2025年山东省淄博市中考数学真题
1．（2025·淄博）下列四个实数中，比﹣2大的无理数是（ ）
A．0 B．﹣1 C． D．
【答案】C
【知识点】实数的大小比较；无理数的概念
【解析】【解答】解：由题意可得：
<-2<<-1<0
故答案为：C
【分析】直接比较大小，结合无理数的定义即可求出答案.
2．（2025·淄博）如图是一个由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
该几何体的主视图是
故答案为：A
【分析】根据简单组合体的三视图即可求出答案.
3．（2025·淄博）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（ ）
A．8.16×1011 B．81.6×1011 C．0.816×1011 D．8.16×1012
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
8160亿=816000000000=8.16×1011
故答案为：A
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．（2025·淄博）某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：h）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．
则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．5，6 B．5，7 C．6，6 D．6，7
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据按从小到大的顺序排列为：
3，4，5，5，6，6，6，7，7，8
∴6出现的次数最多，即众数为6
处在最中间的数为6，6
∴中位数为
故答案为：C
【分析】根据众数，中位数的定义即可求出答案.
5．（2025·淄博）已知：如图，AB∥OD，∠1＝36°，∠2＝60°，则∠3的度数是（ ）
A．36° B．34° C．26° D．24°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：设AB交OE于点C
∵AB∥OD
∴∠ECB=∠2=60°
∴∠3=∠ECB-∠1=24°
故答案为：D
【分析】设AB交OE于点C，根据直线平行性质可得∠ECB=∠2=60°，再根据三角形外角性质即可求出答案.
6．（2025·淄博）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（如图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（①处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（ ）
李白醇酒 李白街上走，揭壶去买酒． 遇店加一倍，见花喝一斗． 三遇店和花①，喝光壶中酒． 试问壶中原有酒几斗？
A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设诗中李白的壶中原来有酒x斗
由题意可得：
解得：x=
故答案为：B
【分析】设诗中李白的壶中原来有酒x斗，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
7．（2025·淄博）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣1且x≠2 B．x≠﹣1且x≠3
C．x≠2且x≠3 D．x≠﹣1且x≠2且x≠3
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x+1≠0且x-3≠0且x-2≠0
解得：x≠﹣1且x≠2且x≠3
故答案为：D
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
8．（2025·淄博）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E．若AD＝5，AE＝10，则BC的长是（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：设圆心为O，连接OE
∵AC是圆O的切线
∴OE⊥AC
设圆半径为r
∴OE=OD=r
∴AO=AD+OD=5+r，AB=AD+BD=5+2x
在Tt△AEO中，由勾股定理可得：AO2=AE2+OE2
∴(5+r)2=102+r2
∴r=7.5
∴AO=12.5，AB=20
∵
∴
解得：BC=12
故答案为：B
【分析】设圆心为O，连接OE，根据切线性质可得OE⊥AC，设圆半径为r，则OE=OD=r，根据边之间的关系可得AO=AD+OD=5+r，AB=AD+BD=5+2x，再根据勾股定理建立方程，解方程可得AO=12.5，AB=20，再根据正弦定义建立方程，解方程即可求出答案.
9．（2025·淄博）如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧BD上的点，连接AP，CP，将线段CP绕点P顺时针旋转90°后得到线段PQ，连接AQ．若AB＝1，则△APQ的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点Q作QE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP交延长线于点F，连接AC交弧于点P1
则∠QEP=∠CFP=90°
∵∠QPC=90°
∴∠EQP+∠EPQ=∠FPC+∠EPQ=90°
∴∠EQP=∠FPC
由旋转可得，PC=PQ
∴△QPE≌△PCF(AAS)
∴EQ=PF
∵PF≤PC
∴EQ≤PC
∴AP+PF≤AP+PC≤AC
即当点P在P1时，EQ的值最大为CP1长
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AP1=CD=AB=1
∴
∴EQ的值最大为
∴△APQ的最大面积为
故答案为：C
【分析】过点Q作QE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP交延长线于点F，连接AC交弧于点P1，则∠QEP=∠CFP=90°，根据角之间的关系可得∠EQP=∠FPC，根据旋转性质可得PC=PQ，再根据全等三角形判定定理可得△QPE≌△PCF(AAS)，则EQ=PF，再根据边之间的关系可得AP+PF≤AP+PC≤AC，即当点P在P1时，EQ的值最大为CP1长，根据正方形性质可得AD=AP1=CD=AB=1，再根据勾股定理可得AC，根据边之间的关系可得EQ，再根据三角形面积即可求出答案.
10．（2025·淄博）如图，D为矩形OABC（边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上）对角线OB上的点，且ODBD．经过点D的反比例函数y的图象分别与AB，BC相交于点E，F，连接OE，OF，EF．若△OBF的面积是24，则△OEF的面积为（ ）
A．25 B．26 C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
令点A坐标为(a，0)，点C坐标为(0，b)
则点B坐标为(a，b)
∵ODBD
∴点D坐标可表示为
∵点D在反比例函数图象上
∴
∴反比例函数解析式为
∵点E，F在反比例函数的图象上
∴点F坐标为，点E坐标为
∴
∴
解得：ab=54
∴
故答案为：D
【分析】令点A坐标为(a，0)，点C坐标为(0，b)，则点B坐标为(a，b)，由题意可得点D坐标可表示为，将点D坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数解析式为，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得点F坐标为，点E坐标为，再根据两点间距离可得BF，BE，再根据三角形面积可得ab=54，再根据，结合矩形，三角形面积即可求出答案.
11．（2025·淄博）因式分解：2x2﹣18= ．
【答案】2（x+3）（x﹣3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3），
故答案为：2（x+3）（x﹣3）．
【分析】提公因式2，再运用平方差公式因式分解．
12．（2025·淄博）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠COD＝44°，则∠AOB＝ ．
【答案】136°
【知识点】角的运算；余角
【解析】【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∠COD＝44°，
∴∠COB=∠BOD-∠COD=46°
∴∠AOB=∠AOC+∠COB=136°
故答案为：136°
【分析】根据余角可得∠COB，再根据角之间的关系即可求出答案.
13．（2025·淄博）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话：
小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格x（元）所在的范围是 ．
【答案】50＜x＜60
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：50＜x＜60
故答案为：50＜x＜60
【分析】根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
14．（2025·淄博）已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，P是边CD的中点，E是边AD上的动点，线段EF分别与BC，AP相交于点F，Q．若∠FQP＝45°，则EF的长为 ．
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在BC上找一点M，使得BM=2，连接AM，PM，则MC=BC-BM=4
在△ABM和△MCP中
∴△ABM≌△MCP(SAS)
∴∠BAM=∠CMP，AM=MP
∴∠AMP=90°
∴△AMP是等腰直角三角形
∴∠MAP=45°
∵∠FQP=45°
∴∠MAP=∠FQP
∴AM∥EF
∵AE∥MF
∴四边形AEFM是平行四边形
∴EF=AM
∴
故答案为：2
【分析】在BC上找一点M，使得BM=2，连接AM，PM，则MC=BC-BM=4，根据全等三角形判定定理可得△ABM≌△MCP(SAS)，则∠BAM=∠CMP，AM=MP，再根据等腰直角三角形判定定理可得△AMP是等腰直角三角形，则∠MAP=45°，根据直线平行判定定理可得AM∥EF，再根据平行四边形判定定理可得四边形AEFM是平行四边形，则EF=AM，再根据勾股定理即可求出答案.
15．（2025·淄博）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域；
画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域；
画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域；
……
如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是 ．
【答案】100
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成1+1块区域；
画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4=1+1+2块区域；
画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7=1+1+2+3块区域；
......
∴画n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域
∵要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块
∴，即n(n+1)≥9998
∵99×100=9900<9998，100×101=10100>9998
∴至少要画的直线条数是100条
故答案为：100
【分析】根据前3句话，总结规律，根据题意建立不等式，再判断即可求出答案.
16．（2025·淄博）解方程组：．
【答案】解：，
由①得：x＝2③，
把③代入②得：4+y+3y＝12，
∴y＝2，
把y＝2代入③得：x＝2+1＝3，
∴原方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据代入消元法解方程组即可求出答案.
17．（2025·淄博）已知：如图：在△ABC中，D，F分别为边AB、BC的中点，∠AED＝∠DFB．
求证：
（1）△AED≌△DFB；
（2）∠C＝∠EDF．
【答案】（1）证明：∵点D、F分别为AB、BC的中点，
∴DF∥AC，AD＝BD，
∴∠A＝∠FDB，
在△AED和△DFB中，
，
∴△AED≌△DFB（AAS）
（2）证明：由（1）知：△AED≌△DFB，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴∠EDF＝∠DFB，
∵DF∥AC，
∴∠C＝∠DFB，
∴∠EDF＝∠C．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据根据三角形中位线定理可得DF∥AC，AD＝BD，再根据直线平行性质可得∠A＝∠FDB，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得∠ADE＝∠B，根据直线平行性质可得∠EDF＝∠DFB，∠C＝∠DFB，则∠EDF＝∠C，即可求出答案.
18．（2025·淄博）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校240km的某景区美术实践基地写生．现知共有200名师生参加了最近一次活动．
（1）一部分师生乘大巴车先行，出发36min后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度；
（2）该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？
【答案】（1）解：设大巴车的速度为x km/h，则中巴车速度是1.25x km/h，根据题意得：
，
解得x＝80，
经检验，x＝80是原方程的根且符合题意，
答：大巴车的速度为80km/h；
（2）解：设参加本次活动的学生人数是y人，则教师人数为（200﹣y）人，根据题意得：
10y+20（200﹣y）＝2200，
解得y＝190，
答：参加本次活动的学生人数是190人．
【知识点】一元一次方程的其他应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设大巴车的速度为x km/h，则中巴车速度是1.25x km/h，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设参加本次活动的学生人数是y人，则教师人数为（200﹣y）人，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
19．（2025·淄博）粮食安全，事关国计民生，增强学生粮食安全意识，培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表．
组别 成绩/分 额数（人数）
1 75≤x＜80 10
2 80≤x＜85 a
3 85≤x＜90 35
4 90≤x＜95 25
5 95≤x≤100 b
根据以上信息．解答下列问题：
（1）请直接写出统计表中的a＝ ，b＝ ，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是 度；
（2）请补全上面的结业成绩频数分布直方图；
（3）现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）20；10；90
（2）解：由题意，结合（1），a＝20，b＝10，即可作图．
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2 女3
男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） （男1，女3）
男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） （男2，女3）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） （女1，女3）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） （女2，女3）
女3 （女3，男1） （女3，男2） （女3，女1） （女3，女2）
由列表可知：恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意，∵第3组人数为35，占比35%，
∴总人数为35÷35%＝100（人）．
又∵第5组的圆心角为36°，
∴第5组占比为36°÷360°＝10%．
∴b＝10%×100＝10．
∴a＝100﹣10﹣35﹣25﹣10＝20．
∵第4组人数为25，
∴第4组对应的圆心角90°．
故答案为：20；10；90．
【分析】（1）根据第3组的人数与占比可得总人数，再求出第5组的占比，乘以总人数可得b值，用总人数减去其他组的人数可得a值，根据第四组的占比乘以360°可得对应圆心角.
（2）根据题意补全图形即可.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出恰好抽到1名男生和1名女生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
20．（2025·淄博）如图，反比例函数y（x＜0）和y（x＞0）的图象分别与直线y＝kx+b依次相交于A（m，1），B，C（3，n）三点．
（1）求出直线AC对应的函数表达式；
（2）分别以点A，C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点E和点F，直线EF交y轴于点D，连接AD、CD．试判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）请直接写出关于x的不等式kx+b的解集．
【答案】（1）解：把A（m，1）代入得m＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，1），
把C（3，n）代入，
得n＝4，
∴点C的坐标为（3，4），
把点（﹣6，1）和（3，4）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴直线AC对应的函数表达式
（2）解：由作图可得DA＝DC，即DA2＝DC2，
设点D的坐标为（0，d），
则62+（1﹣d）2＝32+（4﹣d）2，
解得d＝﹣2，
∴DA2＝DC2＝62+（1+2）2＝45，AC2＝（3+6）2+（4﹣1）2＝90，
∴DA2+DC2＝AC2，
∴△DAC是等腰直角三角形；
（3）解：x＜﹣6或﹣3＜x＜0
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（3）令x+3，
解得x1＝﹣6，x2＝﹣3，
由图象可得关于x的不等式的解集为x＜﹣6或﹣3＜x＜0．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数y可得点A的坐标为（﹣6，1），将点C坐标代入反比例函数y可得点C的坐标为（3，4），再根据待定系数法将点A，C坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）由题意可得DA2＝DC2，设点D的坐标为（0，d），根据勾股定理建立方程，解方程可得d＝﹣2，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（3）当一次函数y＝kx+b图象在反比例函数y下方时，有kx+b，结合函数图象即可求出答案.
21．（2025·淄博）如图，某学校教学楼AB和市创业大厦CD之间矗立着一座小山．为了测得大厦的高度，小伟首先登至小山的最高处E，测得B，D处的俯角分别为68.5°，27.7°；然后操控无人机铅直起飞至比E处高20m的F处，再次测得这两处的俯角分别为70.8°.33.3°．已知点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，AC为水平地面，AB＝12m．请求出大厦CD的高度（结果精确到0.1m，参考数据见下表）．
科学计算粉按键顺序 计算结果（已取近似值）
0.94
2.87
0.37
2.54
0.66
0.53
【答案】解：如图，延长AB交过E，F的水平线于G，H点，延长CD交过E，F的水平线于M，N点，
∵在Rt△EGB中，设GB＝x m，tan∠GEB，
∴GE，
∵在Rt△FHB中，tan∠HFB，
∴HF，
∵GE＝HF，
∴，
解得x≈153.9（m），
∴GB＝153.9m，
∴AH＝AB+GB+GH＝12+153.9+20＝185.9（m），
∵在Rt△EMD中，设MD＝y m，tan∠MED，
∴ME，
∵在Rt△NFD中，tan∠NFD，
∴FN，
∵ME＝FN，
∴，
解得y≈81.5（m），
∴MD＝81.5（m），
∴CN＝CD+MD+MN＝CD+81.5+20，
即CN＝CD+101.5，
∵AH＝CN，
∴CD+101.5＝185.9，
∴CD＝84.4（m），
答：大厦CD的高度约为84.4米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长AB交过E，F的水平线于G，H点，延长CD交过E，F的水平线于M，N点，设GB＝x m，根据正切定义可得GE，HF，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得GB＝153.9m，根据边之间的关系可得AH，设MD＝y m，根据正切定义可得ME，FN，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得MD＝81.5（m），再根据边之间的关系即可求出答案.
22．（2025·淄博）如图，一条抛物线y＝ax3+bx与x轴相交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．与y轴相交于点C．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）问在抛物线上是否存在点P，使得∠ABC∠PAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）将射线CB绕点C逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点D，再将抛物线沿直线CD平移，得到一条新的抛物线（其顶点为M），设这两条抛物线的交点为Q．
①求旋转角度的正切值；
②当∠CQM＝90°时，求原抛物线平移的距离．
【答案】（1）解：抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，
将两点坐标代入抛物线，得，
解得，
∴抛物线的表达式
（2）解：，
∴当x＝0时，，
∴，
作BC的中垂线交x轴于点E，连接CE，则CE＝BE，
∴∠ECB＝∠ABC，
∴∠AEC＝∠ABC+∠BCE＝2∠ABC，
∵B（5，0），，
∴OB＝5，，
设OE＝m，则CE＝BE＝5﹣m，
在Rt△COE中，由勾股定理，得，
解得，
∴，
设直线CE的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴，
过点A作AP∥CE，交y轴于点F，交抛物线于点P，则∠PAB＝∠CEA＝2∠ABC，
设直线AP的解析式为，
把A（﹣1，0）代入，得，
解得
∴
联立，
解得或，
∴；
∵，
∴当x＝0时，，
∴，
作点F关于x轴的对称点G，连接AG，则，∠GAB＝∠BAF＝2∠ABC，
∴直线AG与抛物线的交点也满足题意，
同法可得：直线AG的解析式为，
联立，
解得或，
∴；
综上：或；
（3）解：①∵，
∴，
同法可得直线CD的解析式为，
由题意，∠BCD即为旋转角，作BE∥CD，交y轴于点E，作CF⊥BE于点F，则∠CBF＝∠BCD，
∴tan∠CBF＝tan∠BCD，
同法可得直线BE的解析式为y＝x﹣5，
∴当x＝0时，y＝﹣5，
∴E（0，﹣5），
∴OE＝OB＝5，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②将抛物线沿直线CD平移，等同于将抛物线沿直线BE平移，
∵OB＝OE，
∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等，
设将抛物线向右和向上分别平移t（t＞0）个单位，得到新的抛物线，
则新抛物线的解析式为，
∴，
联立，
解得：，
∴，
作QK⊥y轴，ML⊥QK交KQ的延长线于点L，
∴∠CKQ＝∠MLQ＝90°＝∠CQM，
，，，，
∴∠CQK＝∠QML＝90°﹣∠MQL，
∴△CQK∽△QML，
∴，
∴，
解得或t＝﹣2（舍去）或（舍去）；
∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为，
∴抛物线的平移距离为，
当抛物线沿直线CD向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为；
综上：抛物线的平移距离为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的性质-对应边；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征可得，作BC的中垂线交x轴于点E，连接CE，则CE＝BE，根据等边对等角可得∠ECB＝∠ABC，根据三角形外角性质可得∠AEC＝∠ABC+∠BCE＝2∠ABC，根据两点间距离可得OB＝5，，设OE＝m，则CE＝BE＝5﹣m，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，设直线CE的解析式为，根据待定系数法将点E坐标代入解析式可得，过点A作AP∥CE，交y轴于点F，交抛物线于点P，则∠PAB＝∠CEA＝2∠ABC，设直线AP的解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得，联立抛物线解析式，解方程组可得，根据y轴上点的坐标特征可得，作点F关于x轴的对称点G，连接AG，则，∠GAB＝∠BAF＝2∠ABC，则直线AG与抛物线的交点也满足题意，同法可得：直线AG的解析式为，联立抛物线解析式，解方程即可求出答案.
（3）①将解析式转换为顶点式可得顶点坐标，再根据y轴上点的坐标特征可得，同法可得直线CD的解析式为，由题意，∠BCD即为旋转角，作BE∥CD，交y轴于点E，作CF⊥BE于点F，则∠CBF＝∠BCD，即tan∠CBF＝tan∠BCD，同法可得直线BE的解析式为y＝x﹣5，根据y轴上点的坐标特征可得E（0，﹣5），根据两点间距离可得OE＝OB＝5，，则，再根据三角形面积可得CF，再根据勾股定理可得BF，再根据正切定义即可求出答案.
②将抛物线沿直线CD平移，等同于将抛物线沿直线BE平移，则抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等，设将抛物线向右和向上分别平移t（t＞0）个单位，得到新的抛物线，根据平移规律可得则新抛物线的解析式为，根据顶点坐标可得，联立两函数解析式，解方程组可得，作QK⊥y轴，ML⊥QK交KQ的延长线于点L，根据两点间距离可得CK，QK，QL，ML，则∠CQK＝∠QML＝90°﹣∠MQL，根据相似三角形判定定理可得△CQK∽△QML，则，代值计算可得，再根据平移的性质即可求出答案.
23．（2025·淄博）【问题情境】
小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的ABCD正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习．
【探究感悟】
如图①，小明在边AB上取点E（E不与A，B重合），连接DE，将△ADE沿DE翻折，使得点A的对应点A1恰好落到对角线BD上，则此时线段BE的长是 ▲ ；
【深入探究】
小明继续将△ADE沿DE翻折，发现：A1，B，C三点能构成等腰三角形．请求出此时线段BE的长；
【拓展延伸】
如图②，小明又在边CD上取点F（F不与C，D重合），并将四边形ADFE沿EF翻折，使得点A的对应点A1恰好落在边BC上，记A1D1（D1为D的对应点）与CD的交点为G，连接AD1，小明再次发现：线段EF与AD1的长度之和存在最小值，请求出此时线段CG的长．
【答案】解：【探究感悟】8﹣4；
【深入探究】①当A1C＝BC时，如图，作A1F⊥CD于点F，延长FA1交AB于点G，
则四边形ADFG为矩形，
∴DF＝AG，FG＝AD＝4，
∵BC＝CD，
∴A1C＝CD，
又∵折叠，
∴AD＝A1D，∠DA1E＝∠A＝90°，
∴A1C＝CD＝A1D，
∴△A1CD为等边三角形，
∴∠DA1C＝60°，
∵A1F⊥CD，
∴30°，，
∴，∠GA1E＝180°﹣∠DA1E﹣∠DA1F＝60°，
∴，
在Rt△A1GE中，EG，
∵AG＝DF＝2，
∴BG＝AB﹣AG＝2，
∴BE＝BG+EG；
②当A1C＝A1B时，如图：作A1F⊥CD于点F，延长FA1交AB于点G，作A1H⊥BC于点H，
则，四边形CFA1H为矩形，四边形BGFC为矩形，
∴AF＝CH＝2，BG＝CF，FG＝BC＝4，
∴A1G＝FG﹣A1F＝2，
在Rt△A1FD中，，
∴∠A1DF＝30°，
∴∠FA1D＝60°，，
∴，∠EA1G＝180°﹣∠DA1F﹣∠DA1E＝30°，
在Rt△A1GE中，EG，
∴BE＝BG+EG＝4，
综上：；
【拓展延伸】连接AA1，A1D，A1D交AD1于点O，作FK⊥AB，则四边形ADFK为矩形，
∴FK＝AD＝AB，∠FEK+∠KFE＝90°，
由折叠可知AE＝A1E，A1D1＝AD，AA1⊥FE，∠GA1E＝∠DAB＝90°，OA＝OA1，OD＝OD1，
∴∠A1AB+∠FEA＝90°，A1D＝AD1，
∴∠BAA1＝∠KFE，
又∵∠FKE＝∠ABC＝90°，FK＝AB，
∴△EFK≌△A1AB（AAS），
∴EF＝AA1，
∴EF+A1D＝AA1+A1D，
作点A关于BC的对称点A'，连接A1A'，连接A'D交BC于点M，
则A'B＝AB＝CD，A1A'＝AA1，
∴EF+A1D＝AA1+A1D＝A'A1+A1D≥A'D，
∴当点A1在A'D上时，即点A1与点M重合时，EF+A1D＝A'D值最小；
如图：
∵∠DCA1＝∠A'BA1＝90°，∠CA1D＝∠BA1A'，A'B＝CD，
∴△CDA1≌△BAA1（ASA），
∴CA1＝BA1，
∴A1为BC的中点，
∴，
设AE＝A1E＝x，
则BE＝AB﹣AE＝4﹣x，
在Rt△A1BE中，由勾股定理，得：x2＝22+（4﹣x）2，
解得，
∴，
∴BE＝AB﹣AE，
∴∠ABC＝∠C＝90°＝∠GA1E，
∴∠BEA1＝∠CA1G＝90°﹣∠BA1E，
∴△EBA1∽△A1CG，
∴，即，
∴．
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：【探究感悟】∵正方形ABCD，边长为4，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝4，∠DAB＝∠ABC＝∠DCB＝∠ADC＝90°，∠DBA＝45°，
∴，
由折叠可知∠DA1E＝∠A＝90°，A1D＝AD＝4，
∴∠BA1E＝90°，，
∵∠DBA＝45°，
∴△A1EB为等腰直角三角形，
∴；
故答案为：8﹣4；
【分析】【探究感悟】：根据正方形性质可得AD＝AB＝BC＝CD＝4，∠DAB＝∠ABC＝∠DCB＝∠ADC＝90°，∠DBA＝45°，根据勾股定理可得BD，再根据折叠性质可得∠DA1E＝∠A＝90°，A1D＝AD＝4，根据边之间的关系可得BA1，再根据等腰直角三角形判定定理及性质即可求出答案.
【深入探究】：分情况讨论：①当A1C＝BC时，作A1F⊥CD于点F，延长FA1交AB于点G，则四边形ADFG为矩形，根据矩形性质可得DF＝AG，FG＝AD＝4，根据折叠性质可得AD＝A1D，∠DA1E＝∠A＝90°，则A1C＝CD＝A1D，根据等边三角形判定定理可得△A1CD为等边三角形，则∠DA1C＝60°，30°，，根据含30°角的直角三角形性质可得A1F，根据三角形内角和定理可得∠GA1E，再根据边之间的关系可得A1G，解直角三角形可得EG，再根据边之间的关系即可求出答案；②当A1C＝A1B时，作A1F⊥CD于点F，延长FA1交AB于点G，作A1H⊥BC于点H，则，四边形CFA1H为矩形，四边形BGFC为矩形，根据矩形性质可得AF＝CH＝2，BG＝CF，FG＝BC＝4，根据边之间的关系可得A1G，根据特殊角的三角函数值可得∠A1DF＝30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得DF，根据边之间的关系可得BG，再根据三角形内角和定理可得∠EA1G，解直角三角形可得EG，再根据边之间的关系即可求出答案.
【拓展延伸】：连接AA1，A1D，A1D交AD1于点O，作FK⊥AB，则四边形ADFK为矩形，根据矩形性质可得FK＝AD＝AB，∠FEK+∠KFE＝90°，根据折叠性质可得AE＝A1E，A1D1＝AD，AA1⊥FE，∠GA1E＝∠DAB＝90°，OA＝OA1，OD＝OD1，则∠A1AB+∠FEA＝90°，A1D＝AD1，再根据全等三角形判定定理可得△EFK≌△A1AB（AAS），则EF＝AA1，作点A关于BC的对称点A'，连接A1A'，连接A'D交BC于点M，则A'B＝AB＝CD，A1A'＝AA1，根据边之间的关系可得EF+A1D＝AA1+A1D＝A'A1+A1D≥A'D，当点A1在A'D上时，即点A1与点M重合时，EF+A1D＝A'D值最小，根据全等三角形判定定理可得△CDA1≌△BAA1（ASA），则CA1＝BA1，再根据线段中点可得，设AE＝A1E＝x，则BE＝4﹣x，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则BE，再根据相似三角形判定定理可得△EBA1∽△A1CG，则，代值计算即可求出答案.
1 / 12025年山东省淄博市中考数学真题
1．（2025·淄博）下列四个实数中，比﹣2大的无理数是（ ）
A．0 B．﹣1 C． D．
2．（2025·淄博）如图是一个由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·淄博）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（ ）
A．8.16×1011 B．81.6×1011 C．0.816×1011 D．8.16×1012
4．（2025·淄博）某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：h）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．
则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．5，6 B．5，7 C．6，6 D．6，7
5．（2025·淄博）已知：如图，AB∥OD，∠1＝36°，∠2＝60°，则∠3的度数是（ ）
A．36° B．34° C．26° D．24°
6．（2025·淄博）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（如图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（①处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（ ）
李白醇酒 李白街上走，揭壶去买酒． 遇店加一倍，见花喝一斗． 三遇店和花①，喝光壶中酒． 试问壶中原有酒几斗？
A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗
7．（2025·淄博）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣1且x≠2 B．x≠﹣1且x≠3
C．x≠2且x≠3 D．x≠﹣1且x≠2且x≠3
8．（2025·淄博）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E．若AD＝5，AE＝10，则BC的长是（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
9．（2025·淄博）如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧BD上的点，连接AP，CP，将线段CP绕点P顺时针旋转90°后得到线段PQ，连接AQ．若AB＝1，则△APQ的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·淄博）如图，D为矩形OABC（边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上）对角线OB上的点，且ODBD．经过点D的反比例函数y的图象分别与AB，BC相交于点E，F，连接OE，OF，EF．若△OBF的面积是24，则△OEF的面积为（ ）
A．25 B．26 C． D．
11．（2025·淄博）因式分解：2x2﹣18= ．
12．（2025·淄博）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠COD＝44°，则∠AOB＝ ．
13．（2025·淄博）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话：
小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格x（元）所在的范围是 ．
14．（2025·淄博）已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，P是边CD的中点，E是边AD上的动点，线段EF分别与BC，AP相交于点F，Q．若∠FQP＝45°，则EF的长为 ．
15．（2025·淄博）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域；
画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域；
画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域；
……
如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是 ．
16．（2025·淄博）解方程组：．
17．（2025·淄博）已知：如图：在△ABC中，D，F分别为边AB、BC的中点，∠AED＝∠DFB．
求证：
（1）△AED≌△DFB；
（2）∠C＝∠EDF．
18．（2025·淄博）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校240km的某景区美术实践基地写生．现知共有200名师生参加了最近一次活动．
（1）一部分师生乘大巴车先行，出发36min后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度；
（2）该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？
19．（2025·淄博）粮食安全，事关国计民生，增强学生粮食安全意识，培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表．
组别 成绩/分 额数（人数）
1 75≤x＜80 10
2 80≤x＜85 a
3 85≤x＜90 35
4 90≤x＜95 25
5 95≤x≤100 b
根据以上信息．解答下列问题：
（1）请直接写出统计表中的a＝ ，b＝ ，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是 度；
（2）请补全上面的结业成绩频数分布直方图；
（3）现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
20．（2025·淄博）如图，反比例函数y（x＜0）和y（x＞0）的图象分别与直线y＝kx+b依次相交于A（m，1），B，C（3，n）三点．
（1）求出直线AC对应的函数表达式；
（2）分别以点A，C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点E和点F，直线EF交y轴于点D，连接AD、CD．试判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）请直接写出关于x的不等式kx+b的解集．
21．（2025·淄博）如图，某学校教学楼AB和市创业大厦CD之间矗立着一座小山．为了测得大厦的高度，小伟首先登至小山的最高处E，测得B，D处的俯角分别为68.5°，27.7°；然后操控无人机铅直起飞至比E处高20m的F处，再次测得这两处的俯角分别为70.8°.33.3°．已知点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，AC为水平地面，AB＝12m．请求出大厦CD的高度（结果精确到0.1m，参考数据见下表）．
科学计算粉按键顺序 计算结果（已取近似值）
0.94
2.87
0.37
2.54
0.66
0.53
22．（2025·淄博）如图，一条抛物线y＝ax3+bx与x轴相交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．与y轴相交于点C．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）问在抛物线上是否存在点P，使得∠ABC∠PAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）将射线CB绕点C逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点D，再将抛物线沿直线CD平移，得到一条新的抛物线（其顶点为M），设这两条抛物线的交点为Q．
①求旋转角度的正切值；
②当∠CQM＝90°时，求原抛物线平移的距离．
23．（2025·淄博）【问题情境】
小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的ABCD正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习．
【探究感悟】
如图①，小明在边AB上取点E（E不与A，B重合），连接DE，将△ADE沿DE翻折，使得点A的对应点A1恰好落到对角线BD上，则此时线段BE的长是 ▲ ；
【深入探究】
小明继续将△ADE沿DE翻折，发现：A1，B，C三点能构成等腰三角形．请求出此时线段BE的长；
【拓展延伸】
如图②，小明又在边CD上取点F（F不与C，D重合），并将四边形ADFE沿EF翻折，使得点A的对应点A1恰好落在边BC上，记A1D1（D1为D的对应点）与CD的交点为G，连接AD1，小明再次发现：线段EF与AD1的长度之和存在最小值，请求出此时线段CG的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的大小比较；无理数的概念
【解析】【解答】解：由题意可得：
<-2<<-1<0
故答案为：C
【分析】直接比较大小，结合无理数的定义即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
该几何体的主视图是
故答案为：A
【分析】根据简单组合体的三视图即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
8160亿=816000000000=8.16×1011
故答案为：A
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据按从小到大的顺序排列为：
3，4，5，5，6，6，6，7，7，8
∴6出现的次数最多，即众数为6
处在最中间的数为6，6
∴中位数为
故答案为：C
【分析】根据众数，中位数的定义即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：设AB交OE于点C
∵AB∥OD
∴∠ECB=∠2=60°
∴∠3=∠ECB-∠1=24°
故答案为：D
【分析】设AB交OE于点C，根据直线平行性质可得∠ECB=∠2=60°，再根据三角形外角性质即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设诗中李白的壶中原来有酒x斗
由题意可得：
解得：x=
故答案为：B
【分析】设诗中李白的壶中原来有酒x斗，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x+1≠0且x-3≠0且x-2≠0
解得：x≠﹣1且x≠2且x≠3
故答案为：D
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：设圆心为O，连接OE
∵AC是圆O的切线
∴OE⊥AC
设圆半径为r
∴OE=OD=r
∴AO=AD+OD=5+r，AB=AD+BD=5+2x
在Tt△AEO中，由勾股定理可得：AO2=AE2+OE2
∴(5+r)2=102+r2
∴r=7.5
∴AO=12.5，AB=20
∵
∴
解得：BC=12
故答案为：B
【分析】设圆心为O，连接OE，根据切线性质可得OE⊥AC，设圆半径为r，则OE=OD=r，根据边之间的关系可得AO=AD+OD=5+r，AB=AD+BD=5+2x，再根据勾股定理建立方程，解方程可得AO=12.5，AB=20，再根据正弦定义建立方程，解方程即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点Q作QE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP交延长线于点F，连接AC交弧于点P1
则∠QEP=∠CFP=90°
∵∠QPC=90°
∴∠EQP+∠EPQ=∠FPC+∠EPQ=90°
∴∠EQP=∠FPC
由旋转可得，PC=PQ
∴△QPE≌△PCF(AAS)
∴EQ=PF
∵PF≤PC
∴EQ≤PC
∴AP+PF≤AP+PC≤AC
即当点P在P1时，EQ的值最大为CP1长
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AP1=CD=AB=1
∴
∴EQ的值最大为
∴△APQ的最大面积为
故答案为：C
【分析】过点Q作QE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP交延长线于点F，连接AC交弧于点P1，则∠QEP=∠CFP=90°，根据角之间的关系可得∠EQP=∠FPC，根据旋转性质可得PC=PQ，再根据全等三角形判定定理可得△QPE≌△PCF(AAS)，则EQ=PF，再根据边之间的关系可得AP+PF≤AP+PC≤AC，即当点P在P1时，EQ的值最大为CP1长，根据正方形性质可得AD=AP1=CD=AB=1，再根据勾股定理可得AC，根据边之间的关系可得EQ，再根据三角形面积即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】点的坐标；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
令点A坐标为(a，0)，点C坐标为(0，b)
则点B坐标为(a，b)
∵ODBD
∴点D坐标可表示为
∵点D在反比例函数图象上
∴
∴反比例函数解析式为
∵点E，F在反比例函数的图象上
∴点F坐标为，点E坐标为
∴
∴
解得：ab=54
∴
故答案为：D
【分析】令点A坐标为(a，0)，点C坐标为(0，b)，则点B坐标为(a，b)，由题意可得点D坐标可表示为，将点D坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数解析式为，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得点F坐标为，点E坐标为，再根据两点间距离可得BF，BE，再根据三角形面积可得ab=54，再根据，结合矩形，三角形面积即可求出答案.
11．【答案】2（x+3）（x﹣3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3），
故答案为：2（x+3）（x﹣3）．
【分析】提公因式2，再运用平方差公式因式分解．
12．【答案】136°
【知识点】角的运算；余角
【解析】【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∠COD＝44°，
∴∠COB=∠BOD-∠COD=46°
∴∠AOB=∠AOC+∠COB=136°
故答案为：136°
【分析】根据余角可得∠COB，再根据角之间的关系即可求出答案.
13．【答案】50＜x＜60
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：50＜x＜60
故答案为：50＜x＜60
【分析】根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
14．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在BC上找一点M，使得BM=2，连接AM，PM，则MC=BC-BM=4
在△ABM和△MCP中
∴△ABM≌△MCP(SAS)
∴∠BAM=∠CMP，AM=MP
∴∠AMP=90°
∴△AMP是等腰直角三角形
∴∠MAP=45°
∵∠FQP=45°
∴∠MAP=∠FQP
∴AM∥EF
∵AE∥MF
∴四边形AEFM是平行四边形
∴EF=AM
∴
故答案为：2
【分析】在BC上找一点M，使得BM=2，连接AM，PM，则MC=BC-BM=4，根据全等三角形判定定理可得△ABM≌△MCP(SAS)，则∠BAM=∠CMP，AM=MP，再根据等腰直角三角形判定定理可得△AMP是等腰直角三角形，则∠MAP=45°，根据直线平行判定定理可得AM∥EF，再根据平行四边形判定定理可得四边形AEFM是平行四边形，则EF=AM，再根据勾股定理即可求出答案.
15．【答案】100
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成1+1块区域；
画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4=1+1+2块区域；
画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7=1+1+2+3块区域；
......
∴画n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域
∵要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块
∴，即n(n+1)≥9998
∵99×100=9900<9998，100×101=10100>9998
∴至少要画的直线条数是100条
故答案为：100
【分析】根据前3句话，总结规律，根据题意建立不等式，再判断即可求出答案.
16．【答案】解：，
由①得：x＝2③，
把③代入②得：4+y+3y＝12，
∴y＝2，
把y＝2代入③得：x＝2+1＝3，
∴原方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据代入消元法解方程组即可求出答案.
17．【答案】（1）证明：∵点D、F分别为AB、BC的中点，
∴DF∥AC，AD＝BD，
∴∠A＝∠FDB，
在△AED和△DFB中，
，
∴△AED≌△DFB（AAS）
（2）证明：由（1）知：△AED≌△DFB，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴∠EDF＝∠DFB，
∵DF∥AC，
∴∠C＝∠DFB，
∴∠EDF＝∠C．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据根据三角形中位线定理可得DF∥AC，AD＝BD，再根据直线平行性质可得∠A＝∠FDB，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得∠ADE＝∠B，根据直线平行性质可得∠EDF＝∠DFB，∠C＝∠DFB，则∠EDF＝∠C，即可求出答案.
18．【答案】（1）解：设大巴车的速度为x km/h，则中巴车速度是1.25x km/h，根据题意得：
，
解得x＝80，
经检验，x＝80是原方程的根且符合题意，
答：大巴车的速度为80km/h；
（2）解：设参加本次活动的学生人数是y人，则教师人数为（200﹣y）人，根据题意得：
10y+20（200﹣y）＝2200，
解得y＝190，
答：参加本次活动的学生人数是190人．
【知识点】一元一次方程的其他应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设大巴车的速度为x km/h，则中巴车速度是1.25x km/h，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设参加本次活动的学生人数是y人，则教师人数为（200﹣y）人，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
19．【答案】（1）20；10；90
（2）解：由题意，结合（1），a＝20，b＝10，即可作图．
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2 女3
男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） （男1，女3）
男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） （男2，女3）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） （女1，女3）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） （女2，女3）
女3 （女3，男1） （女3，男2） （女3，女1） （女3，女2）
由列表可知：恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意，∵第3组人数为35，占比35%，
∴总人数为35÷35%＝100（人）．
又∵第5组的圆心角为36°，
∴第5组占比为36°÷360°＝10%．
∴b＝10%×100＝10．
∴a＝100﹣10﹣35﹣25﹣10＝20．
∵第4组人数为25，
∴第4组对应的圆心角90°．
故答案为：20；10；90．
【分析】（1）根据第3组的人数与占比可得总人数，再求出第5组的占比，乘以总人数可得b值，用总人数减去其他组的人数可得a值，根据第四组的占比乘以360°可得对应圆心角.
（2）根据题意补全图形即可.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出恰好抽到1名男生和1名女生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
20．【答案】（1）解：把A（m，1）代入得m＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，1），
把C（3，n）代入，
得n＝4，
∴点C的坐标为（3，4），
把点（﹣6，1）和（3，4）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴直线AC对应的函数表达式
（2）解：由作图可得DA＝DC，即DA2＝DC2，
设点D的坐标为（0，d），
则62+（1﹣d）2＝32+（4﹣d）2，
解得d＝﹣2，
∴DA2＝DC2＝62+（1+2）2＝45，AC2＝（3+6）2+（4﹣1）2＝90，
∴DA2+DC2＝AC2，
∴△DAC是等腰直角三角形；
（3）解：x＜﹣6或﹣3＜x＜0
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（3）令x+3，
解得x1＝﹣6，x2＝﹣3，
由图象可得关于x的不等式的解集为x＜﹣6或﹣3＜x＜0．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数y可得点A的坐标为（﹣6，1），将点C坐标代入反比例函数y可得点C的坐标为（3，4），再根据待定系数法将点A，C坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）由题意可得DA2＝DC2，设点D的坐标为（0，d），根据勾股定理建立方程，解方程可得d＝﹣2，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（3）当一次函数y＝kx+b图象在反比例函数y下方时，有kx+b，结合函数图象即可求出答案.
21．【答案】解：如图，延长AB交过E，F的水平线于G，H点，延长CD交过E，F的水平线于M，N点，
∵在Rt△EGB中，设GB＝x m，tan∠GEB，
∴GE，
∵在Rt△FHB中，tan∠HFB，
∴HF，
∵GE＝HF，
∴，
解得x≈153.9（m），
∴GB＝153.9m，
∴AH＝AB+GB+GH＝12+153.9+20＝185.9（m），
∵在Rt△EMD中，设MD＝y m，tan∠MED，
∴ME，
∵在Rt△NFD中，tan∠NFD，
∴FN，
∵ME＝FN，
∴，
解得y≈81.5（m），
∴MD＝81.5（m），
∴CN＝CD+MD+MN＝CD+81.5+20，
即CN＝CD+101.5，
∵AH＝CN，
∴CD+101.5＝185.9，
∴CD＝84.4（m），
答：大厦CD的高度约为84.4米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长AB交过E，F的水平线于G，H点，延长CD交过E，F的水平线于M，N点，设GB＝x m，根据正切定义可得GE，HF，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得GB＝153.9m，根据边之间的关系可得AH，设MD＝y m，根据正切定义可得ME，FN，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得MD＝81.5（m），再根据边之间的关系即可求出答案.
22．【答案】（1）解：抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，
将两点坐标代入抛物线，得，
解得，
∴抛物线的表达式
（2）解：，
∴当x＝0时，，
∴，
作BC的中垂线交x轴于点E，连接CE，则CE＝BE，
∴∠ECB＝∠ABC，
∴∠AEC＝∠ABC+∠BCE＝2∠ABC，
∵B（5，0），，
∴OB＝5，，
设OE＝m，则CE＝BE＝5﹣m，
在Rt△COE中，由勾股定理，得，
解得，
∴，
设直线CE的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴，
过点A作AP∥CE，交y轴于点F，交抛物线于点P，则∠PAB＝∠CEA＝2∠ABC，
设直线AP的解析式为，
把A（﹣1，0）代入，得，
解得
∴
联立，
解得或，
∴；
∵，
∴当x＝0时，，
∴，
作点F关于x轴的对称点G，连接AG，则，∠GAB＝∠BAF＝2∠ABC，
∴直线AG与抛物线的交点也满足题意，
同法可得：直线AG的解析式为，
联立，
解得或，
∴；
综上：或；
（3）解：①∵，
∴，
同法可得直线CD的解析式为，
由题意，∠BCD即为旋转角，作BE∥CD，交y轴于点E，作CF⊥BE于点F，则∠CBF＝∠BCD，
∴tan∠CBF＝tan∠BCD，
同法可得直线BE的解析式为y＝x﹣5，
∴当x＝0时，y＝﹣5，
∴E（0，﹣5），
∴OE＝OB＝5，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②将抛物线沿直线CD平移，等同于将抛物线沿直线BE平移，
∵OB＝OE，
∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等，
设将抛物线向右和向上分别平移t（t＞0）个单位，得到新的抛物线，
则新抛物线的解析式为，
∴，
联立，
解得：，
∴，
作QK⊥y轴，ML⊥QK交KQ的延长线于点L，
∴∠CKQ＝∠MLQ＝90°＝∠CQM，
，，，，
∴∠CQK＝∠QML＝90°﹣∠MQL，
∴△CQK∽△QML，
∴，
∴，
解得或t＝﹣2（舍去）或（舍去）；
∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为，
∴抛物线的平移距离为，
当抛物线沿直线CD向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为；
综上：抛物线的平移距离为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的性质-对应边；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征可得，作BC的中垂线交x轴于点E，连接CE，则CE＝BE，根据等边对等角可得∠ECB＝∠ABC，根据三角形外角性质可得∠AEC＝∠ABC+∠BCE＝2∠ABC，根据两点间距离可得OB＝5，，设OE＝m，则CE＝BE＝5﹣m，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，设直线CE的解析式为，根据待定系数法将点E坐标代入解析式可得，过点A作AP∥CE，交y轴于点F，交抛物线于点P，则∠PAB＝∠CEA＝2∠ABC，设直线AP的解析式为，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得，联立抛物线解析式，解方程组可得，根据y轴上点的坐标特征可得，作点F关于x轴的对称点G，连接AG，则，∠GAB＝∠BAF＝2∠ABC，则直线AG与抛物线的交点也满足题意，同法可得：直线AG的解析式为，联立抛物线解析式，解方程即可求出答案.
（3）①将解析式转换为顶点式可得顶点坐标，再根据y轴上点的坐标特征可得，同法可得直线CD的解析式为，由题意，∠BCD即为旋转角，作BE∥CD，交y轴于点E，作CF⊥BE于点F，则∠CBF＝∠BCD，即tan∠CBF＝tan∠BCD，同法可得直线BE的解析式为y＝x﹣5，根据y轴上点的坐标特征可得E（0，﹣5），根据两点间距离可得OE＝OB＝5，，则，再根据三角形面积可得CF，再根据勾股定理可得BF，再根据正切定义即可求出答案.
②将抛物线沿直线CD平移，等同于将抛物线沿直线BE平移，则抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等，设将抛物线向右和向上分别平移t（t＞0）个单位，得到新的抛物线，根据平移规律可得则新抛物线的解析式为，根据顶点坐标可得，联立两函数解析式，解方程组可得，作QK⊥y轴，ML⊥QK交KQ的延长线于点L，根据两点间距离可得CK，QK，QL，ML，则∠CQK＝∠QML＝90°﹣∠MQL，根据相似三角形判定定理可得△CQK∽△QML，则，代值计算可得，再根据平移的性质即可求出答案.
23．【答案】解：【探究感悟】8﹣4；
【深入探究】①当A1C＝BC时，如图，作A1F⊥CD于点F，延长FA1交AB于点G，
则四边形ADFG为矩形，
∴DF＝AG，FG＝AD＝4，
∵BC＝CD，
∴A1C＝CD，
又∵折叠，
∴AD＝A1D，∠DA1E＝∠A＝90°，
∴A1C＝CD＝A1D，
∴△A1CD为等边三角形，
∴∠DA1C＝60°，
∵A1F⊥CD，
∴30°，，
∴，∠GA1E＝180°﹣∠DA1E﹣∠DA1F＝60°，
∴，
在Rt△A1GE中，EG，
∵AG＝DF＝2，
∴BG＝AB﹣AG＝2，
∴BE＝BG+EG；
②当A1C＝A1B时，如图：作A1F⊥CD于点F，延长FA1交AB于点G，作A1H⊥BC于点H，
则，四边形CFA1H为矩形，四边形BGFC为矩形，
∴AF＝CH＝2，BG＝CF，FG＝BC＝4，
∴A1G＝FG﹣A1F＝2，
在Rt△A1FD中，，
∴∠A1DF＝30°，
∴∠FA1D＝60°，，
∴，∠EA1G＝180°﹣∠DA1F﹣∠DA1E＝30°，
在Rt△A1GE中，EG，
∴BE＝BG+EG＝4，
综上：；
【拓展延伸】连接AA1，A1D，A1D交AD1于点O，作FK⊥AB，则四边形ADFK为矩形，
∴FK＝AD＝AB，∠FEK+∠KFE＝90°，
由折叠可知AE＝A1E，A1D1＝AD，AA1⊥FE，∠GA1E＝∠DAB＝90°，OA＝OA1，OD＝OD1，
∴∠A1AB+∠FEA＝90°，A1D＝AD1，
∴∠BAA1＝∠KFE，
又∵∠FKE＝∠ABC＝90°，FK＝AB，
∴△EFK≌△A1AB（AAS），
∴EF＝AA1，
∴EF+A1D＝AA1+A1D，
作点A关于BC的对称点A'，连接A1A'，连接A'D交BC于点M，
则A'B＝AB＝CD，A1A'＝AA1，
∴EF+A1D＝AA1+A1D＝A'A1+A1D≥A'D，
∴当点A1在A'D上时，即点A1与点M重合时，EF+A1D＝A'D值最小；
如图：
∵∠DCA1＝∠A'BA1＝90°，∠CA1D＝∠BA1A'，A'B＝CD，
∴△CDA1≌△BAA1（ASA），
∴CA1＝BA1，
∴A1为BC的中点，
∴，
设AE＝A1E＝x，
则BE＝AB﹣AE＝4﹣x，
在Rt△A1BE中，由勾股定理，得：x2＝22+（4﹣x）2，
解得，
∴，
∴BE＝AB﹣AE，
∴∠ABC＝∠C＝90°＝∠GA1E，
∴∠BEA1＝∠CA1G＝90°﹣∠BA1E，
∴△EBA1∽△A1CG，
∴，即，
∴．
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：【探究感悟】∵正方形ABCD，边长为4，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝4，∠DAB＝∠ABC＝∠DCB＝∠ADC＝90°，∠DBA＝45°，
∴，
由折叠可知∠DA1E＝∠A＝90°，A1D＝AD＝4，
∴∠BA1E＝90°，，
∵∠DBA＝45°，
∴△A1EB为等腰直角三角形，
∴；
故答案为：8﹣4；
【分析】【探究感悟】：根据正方形性质可得AD＝AB＝BC＝CD＝4，∠DAB＝∠ABC＝∠DCB＝∠ADC＝90°，∠DBA＝45°，根据勾股定理可得BD，再根据折叠性质可得∠DA1E＝∠A＝90°，A1D＝AD＝4，根据边之间的关系可得BA1，再根据等腰直角三角形判定定理及性质即可求出答案.
【深入探究】：分情况讨论：①当A1C＝BC时，作A1F⊥CD于点F，延长FA1交AB于点G，则四边形ADFG为矩形，根据矩形性质可得DF＝AG，FG＝AD＝4，根据折叠性质可得AD＝A1D，∠DA1E＝∠A＝90°，则A1C＝CD＝A1D，根据等边三角形判定定理可得△A1CD为等边三角形，则∠DA1C＝60°，30°，，根据含30°角的直角三角形性质可得A1F，根据三角形内角和定理可得∠GA1E，再根据边之间的关系可得A1G，解直角三角形可得EG，再根据边之间的关系即可求出答案；②当A1C＝A1B时，作A1F⊥CD于点F，延长FA1交AB于点G，作A1H⊥BC于点H，则，四边形CFA1H为矩形，四边形BGFC为矩形，根据矩形性质可得AF＝CH＝2，BG＝CF，FG＝BC＝4，根据边之间的关系可得A1G，根据特殊角的三角函数值可得∠A1DF＝30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得DF，根据边之间的关系可得BG，再根据三角形内角和定理可得∠EA1G，解直角三角形可得EG，再根据边之间的关系即可求出答案.
【拓展延伸】：连接AA1，A1D，A1D交AD1于点O，作FK⊥AB，则四边形ADFK为矩形，根据矩形性质可得FK＝AD＝AB，∠FEK+∠KFE＝90°，根据折叠性质可得AE＝A1E，A1D1＝AD，AA1⊥FE，∠GA1E＝∠DAB＝90°，OA＝OA1，OD＝OD1，则∠A1AB+∠FEA＝90°，A1D＝AD1，再根据全等三角形判定定理可得△EFK≌△A1AB（AAS），则EF＝AA1，作点A关于BC的对称点A'，连接A1A'，连接A'D交BC于点M，则A'B＝AB＝CD，A1A'＝AA1，根据边之间的关系可得EF+A1D＝AA1+A1D＝A'A1+A1D≥A'D，当点A1在A'D上时，即点A1与点M重合时，EF+A1D＝A'D值最小，根据全等三角形判定定理可得△CDA1≌△BAA1（ASA），则CA1＝BA1，再根据线段中点可得，设AE＝A1E＝x，则BE＝4﹣x，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则BE，再根据相似三角形判定定理可得△EBA1∽△A1CG，则，代值计算即可求出答案.
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