊
轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径
约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7
m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为
（ ）
A. 6×105 m B. 6×106 m
C. 6×107 m D. 6×108 m
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解析： “天问一号”探测器在椭圆形轨道上运动，则G＝
mr，又G＝mg火，联立解得r＝3.3×107 m。由2r＝2R＋
2.8×105 m＋h，解得h≈6×107 m，选项C正确。
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8. （多选）“嫦娥五号”从月球返回地球的过程可以简单分成四步，
如图所示，第一步将“嫦娥五号”发射至月球表面附近的环月圆轨
道Ⅰ，第二步在环月轨道的A处进行变轨，进入月地转移轨道Ⅱ，第
三步当接近地球表面附近时，又一次变轨，从B点进入绕地圆轨道
Ⅲ，第四步再次变轨后降落至地面。下列说法正确的是（ ）
A. 将“嫦娥五号”发射至轨道Ⅰ
时，所需的发射速度为7.9 km/s
B. “嫦娥五号”从环月轨道Ⅰ进
入月地转移轨道Ⅱ时需要加速
C. “嫦娥五号”从A点沿月地转移轨道Ⅱ到达B点的过程中其速率先减小后增大
D. “嫦娥五号”在第四步变轨时需要加速
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解析： 7.9 km/s是地球的第一宇宙速度，也是将卫星从地面发
射到近地圆轨道的最小发射速度，而月球的第一宇宙速度比地球的
小得多，故将卫星发射到近月轨道Ⅰ上的发射速度比7.9 km/s小得
多，故A错误；“嫦娥五号”从环月轨道Ⅰ进入月地转移轨道Ⅱ时做
离心运动，因此需要加速，故B正确；“嫦娥五号”从A点沿月地
转移轨道Ⅱ到达B点的过程中，开始时受到的月球的引力大于受到
的地球的引力，“嫦娥五号”做减速运动，当受到的地球的引力大
于受到的月球的引力时，“嫦娥五号”开始做加速运动，故C正
确；“嫦娥五号”在第四步变轨时做近心运动，因此需要减速，故
D错误。
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9. 天文学发现一个由A、B两颗星球组成的双星系统，观测到双星A、
B间的距离为l，A星的运动周期为T，已知引力常量为G，则可求出
（ ）
A. B星的质量
B. A、B两星球的总质量
C. A星的轨道半径
D. B星的线速度
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解析： 双星系统运行过程，两颗星球的运动周期相等、角速度
相同，由两颗星球间的万有引力提供向心力，设A、B的轨道半径
分别为r1，r2，由向心力公式可得G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，整理可
得m1r1＝m2r2，m1＝，m2＝，又ω＝，故A、B两星球
的总质量可表示为M＝m1＋m2＝，可以求出A、B两星球的总
质量，由题意无法求出两星球的轨道半径，故两星球各自的质量无
法求出，A、C错误，B正确；B星的线速度可表示为v＝，由于
r2未知，故B星的线速度无法求出，D错误。
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10. 已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在绕月球的
圆形轨道Ⅰ上运动，A点距月球表面的高度为月球半径的3倍，飞船
到达轨道Ⅰ的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B
时再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。已知引力常量
G，把月球看作质量分布均匀的球体，求：
（1）第一次点火和第二次点火分别是加速
还是减速；
答案： 都是减速
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解析： 由高轨道到低轨道，应该让卫星所需要的向心力小于万有引力，故要减速才可实现，即第一次点火与第二次点火都是减速。
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（2）飞船在轨道Ⅰ上的运行速率；
答案：
解析：由题意可知轨道Ⅰ的轨道半径为4R，由万有引力提供向
心力，设月球质量为M，飞船的质量为m，运行速率为v，根
据牛顿第二定律有
G＝m，mg0＝G，
解得v＝。
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（3）飞船在轨道Ⅲ上绕月运行一周所需的时间。
答案： 2π
解析：由题意可知轨道Ⅲ的轨道半径为R，设运行周期为T，
根据牛顿第二定律有G＝mR，mg0＝G，联立解得T
＝2π。
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