章末综合检测（四） 万有引力定律及航天
（满分：100分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1.下列说法不符合物理学史的是（ ）
A.牛顿对引力常量G进行了准确测定，并于1687年发表在《自然哲学的数学原理》中
B.英国物理学家卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量G的数值
C.牛顿做了月—地检验，证明了地面物体所受引力和天体间引力遵循相同的规律
D.开普勒行星运动定律是开普勒在第谷留下的观测记录的基础上整理和研究出来的
2.关于开普勒第三定律公式＝k，下列说法正确的是（ ）
A.公式只适用于绕太阳沿椭圆轨道运行的行星
B.公式适用于宇宙中所有围绕恒星运动的行星
C.式中的k值，对所有行星和卫星都相等
D.式中的T代表行星自转的周期
3.物体在地球表面所受的重力为G，则在距地面高度为地球半径的3倍时，所受地球引力为（ ）
A. B.
C. D.
4.人造地球卫星在离地面的高度等于地球半径R处运行，已知地面上的重力加速度为g，则此卫星做匀速圆周运动的速度大小v等于（ ）
A. B.
C. D.
5.如图所示，A为静止于地球赤道上的物体，B为绕地球椭圆轨道运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B、C两卫星轨道的交点。已知A、B、C绕地心运动的周期相同，下列说法正确的是（ ）
A.相对于地心，卫星C的运行速率等于物体A的速率
B.相对于地心，卫星C的运行速率小于物体A的速率
C.卫星B在P点的运行加速度等于卫星C在该点的运行加速度
D.卫星B在P点的运行加速度大于卫星C在该点的运行加速度
6.地球上，在赤道上的一物体A和在上海的一物体B随地球自转而做匀速圆周运动，如图所示，它们的线速度分别为vA、vB，角速度分别为ωA、ωB，重力加速度分别为gA、gB，则（ ）
A.vA＝vB，ωA＝ωB，gA＞gB
B.vA＜vB，ωA＜ωB ，gA＞gB
C.vA＞vB，ωA＞ωB，gA＜gB
D.vA＞vB，ωA＝ωB，gA＜gB
7.黑洞是一种密度极大，引力极大的天体，以至于光都无法逃逸。史瓦西半径公式R＝是一种估算黑洞大小的方法，公式中引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，光速c＝3.0×108 m/s，天体的质量为M。已知地球的质量约为6.0×1024 kg，假如它变成一个黑洞，则该黑洞的直径的数量级为（ ）
A.10－5 m B.10－2 m
C.105 m D.103 m
8.天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是（ ）
A.三颗星的质量可能不相等
B.某颗星的质量为
C.它们的线速度大小均为
D.它们两两之间的万有引力大小为
二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分。每小题有多个选项符合题目要求。全部选对得4分，选对但不全的得2分，选错或不选得0分。
9.下列关于万有引力的说法正确的是（ ）
A.卡文迪许测出了引力常量G
B.对于质量分布均匀的球体，公式F＝G中的r指两球心之间的距离
C.因地球质量远小于太阳质量，故太阳对地球的引力远小于地球对太阳的引力
D.设想把一物体放到地球的中心（地心），则该物体受到地球的万有引力无穷大
10.在圆轨道上做匀速圆周运动的国际空间站里，一宇航员手拿一只小球相对于太空舱静止“站立”于舱内朝向地球一侧的“地面”上，如图所示。下列说法正确的是（ ）
A.宇航员相对于地球的速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间
B.若宇航员相对于太空舱无初速度释放小球，小球将继续做匀速圆周运动
C.宇航员将不受地球的引力作用
D.宇航员对“地面”的压力等于零
11.如图所示，一颗卫星绕地球做椭圆运动，运动周期为T，图中虚线为卫星的运动轨迹，A、B、C、D是轨迹上的四个位置，其中A距离地球最近，C距离地球最远。B点和D点是弧线ABC和ADC的中点，下列说法正确的是（ ）
A.卫星在A点的速度最大
B.卫星在C点的加速度最大
C.卫星从A经D到C的运动时间为
D.卫星从B经A到D的运动时间为
12.如图所示，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M（M远大于m1及m2），在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有（ ）
A.a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B.a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
三、非选择题：本题共5小题，共60分。
13.（8分）近年来我国航天技术取得一系列新突破。若某飞船质量为m，该飞船距离地球表面的高度为h。已知地球质量M，半径为R，万有引力常量G。设飞船绕地球做匀速圆周运动，求：
（1）该飞船所在处的重力加速度g；
（2）该飞船绕地球飞行的速度v。
14.（10分）预计我国将在2030年前后实现航天员登月计划，航天员登上月球后进行相关的科学探测与实验。已知月球的半径为R，宇航员在月球表面高为h处静止释放一小球，经过时间t落地。万有引力常量为G，求：
（1）月球的质量M。
（2）月球的第一宇宙速度v。
15.（12分）如图所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动，绕行方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则：
（1）经过多长时间，两行星再次相距最近？
（2）经过多长时间，两行星第一次相距最远？
16.（14分）2021年2月10日“天问一号”被火星捕获，通过调整进入环火轨道做匀速圆周运动，若“天问一号”在环火轨道上运动的线速度大小为v，周期为T，轨道离火星表面的高度为h，引力常量为G，忽略火星自转，求：
（1）火星的质量；
（2）火星表面的重力加速度。
17.（16分）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由96 m/s减小到0，历时80 s。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为 7 500 N的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，地球表面重力加速度大小取10 m/s2，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。求：
（1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离；
（2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。
章末综合检测（四） 万有引力定律及航天
1.A 英国物理学家卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量G的数值，故A不符合物理学史，B符合物理学史；牛顿做了月—地检验，证明了地面物体所受引力和天体间引力遵循相同的规律，故C符合物理学史；开普勒行星运动定律是开普勒在第谷留下的观测记录的基础上整理和研究出来的，故D符合物理学史。
2.B 开普勒第三定律适用于宇宙中所有围绕恒星运动的行星，也适用于围绕行星运动的卫星，A错误，B正确；公式＝k中的k值只与中心天体有关，对围绕同一中心天体运行的行星（或卫星）都相同，T代表行星（或卫星）公转的周期，C、D错误。
3.D 设地球的质量为M，半径为R，万有引力常量为G'，根据万有引力等于重力可得G'＝G，在距地面高度为地球半径的3倍时，有G'＝F，联立得F＝，故选D。
4.C 设卫星的质量为m，地球的质量为M，根据万有引力提供向心力＝，r＝2R，在地球表面有一质量为m'的物体，根据万有引力等于重力得＝m'g，联立以上等式，得出卫星得线速度v＝ ，故C正确。
5.C A、B、C绕地心运动的周期相同，根据v＝和C的轨道半径比A的大，可知C的运行速率比A大，A、B错误；在P点，加速度a＝，同一位置r相同，则加速度相等，C正确，D错误。
6.D 地球上的点除两极外，相同时间内绕各自圆心转过角度相同，所以角速度相同，ωA＝ωB；根据v＝ωr可知，角速度相同时，做圆周运动的半径越大，线速度越大，所以vA＞vB；地球上随纬度增加，重力加速度增大，在赤道上物体的重力加速度最小，在两极物体的重力加速度最大，所以gA＜gB。A、B、C错误，D正确。
7.B 根据题干中所给公式有R＝＝ m≈9×10－3 m。所以黑洞直径为d＝2R＝18×10－3 m＝1.8×10－2 m，故选B。
8.D 三星系统在外接于等边三角形的圆形轨道上做匀速圆周运动，可知它们相互间万有引力相等，可得三颗星的质量相等，故A错误；由几何关系可知该三星系统中星体做圆周运动的轨迹半径R＝＝l，则F向＝＝mR＝，F向＝2F万cos 30°＝，联立解得m＝，v＝，F万＝，故B、C错误，D正确。
9.AB 卡文迪许测出了引力常量G，故A正确；对于质量分布均匀的球体，公式F＝G中的r指两球心之间的距离，故B正确；太阳对地球的引力和地球对太阳的引力是一对相互作用力，大小相等，故C错误；把一物体放到地球的中心（地心）时，物体不能再视为质点，此时万有引力定律并不适用，所以该物体受到地球的万有引力不是无穷大，故D错误。
10.BD 7.9 km/s是发射卫星的最小速度，是卫星环绕地球运行的最大速度，可见，所有环绕地球运转的卫星、飞船等，其运行速度均小于7.9 km/s，故A错误；若宇航员相对于太空舱无初速释放小球，由于惯性，小球仍具有原来的速度，地球对小球的万有引力正好提供它
做匀速圆周运动所需要的向心力，即G＝m'，其中m'为小球的质量，故小球不会落到“地面”上，而是沿原来的轨道继续做匀速圆周运动，故B正确；宇航员受地球的引力作用，此引力提供宇航员随空间站绕地球做圆周运动的向心力，否则宇航员将脱离圆轨道，故C错误；因宇航员受的引力全部提供了向心力，宇航员不能对“地面”产生压力，处于完全失重状态，故D正确。
11.AC 卫星绕地球做椭圆运动，类似于行星绕太阳运转，根据开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，则知卫星与地球的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以卫星在距离地球最近的A点速度最大，在距离地球最远的C点速度最小，卫星在B、D两点的速度大小相等，故A正确；在椭圆的各个点上都是引力产生加速度，有a＝G，因A点的距离最小，则A点的加速度最大，故B错误；根据椭圆运动的对称性可知tADC＝tCBA＝，故C正确；椭圆上近地点A附近速度较大，远地点C附近速度最小，则tBAD＜，tDCB＞，故D错误。
12.AD 根据万有引力提供向心力，有G＝mr，解得T＝ ，所以＝＝＝，故B错误，A正确；设如图所示a、b与c连线间夹角为α，每隔时间t，a、b与c连线间夹角再一次为α则每隔时间t，a、b、c共线2次，根据几何关系有（ωa－ωb）t＝2π，所以t＝，故n＝＝＝＝－1＝7，则从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，故C错误，D正确。
13.（1） （2）
解析：（1）在该飞船所在处有G＝mg
解得g＝。
（2）飞船做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力，则
G＝m
解得v＝。
14.（1） （2）
解析：（1）小球做自由落体运动，则h＝g月t2
解得g月＝
月球表面物体的重力等于万有引力，则G＝mg月
解得月球的质量M＝。
（2）在月球表面的最大运行速度即为第一宇宙速度，有G＝m
解得v＝＝。
15.（1） （2）
解析：（1）A、B两行星和恒星M的连线再次在一条直线上，且AB在M的同侧，从角度上看，再次相距最近时，在相同时间内，A比B多转了2π；设再次相距最近的时间为t1，由t1－t1＝2π，解得t1＝。
（2）第一次相距最远时，在相同时间内，A比B多转了π，设时间为t2，由t2－t2＝π，解得t2＝。
16.（1） （2）
解析：（1）设“天问一号”的圆周半径为r，则v＝
解得r＝
根据万有引力提供向心力，有G＝m
解得M＝。
（2）设火星表面重力加速为g火，则G＝mg火
R＝r－h
解得g火＝。
17.（1）1.2 m/s2 3 840 m （2）1 875 kg
解析：（1）设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度大小为v1，末速度大小为v2，加速度大小为a。由匀变速直线运动的速度与时间关系式有v2＝v1－at
代入题给数据解得a＝1.2 m/s2
设探测器在动力减速阶段下降的距离为s，由匀变速直线运动的位移与时间关系式有s＝v1t－at2
代入数据解得s＝3 840 m。
（2）设火星的质量、半径和表面重力加速度大小分别为M火、r火和g火，地球的质量、半径和表面重力加速度大小分别为M地、r地和g地，已知＝，＝
对在火星表面上质量为m的物体，由物体所受的重力等于万有引力，有＝mg火，同理，该物体在地球表面上，有＝mg地，式中G为引力常量
联立解得g火＝4 m/s2
设变推力发动机的最大推力为F，能够悬停的探测器最大质量为mmax，由力的平衡条件有F＝mmaxg火
解得mmax＝1 875 kg。
1 / 3(共40张PPT)
章末综合检测（四） 万有引力定律及航天
（时间：90分钟 满分：100分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一
个选项符合题目要求。
1. 下列说法不符合物理学史的是（ ）
A. 牛顿对引力常量G进行了准确测定，并于1687年发表在《自然哲学的数学原理》中
B. 英国物理学家卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的
测量，得出了引力常量G的数值
C. 牛顿做了月—地检验，证明了地面物体所受引力和天体间引力遵
循相同的规律
D. 开普勒行星运动定律是开普勒在第谷留下的观测记录的基础上整
理和研究出来的
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解析： 英国物理学家卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万
有引力的测量，得出了引力常量G的数值，故A不符合物理学史，
B符合物理学史；牛顿做了月—地检验，证明了地面物体所受引力
和天体间引力遵循相同的规律，故C符合物理学史；开普勒行星运
动定律是开普勒在第谷留下的观测记录的基础上整理和研究出来
的，故D符合物理学史。
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2. 关于开普勒第三定律公式＝k，下列说法正确的是（ ）
A. 公式只适用于绕太阳沿椭圆轨道运行的行星
B. 公式适用于宇宙中所有围绕恒星运动的行星
C. 式中的k值，对所有行星和卫星都相等
D. 式中的T代表行星自转的周期
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解析： 开普勒第三定律适用于宇宙中所有围绕恒星运动的行
星，也适用于围绕行星运动的卫星，A错误，B正确；公式＝k中
的k值只与中心天体有关，对围绕同一中心天体运行的行星（或卫
星）都相同，T代表行星（或卫星）公转的周期，C、D错误。
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3. 物体在地球表面所受的重力为G，则在距地面高度为地球半径的3
倍时，所受地球引力为（ ）
解析： 设地球的质量为M，半径为R，万有引力常量为G'，根
据万有引力等于重力可得G'＝G，在距地面高度为地球半径的3
倍时，有G'＝F，联立得F＝，故选D。
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4. 人造地球卫星在离地面的高度等于地球半径R处运行，已知地面上
的重力加速度为g，则此卫星做匀速圆周运动的速度大小v等于
（ ）
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解析： 设卫星的质量为m，地球的质量为M，根据万有引力提
供向心力＝，r＝2R，在地球表面有一质量为m'的物体，根
据万有引力等于重力得＝m'g，联立以上等式，得出卫星得线
速度v＝ ，故C正确。
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5. 如图所示，A为静止于地球赤道上的物体，B为绕地球椭圆轨道运
行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B、C两卫星轨道的
交点。已知A、B、C绕地心运动的周期相同，下列说法正确的是
（ ）
A. 相对于地心，卫星C的运行速率等于物体A的速率
B. 相对于地心，卫星C的运行速率小于物体A的速率
C. 卫星B在P点的运行加速度等于卫星C在该点的运行
加速度
D. 卫星B在P点的运行加速度大于卫星C在该点的运行
加速度
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解析： A、B、C绕地心运动的周期相同，根据v＝和C的轨道
半径比A的大，可知C的运行速率比A大，A、B错误；在P点，加速
度a＝，同一位置r相同，则加速度相等，C正确，D错误。
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6. 地球上，在赤道上的一物体A和在上海的一物体B随地球自转而做
匀速圆周运动，如图所示，它们的线速度分别为vA、vB，角速度分
别为ωA、ωB，重力加速度分别为gA、gB，则（ ）
A. vA＝vB，ωA＝ωB，gA＞gB
B. vA＜vB，ωA＜ωB ，gA＞gB
C. vA＞vB，ωA＞ωB，gA＜gB
D. vA＞vB，ωA＝ωB，gA＜gB
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解析： 地球上的点除两极外，相同时间内绕各自圆心转过
角度相同，所以角速度相同，ωA＝ωB；根据v＝ωr可知，角速
度相同时，做圆周运动的半径越大，线速度越大，所以vA＞
vB；地球上随纬度增加，重力加速度增大，在赤道上物体的重
力加速度最小，在两极物体的重力加速度最大，所以gA＜gB。
A、B、C错误，D正确。
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7. 黑洞是一种密度极大，引力极大的天体，以至于光都无法逃逸。史
瓦西半径公式R＝是一种估算黑洞大小的方法，公式中引力常
量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，光速c＝3.0×108 m/s，天体的质量为
M。已知地球的质量约为6.0×1024 kg，假如它变成一个黑洞，则
该黑洞的直径的数量级为（ ）
A. 10－5 m B. 10－2 m
C. 105 m D. 103 m
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解析： 根据题干中所给公式有R＝＝
m≈9×10－3 m。所以黑洞直径为d＝2R＝18×10－3 m＝1.8×10－2
m，故选B。
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8. 天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点
上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动。已知引
力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下
列说法正确的是（ ）
A. 三颗星的质量可能不相等
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解析： 三星系统在外接于等边三角形的圆形轨道上做匀速圆周
运动，可知它们相互间万有引力相等，可得三颗星的质量相等，故
A错误；由几何关系可知该三星系统中星体做圆周运动的轨迹半径
R＝＝l，则F向＝＝mR＝，F向＝2F万cos
30°＝，联立解得m＝，v＝，F万＝，故B、C
错误，D正确。
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二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分。每小题有多个
选项符合题目要求。全部选对得4分，选对但不全的得2分，选错或不
选得0分。
9. 下列关于万有引力的说法正确的是（ ）
A. 卡文迪许测出了引力常量G
C. 因地球质量远小于太阳质量，故太阳对地球的引力远小于地球对
太阳的引力
D. 设想把一物体放到地球的中心（地心），则该物体受到地球的万
有引力无穷大
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解析： 卡文迪许测出了引力常量G，故A正确；对于质量分布
均匀的球体，公式F＝G中的r指两球心之间的距离，故B正
确；太阳对地球的引力和地球对太阳的引力是一对相互作用力，大
小相等，故C错误；把一物体放到地球的中心（地心）时，物体不
能再视为质点，此时万有引力定律并不适用，所以该物体受到地球
的万有引力不是无穷大，故D错误。
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10. 在圆轨道上做匀速圆周运动的国际空间站里，一宇航员手拿一只
小球相对于太空舱静止“站立”于舱内朝向地球一侧的“地面”
上，如图所示。下列说法正确的是（ ）
A. 宇航员相对于地球的速度介于7.9 km/s与11.2
km/s之间
B. 若宇航员相对于太空舱无初速度释放小球，小
球将继续做匀速圆周运动
C. 宇航员将不受地球的引力作用
D. 宇航员对“地面”的压力等于零
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解析： 7.9 km/s是发射卫星的最小速度，是卫星环绕地球运
行的最大速度，可见，所有环绕地球运转的卫星、飞船等，其运
行速度均小于7.9 km/s，故A错误；若宇航员相对于太空舱无初速
释放小球，由于惯性，小球仍具有原来的速度，地球对小球的万
有引力正好提供它做匀速圆周运动所需要的向心力，即G＝
m'，其中m'为小球的质量，故小球不会落到“地面”上，而是
沿原来的轨道继续做匀速圆周运动，故B正确；宇航员受地球的引力作用，此引力提供宇航员随空间站绕地球做圆周运动的向心力，否则宇航员将脱离圆轨道，故C错误；因宇航员受的引力全部提供了向心力，宇航员不能对“地面”产生压力，处于完全失重状态，故D正确。
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11. 如图所示，一颗卫星绕地球做椭圆运动，运动周期为T，图中虚线
为卫星的运动轨迹，A、B、C、D是轨迹上的四个位置，其中A距
离地球最近，C距离地球最远。B点和D点是弧线ABC和ADC的中
点，下列说法正确的是（ ）
A. 卫星在A点的速度最大
B. 卫星在C点的加速度最大
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解析： 卫星绕地球做椭圆运动，类似于行星绕太阳运转，根
据开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积
相等，则知卫星与地球的连线在相等时间内扫过的面积相等，所
以卫星在距离地球最近的A点速度最大，在距离地球最远的C点速
度最小，卫星在B、D两点的速度大小相等，故A正确；在椭圆的
各个点上都是引力产生加速度，有a＝G，因A点的距离最小，
则A点的加速度最大，故B错误；根据椭圆运动的对称性可知tADC
＝tCBA＝，故C正确；椭圆上近地点A附近速度较大，远地点C附
近速度最小，则tBAD＜，tDCB＞，故D错误。
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12. 如图所示，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M（M远大于
m1及m2），在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针
方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列
说法中正确的有（ ）
A. a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B. a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C. 从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共
线12次
D. 从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共
线14次
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解析： 根据万有引力提供向心力，有G＝mr，解得T＝
，所以＝＝＝，故B错误，A正确；设如图所示
a、b与c连线间夹角为α，每隔时间t，a、b与c连线间夹角再一次
为α则每隔时间t，a、b、c共线2次，根据几何关系有（ωa－ωb）t
＝2π，所以t＝，故n＝＝＝＝－1
＝7，则从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14
次，故C错误，D正确。
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三、非选择题：本题共5小题，共60分。
13. （8分）近年来我国航天技术取得一系列新突破。若某飞船质量为
m，该飞船距离地球表面的高度为h。已知地球质量M，半径为
R，万有引力常量G。设飞船绕地球做匀速圆周运动，求：
（1）该飞船所在处的重力加速度g；
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解析： 在该飞船所在处有G＝mg
解得g＝。
（2）飞船做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力，则
G＝m
解得v＝。
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解析： 飞船做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力，则
G＝m
解得v＝。
（2）该飞船绕地球飞行的速度v。
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14. （10分）预计我国将在2030年前后实现航天员登月计划，航天员
登上月球后进行相关的科学探测与实验。已知月球的半径为R，
宇航员在月球表面高为h处静止释放一小球，经过时间t落地。万
有引力常量为G，求：
（1）月球的质量M。
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解析： 小球做自由落体运动，则h＝g月t2
解得g月＝
月球表面物体的重力等于万有引力，则G＝mg月
解得月球的质量M＝。
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解析： 在月球表面的最大运行速度即为第一宇宙速度，有
G＝m
解得v＝＝。
（2）月球的第一宇宙速度v。
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15. （12分）如图所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运
动，绕行方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某
一时刻两行星相距最近，则：
（1）经过多长时间，两行星再次相距最近？
答案：
解析： A、B两行星和恒星M的连线再次在一条直线
上，且AB在M的同侧，从角度上看，再次相距最近时，在
相同时间内，A比B多转了2π；设再次相距最近的时间为t1，
由t1－t1＝2π，解得t1＝。
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（2）经过多长时间，两行星第一次相距最远？
答案：
解析：第一次相距最远时，在相同时间内，A比B多转了
π，设时间为t2，由t2－t2＝π，解得t2＝。
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16. （14分）2021年2月10日“天问一号”被火星捕获，通过调整进入
环火轨道做匀速圆周运动，若“天问一号”在环火轨道上运动的
线速度大小为v，周期为T，轨道离火星表面的高度为h，引力常量
为G，忽略火星自转，求：
（1）火星的质量；
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解析： 设“天问一号”的圆周半径为r，则v＝
解得r＝
根据万有引力提供向心力，有G＝m
解得M＝。
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解析：设火星表面重力加速为g火，则G＝mg火
R＝r－h
解得g火＝。
（2）火星表面的重力加速度。
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17. （16分）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避
障两个阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由96 m/s减小到
0，历时80 s。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为 7 500 N
的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆
点。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的
，地球表面重力加速度大小取10 m/s2，探测器在动力减速阶段
的运动视为竖直向下的匀减速运动。求：
（1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离；
答案： 1.2 m/s2 3 840 m
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解析： 设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度
大小为v1，末速度大小为v2，加速度大小为a。由匀变速直
线运动的速度与时间关系式有v2＝v1－at
代入题给数据解得a＝1.2 m/s2
设探测器在动力减速阶段下降的距离为s，由匀变速直线运
动的位移与时间关系式有s＝v1t－at2
代入数据解得s＝3 840 m。
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（2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器
的最大质量。
答案： 1 875 kg
解析：设火星的质量、半径和表面重力加速度大小分别为M
火、r火和g火，地球的质量、半径和表面重力加速度大小分别
为M地、r地和g地，已知＝，＝
对在火星表面上质量为m的物体，由物体所受的重力等于万
有引力，有＝mg火，同理，该物体在地球表面上，有
＝mg地，式中G为引力常量
联立解得g火＝4 m/s2
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设变推力发动机的最大推力为F，能够悬停的探测器最大质量为mmax，
由力的平衡条件有F＝mmaxg火
解得mmax＝1 875 kg。
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谢谢观看!
